3 INVESTIGACIONES 10%

Transcripción

1 Práctica Vibración de sisteas PARTICIPACION 5% de un grado de PRESENTACIÓN 10% libertad con 3 INVESTIGACIONES 10% aortiguaiento CÁLCULOS Y DIAGRAMAS 15% NOMBRE RESULTADOS 30% MATRICULA CONCLUSIONES 5% GRUPO DE LAB COMENTARIOS Y OBSERVACIONES 5% PROFESOR INSTRUCTOR TOTAL 100% OBJETIVO El aluno deterinará experientalente los paráetros para representar el coportaiento de un sistea oscilatorio aortiguado de un grado de libertad. FUNDAMENTOS En la vida real es posible apreciar que las vibraciones libres no son infinitas. Este fenóeno puede verificarse con facilidad observando que las vibraciones libres en realidad disinuyen su aplitud de oscilación con respecto al tiepo. La ecuación diferencial utilizada para representar un sistea asa resorte coo el que se uestra en la figura 1 es F = a x + kx = 0 (1) (a) Fig. 1.- (a) Sistea asa resorte de un grado de libertad. (b) Diagraa de cuerpo libre de dicho sistea. (b) La solución de la Ec. (1), coo se discutió en la práctica anterior, tiene la fora ( ) ω n 1 x t Ce C e i t i ωn = + t () donde C 1 y C son constantes que se definen a partir de las condiciones iniciales del sistea oscilatorio y a través del uso de la identidad ± iαt e = cosαt+ sinαt (3) 1

2 la Ec. () puede escribirse coo ( ) cosω 1 n 1 x t = A t+ A sinω t (4) Es posible apreciar a partir de la Ec. (4) que el desplazaiento es periódico (dada la naturaleza de las funciones seno y coseno) en el tiepo e infinito. Sin ebargo, esto no concuerda con la ayoría de los sisteas vibratorios a nuestro alcance, los cuales oscilando libreente se detienen confore transcurre el tiepo. Lo anterior sugiere entonces la existencia de foras de disipación de energía (conocidas tabién coo ecanisos de aortiguaiento) en los sisteas vibratorios las cuales producen el fin de los oviientos oscilatorios de dichos sisteas. Durante el aortiguaiento la energía del sistea vibratorio es disipada coo fricción, calor o sonido. Los ecanisos de aortiguaiento existen de varias foras, por ejeplo: Aortiguaiento de Coulob o de fricción seca.- En este caso la fuerza aortiguadora la fuerza es constante. Aortiguaiento sólido o de histéresis.- Este es causado por la fricción interna de un sólido al oponerse a entrar en vibración. Aortiguaiento turbulento.- En este caso la fuerza de aortiguaiento es proporcional al cuadrado de la velocidad proedio. Aortiguaiento en fluido viscoso.- En este caso la fuerza de aortiguaiento es proporcional a la velocidad. El ecaniso de aortiguaiento ás utilizado es el aortiguaiento viscoso, en el cual la fuerza de aortiguaiento es proporcional a la velocidad de oviiento. Este tipo de fenóenos de aortiguaiento se presentan estrictaente cuando se tiene un flujo lainar de un fluido viscoso a través de una ranura coo por ejeplo: un absorbedor de ipacto, el aortiguaiento que acontece alrededor de un pistón en un cilindro, el ecaniso de aortiguaiento de puertas abatentes de cierre autoático, los aortiguadores de autoóviles, etc. Aortiguaiento n con: Un sistea vibratorio básico coo el que se uestra en la figura cuenta esencialente Masa (), la cual se encuentra relacionada directaente con la energía cinética del sistea. Resorte (k), cuya función es alacenar energía potencial. Aortiguador (c).- cuya función es disipar la energía vibratoria del sistea. A partir de un análisis del diagraa de cuerpo libre ostrado en la figura es posible obtener la ecuación de oviiento ( ) x + cx + kx = f t (5) la Ec. (5) es una ecuación diferencial de segundo orden no hoogénea, por lo que su solución contiene dos partes. La priera, que se refiere al caso de una vibración libre, es cuando f(t)=0 es obtenida para resolver una ecuación diferencial hoogénea de segundo orden, la cual corresponde físicaente a el caso de un sistea vibratorio aortiguado (fig. ) el cual podrá representar ejor las oscilaciones que tradicionalente apreciaos en la vida real.

