Aplicaciones de ED de segundo orden

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1 CAPÍTULO Aplicaciones de ED de segundo orden..3 Vibraciones forzadas Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de excitación F E sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (véase la siguiente figura): k x 0 c m F E En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por F D F R C F A C F E D kx c dx dt C F E: Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema. Esta ecuación se puede reescribir como m d x dx D kx c dt dt C F E: o bien en la forma: m d x dt C c dx dt C kx D F E: (.1) mx 00.t/ C cx 0.t/ C kx.t/ D F E : 1. canek.azc.uam.mx: 3/ 9/ 010 1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del sistema. Cuando la fuerza de excitación sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado. Hasta este momento la fuerza F E puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectos tendremos que resolver la ecuación diferencial (.1) por cualquiera de los métodos estudiados hasta ahora. Sin embargo, cuando la fuerza F E es del tipo sinusoidal F E D F 0 cos w e t; suelen ocurrir fenómenos físicos de interés. En este caso la ecuación por resolver es La ecuación característica es, entonces: cuyas raíces son mx 00.t/ C cx 0.t/ C kx.t/ D F 0 cos w e t: mr C cr C k D 0; r 1; D c pc mk I m y la solución x.t/ dependerá de la relación que exista entre r 1; y w e. Vibraciones forzadas, caso c 0 Consideremos que la fuerza de excitación es una función sinusoidal del tipo F E D F 0 cos w e t. Claramente, si c 0, ninguna de las dos raíces de la ecuación característica es igual a iw e. Entonces de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, la solución particular es x p.t/ D A sen w e t C B cos w e t: (.) Calculando la primera y segunda derivadas, obtenemos la velocidad y la aceleración de la masa. x 0 p.t/ D v p.t/ D Aw e cos w e t Bw e sen w e ti x 00 p.t/ D a p.t/ D Aw e sen w et Bw e cos w et: Usando estos dos resultados en (.1), la ecuación diferencial de movimiento, se obtiene: mw e ŒA sen w et C B cos w e t C cw e ŒA cos w e t B sen w e t C k ŒA sen w e t C B cos w e t D F 0 cos w e t: Agrupando términos en las funciones cos w e t y sen w e t: [ mw e B C cw e A C kb ] cos w e t C [ mw e A cw eb C ka ] sen w e t D F 0 cos w e t: Las funciones cos w e t y sen w e t son linealmente independientes; entonces, para que se satisfaga la condición anterior, sólo se requiere que { { mwe B C cw ea C kb D F 0 cw e A C ( k mw mwe A cw ) e) B D F0 I ( ) eb C ka D 0 k mw e A cwe B D 0: Aplicando la regla de Cramer encontramos la solución de este sistema: F 0 k mw e 0 cw e cw A D e F 0 cw e F 0 cw e k mwe D ( ) c w k mwe e k mw D ( ) cw e e k mw e C w e c I B D cw e F 0 k mwe 0 cw e k mwe k mwe cw e D ( ) ( ) k mw e F0 k mw ( ) c we k mw D e F0 ( ) e k mw e C w e c :

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 Sustituyendo A y B en (.), obtenemos una expresión para la solución particular: [ ] [ ( ) ] cw e F 0 k mw x p.t/ D ( ) k mw sen w e t C e F0 ( ) e C w c k mw e C w c Ÿ Podemos simplificar esta expresión a la forma C sen.w e t C /: Esta igualdad se cumple cuando: De donde se obtiene: A A sen w e t C B cos.w e t/ D x p.t/ D C sen.w e t C / D Ÿ D CŒsen w e t cos C sen cos w e t D D.C cos / sen w e t C.C sen / cos w e t: C cos D A & C sen D B: B cos w e t: (.3) Además C.cos C sen / D A C B ) C D A C B ) C D A C B C sen C cos D B A ) tan D B ( ) B A ) D arctan : A [ ] C D A C B cw e F [ 0.k mwe D C /F ] 0 D.k mwe / C we c.k mwe / C we c & c we D F 0 Œ.k mwe / C we c C.k mwe / F0 Œ.k mwe / C we c D D F 0 Œ.k mw e / C w e c Œc w e C.k mw e / D D F 0 Œ.k mw e / C we c D Œ.k mwe / C we c F 0.k mw e / C w e c I por lo que por otra parte, por lo cual Se tiene entonces que C D B A D F 0.k mwe / C w D F 0 e c.k mw e / C w I e c.k mw e /F 0.k mwe / C we c D cw e F 0.k mwe / C we c D arctan.k mwe /F 0 D k mw e I cw e F 0 cw e ( ) ( B k mw D arctan e A cw e ) : x p.t/ D.k F 0 mw e / C w e c sen.w et C /I

