Fundamentos de espectroscopia: Vibraciones

Transcripción

1 Fundamentos de espectroscopia: Vibraciones Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM Agosto de 2017 Vibraciones/JHT 1 / 28

2 Oscilador armónico Movimiento oscilatorio: Una partícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio. Vibraciones/JHT 2 / 28

3 Oscilador armónico Movimiento oscilatorio: Una partícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio. Un cuerpo elástico se deforma cuando se le aplica una fuerza. F aplicada l x deformación longitud de equilibrio Vibraciones/JHT 2 / 28

4 Oscilador armónico Movimiento oscilatorio: Una partícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio. Un cuerpo elástico se deforma cuando se le aplica una fuerza. F aplicada l x deformación longitud de equilibrio Fuerza de restitución: La fuerza con que el material se opone a la deformación. Vibraciones/JHT 2 / 28

5 Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada: F F restitucion = F aplicada Vibraciones/JHT 3 / 28

6 Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada: F F restitucion = F aplicada Ley de Hooke: La magnitud de la fuerza de restitución es proporcional a la deformación Vibraciones/JHT 3 / 28

7 Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada: F F restitucion = F aplicada Ley de Hooke: La magnitud de la fuerza de restitución es proporcional a la deformación Matemáticamente: donde: F = kx, k > 0 k es la constante de rigidez del material x < 0 compresión F > 0 x > 0 extensión F < 0 Vibraciones/JHT 3 / 28

8 Intervalo de validez de la ley de Hooke: F F x deformaciones pequeñas (depende la naturaleza del material, la temperatura,....) Vibraciones/JHT 4 / 28

9 Movimiento armónico simple: l k m O longitud de equilibrio x Vibraciones/JHT 5 / 28

10 Movimiento armónico simple: l k m O A partir de la segunda ley de Newton F = m d2 x dt 2 longitud de equilibrio x y de la ley de Hooke: F = kx se obtiene m d2 x dt = kx 2 Vibraciones/JHT 5 / 28

11 Por lo tanto: m d2 x dt 2 + kx = 0 donde d 2 x dt 2 + ω2 x = 0 (1) ω 2 = k m ω: Frecuencia circular La solución de (1) (o sus formas equivalentes anteriores) describe el movimiento armónico simple. Vibraciones/JHT 6 / 28

12 Las soluciones de (1) son de la forma x(t) = Asen(ωt + φ) (2) A: Amplitud φ: ángulo de fase Vibraciones/JHT 7 / 28

13 Las soluciones de (1) son de la forma x(t) = Asen(ωt + φ) (2) A: Amplitud φ: ángulo de fase {A,φ} son las constantes de integración de la solución general de (1) = Demuestra que (2) es solución de (1) Vibraciones/JHT 7 / 28

14 Resumen: Cinemática del oscilador armónico posición: x(t) = Asen(ωt + φ) velocidad: v(t) = Aω cos(ωt + φ) aceleración: a(t) = Aω 2 sen(ωt + φ) Vibraciones/JHT 8 / 28

15 φ x(t) = Asen(ωt + φ) A A τ t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t v(t) = Aωcos(ωt + φ) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t a(t) = Aω 2 sen(ωt + φ) (a x) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t Vibraciones/JHT 9 / 28

16 Definiciones: Periodo: τ = 2π ω Frecuencia: ν = 1 τ = ω 2π = 1 2π k m Vibraciones/JHT 10 / 28

17 Energía mecánica del oscilador armónico Energía cinética: T = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 ω 2 cos 2 (ωt + φ) (4) Vibraciones/JHT 11 / 28

18 Energía mecánica del oscilador armónico Energía cinética: T = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 ω 2 cos 2 (ωt + φ) (4) Energía potencial: La fuerza del oscilador armónico es conservativa: V (x) tal que dv (x) F(x) = dx Por lo tanto: V (x) = F(x)dx = Vibraciones/JHT 11 / 28 kxdx = kx2 2 + c

19 Al hacerv(0) = 0 se obtiene: c = 0 Por lo tanto: V (x) = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 sen 2 (ωt + φ) (5) Vibraciones/JHT 12 / 28

20 Al hacerv(0) = 0 se obtiene: c = 0 Por lo tanto: V (x) = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 sen 2 (ωt + φ) (5) Energía mecánica: E = T + V Ejercicio: Utiliza (4) y (5) para obtener: E = 1 2 ka2 (6) Es decir,e es constante en el tiempo Vibraciones/JHT 12 / 28

