Guía 3: Movimiento Oscilatorio

Transcripción

1 Física 1 (ByG), Verano 8 Guía 3: Moviiento Oscilatorio I - Cineática del oviiento oscilatorio 1) El desplazaiento de un objeto está deterinado por la ecuación y(t) = 3c sen(π/s t). Grafique y en función del tiepo y señale la aplitud y el periodo de las oscilaciones. ) La coordenada de un objeto viene dada por (.57) cos[(3.9/s)t]. a) Cuánto valen la aplitud A, la frecuencia angular ω, la frecuencia f, el período T y la fase φ? b) Escriba las expresiones para la velocidad v y la aceleración a del cuerpo. c) Deterine y, v y a en t=.5 segundos. 3) Un objeto que tiene un oviiento arónico siple tiene su áxio desplazaiento, en t =. Su frecuencia es de 8 Hz. a) Hallar los instantes en que las elongaciones son por priera vez,1 ; ; -,1; -, b) Halle las velocidades en dichos instantes. 4) Un objeto describe un oviiento arónico siple con una aplitud A = 63 y una frecuencia ω = 4.1 1/s. Considere t= cuando el objeto pasa por el punto edio del recorrido. a) Escriba las expresiones para x, v, a. b) Deterine x, v y a para t=1.7 segundos. 5) Un objeto oscila con frecuencia 1 Hz y tiene una velocidad áxia de 3 /s. Cuál es la aplitud del oviiento? 6) Para qué desplazaiento de un objeto en un oviiento arónico siple es áxio el ódulo de a) La velocidad. b) La aceleración. 7) En biología encontraos fenóenos oscilatorios por todos lados (ritos circadianos, actividad cardiaca, creciiento estacional, actividad neuronal rítica, etc, etc). En gran parte de los casos, la variable que sigue un coportaiento oscilatorio no es la posición de un objeto sino de algún otro tipo (concentración de proteínas, flujo, taaño, voltaje, etc). Asiiso, difícilente las variables sigan funciones sinusoidales puras. El siguiente gráfico uestra la fluctuación en las concentraciones de las proteínas PER/TIM y CLOCK en el transcurso de un día en células de la osca Drosophila elanogaster. Estas proteínas controlan el rito circadiano de la osca. Hay una tercera oscilación en la figura: la luinosidad (en tonos de gris). Cuál es el período de cada oscilación? Cuál es la aplitud de las oscilaciones de concentración? Cuál es la diferencia de fase entre las dos curvas? Exprese las diferencias en horas, en radianes y en grados, considerando que el período corresponde a π. Conc entra ción (µg/ l)

