Determinación de la aceleración de la gravedad en la UNAH utilizando el péndulo simple

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Determinación de la aceleración de la gravedad en la UNAH utilizando el péndulo simple Objetivos. Obtener el valor de la aceleración de la gravedad en la UNAH.. Analizar la relación péndulo-longitud en un péndulo simple. Materiales y equipo. Bola de Plomo. Cinta métrica. Cuerda o hilo. Soporte de mesa con brazo. Cronómetro digital 6. Lápiz grafito 7. Transportadores Marco teórico Un péndulo típico como el de la figura. cantidad de masa de forma esférica colgada de una cuerda) se aproxima tanto más a un péndulo simple cuando la densidad de la masa es constante, perfectamente esférica, la cuerda muy ligera y lo menos extensible posible mantener la bola colgada unos dos días asegura bastante bien la no extensibilidad de la cuerda, pues se le da un tiempo prudencial para que se estire por acción del peso de la bola, manteniendo constante la temperatura en el lugar). La oscilación de un péndulo se adapta a un movimiento cuasi-armónico, bajo ciertas condiciones: ángulo máximo de oscilación con la vertical, cercano a 0 ; y con el tiempo total para la recolección de datos entre y minutos.. La primera condición permite aproximar: senθ) θ. La segunda ubica la experiencia en una situación de cuasi-no amortiguamiento debido a que para que se dé apreciablemente por efecto de la resistencia del aire) se necesita cierto tiempo de mantenerse oscilando. Además vale considerar que mientras mayor sea la masa y la longitud de la cuerda, este efecto de amortiguamiento se puede considerar despreciable para cierto intervalo de tiempo. Figura : Péndulo simple y vectores de fuerza durante un instante de su oscilación.

2 La ecuación de movimiento para el péndulo simple en estas condiciones adopta la forma siguiente: d θ dt = g L senθ g L θ ) La cual corresponde a la ecuación diferencial de movimiento para un oscilador armónico simple g cuya frecuencia angular es definida por ω = donde g es el valor de la aceleración de la gravedad L y L corresponde a la longitud del péndulo. El período de oscilación no es mas que: T = π ω = π L ) g Es prácticamente imposible evitar los errores humanos en el tiempo de reacción y la selección del momento exacto en el que el péndulo alcanza su ángulo de amplitud máxima, sin embargo existen intentos para mejorar la precisión en la medición del período, para ello son necesarias varias consideraciones para lograr una aceptable corrección y mejorar la precisión del valor de g, en este caso analizaremos la corrección mas significativa. Mejoramiento de la aproximación del seno Añada al valor inicial del periodo, el pequeño incremento dado con la fórmula que sigue, la cual utiliza dos términos de la serie, aproximadamente: T ) θ = T 0sen θmax Donde T 0 es el periodo medido sin el error total y θ max es el ángulo máximo que el péndulo puede acotar durante su movimiento. Con la corrección, el período se calcula: T m = T 0 T ) θ, este nuevo valor le proporcionará un resultado corregido para la aceleración de la gravedad g. Para encontrar el valor teórico esperado para g, se ha de valer de la siguiente ecuación y ha de consultar los datos de la altura sobre el nivel del mar para la UNAH campus CU utilizando el banco de nivel cerca del edificio E, además de la altura estimada del Laboratorio de Física desde este banco de nivel. ) RT gh) = g 0 ) R T + h Donde gh) corresponde a la aceleración de la gravedad a una altura h sobre el nivel del mar; R T corresponde al radio promedio de la Tierra y g 0 corresponde a la aceleración gravitacional estándar CGPM,90.NIST). ) )