21 Gráficamente: E=T+V V T energía t Vibraciones/JHT 13 / 28

22 Movimiento armónico simple vs movimiento circular R r(t) = Rcosωtı + Rsenωtj F(t) = ω 2 r(t) F y y sombra ω y Movimiento armónico: y = Rsenωt, φ = 0 luz placa Vibraciones/JHT 14 / 28

23 Oscilador armónico Observación experimental: En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente en el tiempo La fricción afecta el movimiento Vibraciones/JHT 15 / 28

24 Oscilador armónico Observación experimental: En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente en el tiempo La fricción afecta el movimiento Ejemplo: Aproximación: La fuerza de fricción es proporcional a la velocidad: líquido F fric v Funciona bien a velocidades pequeñas Vibraciones/JHT 15 / 28

25 Ejemplo: Ley de Stokes: F fric = 6πηrv η: viscosidad r: radio de la esfera v velocidad Esfera en un fluido viscoso η constante, fluido Newtoniano En contraste, en la salsa catsup:η fuerza Vibraciones/JHT 16 / 28

26 Segunda ley de Newton para una partícula sujeta a la acción de una fuerza armónica y a una de amortiguamiento lineal m d2 x = kx λdx dt2 dt Vibraciones/JHT 17 / 28

27 Segunda ley de Newton para una partícula sujeta a la acción de una fuerza armónica y a una de amortiguamiento lineal m d2 x = kx λdx dt2 dt Al reordenar: donde d 2 x dt 2 + 2γdx dt + ω2 x = 0 (7) ω 2 = k/m 2γ = λ/m Ecuación diferencial homogenea de coeficientes constantes Vibraciones/JHT 17 / 28

28 Ejercicio Verifica que la ecuación característica r 2 + 2γr + ω 2 = 0 tiene por raíces: r 1 = γ + γ 2 ω 2 r 2 = γ γ 2 ω 2 Vibraciones/JHT 18 / 28

29 Ejercicio Verifica que la ecuación característica r 2 + 2γr + ω 2 = 0 tiene por raíces: r 1 = γ + γ 2 ω 2 r 2 = γ γ 2 ω 2 Analizar las situaciones posibles: subamortiguamiento: γ < ω. amortiguamiento crítico: γ = ω. sobreamortiguamiento: γ > ω. Vibraciones/JHT 18 / 28

30 Resumen: x sobreamortiguado amortiguamiento crítico t subamortiguado Vibraciones/JHT 19 / 28

31 Oscilador armónico Considerar ahora un oscilador armónico amortiguado sujeto a una fuerza externaf ext : k m ω 2 0 = k/m F ext x Frecuencia natural del sistema masa-resorte Vibraciones/JHT 20 / 28

32 Oscilador armónico Considerar ahora un oscilador armónico amortiguado sujeto a una fuerza externaf ext : k Segunda ley de Newton: m d2 x = kx λdx dt2 dt + F ext m ω 2 0 = k/m F ext x Frecuencia natural del sistema masa-resorte Vibraciones/JHT 20 / 28

33 Oscilador armónico Considerar ahora un oscilador armónico amortiguado sujeto a una fuerza externaf ext : k m Segunda ley de Newton: m d2 x = kx λdx dt2 dt + F ext En el caso: F ext = F 0 cosω f t fuerza externa periódica con frecuencia circularω f ω 2 0 = k/m F ext x Frecuencia natural del sistema masa-resorte Vibraciones/JHT 20 / 28

34 Oscilador armónico Considerar ahora un oscilador armónico amortiguado sujeto a una fuerza externaf ext : k m Segunda ley de Newton: m d2 x = kx λdx dt2 dt + F ext En el caso: F ext = F 0 cosω f t fuerza externa periódica con frecuencia circularω f ω 2 0 = k/m F ext x Se tiene m d2 x + kx + λdx dt2 dt = F 0cosω f t (11) Frecuencia natural del sistema masa-resorte Vibraciones/JHT 20 / 28

35 Oscilador armónico Considerar ahora un oscilador armónico amortiguado sujeto a una fuerza externaf ext : k m Segunda ley de Newton: m d2 x = kx λdx dt2 dt + F ext En el caso: F ext = F 0 cosω f t fuerza externa periódica con frecuencia circularω f ω 2 0 = k/m F ext x Se tiene m d2 x + kx + λdx dt2 dt = F 0cosω f t (11) Frecuencia natural del sistema masa-resorte Ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes Vibraciones/JHT 20 / 28

36 Solución de la forma x(t) = x amort (t) + x f (t) donde x amort (t): solución de la ecuación de movimiento amortiguado x f (t): solución particular del movimiento Vibraciones/JHT 21 / 28

