El Péndulo Muelle Nicole Sophie Gómez Adenis. Universidad Autónoma de Madrid Grado en Física 4 de Abril de 2011

Transcripción

1 El Péndulo Muelle Nicole Sophie Gómez Adenis Universidad Autónoma de Madrid Grado en Física 4 de Abril de La Dinámica del Péndulo-Muelle: Básicamente se trata de un muelle con una masa suspendida en su extremo inferior y que puede oscilar como un péndulo. Si el péndulo está quieto (no se desplaza horizontalmente) oscilará hacia arriba y hacia abajo. En caso contrario su movimiento tendrá propiedades de los dos elementos que lo componen: del péndulo y del muelle. El péndulo muelle se encuentra suspendido del origen del sistema de coordenadas (x 0, y 0, z 0 )=(0,0,0) Al contrario de un péndulo ideal o de un muelle, el sistema formado por estos dos elementos no tiene una dinámica fácil de describir matemáticamente. Para hacerlo utilizaremos la segunda ley de Newton, según la cual fuerza es igual a masa por aceleración, con el fin de construir un sistema de ecuaciones diferenciales que permitan describir la posición, la velocidad y la aceleración del sistema, en función del punto de partida, la masa, la longitud del muelle relajado, la constante del muelle y la resistencia del aire. El procedimiento que emplearemos para obtener las ecuaciones de movimiento del péndulo muelle es el siguiente: Como sabemos cuál es la masa (M) (suspendida en el extremo inferior del péndulo muelle), para obtener la aceleración necesitaríamos conocer las fuerzas (y la fuerza neta) que operan sobre el muelle lo que, a su vez, nos permitirá despejar la aceleración en cada una de las tres dimensiones del espacio. Conociendo la aceleración podremos obtener las velocidades en cada una de las tres dimensiones del espacio. Conociendo las velocidades podremos obtener la posición de la masa en cada momento del tiempo. El conjunto de ecuaciones que relacionan la aceleración, la velocidad y la posición de la masa en las tres dimensiones del espacio forma un sistema de ecuaciones diferenciales que se resuelve mediante una rutina de MatLab. Antes de empezar, necesitamos algunas definiciones básicas. Utilizaremos los vectores El péndulo muelle, como hemos dicho, está anclado al origen del sistema de coordenadas. La posición de la masa en cada momento del tiempo está definida por el vector. L es la longitud del muelle relajado. En cualquier otro punto su longitud es igual a: Por lo tanto, el estiramiento o la contracción del muelle en cada momento será igual a: las velocidades de desplazamiento en la dirección de cada uno de los ejes está representada con el vector: = y las aceleraciones por el vector. Primer paso: Qué fuerzas actual intervienen sobre el péndulo muelle? 1

2 Inicialmente consideramos tres fuerzas 1 : la fuerza de la gravedad (o la resultante del peso ); la resistencia del aire ( y, la fuerza debida a la tensión elástica del muelle ( ). f m f g o La Fuerza de la Gravedad es igual a la masa (m) multiplicada por la aceleración de la gravedad (g) y actúa hacia abajo (por eso el signo negativo). o La Fuerza de la Resistencia del Aire: Esta fuerza la asumimos como una proporción negativa de la velocidad total. R es la constante de proporcionalidad (entre 0 y 1) que mide la resistencia al aire. Entonces la fuerza de la resistencia del aire es igual a: o La Fuerza del Muelle: De acuerdo con la Ley de Hooke, esta fuerza es: De una magnitud igual al negativo de la constante del muelle (K) multiplicado por el desplazamiento desde la longitud del muelle relajado. La longitud del muelle en cada momento es igual a y la diferencia con la longitud del muelle relajado es:. Entonces, la magnitud de la fuerza del péndulo es igual a:. La dirección de esta fuerza es la misma que la dirección de desplazamiento de la masa. Esta dirección se representa por un vector unitario: En Consecuencia; la fuerza del muelle es igual a: Que, una vez simplificado se expresa como: 1 También podría existir la fuerza de un impulso inicial para poner el sistema en movimiento. 2

3 Segundo Paso: Cual es la fuerza neta y como se descompone esa fuerza total en las direcciones de los ejes de coordenadas? La fuerza total es igual a: ; es decir: Esta fuerza neta se descompone fácilmente en la suma de los siguientes vectores de fuerza a lo largo de cada uno de los ejes: Tercer Paso: Cuál es la aceleración en cada una de estas direcciones? Aquí es donde aplicamos la segunda Ley de Newton. Hemos obtenido la fuerza y sabemos la masa, entonces, aceleración es igual a la fuerza dividida por la masa. Es decir, ya tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales que describen completamente el movimiento del péndulo muelle.: Cuarto Paso: Cómo resolver estas ecuaciones diferenciales en MatLab? Para eso utilizamos la función Ode45. Esta función sirve para encontrar la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y, por lo tanto, también para simular la dinámica de nuestro sistema. ODE45 resuelve ecuaciones diferenciales de primer grado, por lo que debemos transformar el sistema anterior (de tres ecuaciones diferenciales de segundo grado) en un sistema de seis ecuaciones de primer grado. Del siguiente modo: 3

