Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio

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1 Física I. Curso 2010/11 Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Domínguez y Jesús Ovejero Sánchez Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio Índice 1. Introducción 3 2. Movimiento oscilatorio Cinemática del movimiento armónico simple Dinámica del movimiento armónico simple Energía de un oscilador armónico simple Ejemplos de movimiento armónico simple Péndulo simple Péndulo físico Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas y resonancias Movimiento ondulatorio Conceptos básicos y tipos de ondas Pulsos unidimensionales Ondas armónicas Problemas 22

2 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 2

3 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 3 1. Introducción Los principales objetivos de los capítulos dedicados a la Mecánica Clásica fueron cómo predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posición) y las fuerzas que actúan sobre él. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento periódico u oscilatorio. En Física, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de ahí la importancia de su estudio: los latidos del corazón el movimiento del péndulo de un reloj la vibración de las moléculas de un sólido alrededor de sus posiciones de equilibrio la corriente eléctrica que circula por el filamento de una bombilla las vibraciones de las cuerdas de un violín. El movimiento oscilatorio está intrínsecamente relacionado con los fenómenos ondulatorios. Cuando vibra la cuerda de un violín se producen oscilaciones de las moléculas del aire que lo rodea y, por el contacto o interacción entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el espacio en forma de onda. El ejemplo más sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento armónico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energía mecánica. Además de ser el tipo de movimiento oscilatorio más fácil de describir matemáticamente, constituye una buena aproximación a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza. 2. Movimiento oscilatorio 2.1. Cinemática del movimiento armónico simple Se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento respecto a su posición de equilibrio varía con el tiempo de

4 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 4 acuerdo con la relación 1 : x(t) = A cos(ωt + δ), donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2. La representación gráfica de x = x(t) tiene esta forma: x ωt= π/2 ωt=2 π A ωt= π ωt=3 π/2 t T Conceptos básicos en la descripción de este tipo de movimiento son los siguientes: A: Amplitud máximo desplazamiento de la partícula (negativo o positivo) respecto de su posición de equilibrio. δ: Desfase inicial junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del movimiento. Se determina, como veremos más adelante, a partir de la posición y velocidad iniciales. ωt + δ: Fase. T : Periodo. Es el tiempo que necesita la partícula para realizar un ciclo completo de su movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π. ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π ωt = 2π ω = 2π T ó T = 2π ω. ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s). f = 1/T : Frecuencia número de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la partícula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s ó herzios (Hz). 1 Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son periódicas: sen(x+2nπ) = sen x; cos(x+2nπ) = cos x. Por lo que, como veremos más adelante está función para x(t) representa un movimiento periódico en el tiempo. 2 Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente según x(t) = A sen(ωt + δ + π/2) A sen(ωt + δ ).

5 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 5 x(t) δ=0 t v(t) -A -ωa a(t) t -ω 2 A t La velocidad y la aceleración de una partícula que realiza un MAS se obtienen sin más que derivar su posición en función del tiempo: v(t) = dx dt = ωa sen(ωt + δ) (1) a(t) = dv dt = ω2 A cos(ωt + δ) = ω 2 x(t). (2) v(t) y a(t) son también funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente amplitud y desfase: x x max = A Amplitudes : v v max = ωa a a max = ω 2 A { x v π/2 Desfases : x a π

6 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 6 La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones iniciales del siguiente modo: x(t) = A cos(ωt + δ) x(t = 0) x 0 = A cos δ v(t) = Aω sen(ωt + δ) v(t = 0) v 0 = Aω sen δ. Dividiendo ambas ecuaciones: v 0 = ω tan δ x 0 tan δ = v ( 0 = δ = arctan v ) 0. ωx 0 ωx 0 (3) Por otra parte: Elevando al cuadrado y sumando: x 0 A v 0 Aω = cos δ = sen δ ( ) x 2 1/2 0 A + v2 0 2 A 2 ω = 1 2 A2 = x v2 0 = A = x 2 ω v2 0. (4) ω 2 Para concluir este apartado resumiremos las propiedades más importantes de la cinemática del MAS: 1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y desfasadas entre sí. 2. La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto. 3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud Dinámica del movimiento armónico simple Ahora que ya sabemos cómo describir el movimiento armónico simple, investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema físico más sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio el muelle ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongación pero con signo opuesto a ella y que viene dada por la ley de Hooke, f = kx,