37 Solución de la forma x(t) = x amort (t) + x f (t) donde x amort (t): solución de la ecuación de movimiento amortiguado x f (t): solución particular del movimiento Mediante el método de los multiplicadores indeterminados: x f (t) = c 1 cosω f t + c 2 senω f t (12) Vibraciones/JHT 21 / 28

38 Gráficamente: x x amort (t)+x f (t) x f (t) t El sistema amortiguado se mantiene en movimiento si se le suministra energía Vibraciones/JHT 22 / 28

39 Gráficamente: x x amort (t)+x f (t) x f (t) t El sistema amortiguado se mantiene en movimiento si se le suministra energía Dado que entonces lím x amort(t) = 0 t lím x(t) = x f(t) t Vibraciones/JHT 22 / 28

40 Ejercicio: Obtener los valores dec 1 yc 2 dex f (t), ec.(12): c 1 = c 2 = F 0 (k ω 2 f m) (k ω 2 f m)2 + ω 2 f λ2 (13) F 0 ω f λ (k ω 2 f m)2 + ω 2 f λ2 (14) Vibraciones/JHT 23 / 28

41 Al sustituir (13) y (14) en (12): x f (t) = F 0 (k ωf 2m)2 + ωf 2λ2 [ ] (k ω 2 f m)cosω ft + ω f λsenω f t Además, el término entre corchetes es [ ] = asen(ω f t + α) donde a = (k ω 2 f m)2 + ω 2 f λ2 Vibraciones/JHT 24 / 28

42 Por lo tanto, la solución particular de (11) es: x f (t) = Asen(ω f t + α) (19) donde α = arctan k ω2 f m ω f λ = arctan (ω2 0 ω2 f )m λω f (20) y A(ω f ) = F 0 (k/m ω 2f )2 m 2 + ω 2f λ2 (21) ω 0 es la frecuencia natural (frecuencia de resonancia) del oscilador. Vibraciones/JHT 25 / 28

43 A(ω) λ 1 λ 2 λ 3 λ 3 >λ 2 >λ 1 =0 ω 0 ω f Vibraciones/JHT 26 / 28

44 A(ω) λ 1 λ 2 λ 3 λ 3 >λ 2 >λ 1 =0 ω 0 ω f A(ω f ) = F 0 (ω 2 0 ω2 f )2 m 2 + ω 2 f λ2 A max enω f = ω 2 0 2γ2 Vibraciones/JHT 26 / 28

45 A(ω) λ 1 λ 2 λ 3 λ 3 >λ 2 >λ 1 =0 }{{} A max ω 0 ω f A(ω f ) = F 0 (ω 2 0 ω2 f )2 m 2 + ω 2 f λ2 A max enω f = ω 2 0 2γ2 Vibraciones/JHT 26 / 28

46 A(ω) λ 1 λ 2 λ 3 λ 3 >λ 2 >λ 1 =0 }{{} A max ω 0 A es grande cuando ω f ω 0 (resonancia) ω f A(ω f ) = F 0 (ω 2 0 ω2 f )2 m 2 + ω 2 f λ2 A max enω f = ω 2 0 2γ2 Vibraciones/JHT 26 / 28

47 Observaciones: La velocidad máxima del oscilador es v max = ω f A = F 0 (ω 2 0 ω2 f ω f ) 2m2 + λ 2 Vibraciones/JHT 27 / 28

48 Observaciones: La velocidad máxima del oscilador es v max = ω f A = F 0 (ω 2 0 ω2 f ω f ) 2m2 + λ 2 Cuandoω f = ω 0 la velocidad y la energía cinética son máximos cuandoλ = 0. Vibraciones/JHT 27 / 28

49 Observaciones: La velocidad máxima del oscilador es v max = ω f A = F 0 (ω 2 0 ω2 f ω f ) 2m2 + λ 2 Cuandoω f = ω 0 la velocidad y la energía cinética son máximos cuandoλ = 0. La gran amplitud en la frecuencia de resonancia se debe a la favorable transferencia de energía hacia el oscilador cuando F ext está en fase con él. Vibraciones/JHT 27 / 28

50 Ejemplos: El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada. Vibraciones/JHT 28 / 28

51 Ejemplos: El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada. Las ondas captadas por el sintonizador de un radio. Vibraciones/JHT 28 / 28

52 Ejemplos: El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada. Las ondas captadas por el sintonizador de un radio. Un cantante que destruye una copa con su voz. Vibraciones/JHT 28 / 28

53 Ejemplos: El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada. Las ondas captadas por el sintonizador de un radio. Un cantante que destruye una copa con su voz. Espectroscopia atómica y molecular. Vibraciones/JHT 28 / 28