ESTUDIO DE UN MODELO NO LINEAL EL CASO DEL PÉNDULO SIMPLE II. OBJETIVOS. Al finalizar esta práctica, el alumno será capaz de:

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1 ESTUDIO DE UN MODELO NO LINEAL EL CASO DEL PÉNDULO SIMPLE II Abraham Vilchis Uribe. OBJETIVOS. Al finalizar esta práctica, el alumno será capaz de: Encontrar la relación que existe entre la longitud L, y el período T, de un péndulo simple escribiendo su ecuación experimental explícita. Identificar el significado físico de la pendiente, m, y de la ordenada al origen, b, en el modelo linealizado de la relación entre la longitud L, y el período T, de un péndulo simple, escribiendo sus valores experimentales explícitos. Estimar el valor de la aceleración de la gravedad, g, escribiendo su valor experimental explícito. Caracterizar un péndulo simple describiéndolo en términos de los parámetros relevantes. PREGUNTAS PRELABORATORIO 1. Has observado cómo funciona un reloj de péndulo? Describe el funcionamiento brevemente. 2. Cita dos o tres ejemplos de movimientos periódicos que afecten a nuestra vida cotidiana. 3. Qué caracteriza a tales movimientos periódicos? Descríbelo brevemente. 4. A qué se le llama un péndulo simple? Descríbelo brevemente. 1

2 INTRODUCCIÓN Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste de una masa puntual, M, suspendida de una cuerda ideal sin masa e inextensible-, de longitud L. Este sistema masa-cuerda está pivotada en un punto P alrededor del cual puede moverse efectuando un movimiento periódico de vaivén entre los puntos A y B, como lo muestra la figura. El tiempo que tarda la masa en ir del punto A al punto B, y regresar al punto A nuevamente, se le denomina período, T, del péndulo. El período sólo depende de la longitud del péndulo, y describe un ángulo igual a 4 alrededor de la vertical. Al aplicar las ecuaciones de Newton para ángulos pequeños a este modelo ( menor o igual a diez grados), se obtiene la siguiente ecuación para el período en función de la longitud: T 2 L g donde T es el período, L es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad. Puede observarse que éste es un modelo no lineal en las variables T y L, dado que el período depende de la longitud como: T L ; o bien, T (L) 1/2. MATERIAL: 1) Varilla grande con prensa, 2) Varilla chica con nuez, 3) Transportador, 4) Balín con gancho, 5) 4.0 m de hilo, 6) Flexómetro, 7) Cronómetro digital. 2

3 ACTIVIDAD I: Para averiguar la relación que existe entre la longitud, L, y el período, T, de un péndulo simple, sigue las siguientes intrucciones con cuidado. I.1. Predice qué va a suceder con el período del péndulo al disminuir su longitud. Anota tu predicción en la bitácora. I.2. Arma un dispositivo como lo muestra el esquema general mostrado en la figura. La Transportador fijado con la varilla chica y la nuez varilla agrande θ < 10 L M longitud inicial L, medida desde el pivote hasta el centro del balín, debe ser igual a 2.0 m. El ángulo inicial que forma la cuerda con la vertical: 10, siempre debes tomar el mismo ángulo inicial a lo largo del experimento. Prensa Mesa I.3. Mide el período T, es decir, toma el tiempo que tarda el péndulo en dar una oscilación completa cuando la longitud L es igual a dos metros. Para hacer esto: i) Libera el péndulo y empieza a tomar el tiempo a partir de la segunda oscilación, deja que complete diez oscilaciones y detén el cronómetro. ii) Divide entonces el tiempo total entre diez, y así obtendrás el período T con una mayor precisión. PRECAUCIÓN: recuerda cuál es la incertidumbre del cronómetro y qué sucede cuando divides una cantidad con incertiumbre por un número real. I.4. Repite el paso tres diminuyendo la longitud de 0.15 m en 0.15 m. La medición de la longitud es crítica pues es la variable independiente asegúrate de medirla correctamente-, recuerda que se mide desde el pivote hasta el centro del balín. También 3