7 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 7 donde k es una constante que depende de las características del muelle. Despejando la aceleración (f = ma): a = k m x. Luego al igual que en el MAS, la aceleración es proporcional en módulo al desplazamiento y de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la ecuación de movimiento, d 2 x dt 2 = k m x. Es fácil comprobar que la solución de esta ecuación puede escribirse: En efecto: x(t) = A cos(ωt + δ) donde ω = dx dt = Aω sen(ωt + δ) ( ) 1/2 k. m d 2 x = Aω 2 cos(ωt + δ) dt 2 Aω 2 cos(ωt + δ) = k m A cos(ωt + δ) = debe ser ω2 = k m. Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partícula actúe una fuerza proporcional a su desplazamiento y en sentido opuesto a éste, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del desplazamiento son: T = 2π ( m ω = 2π k f = 1 T = 1 ( k 2π m T y f sólo dependen de la masa y de la construcción del resorte. La frecuencia es mayor para un resorte duro y al contrario. ) 1/2 ) 1/ Energía de un oscilador armónico simple En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su energía potencial viene dada por: La energía total del sistema será: U(x) = 1 2 kx2. E = E c + U = 1 2 mv kx2.

8 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 8 Por el principio de conservación de la energía, E debe ser una constante del movimiento (si despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir el punto más cómodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongación es máxima y la velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria: x = A cos(ωt + δ) x = A v = Aω sen(ωt + δ) v = 0. U(t) E=cte. E (t) c t En ese punto: E = 1 2 ka2. Esta es la energía de un MAS. Como vemos sólo depende de la amplitud del movimiento y de la constante del muelle. Como la energía mecánica es constante es instructivo representar cómo se compensan E c y U en un diagrama de energías frente al tiempo (en la figura se ha elegido δ = 0). U = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + δ) E c = 1 2 mω2 A 2 sen 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 sen 2 (ωt + δ). La energía cinética también se puede expresar en términos de la posición: E c = E 1 2 kx2 = 1 2 k(a2 x 2 ), que es la ecuación de una parábola invertida y centrada en x = 0. E c = 1 2 mv2 = 1 [ ] 1/2 k 2 k(a2 x 2 ) v = m (A2 x 2 ). De esta ecuación se deduce inmediatamente que la velocidad es máxima en x = 0 y que se anula en los puntos de máxima elongación: x = ±A.

9 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 9 E U(x) E (x) c -A x A 2.4. Ejemplos de movimiento armónico simple Péndulo simple El péndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, l, inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a una posición fija. Demostraremos que el péndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente de su posición vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay rozamientos. θ l T m s θ P La fuerza en la dirección tangente al movimiento viene dada por: f t = mg sen θ = m d2 s dt 2 d 2 s dt = θ 2 ld2 = g sen θ dt2

10 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 10 = d2 θ dt = g sen θ. 2 l Si θ es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación, sen θ θ. Esto se debe a que haciendo un desarrollo en serie de la función sen x, y cortándolo en el primer término, la diferencia entre x y sen x sólo es de un 1 % cuando θ 15 o. Luego si el péndulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuación de movimiento angular es la de un MAS: θ = θ max cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son: ( g ω = l ) 1/2 ; T = 2π ω = 2π ( ) 1/2 l. g Ambos parámetros sólo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los péndulos de igual longitud oscilarán del mismo modo. El péndulo simple suele utilizarse en la práctica para gran cantidad de aplicaciones que se podrían dividir en dos bloques: medir tiempos su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de l por las condiciones termodinámicas ó de g por la latitud o altitud) y es fácil visualizar el número de oscilaciones. medir g las medidas de g con este método son bastante precisas, lo que es importante porque cambios locales de g pueden dar información valiosa sobre la localización de recursos minerales o energéticos Péndulo físico Cualquier sólido rígido colgado de algún punto que no sea su centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de péndulo físico o compuesto. El momento del peso respecto al eje de giro será τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton para la rotación se expresará, τ = Iα = I d2 φ dt 2. El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ángulo φ por lo que: mgh sen φ = I d2 φ dt 2 d 2 φ dt 2 = mgh I sen φ.