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias ( k mw ) donde D arctan e. cw e Por lo tanto, la posición instantánea de m, con respecto a la posición de equilibrio, en el tiempo t 0 es x.t/ D x c.t/ C x p.t/i donde la solución complementaria x c.t/ tiene la forma de un movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado o bien subamortiguado. En cualquiera de los casos ocurre que lím x c.t/ D 0. Debido a esto t!1 se tiene: lím x.t/ D lím Œx c.t/ C x p.t/ D lím x p.t/: t!1 t!1 x!1 Esto es, al paso del tiempo sucede que x.t/ D.k F 0 mw e / C w e c sen.w et C /: Ejemplo..1 Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene parámetros m D 1 kg, c D Ns/m & k D 1 N. Si se aplica una fuerza de excitación F E D 17 cos t, determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo suponiendo que x.0/ D 0 m & v.0/ D 0 m/s. H La ED que modela el sistema es que tiene ecuación característica: y cuyas raíces r 1; D d x dt C dx C x D 17 cos t: (.) dt r C r C 1 D 0; 1 son diferentes de iw e D i. Tenemos entonces que la solución complementaria es x c.t/ D c 1 e t C c te t ; y la solución particular, siguiendo el método del coeficientes indeterminados, es del tipo: Derivando x p.t/: x p.t/ D A cos t C B sen t: Sustituyendo en la ED (.), resulta: xp 0.t/ D A sen t C B cos t: xp 00.t/ D A cos t B sen t: A cos t B sen t C. A sen t C B cos t/ C A cos t C B sen t D 17 cos t: Hallamos, entonces: A sen t C B cos t D 17 cos t ) A D 0 & B D 17 : Por lo tanto: La solución general de la ED es x p.t/ D 17 x.t/ D c 1 e t C c te t C 17 sen t: Los coeficientes c 1 & c los determinamos usando las condiciones iniciales. De x.0/ D 0, se obtiene c 1 D 0. Si derivamos sen t: x 0.t/ D v.t/ D c e t c te t C 17 cos t:

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias De v.0/ D 0, obtenemos c C 17 D 0, de donde c D 17 x.t/ D 17 te t C 17 y la posición está dada por sen t m: Observe que al paso de tiempo sólo se preserva el movimiento oscilatorio provocado por la fuerza de excitación. 17 x t 17 Vibraciones forzadas, caso c D 0 y caso w e w D k m Ahora la fuerza de excitación es F E D F 0 cos w e t, de forma que la ED que modela el el sistema es cuya solución particular está dada por (.3): mx 00.t/ C kx.t/ D F 0 cos w e t; x p.t/ D k F 0 mwe cos w e t: Observe que la solución x p.t/ es proporcional a la fuerza de excitación, de hecho ésta es la parte de la solución general que se preservará en el tiempo. Si se cumple que k mwe, esto es, w e k, la amplitud de la oscilación de x.t/ es grande. A este fenómeno m se le conoce como resonancia. Ejemplo.. Considere un sistema masa-resorte con los parámetros m D 1 kg, c D 0 Ns/m, k D 1 N/m, F E D cos t y con condiciones iniciales x 0 D 1 10, v 0 D 0. Determine la posición, la velocidad y la aceleración en el tiempo t. H La ecuación diferencial por resolver es d x C x D cos t: (.) dt La ecuación característica es r C1 D 0, cuyas raíces son r D i. De aquí, la solución general de la ecuación homogénea es x c.t/ D c 1 cos t C c sen t: En este caso la frecuencia natural de excitación w e D rad/s es diferente de la frecuencia natural de las funciones sinusoidales w D 1 rad/s. Por esa razón, y de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, proponemos la solución particular x p.t/ D A cos t C B sen t: (.6)