2 Física 1 (ByG), Verano 8 II - Dináica del oviiento oscilatorio 8) Un cuerpo está apoyado sobre una esa, unido a un resorte de constante k=5 N/ y largo natural 1 c (el otro extreo del resorte está fijo a la pared). Si el cuerpo se desplaza una distancia c de su posición de equilibrio, copriiendo al resorte, y se lo suelta, oscila con un período de,63 s. a) Haga el diagráa de cuerpo libre y halle la ecuación del oviiento a partir de la ª Ley de Newton. b) Deterine el valor de la asa en función de los datos. c) Escriba las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiepo. Resp. b) 5 kg c) x=-c cos(1t/s)+1c; v=c/s sen(1t/s); a=c/s cos(1t/s) 9) La frecuencia con la que oscila un cuerpo unido al extreo de un resorte es 5 Hz Cuál es la aceleración del cuerpo cuando el desplazaiento es 15 c? Resp: 148 /s 1) Para estirar 5 c un resorte horizontal es necesario aplicarle una fuerza de 4 N. Uno de los extreos de este resorte está fijo a una pared ientras que en el otro hay un cuerpo de kg. La asa del resorte es despreciable. Si se estira el resorte 1 c a partir de su posición de equilibrio y se lo suelta: a) Cuál es la aplitud y la frecuencia del oviiento? Cuánto tiepo tarda en hacer una oscilación copleta? b) Obtenga la expresión de posición en función del tiepo y grafíquela señalando la posición de equilibrio. c) Calcule la posición, la velocidad y la aceleración al cabo de, seg. Describa cualitativaente en que etapa del oviiento oscilatorio está. Resp: a) A=1 c; ω= 1/seg; T=.314 seg. b) con x eq =; x(t)=1 c cos( t/seg) c) en t=. s ; x=9.98 c ; v= c/s ; a=39.9 /s 11) Un cuerpo de asa 8 g está suspendido de un resorte de longitud natural 15 c y constante elástica K=3 N/, que se encuentra colgado del techo. a) Halle la posición de equilibrio. b) Si se desplaza al cuerpo 1,5 c hacia abajo a partir de la posición de equilibrio y se lo suelta, halle su posición en función del tiepo. Resp: a) 17,5 c del techo 1) Usando los órganos sensoriales del sus patas, las arañas detectan las vibraciones de sus telas cuando una presa queda atrapada. a) Si al quedar atrapado un insecto de 1 gr la tela vibra a 15 Hz, cuál es la constante elástica de la tela? b) Cuál seria la frecuencia cuando queda capturado un insecto de 4 gr? Resp: a) 8,9 N/ b) 7,5 Hz

3 Física 1 (ByG), Verano 8 13) Cuando una persona de 8 Kg sube a su coche, los aortiguadores se coprien c. Si la asa total que soportan es de 9 kg (incluidos auto y pasajero), a) Calcule la constante elástica de los aortiguadores b) Halle la frecuencia de oscilación. Resp: a) 4 N/ b) 1,6 Hz 14) Un cuerpo de asa está unido a resortes de constante k1 y k coo se indica en cada uno de los siguientes casos. Deuestre que las isas situaciones se pueden representar por un único resorte de cte. elástica K tal que Se puede ver que para N resortes iguales de constante elástica K, su equivalente es K eq =K/N si se colocan en serie, y K eq =K.N si se colocan en paralelo 15) Deuestre que el período de oscilación de un péndulo es L es el largo del péndulo, y es independiente de la asa. T = π L (pequeñas oscilaciones), donde g 16) La aceleración de la gravedad varía ligeraente sobre la superficie de la tierra. Si un péndulo tiene un período de T = 3, segundos en un lugar en donde g = 9,83 /s² y un período de T = 3.4 segundos en otro lugar. Cuál es el valor de g este últio lugar? Resp: 9,787 /s 17) Escriba la ecuación diferencial para pequeñas oscilaciones de un péndulo. Deuestre que su período de oscilación es T = π L, donde L es el largo del péndulo, y es independiente de la asa. g 18) Se tiene un resorte (constante elástica k=1 N/ y longitud natural l =15 c) apoyado sobre el plano inclinado de la figura. a) Calcule el largo que toa el resorte si sostiene un cuerpo de asa =1 kg en equilibrio. b) En el caso de soltarse el cuerpo desde el largo natural del resorte, éste realizará un oviiento oscilatorio arónico. Calcule el áxio acercaiento al punto A. c) A partir de las ecuaciones de dináica del ov. oscilatorio justifique que la frecuencia de oscilación es f = k / y calcule la velocidad áxia que alcanza el cuerpo. π 5 c 15 o A 3