3 (a) Fig..- (a) Sistea asa resorte aortiguador de un grado de libertad. (b) Diagraa de cuerpo libre de dicho sistea. (b) por La ecuación diferencial hoogénea que debeos resolver para esta práctica está dada x + cx + kx = 0 (6) Una aproxiación tradicional para resolver la ecuación diferencial (6) es asuir que la solución tiene la fora con x rt = e (7) x = re x = re rt rt (8) donde r es una constante. Al sustituir las Ecs. (7) y (8) en la ecuación diferencial (6) se obtiene ( ) rt e r + cr+ k = 0 (9) La Ec. (9) es satisfecha para todos los valores de t cuando la ecuación característica es igual a cero, esto es La Ec. (10) tiene las raíces r + c k r 0 + = (10) r 1, c c k = ± (11) de tal anera que es posible encontrar la siguiente solución general para el desplazaiento X = e Ce + C e c c k c k t t t 1 (1) 3

4 donde C 1 y C son constantes que dependen de las condiciones iniciales del oviiento, ientras que los térinos dentro del radical de la Ec. (1) nos indicará tres casos distintos de aortiguaiento con sus respectivas curvas características, las cuales se discutirán a continuación. 1. CASO SOBREAMORTIGUADO: c k > En este caso el radical es real y las raíces r 1, expresadas en la Ec. (11) serán reales y distintas. El oviiento del sistea es doinado por el aortiguaiento. Esto significa que el sistea se acercará a su posición de equilibrio en fora exponencial sin que se presente oscilación alguna y jaás regresará a su posición original (a partir de la cual se produjo el oviiento). Ejeplos de este tipo de aortiguaiento pueden observarse en los ecanisos que sirven para el cerrado autoático de puertas. Este oviiento es expresado por la Ec. (1) y puede apreciarse gráficaente en la figura 3(a).. CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: c k = En este caso el radical es igual a cero y las raíces r 1, serán reales e iguales. En este caso se dice que el sistea se encuentra críticaente aortiguado. A este valor de la constante de aortiguaiento se le conoce coo constante crítica de aortiguaiento c cr y su valor depende exclusivaente de k y. = 4k ccr c = 4k = ω cr A la relación entre el aortiguaiento del sistea y su constante crítica de aortiguaiento se le conoce coo razón de aortiguaiento y se le denoina por la letra griega ζ cr n (13) c ζ = (14) c la cual es un paráetro adiensional. En una oscilación críticaente aortiguada, el sistea aortiguado es llevado a su posición de equilibrio en fora exponencial en un tiepo ínio sin que se presente oscilación. En este caso, el desplazaiento será representado tabién por la ecuación (1), la cual puede escribirse coo la Ec. (15) recordando que el radical es igual a cero ( ) X = C + C e 1 c t (15) El oviiento de un sistea oscilatorio críticaente aortiguado puede apreciarse en la figura 3(b). 4

5 3. CASO SUB AMORTIGUADO: c k < En este caso se presentará un oviiento oscilatorio harónico alrededor de una posición de equilibrio en el cual la aplitud disinuirá con el tiepo en cada oscilación. En este caso, dado que el radical es negativo, las raíces r 1, son coplejas y conjugadas teniendo la fora donde r1, = α ± iβ (16) c α = (17a) β = k c 4 (17b) y la solución en este caso tendrá la fora αt iβt iβt X = e Ce 1 + Ce 1 (18) que tabién puede escribirse - utilizando la Ec. (3) - coo c t ( ω ) sen ( ω ) X = e Acos dt + B dt (19) donde ω β k c d 4 ω ζ = = = 1 n (0) Fig. 3.- Respuesta de un sistea oscilatorio ante distintas condiciones de aortiguaiento []. 5

6 Péndulo Torsional Si un cuerpo rígido oscila alrededor de un eje específico de referencia se dice que el oviiento resultante es una vibración torsional. En este caso, el desplazaiento del cuerpo es edido en térinos de una coordenada angular denotada porθ. En este tipo de vibración, el oento restaurativo puede deberse a la torsión de un cuerpo elástico o al desbalance de una fuerza. (a) Fig. 4.- (a) Péndulo torsional no aortiguado. (b) Diagraa de cuerpo libre de dicho sistea [1]. (b) En la figura 4 se uestra un disco con oento de inercia de asa J 0 ontado al final de una flecha circular sólida, la cual se encuentra epotrada en el otro extreo. Si el oviiento del disco es angular y está descrito por la coordenada θ, a partir de la teoría de torsión de flechas circulares es posible obtener la relación M t GJ l barra = (1) donde M t es un par que produce el la rotación θ, G es ódulo de corte, l es la longitud de la flecha y J barra es el oento polar de inercia de la sección transversal de la barra, el cual está dado por 4 π d Jbarra = () 3 d es el diáetro de la flecha. Si el disco es desplazado un ángulo θ a partir de su posición de equilibrio, la flecha presenta un par de restauración (seejante a la fuerza restauradora de un resorte) de agnitud M t. En consecuencia, la constante de rigidez para un resorte torsional coo la barra de la figura 4 es k t 4 Mt GJbarra πgd = = = (3) θ l 3l La ecuación de oviiento de un péndulo torsional se obtiene a través de la segunda ley de Newton o a través de algún étodo energético. Considerando el diagraa de cuerpo libre ostrado en la figura 4(b) para un péndulo torsional con aortiguaiento se tiene J c k (4) 0θ + tθ + tθ = 0 6