3 Procedimiento experimental Obtención precisa de la gravedad utilizando valores promedio de L y T. Junto a usted tendrá un péndulo colgado del techo, como se muestra en la Figura. Utilizando la cinta métrica mida la longitud L en metros del péndulo desde el nudo que forma la cuerda en el gancho del techo hasta el centro de masa de la bola de plomo trate de ser lo mas preciso posible en esta medición) determine el error instrumental total para ɛ para L y anote éste valor en el Cuadro.. Recuerde que la palabra mida incluye el calculo de los errores instrumental y el error estadístico, además es conveniente calcular el porcentaje de dispersión; para este caso el porcentaje de dispersión se considera aceptable cuando es menor del.0 %. Para efectuar adecuadamente varias mediciones de longitud, mida el período de oscilación después de realizar la medición de la longitud del péndulo.. Para realizar la medición del ángulo máximo de oscilación, mueva suavemente el péndulo formando un arco y paralelamente al plano en donde se ubica el transportador en el techo ahí se ubica el punto de pivote del péndulo) llegue hasta un ángulo menor a 0 y utilice este mismo ángulo para las demás mediciones, anote este valor en el Cuadro. Figura : Péndulo simple y vectores de fuerza durante un instante de su oscilación.. Los datos del Cuadro permiten obtener el valor de la longitud L y el ángulo máximo de oscilación. L = L 0 ± L 0 ) + σ L0 ) = L m ± L ) Donde L 0 y σ L0 corresponden al error instrumental y error estadístico de la medida de L, respectivamente. L m = L 0, L = L 0 ) + σ L0 ). Anote el valor en el Cuadro.. Como se mencionó anteriormente realice cada una de las mediciones del período en el Cuadro después de cada una de las mediciones de L 0 en el Cuadro. Para medir el período de oscilación, mida el tiempo que tardan 0 oscilaciones partiendo del ángulo máximo θ max de oscilación escogido previamente, luego determine el tiempo de cada oscilación T 0 en segundos. 6. También para el caso de la medición del período es necesario agregar dos errores error instrumental T 0 y error estadístico σ T0 ) además de la corrección en la aproximación del seno T ) θ utilizando el θ max del Cuadro. T = T 0 T ) θ ± T 0 ) + σ T0 ) = T m ± T 6)

4 Donde T 0 y σ T0 corresponden al error instrumental y error estadístico de la medida de T, respectivamente; y T m = T 0 T ) θ, T = T 0 ) + σ T0 ). Anote estos valores en el Cuadro. Recuerde utilizar la regla de cifras significativas al reportar sus resultados medidos de forma directa o indirecta. N L 0 L0 θ max L 0 σ L0 Dispersión %) L = L m ± L = Cuadro : Mediciones de longitud en metros para el péndulo simple N Tiempo de 0 T 0 T0 T 0 σ T0 T ) θ T m Dispersión Oscilaciones %) T = T m ± T = Cuadro : Mediciones del período en segundos y corrección del ángulo para el péndulo simple Para el cálculo de los errores T 0 y σ T0 en el cuadro, hay que saber que el error instrumental T 0 se calcula como T 0 = T cronómetro 7) 0 y el error estadístico σ T0 se calcula utilizando la desviación estándar de los datos de la columna de T 0 en el cuadro.

5 Obtención de la gravedad utilizando regresión lineal para T contra L. Se sabe que el cuadrado del período para el péndulo simple se representa como T = π g L 8) Ecuación que corresponde a una recta de T en función de L con pendiente π, para realizar la medición de g g mediante esta recta, es necesario seleccionar diferentes valores de L y medir T para cada L.. Monte otro péndulo similar al que acaba de usar, pero en lugar de amarrar el extremo superior de la cuerda al gancho en el techo, dele vuelta sobre éste hasta llegar a amarrar ese extremo a un soporte colocado en la mesa de trabajo, tal y como se muestra en la Figura. Figura : Configuración del péndulo para la variación de su longitud L, vista de perfil y vista frontal.. Así como en la sección anterior, tras haber establecido un ángulo inicial máximo de oscilación menor a 0 el cual será el mismo para las 6 mediciones que involucren diferentes longitudes), luego deje oscilar el péndulo, con las precauciones ya señaladas antes y proceda a medir el correspondiente período utilizando el procedimiento anterior, anote el valor de T 0 y T m = T 0 T ) 0 en el Cuadro. N L 0 Tiempo de 0 T 0 θ max T ) θ T m T m Error para L 0 Oscilaciones L 0 6 Cuadro : Medición del período a diferentes longitudes para el péndulo. Enrollando la cuerda en la barra de aluminio una vez para obtener una longitud diferente y un nuevo péndulo. Vuelva a medir el nuevo período, repita hasta tener un total de 6 mediciones del período para 6 longitudes diferentes del péndulo.. Determine el error instrumental L 0 y recuerde agregar al valor de período para cada longitud, la corrección del período T ) θ, coloque sus valores en el Cuadro.