4 Física 1 (ByG), Verano 8 Respuestas: a) 17,6 b) 76,4c c) w=1 1/s y v áx =,6 c/s 19) El periodo de oscilación de un péndulo es una función de los paráetros que caracterizan al sistea en cuestión y tabién, en principio, de las condiciones iniciales. Existe un tipo de arguento, bien general, que perite encontrar la dependencia funcional de una agnitud característica de la evolución de un sistea, coo puede ser el período de oscilación, a partir de la consideración de las diensiones (el tipo de unidades) que de debe tener dicha agnitud. a) Ante todo, enuere las n variables v i (i=1,,n) de las que, en principio, podría depender el período de un péndulo, sin tener en cuenta las unidades. b) Dejeos oentáneaente de lado las condiciones iniciales, restringiendo el análisis al resto de los paráetros que deterinan el sistea. El periodo dependerá de estos últios de alguna fora desconocida, pero con la constricción de que esta cobinación debe ser tal que posea diensiones de tiepo. Piense un rato y vea que es razonable concluir la necesidad de una relación de la fora, donde es una constante adiensional de proporcionalidad y las son potencias a deterinar. Recordar que entonces debe valer, con,, etc. Encontrar las potencias y coparar el resultado con el del ejercicio 8. c) Así, oitiendo la dependencia de las condiciones iniciales se recupera un resultado que se sabía válido bajo la aproxiación de pequeñas oscilaciones. Esto es esperable. Considereos coo única condición inicial relevante, por siplicidad, el ángulo de apartaiento inicial edido desde el punto de equilibrio (aunque el arguento puede extenderse si se tiene en cuenta una versión adiensionalizada de la velocidad inicial). [Observación: es adiensional] Piense otro rato y convénzase de que la incorporación de coo variable iplica hacer que la constante de proporcionalidad se convierta en una función de. Por qué? Si es pequeño, la función puede aproxiarse por su polinoio de Taylor hasta orden dos:. Sin ebargo, por la sietría del problea frente a una reflexión alrededor del eje vertical que pasa por el punto de equilibrio, la función debe ser invariante frente al cabio. Siga pensando, y note que ello iplica que el térino lineal del desarrollo de Taylor debe tener un coeficiente nulo. Por qué? Así, heos deostrado que la dependencia con las condiciones iniciales tiene un efecto recién a segundo orden en un desarrollo de la constante. ) La aceleración de la gravedad varía ligeraente sobre la superficie de la tierra. Si un péndulo tiene un período de T = 3, segundos en un lugar en donde g = 9,83 /s² y un período de T = 3.4 segundos en otro lugar. Cuál es el valor de g en este últio lugar? 1) En la Microscopía de Fuerza Atóica, una punta de prueba se utiliza para explorar superficies con resolución nanoétrica. En una de las aplicaciones de esta técnica, a la superficie se unen previaente copias de alguna bioolécula de la cual se quiera investigar el detalle de sus propiedades físicas coo ser resistencia a la tensión, elasticidad y estructura. Se busca en cada experiento pegar con la punta de prueba un extreo de una bioolécula única (el otro peranece adherido a la superficie). Al retraer la punta hacia arriba, la bioolécula coienza a estirarse y ejerce una fuerza hacia abajo sobre la punta (Fig 1a). La punta de prueba se coporta coo un resorte del cual el experientador conoce la constante elástica (K 1 ) y puede edir en cada instante su elongación (L 1 ) y la de la bioolécula (L ) (Fig 1b). 4

5 Física 1 (ByG), Verano 8 a) b) K 1 L 1 L Figura 1. a) La caricatura uestra cuando la punta de prueba toca una olécula de proteína (izq) y la estira (der). La punta se defora elásticaente por la fuerza realizada por la olécula al estirarse. b) En el odelo, el resorte representa a la punta de prueba y el ovillo a la bioolécula de interés. L1 y L son nulos cuando la punta de prueba o la proteína, respectivaente, tienen su longitud natural. i. Cóo se calcula con este sistea la fuerza que ejerce la bioolécula en función de su estiraiento? ii. En un trabajo publicado en la revista Nature en arzo de 6, el grupo de Piotr Marszalek de la Universidad de Duke estudia las propiedades elásticas de una proteína con doinios estructurales de ankirina. Los investigadores descubrieron que la proteína isa se coporta en ciertas condiciones coo un resorte de diensiones nanoétricas. La figura uestra ediciones de icroscopía de fuerza atóica obtenidas para tres proteínas distintas. Se grafica la fuerza que ejerce la proteína en función de su estiraiento. a) 8 b) Fuerza (pn) Estiraiento (n) Fuerza (pn) Estiraiento (n) c) Fuerza (pn) Estiraiento (n) Figura. Cuál de estos gráficos se correspondería con la proteína estudiada por Marszalek? Justifique. Averigüe aproxiadaente su constante elástica. iii. Si se construye una serie de proteínas con distinto núero de repeticiones de ankirina y se ide su constante elástica se obtiene un gráfico coo el de la figura 3. 5