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Derivando esta expresión dos veces: x 0 p Sustituyendo en la ecuación (.): 00.t/ D A sen t C B cos t & xp.t/ D A cos t B sen t: A cos t B sen t C A cos t C B sen t D cos ti es decir, 3A cos t 3B sen t D cos t: De donde tenemos el sistema de ecuaciones algebraicas siguiente: 3A D ; 3B D 0: La solución de este sistema es A D =3 & B D 0. Sustituyendo en (.6) obtenemos la solución particular. x p.t/ D cos t: 3 Finalmente, sumando la solución particular con la solución de la ecuación homogénea, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial x.t/ D c 1 cos t C c sen t La velocidad de la masa se obtiene derivando la posición cos t: 3 v.t/ D x 0.t/ D c 1 sen t C c cos t C sen t: 3 Para determinar las constantes desconocidas, basta con utilizar la condiciones iniciales. Al hacerlo obtenemos el sistema de ecuaciones x.0/ D x 0 D 1 10 ) 1 10 D c 1 v.0/ D v 0 D 0 ) 0 D c : cuya solución es c 1 D 3 30 & c D 0. Finalmente, la posición de la masa está dada por x.t/ D 3 30 cos t cos t m: 3 Analicemos con mayor detalle x.t/. La función cos t es de periodo y la función cos t es de periodo. En consecuencia, la función de posición x.t/ es de periodo. La velocidad y aceleración de la masa son 3 I v.t/ D 3 30 sen t C sen t m/si 3 a.t/ D 3 30 cos t C 8 3 cos t m/s : De donde, los puntos de retorno o de máxima o mínima amplitud (aquéllos donde v D 0) satisfacen: Usando la identidad sen t D sen t cos t se tiene: 3 30 sen t D sen t: sen t D 8 sen t cos t ) 3 ( ) 8 3 cos t 3 sen t D 0: 30

7 Ecuaciones diferenciales ordinarias 7 Que se satisface cuando: y cuando: cos t Observe que: Además, como se tiene: 3 3 D 0 ) cos t D ) sen t D 0 ) t D 0; ; ; 3; { t D 1:79 C n; con n D 0; 1; ; t D. 1:79/ C n D :00 C n; con n D 0; 1; ; x.0/ D x./ D x./ D D 3 30 x./ D x.3/ D D D 3 30 D 0:1 : 3 D :333 : cos t D cos t sen t D cos t 1; x.t/ D 3 30 cos t 3 cos t C 3 m: Así que evaluando en el tiempo en que cos t D 3, o sea, t D arccos 80 ( ) 3 D 1:791, se tiene: 80 x.1:791/ D ( ) 3 C D 0:7769 m: 80 3 La gráfica es x 0:7767 1:7 10 t 1:3 Ejemplo..3 Considere un sistema masa-resorte con masa m D kg y constante de restitución k D 0 N/m que está sometido a una fuerza de excitación F E D cos 3t N. Si el sistema tiene condiciones iniciales x.0/ D 0:0 m y v.0/ D 0 m/s, determine la posición, la velocidad y la acelaración de la masa en todo tiempo t. Graficar la posición x.t/. H En este caso tenemos c D 0, m D, k D 0, w e D 3 y F 0 D. La ecuación diferencial que modela este sistema es d x C 0x D cos 3t: dt La ecuación característica asociada es r C 0 D 0, que tiene raíces r 1; D i. Por lo que la solución complementaria es x c.t/ D c 1 cos t C c sen t:

8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Como la frecuencia de estas funciones sinusoidales es w D, que es diferente de la frecuencia de la excitación w e D 3, proponemos como solución particular x p.t/ D A sen 3t C B cos 3t: Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene: Desarrollando obtenemos:. 9A sen 3t 9B cos 3t/ C 0.A sen 3t C B cos 3t/ D cos 3t:. A C 0A/ sen 3t C. B C 0B/ cos 3t D cos 3t ). A/ sen 3t C. B/ cos 3t D cos 3t: De donde resulta: A D 0 & B D ) A D 0 & B D 1 : La solución particular es x p.t/ D 1 cos 3t: La solución general es la suma de las soluciones particular y complementaria, x.t/ D c 1 cos t C c sen t 1 cos 3t: La velocidad en todo tiempo t está dada por v.t/ D c 1 sen t C c cos t C 3 sen 3t: Aplicando las condiciones iniciales x.0/ D 0:0 & v.0/ D 0, obtenemos c 1 1 D 0:0 & c D 0. De donde c 1 D 0: & c D 0. Así la posición instantánea de m es x.t/ D 0: cos t 1 cos 3t m: La velocidad y la aceleración son entonces: v.t/ D 0: sen t C 0:6 sen 3t m/si a.t/ D 0:88 cos t C 1:8 cos 3t m/s : La función cos 3t es de periodo =3 y la función cos t es de periodo. En consecuencia, la función posición x.t/ es de periodo. Observe que en este periodo cos 3t se repetirá completamente tres veces y cos t dos veces. Por otra parte, los puntos de retorno satisfacen v.t/ D 0, de donde: Usando las identidades: 0: sen t C 0:6 sen 3t D 0 ) 100 sen t D 3 sen 3t ) sen t D sen 3t: 60 sen t D sen t cos ti cos t D cos t sen ti sen 3t D sen.t C t/ D sen t cos t C cos t sen t D sen t cos t C cos t sen t D 3 sen t cos t.1 cos t/ sen t D sen t cos t sen t; sen t sen t D

9 Ecuaciones diferenciales ordinarias 9 se tiene que se satisface cuando o cuando 88 sen t D sen 3t ) sen t cos t D sen t cos t sen t ) ( ) ) cos 88 t 60 cos t 1 sen t D 0; cos t sen t D 0 ) t D 0; ; ; 3; cos t 1 D 0 ) cos t cos t 1 D 0: 1 Ésta es una ecuación cuadrática para cos.t/, así que, por la fórmula general: cos t D p101/ { 0:39 D ) 0:719 t D 1:97 C n; con n D 0; 1; ; t D. 1:97/ C n D :37 C n; con n D 0; 1; ; ) t D 0:779 C n; con n D 0; 1; ; t D. 0:779/ C n D :103 C n; con n D 0; 1; ; Consideremos ahora sólo los puntos que están dentro del intervalo Œ0; / para aprovechar que la función posición es de periodo ; éstos son, ordenados de mayor a menor t D 0; 0:779; 1:97; ; :36; :103 : Calculando la aceleración en estos puntos y aplicando el criterio de la segunda derivada para extremos, se tiene: a.0/ D 0:9 ) x.0/ D 0:0 I es un mínimo. a.0:779/ D 1:6 ) x.0:779/ D 0:116 I es un máximo. a.1:97/ D :6 ) x.1:97/ D 0:318 I es un mínimo. a./ D :6800 ) x./ D 0:00 I es un máximo. a.:36/ D :6 ) x.:36/ D 0:318 I es un mínimo. a.:103/ D 1:6 ) x.:103/ D 0:116 I es un máximo. La gráfica: 0: x 0:1 0:0 0:77 1:93 t 0:3 Ejemplo.. Considere el sistema masa-resorte del ejemplo anterior donde m D kg & k D 0 N/m. El sistema se somete a una fuerza de excitación F E D cos :1t N. Si el sistema tiene condiciones iniciales x.0/ D 0 m y v.0/ D 0 m/s, determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo t. Graficar la posición x.t/.