4 Estas ecuaciones se deben poner en un script: equations.m. 4

5 La Conservación de la Energía en el Péndulo Muelle Sobre el Péndulo Muelle operan distintas fuerzas a las que está asociada la energía del sistema. Estas fuerzas pueden ser conservativas o no. Así, la fuerza de la gravedad y la fuerza del muelle son conservativas (pertenecen al sistema y no dependientes de la trayectoria), mientras que la resistencia del aire y el impulso externo que se puede dar o no al sistema en el momento inicial son fuerzas no conservativas (externas al sistema péndulo muelle y dependientes de la trayectoria seguida por la masa). Inicialmente me concentraré sólo en fuerzas conservativas y más adelante consideraremos la resistencia del aire y el impulso inicial. Para el primer caso, en el que sólo intervienen las fuerzas de la gravedad y la del muelle, probaremos el principio de conservación de la energía. Para ello, identificaremos y, con los datos sobre la posición y las velocidades de la masa en cada momento del tiempo, calcularemos de un modo independiente las distintas formas de energía cinética y potencial y luego obtendremos la energía total que debe ser una cantidad constante. Este procedimiento también nos servirá para demostrar la precisión de la función ODE45 para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales. Para hacer este análisis supondremos que el muelle se suelta (sin ningún impulso inicial), desde una posición en la que el muelle no está estirado ni comprimido. Es decir desde algún punto del espacio (x 0, y 0, z 0 ) en el que:. De esta manera, la única energía del sistema en el momento inicial es la energía potencial gravitatoria y esa será la energía total del sistema en cualquier otro punto de la trayectoria de la masa. Las energías (conservativas) del péndulo muelle son: Energía potencial gravitatoria: Esta depende de la altura. Supongamos que el cuerpo que ejerce la fuerza de gravedad sobre la masa se encuentra a una distancia H debajo del origen de coordenadas; en un plano paralelo al plano (x,y,0) que pasa por (en z=- H). La energía potencial gravitatoria es proporcional a la altura a la que se encuentra el móvil en cada momento y esta altura es igual a h=h+z. En cada momento la energía potencial gravitatoria es igual a: En el momento inicial y, en nuestro primer caso en el que solo intervienen fuerzas conservativas, esa es también la energía total del sistema que se debe mantener en el tiempo. El valor de H se puede elegir (depende de la altura a la que situemos el origen del sistema de coordenadas de referencia. Por conveniencia, vamos a situar el valor de H en la máxima longitud que puede alcanzar el muelle cuando se le deja caer libremente desde. La respuesta a esta pregunta (cuál es la caída vertical máxima que va a experimentar la masa) es similar a la del problema de la longitud máxima de la cuerda de un saltador de puenting: supongamos que se deja caer desde en caída libre atado a una cuerda elástica de constante K. Qué distancia recorrerá en su caída? La respuesta es: la masa (el saltador) se detendrá en el punto en que la fuerza de gravedad (que le empuja hacia abajo) iguale a la fuerza del muelle (que le impulsa en sentido contrario). En otras palabras, cuando la energía potencial gravitatoria que haya perdido en la caída sea igual a la energía potencial elástica que haya ganado con el estiramiento del muelle (en ese punto la velocidad será cero y por lo tanto la energía cinética también). Es decir, en ese punto se cumple: 5

6 Lo que da una ecuación de segundo grado que, descartando la raíz negativa nos permite obtener el valor del alargamiento máximo del muelle: Con eso ya podemos encontrar H, el recorrido máximo en la caída libre del muelle: Tomamos ese valor como referencia para medir la energía potencial gravitatoria. Energía Potencial Elástica: Esta depende del estiramiento (o la contracción) del muelle respecto a su posición de reposo L. De acuerdo con la Ley de Hooke se calcula como: En el instante inicial esta energía es igual a cero. Energía Cinética: En cada instante esta depende de la velocidad de la masa y se calcula como: En este caso también es igual a cero en el primer instante. Las dos figuras siguientes muestran los resultados obtenidos para cada una de estas tres energía en dos casos de referencia. En el primero, la masa se suelta desde el plano (x,y), en el punto y, en el segundo, desde la posición: igual a L). (en ambos casos, como puede verse el muelle tiene una longitud Las figuras muestran como varían las energías potenciales, y como la suma de la energía potencial y la cinética dan un resultado que se mantiene constante y que en todo momento es igual a la energía inicial del sistema (es decir a la energía potencial gravitatoria en el momento inicial). Este resultado no demuestra solamente el principio de conservación de la energía si no también que la solución obtenida de la dinámica del péndulo muelle mediante la función ODE45 tiene un alto grado de precisión (el porcentaje de error se mide en tantos por millón). 6

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8 Las Fuerzas no Conservativas en el Péndulo Muelle El análisis anterior se puede completar ahora introduciendo energías externas al sistema péndulo muelle que no se van a conservar a lo largo del tiempo. En primer lugar consideramos la resistencia del aire. Esto no exige ningún cambio en la formulación del modelo ya que dicha resistencia irá frenando la masa y, por lo tanto, disipando su energía cinética. Simplemente, es necesario dar un valor positivo a la constante R. Para el caso que se muestra en la siguiente figura hemos utilizado como posición de partida el vector: (0,L,0) y un coeficiente R=0,1. Como puede verse, la energía total del sistema se disipa gradualmente (en forma de calor) y el sistema termina por detenerse. La energía total y la energía perdida se ven en las dos líneas azules. Aunque el móvil termina por detenerse, la energía no se disipa totalmente ya que, cuando se para la masa, queda un resto de energía potencial gravitatoria y elástica (la del péndulo suspendido y estático). La otra fuerza no conservativa es la que resulta de un impulso inicial. Supongamos que el muelle se suelta alargado gracias a una fuerza externa. Esa fuerza dejará de actuar en el momento en que se suelta la masa y como se ve en la figura su energía se irá disipando (más despacio que en el caso anterior) hasta que el sistema alcanza una configuración estable con las fuerzas conservativas que contiene. La figura siguiente muestra el ejemplo, para el caso en que la masa se suelta desde la posición: sin resistencia del aire. 8

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