Mapeo del Campo Magnético de un Solenoide Finito

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1 Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Mapeo del Campo Magnético de un Solenoide Finito Elaborado por: Roberto Ortiz Introducción Se tiene un Solenoide de N 1 espiras, Radio R 1 y longitud L 1, que produce un campo magnético en su interior cuando por el circula una corriente I. Adicionalmente se tiene una configuración formada por un par de Bobinas con Radios R 2, longitudes L 2 y con una separación de R 2 entre ellas. Un elemento capaz de medir la inducción magnética producida es el Sensor Hall. Determine a partir de los datos anteriores y del voltaje de salida del Sensor Hall, el Campo Magnético generado por el Solenoide y por el par de Bobinas en todos los puntos del eje principal en su interior. Objetivos 1. Medir y caracterizar Campos Magnéticos en circuitos eléctricos que poseen inductores como los únicos elementos pasivos. 2. Encontrar una relación entre el voltaje de salida del Sensor Hall y la corriente suministrada al circuito que produce el Campo Magnético. 3. Determinar el Campo Magnético producido en el interior de un solenoide en función de la posición, por medio de un sensor Hall diseñado para percibir la inducción magnética a su alrededor. 4. Calcular el Campo Magnético generado por una Bobina de Helmholtz de acuerdo a la forma en que estas se encuentran conectadas. Marco Teórico Campo magnético de un solenoide finito El solenoide es una bobina conformada por varias espiras de alambre conductor, enrolladas una al lado de la otra, en una o varias capas sobre una superficie cilíndrica. Para nuestro caso vamos a tomar un solenoide de una sola capa de espiras y las espiras muy próximas entre sí para que podamos considerar a cada una de ellas contenida en planos normales al eje geométrico. Cuando por el solenoide circula una corriente I, se genera un Campo Magnético el cual podemos describir manera suficientemente exacta en un punto cualquiera P del eje geométrico, por medio de la siguiente ecuación: B(I, x p ) = µ 0 2 N L [ ] L x p R2 + (L x p ) + x p 2 R2 + x 2 p 1 I, origen : x = 0

2 Bobina de Helmholtz Considere una par de bobinas idénticas (Radio R) que están separadas por una distancia R. si la corriente a través de cada bobina está en la misma dirección, entonces el campo magnético a lo largo del eje de simetría es uniforme en el punto medio entre las bobinas. Esta configuración es conocida como Par de Bobinas de Helmholtz. Si la corriente en las dos bobinas esta en direcciones opuestas, el arreglo se conoce como par de Bobinas Anti-Helmholtz B(z) = µ { } 0NIR (R 2 + z 2 ) + 1 3/2 [R 2 + (z R) 2 ] 3/2 B(z) = µ { } 0NIR (R 2 + z 2 ) 1 3/2 [R 2 + (z R) 2 ] 3/2 Sensor de Efecto Hall El sensor de efecto Hall sirve para la medición de Campos Magnéticos, corrientes o para la determinación de la posición. Si fluye corriente por un sensor Hall y se aproxima a un campo magnético que fluye en dirección vertical al sensor, entonces el sensor crea un voltaje saliente proporcional al producto de la fuerza del campo magnético y de la corriente. Por lo tanto es posible obtener una relación entre la corriente y el voltaje de salida del sensor Hall de la siguiente forma: I(V h ) = av h + b I Donde a y b son constantes por determinar. Si combinamos las ecuaciones anteriores podremos obtener una ecuación que relacione la inducción magnética y el voltaje del sensor. B(aV h + b, x p ) B(x) = αv h (x) + β Materiales y equipo Par de Bobinas Solenoide largo y finito Sensor de efecto Hall Regla graduada Multímetro digital (modo Amperímetro) Multímetro digital (modo Voltímetro) Fuente de Voltaje DC Cables banana y caimán Baterías (para el sensor de Hall) 2