10 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias H De acuerdo con la ecuación (.3), la solución particular es x p.t/ D k Y la solución general es, entonces: F 0 mwe cos w e t D x.t/ D c 1 cos t C c sen t 100 cos :1t D cos :1t: 0.:1/ cos :1t: La velocidad en todo tiempo t está dada por la derivada de la posición v.t/ D c 1 sen t C c cos t C 10 1 sen :1t: 100 Considernado las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, obtenemos c 1 1 D 0 & c D 0. De donde c 1 D 100 & c D 0. Así la posición en todo tiempo se reduce a 1 x.t/ D Œcos t cos :1t m: La velocidad es, entonces: v.t/ D 100 Œ sen t C :1 sen :1t m/s: 1 Necesitamos reescribir la función posición para construir la gráfica. Para ello recordemos la identidad trigonométrica siguiente: sen A sen B D cos.a B/ cos.a C B/: Si identificamos A B D t A D :0t; ) A C B D :1t B D 0:0t; tenemos que x.t/ D 00 sen 0:0t sen :0t: 1 Podemos interpretar que la masa oscila con una amplitud A.t/ D 00 sen 0:0t dependiente del tiempo 1 y con una frecuencia natural dada por w D :0 rad/s. Para construir la gráfica, basta con construir las gráficas de la amplitud y de su negativo y, dentro de éstas, una función oscilatoria de periodo T D w D :0 D 3:06 s. La amplitud tiene periodo T a D D 1:6636 y, en ese tiempo, se producen 0:0 aproximadamente T a T D 1: oscilaciones. 3:06 En la figura siguiente se muestra la gráfica de la posición. Al fenómeno de que la amplitud se comporte como función del tiempo de forma sinusoidal se le conoce como pulsación. x t 1 oscilaciones 1:66 segundos

11 Ecuaciones diferenciales ordinarias 11 Vibraciones forzadas, caso c D 0 y w e D w D La ecuación diferencial que nos interesa resolver es k m m d x dt C kx D F 0 cos w e t: (.7) La ecuación característica es mr Ck D 0, cuyas soluciones son r 1; D iw D iw e. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es x c.t/ D c 1 cos w e t C c sen w e t: En este caso la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de las funciones sinusoidales. Por esa razón, y de acuerdo con el método de coeficientes indeterminados, proponemos la solución particular. Calculemos la primera y segunda derivada de x p.t/: x p.t/ D t ŒA cos w e t C B sen w e t : dx p D A cos w e t C B sen w e t C t Œ Aw e sen w e t C Bw e cos w e t : dt d x p D Aw dt e sen w e t C Bw e cos w e t C t [ Aw e cos w e t Bw e sen w e t ] : Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento (.7): A p mk sen w e t C B p mk cos w e t D F 0 cos w e t: Igualando coeficientes correspondientes de las funciones sinusoidales, obtenemos el sistema de ecuaciones: Finalmente, la solución particular es: Y la solución general es: A p mk D 0 & B p mk D F 0 ) A D 0 & B D F 0 p km : x p.t/ D F 0 t p km sen w et: (.8) x.t/ D x c.t/ C x p.t/ D c 1 cos w e t C c sen w e t C En ese caso la amplitud depende del tiempo y aumenta con él. F 0 t p km sen w et: Ejemplo.. Considere un sistema masa-resorte con constantes m D 10 kg & k D 0 N/m. Sobre el sistema se aplica una fuerza de excitación F E D 0 cos t. Determine la posición de la masa, si el sistema se encuentra en reposo en el estado de equilibrio al tiempo t D 0 s, es decir: x 0 D 0 m & v 0 D 0 m/s. H La ecuación diferencial por resolver es 10 d x C 0x D 0 cos t: dt La ecuación característica es 10r C 0 D 0, cuyas soluciones son r 1; D i. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es x c.t/ D c 1 cos t C c sen t:

12 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias La frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la frecuencia de las funciones sinusoidales. Proponemos entonces la solución particular. x p.t/ D t ŒA cos t C B sen t : Derivando dos veces se tiene: dx p D A cos t C B sen t C t Œ A sen t C B cos t I dt d x p D A sen t C B cos t C t Œ A cos t B sen t : dt Y ahora, usando la función x p.t/ y la segunda derivada en la ecuación diferencial, se obtiene: 0A sen t C 0B cos t D 0 cos t: De donde se deduce que A D 0 & B D 1 : Finalmente, la solución particular y la solución general son x p.t/ D t sen ti x.t/ D c 1 cos t C c sen t C t sen t: La velocidad se obtiene derivando la expresión anterior, v.t/ D c 1 sen t C c cos t C 1 sen t C t cos t: Considerando las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, se obtiene c 1 D c D 0. Entonces la solución del PVI coincide con la solución particular. x.t/ D t sen t. Para graficar esta función observemos que la parte sinusoidal tiene frecuencia w D rad/s y periodo T D D s y que la amplitud de las w oscilaciones aumenta en el tiempo. Entonces primero se grafican las rectas x D t y posteriormente se construye la gráfica de x.t/, considerando que los cruces con el eje horizontal (tiempo) se producen en t D 0; ; ; 3 ; : : :, con los máximos y mínimos en t D ; 3 ; ; : : : de forma alternada. Físicamente lo que está ocurriendo es que la fuerza de excitación está en sintonía con el movimiento del sistema masa resorte y siempre le está proporcionando energía, de ahí que la amplitud crezca indefinidamente. La figura muestra la gráfica del movimiento. x 6 8 t Ejemplo..6 Considere un sistema masa-resorte con coeficientes m D kg & k D 0 N/m. Se aplica ahora una fuerza de excitación F.t/ D cos t N. Determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo t, si el sistema tiene condiciones iniciales x.0/ D 0 m & v.0/ D 0 m/s.

13 Ecuaciones diferenciales ordinarias 13 H La ED es x 00.t/ C 0x.t/ D cos t y la homogénea asociada es x 00.t/ C 0x.t/ D 0 cuya ecuación característica es r C 0 D 0 que tiene por soluciones r D i. La solución complementaria es x c.t/ D c 1 cos t C c sen t. En este caso la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a una de las raíces de la ecuación característica. Tenemos entonces, de acuerdo con la ecuación (.8), que una solución particular es ( ) x p.t/ D F 0 t k p km sen m t t D 0./ sen t D 1 t sen t: La solución general es por lo tanto: La velocidad en todo tiempo t está dada por: x.t/ D c 1 cos t C c sen t C 1 t sen t: v.t/ D c 1 sen t C c cos t C 1 sen t C 1 t cos t: Si usamos las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, obtenemos c 1 D 0 & c D 0. Así la posición de la masa es: La velocidad es, entonces: x.t/ D 1 t sen t m: v.t/ D 1 sen t C 1 t cos t m/s: En la figura siguiente se muestra la posición de la masa en el tiempo. Observe que, entre más tiempo pasa, más aumenta la amplitud de las oscilaciones. En este caso la fuerza de excitación siempre suministra energía al sistema, por lo cual es de esperar que, después de un cierto tiempo, el sistema se destruya. x 6 8 t Ejemplo..7 Un resorte experimenta un alargamiento de 0:0 m por haber sido suspendida de él una masa de kg. Al extremo superior del resorte se le da un movimiento y D 0: sen t C 0: cos t m. Si no hay resistencia del aire, determine la posición de la masa en todo tiempo. Suponga que g D 10 m/s. H La constante del resorte se obtiene igualando el peso con la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa cuando se está en equilibrio. Es decir: mg D k l, de donde k D mg l D.10/ D 800 N/m. Consideremos 0:0 que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la masa cuando el sistema está en equilibrio. La elongación o compresión del resorte es entonces x y, de forma que la fuerza del resorte sobre la masa es F D k.x y/ D 800x C 30 sen t C 30 cost: Entonces, la ecuación diferencial que describe el movimiento es, de acuerdo con la segunda ley de Newton: d x D 800x C 30 sent C 30 cos t: dt