11 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 11 Para un péndulo simple, I = ml 2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado anterior. Cuando los desplazamientos angulares son pequeños sen φ φ y d 2 φ dt 2 = mgh φ = ω 2 φ donde ω = I ( mgh I ) 1/2 ( ) 1/2 I y T = 2π. mgh Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de sólidos rígidos. eje de giro z φ h h sen φ m, I c.m. P 2.5. Movimiento armónico amortiguado Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acción de una fuerza lineal opuesta al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre están presentes fuerzas disipativas que hacen que la energía mecánica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el movimiento armónico está amortiguado. Un tipo habitual de fuerzas de fricción son las proporcionales a la velocidad f r = bv. La ecuación de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento sería: m d2 x dt 2 = kx bv. Un ejemplo físico de esta situación sería un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la ecuación diferencial anterior se puede obtener que su solución es de la forma, x(t) = Ae b 2m t cos(ωt + δ),

12 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 12 donde la frecuencia viene dada por: ω = [ k m ( ) ] 2 1/2 b. 2m Evidentemente en el límite b = 0 se recupera la solución de un MAS. Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, además, el factor exponencial hace que la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeño la ecuación anterior da como solución una función de la siguiente forma: x A Ae -(b/2m) t x(t) t Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matemáticamente se produce cuando (b/2m) 2 < k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m) 2 > k/m], ni siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la solución matemática es: x x(t) = e b 2m t ( Ae ωt + Be ωt) crítico sobreamortiguado t

13 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 13 Existe además el caso especial en que (b/2m) 2 = k/m. En esta situación, además de no haber oscilaciones la caída de la amplitud es más rápida que en el caso sobreamortiguado. Se dice que el amortiguamiento es crítico. Matemáticamente la solución es de la forma: k x(t) = e ωt (A + Bt) con ω = m Oscilaciones forzadas y resonancias Es posible compensar la perdida de energía de un oscilador amortiguado aplicando una fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un niño en un columpio para mantenerse en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso más común las fuerzas aplicadas son periódicas, por ejemplo de la forma, La ecuación de movimiento ahora será: m d2 x dt 2 f = f 0 cos ω 0 t. = f 0 cos ω 0 t b dx dt kx. La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La transitoria es análoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solución de la ecuación es estacionaria, ya no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir así, x(t) = A cos(ω 0 t δ), donde ω = (k/m) 1/2, ω 0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y: f 0 A = [m 2 (ω0 2 ω 2 ) 2 + b 2 ω 2 ] 1/2 tan δ = bω m(ω 2 0 ω 2 ) Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es fija y variamos la externa, se obtiene una figura así para la amplitud A:

14 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 14 A A máx =f 0/bω 0 ω = ω 0 ω 0 El drástico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω 0 se denomina resonancia. Físicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del oscilador están en fase. Entonces como P = f. v, la potencia transferida es máxima. Ejemplos de situaciones con resonancia son los siguientes: Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para repetir los impulsos con esa frecuencia. Cuando un pelotón de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente. Un vaso se puede romper si se emite cerca de él un sonido de frecuencia parecida a su frecuencia de resonancia. Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibración similar a la de su resonancia. Sintonizar un aparato de radio o TV no es más que buscar la frecuencia con que emite la fuente para que coincida en resonancia con la del circuito eléctrico del receptor. 3. Movimiento ondulatorio 3.1. Conceptos básicos y tipos de ondas El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energía y cantidad de movimiento de una región a otra del espacio sin que tenga lugar ningún transporte neto de