6 γ Física 1 (ByG), Verano 8 K (pn / n) Nº de Repeticiones a) Cóo interpreta este resultado? (Pista: repase el problea 14). b) Más o enos cuántas repeticiones de ankirina tiene la proteína estudiada por Piotr? III - Moviiento oscilatorio aortiguado ) Para una partícula de asa soetida a una fuerza F, las dináicas posibles en un espacio acotado se reducen a oviientos oscilatorios o bien a la convergencia a un punto de equilibrio. El prier caso se odela paradigáticaente coo un oscilador caracterizado por una fuerza proporcional al desplazaiento respecto del equilibrio, con una constante elástica k. En una diensión, la ecuación a resolver es: x && + kx = k && x + x = x.6.4. k t 14 a) Escriba la solución general x(t) y encuentre que la frecuencia de oscilaciones es de ω = k. b) Encuentre la trayectoria que describe un oscilador que se ueve después de soltarlo (con velocidad nula) tras aplicarle un desplazaiento inicial de 1. c) Todas las condiciones iniciales devienen en soluciones oscilatorias? El segundo caso se odela proponiendo una disipación lineal γ. En este caso, la ecuación resulta x && + γ x& = γ && x + x& = 6

7 γ Física 1 (ByG), Verano 8 d) Escriba la solución general de esta ecuación diferencial y caracterice su coportaiento. e) La partícula se detiene totalente en algún oento? El caso ás genérico se construye con un oscilador aortiguado, que se describe ediante la ecuación x && + kx + γ x& = k γ && x + x + x& = γ && x + ω x + x& = k Aquí los dos efectos (restitución y disipación) copiten. Las foras de las soluciones en este caso dependen de ciertas relaciones entre los paráetros, k, y γ. El resultado de las cobinaciones de paráetros resulta en dos tipos de oviiento, caracterizados por oscilaciones subaortiguadas, o decaiientos sobreaortiguados. En todos los casos, la disipación hará decaer asintóticaente la solución a un equilibrio, alrededor del cual el sistea puede oscilar o decaer sin oscilaciones. γ En el rango < ω oscilaciones aortiguadas doina el térino inertivo (de asa) y las soluciones presentan λt x( t) = Ae cos( ω t + φ) a [ λ ω φ ω ω φ ] λt v( t) = Ae cos( t + ) + sin( t + ) γ λ = γ ωa = ω a a a -. x t f) Copare la frecuencia de oscilación para este caso con la del oscilador no aortiguado. Interprete. g) Verifique que las constantes A y B para un oviiento de condiciones iniciales x()=x y v()= son λ x() φ = arctan ωa y A =. cos( φ) h) Encuentre el tiepo τ para el que la aplitud de oscilaciones cae a veces su valor inicial. A pesar de que el sistea oscilará indefinidaente, este tiepo puede considerarse un estiador del tiepo en que el sistea se ueve en un rango del orden de la aplitud inicial. 1 e 7