14 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias Simplificando se tiene: d x C 00x D 160 sen t C 160 cos t: dt Claramente la solución de la ecuación homogénea es x c.t/ D c 1 cos 0t C c sen 0t: Para determinar una solución particular proponemos: x p.t/ D A sen t C B cos t: Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos: 396A sent C 396B cos t D 160 sen t C 160 cos t: De donde se infiere que A D B D 0:. Concluimos entonces que Y que x p.t/ D 0: sen t C 0: cos t: x.t/ D c 1 cos 0t C c sen 0t C 0: sen t C 0: cos t: Si utilizamos las condiciones iniciales x.0/ D 0 & v.0/ D 0, obtenemos el sistema: 0 D c 1 C 0:I 0 D 0c C 0:8I de donde: Finalmente, la solución es c 1 D 0: & c D 0:0: x.t/ D 0: cos 0t 0:0 sen 0t C 0:Œsen t C cos t m: Ejercicios..3 Vibraciones forzadas. Soluciones en la página Un resorte de constante k y un amortiguador de constante c están conectados en uno de sus extremos a un cuerpo de masa m y en el otro a una pared. El sistema descansa sobre una mesa horizontal sin fricción. Sobre el sistema se aplica una fuerza de excitación F e.t/. Determine la posición y velocidad del cuerpo con las condiciones iniciales x.0/ D x 0 & v.0/ D v 0. a. m D 0: kg, c D 3 Ns/m, k D N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D m/s & F e.t/ D 3 cos t. b. m D : kg, c D 0 Ns/m, k D 10 N/m, x.0/ D 0:1 m, v.0/ D 1: m/s & F e.t/ D cos t. c. m D 0: kg, c D 0 Ns/m, k D 3 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 0 m/s & F e.t/ D 3 cos 8t. d. m D 0: kg, c D Ns/m, k D N/m x.0/ D 0:1 m, v.0/ D 0:1 m/s & F e.t/ D 8 cos t. e. m D 1 kg, c D 3 Ns/m, k D 6: N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 0 m/s & F e.t/ D 3 cos t.. Un cuerpo de masa igual a kg está unido a un resorte de constante k D 16 N/m. Se alarga el resorte una distancia de 0:3 m y se suelta desde el reposo. Si sobre el sistema se aplica una fuerza externa F e.t/ D 1: cos t, determine la posición y velocidad del cuerpo en todo tiempo. 3. Un cuerpo de masa igual a kg está unido a un resorte de constante k D 6 N/m. Si sobre el sistema se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D 1: cos t, determine la posición y velocidad del cuerpo en todo tiempo; suponga que la masa estaba en la posición x 0 D 0:3 y en reposo, al tiempo t D 0 s. Qué ocurre cuando F e D 1: cos.:1t/?

15 Ecuaciones diferenciales ordinarias 1. A un sistema masa-resorte con masa igual a kg y constante del resorte igual a 8 N/m se le somete a una fuerza de excitación F e.t/ D cos wt. Si el sistema carece de amortiguamiento determine la posición del cuerpo con las condiciones iniciales x.0/ D 0 m & v.0/ D 0 m/s para los siguientes valores de w D :; 1; ; :1; ; 1:9 & rad/s. En cada caso construya la gráfica correspondiente.. Un cuerpo de masa 1 kg está unido a un resorte de constante k D 1 N/m. Determine la posición y la velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre ésta se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D e t, a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su posición de equilibrio. 6. Un cuerpo de masa 1 kg está unido a un resorte de constante k D 1 N/m. Determine la posición y la velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre ésta se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D e t cos t, a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su posición de equilibrio. 7. Un cuerpo de masa 1 kg está unido a un resorte de constante k D 16 N/m. Determine la posición y la velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre ésta se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D e t sen t, a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su punto de equilibrio. 8. Un sistema masa-resorte-amortiguador está colocado verticalmente y tiene constantes m D 1 8 kg, c D 1 Ns/m y k D N/m. Inicialmente la masa es colocada 1 m abajo de la posición de equilibrio, donde se le imprime una velocidad de 8 m/s hacia arriba. Determine la posición y la velocidad instantánea de la masa m, si sobre el sistema se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D 1: sen t N, a partir de t D Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene constantes m D 6: kg, c D 1 Ns/m & k D 6: N/m. Determine la posición y velocidad de la masa en todo tiempo, si sobre ésta se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D e 1 13 t cos 13 t, a partir de t D 0, suponiendo que el sistema estaba en reposo y en su posición de equilibrio. 10. Sobre un sistema masa-resorte de constantes m D 1 kg y k D 100 Ns/m se aplica una fuerza de excitación F e.t/ D cos 10t durante un lapso de tiempo 0 t. Suponga que el sistema parte del reposo y de su posición de equilibrio. Determine la posición y velocidad antes, y después de t D.