15 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 15 materia. En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas en dos grandes grupos: Ondas mecánicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbación en el espacio que se propaga a través de un medio material debido a sus propiedades elásticas. Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las moléculas de aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en una cuerda, ondas sísmicas, etc. Ondas electromagnéticas: Estas ondas no necesitan de ningún medio material para propagarse. Pueden hacerlo en el vacío. La energía y el momento son transportados por campos eléctricos y magnéticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisión, las ondas de telefonía móvil, los rayos X, etc. Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay otro tipo de ondas (que estudiaremos más adelante con detalle) que se denominan estacionarias y que están confinadas en una determinada región del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la región entre los extremos de la cuerda. Para una onda estacionaria, la energía que lleva asociada permanece acotada en una cierta región del espacio. Cuando una onda se propaga a través de un medio, las partículas de éste no acompañan su movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento de una onda hemos de distinguir dos aspectos: el movimiento de la onda a través del medio el movimiento oscilatorio de las propias partículas del medio.

16 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 16 y propagación x y oscilación x y x Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relación entre la dirección de propagación y la dirección en que vibran las partículas del medio. Ondas transversales son aquellas en que las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejemplos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba y abajo uno de sus extremos. 3 Ondas longitudinales son aquellas en que las partículas oscilan en la misma dirección en que se propaga la onda. 3 Las ondas electromagnéticas también son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna vibración de las partículas del medio, sino que son los propios campos eléctrico y magnético los que vibran perpendicularmente entre sí y a la dirección de propagación.

17 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 17 propagación oscilación Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un muelle situado horizontalmente. La compresión entre las espiras del muelle, se transmite a través de él debido a sus propiedades elásticas y pinzamiento y dirección de propagación coinciden. Las ondas sonoras también son ondas longitudinales. Se pueden entender como perturbaciones de la posición de las partículas del medio (aire) que se propagan por las interacciones entre unas y otras. En este tema nos ocuparemos únicamente de ondas mecánicas. Estas ondas requieren tres elementos básicos: a) Alguna fuente que produzca la perturbación. b) Un medio que se pueda perturbar. c) Un mecanismo físico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar la perturbación. Conceptos básicos en cualquier tipo de ondas: Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante están a la misma distancia de su posición de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que vibran del mismo modo). Frecuencia: número de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbación. Velocidad de propagación: velocidad con que se transmite la perturbación. Amplitud: máxima separación de un punto respecto a su posición de equilibrio.

18 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio Pulsos unidimensionales Un pulso es una onda de extensión relativamente corta, interesante desde el punto de vista teórico porque permite visualizar el comportamiento genérico de cualquier onda. Matemáticamente, un pulso se puede representar como una cierta función, y = f(x), que se mueve con una cierta velocidad. Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de tiempo. propagación Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial, la curva f(x) se moverá con la velocidad de propagación del pulso, v. Es decir, matemáticamente un pulso que se desplaza hacia la derecha será una función: y = f(x vt), y si se mueve hacia la izquierda: y = f(x + vt). La forma funcional f(x ± vt) se denomina función de ondas. De otro modo: y = y(x, t) = f(x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con que vibran las partículas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar velocidad de fase y se obtiene como: v = dx dt.

19 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 19 t = 0 t y=f(x) y y vt y' y=f(x')=f(x-vt) O x O x O' x' x' 3.3. Ondas armónicas Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier instante de tiempo es una función senoidal y además se propaga con una cierta velocidad. Este tipo de onda, que tiene como origen una perturbación de tipo armónico simple, se denomina onda armónica. En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como: ( ) 2π y = A sen λ x. Amplitud: Máximo desplazamiento respecto a la posición de equilibrio Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos adyacentes con la misma fase. porque: y(x) = y(x + nλ), n = 1, 2, 3,... [ ] ( ) 2π 2πx y(x + nλ) = A sen (x + nλ) = A sen λ λ + 2nπ = y(x). Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la función de onda será: Si la onda viaja hacia la izquierda, sería: [ ] 2π y(x, t) = A sen (x vt). λ y(x, t) = A sen [ ] 2π (x + vt). λ