8 Física 1 (ByG), Verano 8 Estie el núero de oscilaciones que el sistea despliega hasta ese tiepo (aproxie el tiepo de oscilación port = π / ω ). En qué casos vale esa aproxiación? Calcule para el caso particular γ ω =. 5 γ Por otra parte, en el rango > ω doina el térino disipativo y las soluciones no oscilan, sino que decaen al origen. Se trata de un oviiento sobreaortiguado cuya solución general se escribe coo λ x( t) = Ae + Be 1t λt λ = + λ γ γ 1 ω γ γ = ω i) Describa la solución cuando Interprete. γ >> ω x. j) En la figura se ven ejeplos de dos siulaciones nuéricas con condiciones iniciales distintas. En una de ellas, el objeto se aleja priero y luego converge al equilibrio. Es este oviiento posible? t Cabio de escalas: dináica en el undo icroscópico. 3) * El problea del oscilador aortiguado puede pensarse coo un odelo siple para el oviiento de un cuerpo suergido en un edio viscoso y ligado por una fuerza de restitución al equilibrio. Los paráetros del problea son la asa, la constante de restitución elástica k y la constante de disipación γ. Ahora tratareos de ver cóo cabia la dináica cuando cabiaos la escala espacial del sistea. Dejaos entonces de considerar objetos puntuales y pensaos en una esfera de radio R suergida en un fluido y soetida a una fuerza elástica. Lo priero que nos preguntaos es por el cabio en los paráetros cuando copriios o dilataos la escala del problea. Si consideraos objetos esféricos de densidad ρ y radio R, sus asas estarán dadas por 3 = ρv = ρ4π 3R. Es decir, la asa de un objeto esférico de densidad constante cabia con el cubo de su radio. Supongaos que los objetos estudiados están suergidos en agua. El agua, coo todos los fluidos, opone una fuerza al desplazaiento de los objetos. Cada fluido está caracterizado por una viscosidad η. El coeficiente de aortiguación γ del oscilador propuesto está relacionado con la viscosidad del edio en el que se lo suerge según γ = 6π Rη, llaada ley de Stokes. Para el agua η = 3 1 kg s. Según esta ley, el coeficiente de disipación γ es proporcional al radio R del objeto. En realidad, las cosas no son tan siples. Todos heos coprobado la existencia de distintos regíenes 8

9 Física 1 (ByG), Verano 8 que puede ostrar un fluido en oviiento. Confore abrios el paso de agua de una canilla, por ejeplo, el flujo de agua, que al principio es lainar, se vuelve turbulento, desordenado (incluso, hasta cierto punto, ipredecible). Fenóenos coo éste cabian la fuerza que siente un objeto en oviiento suergido en un fluido. Esto ipone restricciones sobre los oviientos posibles que antienen válida la ley de Stokes. Aquí nos restringios a sisteas que la cuplen. Finalente, supongaos que la constante elástica no cabia, es decir que k no depende de escalas espaciales. a) Considerando estas hipótesis, encuentre las condiciones de oviiento subaortiguado (1) y sobreaortiguado () en función de R. Copare con la figura y describa la inforación que obtiene de ella. 3 η 3π kρ R b) Si en lugar de pensar en un objeto ligado a una fuerza restitutiva externa ahora consideraos que el objeto iso tiene cierta elasticidad, entonces debeos considerar cóo cabia su constante elástica con la escala del problea. Supongaos que, a grandes rasgos, podeos la siguiente analogía con los resortes en serie y paralelo ya estudiados. Vios que si tiraos de N osciladores de constante k pl conectados en serie, la constante efectiva del conjunto era kef = k pl N. Significa que la constante elástica disinuye con el increento de osciladores en la dirección de elongación. R k pl k pl k pl k k pl Sin ebargo, en el objeto esférico, cada uno de los osciladores k pl puede pensarse representando a un plano perpendicular a la dirección de estiraiento conforado por N osciladores en paralelo idénticos k, 9

