Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR"

Marta Saavedra Sandoval
hace 6 años
Vistas:

1 Física General Proyecto PMME - Curso 7 PROYECTO FÍSICA OSCILACIONES JUAN PEDRO BARREIRA ENZO FROGONI MARCELO SANGUINETTI INTRODUCCIÓN En este informe presentamos el estudio de un sistema físico relacionado con el tema movimiento armónico simple, también se relaciona con estática pero nos concentraremos más en el primero. A continuación mostramos un fundamento teórico sobre el tema en el cual se pueden encontrar las leyes o ecuaciones que hemos utilizado para resolver el problema planteado. Luego realizamos ciertas variaciones a las magnitudes que intervienen en el problema con el propósito de estudiar cómo esto afecta al sistema, y por lo tanto, al resultado del problema original. FUNDAMENTO TEÓRICO Vamos a considerar una partícula oscilante que se mueve en uno y otro sentido alrededor de una U x kx (Ec. A); posición de uilibrio, en virtud de un potencial que varía según: ( ) donde k es una constante. La fuerza que actúa sobre la partícula esta dada por: F du dx d kx dx ( x) kx (Ec. B) Esta partícula oscilante recibe el nombre de oscilador armónico simple y su movimiento se llama movimiento armónico simple. En dicho movimiento la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional al desplazamiento (respecto de un punto de uilibrio), pero en sentido opuesto a este. En el movimiento armónico simple, los límites de la oscilación están igualmente espaciados a uno y otro lado de la posición de uilibrio. La magnitud del desplazamiento máximo, siempre tomada como positiva, se llama amplitud del movimiento armónico simple. En la Ec. A, puede reconocerse la expresión de la energía potencial de un resorte ideal comprimido o estirado una distancia x, por lo tanto, un cuerpo de masa m fijo a un resorte ideal de constante elástica k y libre de moverse sobre una superficie horizontal sin fricción es un ejemplo de un oscilador armónico simple. ay una posición en la cual el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Si el cuerpo se desplaza a la derecha de este punto, la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo apunta hacia este mismo, hacia la izquierda, y esta dada por: F -kx. Si el cuerpo se desplaza hacia la izquierda, la fuerza apunta hacia la derecha y su expresión también es F -kx. En ambos casos, la fuerza es una fuerza restauradora. El movimiento de la masa oscilante es un movimiento armónico simple.

2 Física General Proyecto PMME - Curso 7 Apliquemos la segunda ley de Newton F ma, al movimiento. En vez de F escribimos kx y para la aceleración a ponemos d x kx m dt d x kx + dt m (Ec. C) d x dt, esto da: Esta ecuación contiene derivadas y, por lo tanto, se dice que es una ecuación diferencial. Resolver esta ecuación quiere decir determinar la forma en que el desplazamiento x de la partícula debe depender del tiempo para que dicha ecuación quede satisfecha. Cuando sabemos como depende x del tiempo, conocemos el movimiento de la partícula, por lo tanto la Ec. C se llama la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. El problema del oscilador armónico simple es importante por dos razones. En primer lugar, la mayoría de los problemas que implican vibraciones mecánicas se reducen al del oscilador armónico simple para pueñas amplitudes de vibración, o a una combinación de dichas vibraciones. En segundo lugar, como hemos indicado, las ecuaciones del tipo de la Ec. C aparecen en muchos problemas físicos de acústica, óptica, mecánica, circuitos eléctricos e, incluso, de la física atómica. El oscilador armónico simple presenta características comunes a muchos sistemas físicos. La ecuación F -kx conocida como ley de ooke, es un caso especial de una relación más general, relativa a la deformación de los cuerpos elásticos. Rigen el comportamiento de resortes y otros cuerpos elásticos, siempre que su deformación no sea demasiado grande, hasta cierto punto llamado límite elástico. Más allá del límite elástico, la fuerza no puede seguir siendo especificada por una función de energía potencial, porque dicha fuerza depende entonces de muchos factores, incluyendo la rapidez de deformación. El movimiento armónico simple Vamos ahora a resolver la ecuación del movimiento del oscilador armónico simple: d x kx dt m (Ec. D) Escribiendo como una solución tentativa de la Ec. D: x A. cos wt (Ec. E) por lo tanto, como ( + ϕ) ( wt + ϕ ) cos( wt).cos( ϕ) sen( wt). sen( ϕ) a.cos( wt) b. sen( wt) cos + La constante φ permite cualquier combinación de las soluciones de seno y de coseno. En consecuencia, con las desconocidas constantes A, w y φ, podemos escribir una solución tan general de la Ec. D. Para determinar estas constantes, de tal manera que la Ec. E sea realmente la solución de la Ec. D, diferenciamos dos veces la Ec. E respecto al tiempo. Tenemos entonces: dx w. A. sen dt d x w. A.cos dt ( wt + ϕ) ( wt + ϕ) Poniendo estos dos resultados en la Ec. D, obtenemos: w. A.cos k m ( wt + ϕ ). A. cos( wt + ϕ) por lo tanto, si escogemos la constante w tal que w k m entonces:

3 Física General Proyecto PMME - Curso 7 x A. cos wt ( + ϕ) Las constantes A y ϕ están aún indeterminadas y dependen de la posición y velocidad del oscilador en algún punto dado. Por ejemplo, la posición, la velocidad, y la aceleración en función del tiempo descriptas por estas graficas corresponden a VV max y X en t

4 Física General Proyecto PMME - Curso 7 PROCESAMIENTO DE DATOS Problema (º parcial 5) Una masa m está unida a dos resortes de constante k y 3k al techo y al piso respectivamente. Ambos resortes tiene amplitud natural l y el techo está a una altura 3l del piso. ) allar la altura de uilibrio del sistema medida desde el piso. ) Para definir la posición z de la masa, considere como origen de sistema de coordenadas al punto de uilibrio del sistema y la coordenada z, creciente hacia arriba. La masa se suelta desde el reposo a una altura l medida desde el piso. Cómo está dada la posición de la masa en función del tiempo? ) Fe + Fe + P k. k. k. M. g + 3. k. + k. l 3. k. M. g k. l 4. k M. g + 3. k. M. g k. l l l l +. l + l + M g k. l 4. k M. g 4k 5. 4

5 Física General Proyecto PMME - Curso 7 ) A max l M. g + k. l 4k M. g 4 k + l z( t) A max. sen ( ω. t + ϕ) A max.cos( ω. t + ϕ π ) M. g z ( t) + l.cos ω. 4 k ( t) k + k 4k ω ω M M k M

6 Física General Proyecto PMME - Curso 7 A continuación vamos a variar algunas de las magnitudes para ver como afectan al sistema. Primero que nada vamos a darles valores a las magnitudes; M.5Kg., l. m., g 9.8 m/s, K αk, K N/m. Estos valores serán utilizados correspondientemente al caso según la magnitud que deseemos variar. ª caso: Variación de la masa 5 M. g l 4 4K sustituyendo valores llegamos a que :,45Mg +,5 Al variar la masa podemos ver que cuando esta supera los cinco kilogramos la posición de uilibrio es negativa, lo cual en la práctica no tiene sentido ya que tomamos como referencia el piso, por lo tanto estaríamos diciendo que la masa sigue sostenida de los resortes por debajo del piso, lo cual no sucede.

7 Física General Proyecto PMME - Curso 7 ª caso: Variación de k Fe k k + Fe ( l ) k + P Mg k l k + k k Mg k l k + k Mg + l Mg k l α.k Mg k l k + αk sustituyendo valores llegamos a que : α + 5,. α + + l Cuando variamos la constante k vemos que al tender a infinito, la posición de uilibrio sería aproximadamente la longitud natural del resorte de abajo, ya que tendríamos un resorte extremadamente duro, por lo tanto, el resorte de arriba no podría estirarlo ni la masa comprimirlo.

8 Física General Proyecto PMME - Curso 7

9 Física General Proyecto PMME - Curso 7 3ª caso: Variación de la altura Fe + Fe k 3k + P Mg k ( h + l ) 3k Mg + kh kl 4k Mg + kh kl + l 4k sustituyendo valores llegamos a que,8h +,3775 Mg h l No tiene sentido pensar qué pasa con la posición de uilibrio cuando la altura es demasiado grande debido a que los resortes (en la práctica) se empezarían a deformar, por lo cual dejarían de actuar como resortes ideales y no tenemos manera de estudiar su comportamiento. En el otro caso, cuando la altura es menor a.53m, la altura desde la posición de uilibrio sería mayor a la del techo, lo cual no tiene sentido pues el sistema no lo permite.

10 Física General Proyecto PMME - Curso 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ROBERT RESNICK, DAVIDA ALLIDAY, KENNET S. KRANE. Física, cuarta edición, volumen.

Documentos relacionados

Movimiento Armónico Simple

Movimiento Armónico Simple Ejercicio 1 Una partícula vibra con una frecuencia de 30Hz y una amplitud de 5,0 cm. Calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima con que se mueve. En primer lugar atenderemos