4 asegúrate de que el ángulo siempre sea el mismo, menor o igual a 10. En tu bitácora realiza una tabla de longitud, L, contra período, T, que tenga, al menos, once puntos. No olvides el formato estándar para una tabla. # \ cantidad L, ± , m T, ± 0.02, s ACTIVIDAD II: Para analizar la relación que existe entre la longitud L, y el período T, de un péndulo simple mediante el método de los mínimos cuadrados, e identificar el significado físico de la pendiente, m, y de la ordenada al origen, b, realiza las siguientes actividades y la discusión propuesta. II.1. Predice qué tipo de gráfica vas a obtener si graficas L vs T; L como variable independiente y T como variable dependiente. Dibújala en la bitácora. II.2. Realiza ahora la gráfica del paso anterior. Se cumplió tu predicción? Explica. Sugerencia: para graficar utiliza una hoja de Excel. Precaución: cuando vacíes los datos asegúrate de ordenarlos empezando por el más bajo y finalizando con el más alto. II.3. Predice qué tipo de gráfica vas a obtener si graficas Ln(L) vs Ln(T); Ln(L) como variable independiente y Ln(T) como variable dependiente. Dibújala en la bitácora. II.4. Grafica estos datos modificados en una hoja de Excel. Se cumplió tu predicción? Explica en extenso en tu bitácora. DISCUSIÓN: Como pudiste observar, la relación entre la longitud y el período es proporcional, pero no es lineal, tal como se propuso en la introducción. Sin embargo, la relación entre Ln(L) y Ln(T) sí muestra una tendencia lineal. Realiza ahora el siguiente análisis. (Sugerencia: revisa el Apéndice I) D.1. De la tabla obtenida en I.4 toma diez datos y calcula el logritmo natural de cada uno de ellos y realiza entonces una tabla de Ln(L) vs LN(T). 4

5 D.2. Ajusta los datos de Ln(T) vs Ln(L), y obtén la pendiente y la ordenada al origen con sus desviaciones estándar y sus unidades adecuadas. Anota los valores en tu bitácora. Sugerencia: consulta el Apéndice II, utiliza una hoja de Excel o un paquete similar. D.3. Con los resultados anteriores escribe en tu bitácora la ecuación experimental explícita de la recta. PRECAUCIÓN: Recuerda que ahora las variables incluyen al logaritmo natural. D.4. Cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen de esta recta? Anótalo en tu bitácora. D.5. Obtén la relación entre T y L escribiendo su ecuación experimental explícita. Para hacer esto utiliza los valores obtenidos en el paso D.2. Sugerencia: consulta el Apéndice I y utiliza una hoja de excel. D.6. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad, g. Para hacer esto: D.6.i) Relaciona el modelo teórico con el modelo experimental, es decir, cómo se compara el modelo: T 2 L g con la ecuación obtenida en D.5? D.6.ii) Una vez que has contestado la pregunta anterior, demostrar matemáticamente (NO sustituyendo), que la aceleración de la gravedad puede obtenerse mediante las siguientes operaciones (Pistas, de qué tipo de medición se trata?, ver Apéndice I): g Y Y S Y 0. Donde 0 variable independiente (L) Y 0 S Y0 es el número que multiplica a la D.7. En palabras del equipo, para el período del péndulo en función de la longitud qué tipo de modelo se desprende de tu experimento? Escríbelo y explica en extenso en tu bitácora. 5

6 D.8. Revisa cómo funciona la tu ecuación experimental. Para hacer esto, utiliza el onceavo punto de la tabla obtenida en I.4, y sustituye el valor de la longitud en la ecuación experimental explícita. Es igual o diferente al período medido? EXPLICA. D.9. Caracterización el péndulo. A partir del análisis llevado a cabo y de las observaciones hechas a lo largo del experimento, describe el comportamiento del péndulo simple. Escribe en extenso sus principales características utilizando el lenguaje técnico apropiado. BIBLIOGRAFÍA 1. Baird, D. C. Experimentation. New Jersey. Prentice-Hall Holman, Jack P. Métodos experimentales para ingenieros. México. McGraw-Hill Young, H. D. University Physics. Reading Massachusetts. Addison-Wesley Publishing Company PREGUNTAS POST-LABORATORIO: 1. Cómo efectuaste la linealización para analizar los datos experimentales? Explica en extenso. 2. De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen del modelo linealizado? 3. De acuerdo con los resultados del experimento y los diferentes análisis de los mismos: qué tipo de relación existe entre el período y la longitud del péndulo? Explica en extenso. a) Senoidal del tipo: y = Aseno(mx +) b) Exponencial del tipo: y = ke mx c) De potencia del tipo: y = kx m d) Lineal del tipo: y = mx + b 4. De acuerdo con el análisis efectuado: cuál es el valor de la aceleración de la gravedad, g? Este valor es coherente? Es lógico? Explica en extenso. 5. Cuáles son las características más sobreslientes que observaste en el comportamiento del péndulo simple? Explica en extenso. 6