16 16 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejercicios..3 Vibraciones forzadas. Página: 1 1. a. x.t/ D 17 e t 17 8 e t C 36 cos t C sen t m; 8 8 v.t/ D 0 17 e t C 3 8 e t 36 sen t C cos t m/s. 8 8 b. x.t/ D 0:t sen t C 0:1 cos t 0:6 sen t m; v.t/ D 0:t cos t 1: cos t m/s. c. x.t/ D 3 8 t sen 8t m; v.t/ D 3 sen 8t C 3t cos 8t m/s. 8 d. x.t/ D 3 10 cos t C 1 10 sen t 1 e 8t 19 cos 6t 60 e 8t sen 6t m; v.t/ D 3 sen t C 1 cos t 3 10 e 8t cos 6t C 6 1 e 8t sen 6t m/s. 1 e 3t sen t m; v.t/ D 0 16 sen t C 1 1 cos t 1 8 e 3t sen t C 16 1 e 3t cos t m/s. 160 cos t 1 3 cos t m; v.t/ D 3 80 sen t C 1 sen t m/s. 8 e. x.t/ D 16 cos t C sen t C e 3t cos t. x.t/ D 3 3. Con F e D 1: cos t: x.t/ D 3 6 t sen t C 3 cos t m; 10 v.t/ D 3 16 t cos t 369 sen t m/s. 30 Con F e D 1: cos.:1/t: x.t/ D 103 cos.:1t/ C cos t m; 13 v.t/ D sen.:1t/ C 3 16 t cos t 6. a. Para w D : W x.t/ D 0 9 sen t b. para w D :1 W x.t/ D 00 1 sen t 0 c. para w D W x.t/ D sen t m; 8 d. para w D 1:9 W x.t/ D 00 t 39 sen 0 e. para w D 1: W x.t/ D 0 7 sen t. x.t/ D 1. e t cos t C sen t/ m; v.t/ D 1. e t C sen t C cos t/ m/s. sen t m/s. 9t sen sen sen sen m; 1t 0 39t 0 7t m. m; m; 6. x.t/ D 1 10 e t.cos t C sen t/ C 1.cos t C 3 sen t/ m; 10 v.t/ D 1 10 e t. 3 cos t C sen t/ C 1.3 cos t 10 sen t/ m/s. 7. x.t/ D e t 1.cos t C 8 sen t/ 130 cos t 7 sen t m; 0 v.t/ D e t.7 cos t 9 sen t/ C 1. sen t 7 cos t/ m/s x.t/ D 3 sen t cos t C.6t C /e t m; v.t/ D 6 cos t C 8 sen t.t C 1/e t m/s. 9. x.t/ D te 1 13 t t sen m; 13» v.t/ D 1 sen e 13 1t m/s. 1t 13 t 13 C t 13 cos t 13

17 Ecuaciones diferenciales ordinarias Cuando 0 t : x.t/ D 1 1 t sen.10t/ m & v.t/ D sen 10t C t cos 10t m/s; cuando t : x.t/ D sen 10t m & v.t/ D cos 10t m/s.