20 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 20 Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina periodo: v = λ T. y λ t = 0 A x y t=0 t t vt x Luego una manera alternativa de expresar la función de ondas es: [ ( x y(x, t) = A sen 2π λ t )] T Esta función muestra el carácter periódico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ.... Y para cualquier posición dada, x, y toma el mismo valor en los instantes: t, t + 2T, t + 3T,... Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal T. Matemáticamente: y(x, t) = y(x + nλ, t) λ periodicidad espacial y(x, t) = y(x, t + nt ) T periodicidad temporal

21 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 21 Otras definiciones usuales son las siguientes: k 2π λ ω 2π T f 1 T número de onda (1/m) frecuencia angular (rad/s) frecuencia (1/s=Hz) (herzio) En términos de algunos de estos parámetros: y la velocidad se puede expresar: y(x, t) = A sen(kx ωt), v = ω k v = λf. Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x = 0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqué suceder. Para ello matemáticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma más general de la función de ondas es: y(x, t) = A sen(kx ωt δ). El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales. La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite la onda y su aceleración, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo: v y = y ) = ωa cos(kx ωt) t x=cte ) a y = 2 y = ω 2 A sen(kx ωt). t 2 Los valores máximos son: x=cte v y,max = ωa a y,max = ω 2 A.

22 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio Problemas 1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de N/m, encuéntrese el periodo y la frecuencia de vibración cuando el automóvil pasa por un bache llevando en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg. (Respuestas: T = 0,85 s; f = 1,18 Hz ) 2. Una partícula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo efectúa media vibración. Calcúlense: a) La ecuación que rige el movimiento. b) La fuerza que lo produce. c) Los valores de la elongación para los que será máxima la velocidad. d) Los valores de la elongación para los que será nula la aceleración. (Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt; b) f = mπ 2 x; c) x(v max ) = 0; d) x(a = 0) = 0) 3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de él se cuelga una masa de 50 g queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte. b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa de 90 g. c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm. (Respuestas: a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J) 4. El péndulo de un reloj de pared está constituido por una varilla homogénea de 1 m de longitud y masa m 1 en cuyo extremo se encuentra un pequeño cilindro macizo y homogéneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calcúlese el radio que debe tener este cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s. (Respuestas: r = 5,11 cm)

23 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio Un anillo de 10 cm de radio está suspendido de una varilla de modo que puede oscilar libremente. Determina su periodo de oscilación. (Respuestas: T = 0,90 s) 6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una báscula de masa 10 kg. El muelle de la báscula tiene una constante elástica de 8 kg/cm. Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calcúlense: a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del movimiento del conjunto cuerpo-plato. (Respuestas: y 2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.)) 7. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia, pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa m y el otro extremo del hilo está atado a un resorte vertical cuyo extremo está fijo en el suelo. Calcula el periodo para pequeñas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g ; k = 1600 N/m. (Respuestas: T = 0,16 s) 8. La función de ondas de una onda armónica que se propaga a través de una cuerda es, y(x, t) = 0,03 sen(2,2x 3,5t) en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, periodo, número de ondas y velocidad de propagación. (Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s; k = 2,2 m 1 ; v = 1,6 m/s) 9. Determina la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud. Se sabe además que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posición de equilibrio. (Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2, t) (S.I.)) 10. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por: y(x) = a b + x 2,

24 Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 24 donde a = 0,12 m 3 y b = 4,0 m 2. a) Representa gráficamente el pulso en ese instante. b) Cuál es su función de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con velocidad de 10 m/s? c) Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x? 0,12 (Respuestas: b) y(x, t) = 4 + (x 10 t) (S.I.); c) y(x, t) = 0, (x + 10 t) (S.I.)) 2