7 y escribiendo la Ec. (4) coo θ ct kt + 0 J θ + J θ = (5) 0 0 donde el oento de inercia del disco J 0 es J 0 4 ρhπd WD = = (6) 3 8g a partir de la Ec. (5) se obtiene la frecuencia natural de oscilación y finalente k t ω n = (7) J0 ct ct ct ζ = = = (8) c J ω kj tc 0 n t 0 MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR Sistea asa resorte. Péndulo torsional. Analizador de vibraciones. Calibrador Vernier. Aceite. PROCEDIMIENTO A. Sistea asa resorte aortiguador 1. Deterine analíticaente la frecuencia natural de oscilación del sistea (ω n ). No olvide para ello encontrar el valor de la constante de rigidez del resorte utilizando cualquiera de los étodos vistos en la práctica 1.. Deterine experientalente el valor de la frecuencia natural de oscilación (ω n ) utilizando el analizador de vibraciones y copárelo con el valor teórico esperado. 3. Deterine experientalente el valor de la frecuencia aortiguada de oscilación (ω d ) con la ayuda del analizador de vibraciones. Para ello utilice un recipiente con aceite en el cual las aletas de la asa estén totalente en contacto con el aceite. 4. Deterine el valor de la razón de aortiguaiento (ζ). 5. Deterine analíticaente el valor de la constante crítica de aortiguaiento (c cr ). 6. Deterine el valor de la constante de aortiguaiento proporcionada por el aceite (c). B. Péndulo torsional 1. Deterine analíticaente la frecuencia natural de oscilación del sistea. Utilice las Ecs. () y (3) para deterinar el valor de la constante torsional de rigidez (k t ). 7

8 REPORTE Laboratorio de Vibraciones Mecánicas. Deterine experientalente el valor de la frecuencia natural de oscilación (ω n ) utilizando el analizador de vibraciones y copárelo con el valor teórico esperado. 3. Deterine experientalente el valor de la frecuencia aortiguada de oscilación (ω d ) con la ayuda del analizador de vibraciones. Para ello utilice un recipiente con aceite en el cual el disco se encuentre suergido en aceite. 4. Deterine el valor de la razón de aortiguaiento (ζ). 5. Deterine analíticaente el valor de la constante crítica de aortiguaiento torsional (c ct ). 6. Deterine el valor de la constante de aortiguaiento torsional proporcionada por el aceite (c t ). 1. Una vez que haya seguido el procediiento reporte los siguientes valores Masa- Resorte- Aortiguador Experiental Working Model MATLAB vs. Exp. vs. W.M. % Error vs. MATLAB ω n [rad/s] ω d [rad/s] c cr [N s/] c [N s/] ζ Péndulo Torsional Experiental Working Model MATLAB vs. Exp. vs. W.M. % Error vs. MATLAB ω n [rad/s] ω d [rad/s] c ct [N s] c t [N s] ζ INVESTIGACIÓN 1. Problea de diseño. Si bien a diario encontraos un gran núero de ejeplos de aortiguaiento, uno de los ás ilustrativos es el del autoóvil. Para nuestro caso, el autoóvil que vaos a estudiar tiene una asa de 150 kg y está soportado por sus cuatro resortes y cuatro aortiguadores. Si la elongación estática de los resortes debida al peso propio del autoóvil es de 0.0, Cóo deterinaría la constante de aortiguaiento requerida en cada aortiguador para obtener el caso de aortiguaiento crítico?. 8

9 Asua que el auto tiene solo un grado de libertad. Antes de deterinar la constante crítica de aortiguaiento (c cr ), encione cuáles son las suposiciones que toó en cuenta para llegar a su resultado.. Copare sus resultados con el Working Model y MATLAB. Haga coentarios. REFERENCIAS [1] Rao, Singiresu S. Mechanical Vibrations, Fourth Edition, Pearson. USA 003. [] Steidel, Robert F. An introduction to echanical vibrations, Third Edition, John Wiley, USA [3] Thoson, Willia T. Theory of vibrations: applications. Second Edition, Prentice Hall, USA 198. [4] Kelly, Graha S. Fundaentals of echanical vibrations. Second Edition. McGraw Hill. USA [5] Stile, Hidgon. Ingeniería Mecánica, too II: Dináica Vectorial. Prentice Hall, 9