3 Procedimiento experimental I Determinando la ecuación característica del Sensor Hall 1. Conecte la fuente de voltaje, el amperímetro y el Solenoide de tal forma que constituyan un circuito en serie. 2. Coloque el sensor de Efecto Hall en el interior del Solenoide (aproximadamente en el centro del mismo). Ver figura Aumente gradualmente el voltaje suministrado por la fuente de voltaje. 4. Mida a intervalos regulares, la corriente que muestra el amperímetro y el voltaje de salida del sensor Hall. 5. Anote los datos obtenidos en la tabla siguiente: Voltaje de la fuente (volts) Corriente (A) Voltaje Hall (Volts) Cuadro 1: Corriente del circuito y voltaje del sensor Procedimiento experimental II Obteniendo Campo Magnético y en términos del Voltaje Hall 1. Conecte la fuente de voltaje, el amperímetro y el Solenoide de tal forma que constituyan un circuito en serie. 2. Coloque el sensor Hall en uno de los extremos del Solenoide, en el eje central de su interior. Este punto será el origen del sistema de coordenadas. (figura 1) 3. Elija un voltaje nominal, de tal forma que la corriente se mantenga constante durante la mayor parte del experimento. 4. Introduzca paulatinamente el sensor Hall montado en la regla graduada de forma tal que recorra toda la longitud del solenoide 3

4 5. Mida a intervalos regulares de posición, el voltaje de salida del sensor Hall y anótelos en la tabla siguiente: Voltaje de la fuente Corriente Posición Voltaje Hall (Volts) (A) (mts) (volts) Cuadro 2: Posición y voltaje del sensor Hall Figura 1: Circuito serie y sensor. Procedimiento I y II Procedimiento experimental III Campo Magnético producido por un par de Bobinas 1. Conecte las bobinas, separándolas una distancia R igual radio de las mismas. 2. Conecte la fuente de voltaje, el amperímetro y la configuración de las bobinas de tal forma que constituyan un circuito en serie asumiendo que las bobinas son un elemento. 3. Coloque el sensor Hall en el borde de una de las bobinas, en el eje central de su interior. Este punto será el origen del sistema de coordenadas. (figura 2) 4. Elija un voltaje nominal, de tal forma que la corriente se mantenga constante durante la mayor parte del experimento. 4

5 5. Introduzca paulatinamente el sensor Hall montado en la regla graduada de forma tal que recorra toda la longitud de la configuración hasta llegar al extremo de la segunda bobina. 6. Mida a intervalos regulares de posición, el voltaje de salida del sensor Hall y anótelos en la tabla siguiente: Voltaje de la fuente Corriente Posición Voltaje Hall (Volts) (A) (mts) (volts) Cuadro 3: Posición y voltaje del sensor Hall Figura 2: Par de bobinas y sensores. Procedimiento III Tratamiento de los datos experimentales 1. Grafique los datos obtenidos en la Tabla 1 para observar la tendencia de los mismos. 2. Con los datos obtenidos en la tabla 1, realice una regresión lineal para encontrar la fórmula que relaciona el voltaje del sensor Hall y la corriente que suministra la fuente de voltaje. 3. A partir de la tabla 2, obtenga una tabla que muestre el campo magnético en términos de la posición del sensor Hall. Esto se puede lograr ingresando la ecuación de la corriente en términos del voltaje de Hall en la ecuación deducida para el solenoide a partir de la ley de Biot-Savart. 5

6 4. Grafique los datos obtenidos en la Tabla anterior para observar la tendencia de los mismos. (los datos deben tener la misma tendencia que los de la tabla 2) 5. Con los datos obtenidos en la tabla anterior, y la ecuación planteada al inicio, grafique la curva que se ajusta a los datos obtenidos, comprobando así la Ley de Bio-Savart. Nota: tenga en cuenta el origen del sistema de coordenadas. 6. Repita los pasos desde el inciso tres para las configuraciones de la bobina de Helmholtz y la tabla 3. Nota: Utilice la ley de Biot-Savart de acuerdo a la forma en que está configurada la Bobina de Helmholtz. B(z) = µ 0 nir 2 z 2 2(R 2 + x 2 ) 3/2, origen : x = R z Hay dos formas de conectar las bobinas: En Serie (Configuración Helmholtz) y En Paralelo (Configuración Anti-Helmholtz) Bibliografía Feyman. (1964). Lectures on Physics (Vol. 2). New York: Addison-Wesley. MIT. (Spring de 2006). MIT Open CourseWare. Recuperado el January de 2012, de Purcell, E. M. (1985). Electricity and Magnetism (2nd ed.). USA: McGraw-Hill. Wangness, R. K. (2001). Electromagnetic Fields (1th ed.). (J. R. Encinas, Trad.) Mexico: Limusa. 6

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