6 Tratamiento de datos experimentales. Determine el valor de g utilizando el valor de L = L m ± L y T = T m ± T en los Cuadros y, este corresponderá al valor obtenido para la aceleración de la gravedad con el método No., g a y g b corresponden a los valores de g sin la corrección y con la corrección T ) θ del seno, respectivamente. Recuerde utilizar una cifra significativa en la incertidumbre y en base a esta utilizar la regla del redondeo para el valor central Sin la corrección del seno g a = g 0 ± g = π L m T 0 Con la corrección del seno g b = g 0 ± g = π L m T m ± ± [ ) L + L m [ ) L + L m T )]) T 0 T )]) T m 9) 0). Calcule los valores de a y b para la regresión lineal utilizando los datos del Cuadro, anote estos valores en el Cuadro.. Determine el valor de la correlación del ajuste utilizando los datos del Cuadro. Pendiente de la Ordenada en el Ecuación del ajuste Correlación lineal recta origen a = b = T = al + b r = = agregar errores a y b Cuadro : Parámetros del ajuste para la regresión lineal de T L). Dibuje en un marco de referencia L 0,T m) en papel milimetrado los 6 puntos medidos medidos en el Cuadro. Grafique para cada punto las barras de error utilizando los valores de L 0 de forma horizontal.. Dibuje la recta producto de la regresión lineal T L) utilizando la ecuación del ajuste calculada en el Cuadro. 6. Determine el valor de g utilizando la pendiente de la recta producto de la regresión lineal [ ) g = g 0 ± g = π L ± + T )]) ) a L m T 0 7. Finalmente escriba el valor teórico de la aceleración de la gravedad en función de la altura sobre el nivel del mar ) RT g T = g 0 ) R T + h 6

7 8. Determine el margen de error entre los valores obtenidos experimentalmente utilizando los dos métodos anteriores, y el valor teóricos los dos primeros errores servirán para establecer una conclusión acerca de la corrección del seno del ángulo) Cuestionario %Error = g T g a g T x00 % %Error = g T g b g T x00 % %Error = g T g g T x00 %. Qué se puede decir acerca de los resultados anteriores?. Investigue cual es el valor exacto del período para cualquier ángulo máximo de oscilación. Qué consideraciones se deben tomar en cuenta para la configuración del péndulo simple utilizado en el laboratorio, de tal forma que el amortiguamiento se considere despreciable en los cálculos para obtener g?. Quizá le han comentado que antes de que se comenzase a usar el péndulo en esta experiencia, estuvo colgado dos días. Puede explicar por qué motivo se hace esto?. Qué es el péndulo de Foucault y qué permite mostrar acerca del movimiento de la Tierra? Bibliografía Física Para Ciencias E Ingeniería Vols. I y II Serway, Jewett, 7 a. Ed. Física. Vols. I y II, Resnick, Halliday, Krane. a. ed. Física Universitaria, Vols. I y II Sears, Zemansky, Young, Friedman. a. ed. Física Para Ciencias E Ingeniería, Vols. I y II. Giancoli. a. ed. 7