10 k pl Física 1 (ByG), Verano 8 = kn. Considerando que la de anera que todo el plano funciona coo un único oscilador de cantidad N de osciladores es proporcional al radio R de la esfera, teneos que k kn ef = = kn = κ R N. En este caso la constante κ se llaa elasticidad, y tiene unidades de presión, [ κ ] = Pa = N. Cóo cabia la relación de aortiguaiento crítico encontrada antes? Encuentre el radio crítico R c correspondiente a este coportaiento. Considere el caso de una proteína rígida de κ = 1GPa, densidad kg ρ = en agua. A odo de conclusión, podeos decir que a edida que las diensiones de un sistea se contraen, las fuerzas viscosas auentan respecto de las inertivas de lo que resulta que el oviiento global de objetos pequeños, coparativaente elásticos (coo las proteínas) suergidos en una solución acuosa es típicaente sobreaortiguado, a diferencia de uchos de los fenóenos típicos a nuestra escala. Hair Cells Las células sensoriales del oído (Hair cells) edian la percepción del sonido, la aceleración lineal, angular y la gravedad (sisteas de equilibrio) en vertebrados. Estas células no son as (ni enos) que resonadores uy bien afinados a las frecuencias de las señales ecánicas que deben detectar, y su posibilidad de reportar al sistea nervioso fielente estas señales depende críticaente de su capacidad de transforar un input ecánico en una señal eléctrica (una corriente, que es la oneda del SN) que transporte la inforación sobre la señal externa al cerebro. O sea que estas células deben funcionar coo transforadores de una señal ecánica en una señal eléctrica. Para poder hacerlo cuentan con una estructura (estereocilias) que es capaz de oscilar en respuesta a una señal ecánica. Coo estas estructuras elásticas oscilan en un edio viscoso, podeos odelarlas coo una asa M acoplada a un oscilador de constante K oviendose en un edio viscoso con disipacion lineal γ. O sea, estas células no son ás que osciladores aortiguados. 4) construyendo un Detector de oviiento Suponga que las estereocilias oscilan en torno a una posición de equilibrio en respuesta a una señal sonora. Cada vez que en la estructura se produce un desplazaiento igual o ayor a 1 nanóetros (solo en el sentido positivo), coo consecuencia se abre un canal que deja entrar corriente a la célula. Se quiere edir la corriente que entra indirectaente con un dispositivo óptico que cuenta la cantidad de veces que el sistea se desplaza al enos 1 nanóetros, según el siguiente diagraa: 1

11 Física 1 (ByG), Verano 8 Dispositivo Óptico canal x=1 n Posición de equilibrio 1 nanoetros + + Oscilaciones canal cerrado canal abierto Deterine para las siguientes condiciones: K = 1 N/ (1.1-3 N/), asa M = 1-13 kg en un edio con γ=.1 µn.s/ (1.1-9 N.s/) a) Cuál es la frecuencia (f) de la oscilación? b) El oviiento será sub o sobre aortiguado? Cual es su τ? c) Si el desplazaiento tiene una aplitud inicial de 5 n (X o =5 n, v =) cuántas veces la estereocilia cruza el detector? Cuántas veces se habrá abierto el canal? Si se cabian los paráetros físicos (por ejeplo la K de la hair cell es 4 Ko) cuantas veces cruzará ahora el detector, y en este caso cuánto habrá auentado la corriente? d) coo se iagina que diferentes sisteas auditivos en vertebrados logran afinar sus células a un rango dináico uy aplio de detección? (hay desde hair cells de ranas que detectan vibraciones del suelo de enos de 1Hz hasta las de urciélagos que detectan vibraciones de hasta KHz!) Que paráetros físicos podrían anipularse? Respuestas: a) f = 15.9 KHz (T=6.8 µseg y w a = /s) b) el oviiento es sub aortiguado, τ = µs c) el canal se abre cinco veces (el detector arca 1 tics, tics por ciclo). Algunas Respuestas 1) 3c y,1 s 3) a),s;,31s;,4s;,6s b) 8,67/s; -1/s; -8,67/s; /s 5) 4,8 c 9) 148 /s 11) a) 17,5 c del techo 1) a) 8,9 N/ b) 7,5 Hz 13) a) 4 N/ b) 1,6 Hz 17) 9,787 /s 11