7 Apéndice I: LINEALIZACIÓN DE MODELOS DE POTENCIA Para analizar modelos que se relacionan vía FUNCIONES DE POTENCIA, por el método de los mínimos cuadrados, es preciso realizar un cambio de variable a fin de «linealizar la función», esto se logra aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad partiendo de la ecuación: Y = Y0X m. Sigue los siguientes pasos : 1. Calcula el logaritmo natural de TODOS los datos del período, Ln[T]. 2. Calcula el logaritmo natural de TODOS los datos de la longitud, Ln[L]. 3. Haz una tabla los datos de logaritmo de la longitud, Ln[L], contra los datos de logaritmo del período, Ln[T], y grafícalos. Recuerda que, Ln[L], va en el eje x, y, Ln[T], va en el eje y. PRECAUCIÓN: observa que estos datos deben graficar en una recta; de no ser así, es muy recomendable revisar los datos experimentales. 4. Una vez que ya obtuviste una recta, calcula su pendiente, m, y su ordenada al origen, b, con sus desviaciones estándar. (Sugerencia, ver Apéndice II) 5. A partir de estas cantidades obtén la ecuación del período en función de la longitud. Para hacer esto, sustituye los valores de m y de b, en las ecuaciones 1: Y (Y 0 s Y0 )X (m s ) m ;con Y en u, y X en u Donde : Y 0 e b Ec. 1 s Y0 (e b )s b IMPORTANTE: nota que aquí: Y = T, el período en segundos. X = L, la longitud en metros m = la pendiente calculada en el paso tres, es decir, tienes un valor promedio con su desviación estándar; que son adimensionales. b = la ordenada al origen calculada en el paso tres, es decir, tienes un valor promedio con su desviación estándar; que son adimensionales. Por ejemplo, la ecuación del modelo de potencia en su formato estándar sería: T = (2.006 ± 0.002) L (0.501 ± 0.002) ; donde T está en s y L está en m. 7

8 APÉNDICE II: El método de los mínimos cuadrados Para ajustar datos experimentales que poseen una tendencia lineal, es decir, que pertenecerían a una recta, se utiliza el método de los mínimos cuadrados. El criterio bajo el cual opera establece que: se ajustan los datos de tal manera que la mejor recta pasa a una distancia mínima de cualquiera de los puntos experimentales al cuadrado. Al aplicar este criterio, se obtienen los parámetros de la mejor recta, de la siguiente manera: m n x iy i x i n x 2 i x i 2 y i S m S y n 2 n x i 2 x i b 2 x i y i x i n x i 2 x i x i y i 2 S b S y x i 2 2 n x i 2 x i donde: S y y i m x i b 2 n - 2 Utilizando los valores medidos de la variable dependiente, yi; y los valores de la variable independiente, xi; así como el número de datos, n, estas ecuaciones nos proporcionan la pendiente promedio, m ; su desviación estándar, Sm. La ordenada al origen promedio, b ; y su desviación estándar, Sb, con un nivel de confianza del 68 % si se reporta una desviación estándar. En estos cálculos se presume uns distribución normal. Una vez que tenemos los parámetros del modelo, escribimos la ecuación explícita con su formato estándar, con un 68 % de probabilidad: VD = (pendiente) VI + ordenada al origen y = ( m ± Sm) x + ( b ± Sb); Donde y está medida en las unidades u, y x está medida en las unidades u. Por ejemplo, para una caída libre: v = (9.79 ± 0.02) t + (0.011 ± 0.005); donde v está en m/s, y t está en s. 8