Ondas mecánicas. Carlos L. Beltrán Ríos. 6 de marzo de Una onda que se propaga por una cuerda, responde a la ecuación, en unidades del S.I.

Transcripción

1 Ondas ecánicas Carlos L. Beltrán Ríos 6 de arzo de Hallar la energía total de vibración de una cuerda de longitudlfijaenabosextreosqueoscilaensuodo característico n con una aplitud A. La cuerda está soetida a una tensión T y posee una asa total M. 2. Considere dos ondas que se propagan, en un edio elástico, a lo largode la dirección x dadas por y 1 (x,t) = A 1 sin( π 2 x ω 1t) y y 2 (x,t) = A 2 sin( 3π 2 x ω 2t), donde x y y están en etros y t en segundos. Deterine: a) La aplitud de la onda resultante en un punto situado a x = 2 b) En el instante t = 0 cuál es la longitud de onda de la onda? 3. Considere la isa cuerda del problea anterior y calcule la energía total si la cuerda esta vibrando de tal fora que se describe su vibración a través de dos odos norales. Dicha vibración se describe coo y(x,t) = A 1 sin( πx L )cos(ω 1t)+A 3 sin( 3πx L )cos(ω 3t π 4 ) 4. Un aro circular de cuerda hoogénea se hace girar rápidaente con una velocidad angular constante ω, de anera que se tensa forando una circunferencia de radio R. En un oento dado se fora un rizo en la cuerda. a) Con qué velocidad se propagará el rizo por la cuerda? b) Bajo qué condiciones podrá el rizo peranecer estacionario respecto a un observador estacionario? 5. Una cuerda hoogénea, de longitud L y asa, cuelga verticalente sujeta fireente por su extreo superior. a) Expresar la velocidad de propagación de un pulso transversal a lo largo de la cuerda en función de la distancia x respecto al extreo inferior (libre de la cuerda. b) Calcular el tiepo que epleará dicho pulso en recorrer toda la cuerda. c) Supongaos que sacudios transversalente el extreo inferior de la cuerda, con una frecuencia f, de odo que se genere una onda sinusoidal a lo largo de la cuerda. Expresar la longitud de onda, λ, en función de x. 6. Un cable unifore y flexible, de 10 de longitud y 6kg de peso, cuelga verticalente con su extreo superior fireente sujeto a un soporte. Del extreo inferior del cable se cuelga una pesa de 6kg. Se golpea transversalente el cable cerca de su extreo inferior. Calcular el tiepo que epleará la perturbación resultante en llegar al extreo superior del cable. 7. Una onda que se propaga por una cuerda, responde a la ecuación, en unidades del S.I.: y(x,t) = sin(80t 6x) Si la cuerda tiene un extreo fijo en la pared, escriba la ecuación de la onda reflejada 8. Una cuerda unifore, de asa y longitud L, cuelga de un techo. a) Deostrar que la rapidez de una onda transversal en la cuerda es una función de la distancia y edida desde el extreo inferior y que su valor es v = gy b) Deostrar que el tiepo que transcurre para que la onda transversal recorra la cuerda copleta es t = 2 L g c) Afecta la asa de la cuerda a los resultados de a) y b)?. Deterine las expresiones correspondientes. 9. a) Cóo varía la velocidad de propagación de una onda transversal a lo largo de una cuerda si la tensión seduplica?,b) ysisereducealaitad?c) Encuánto debe odificarse la tensión de la cuerda para duplicar la velocidad de propagación? d) Y para reducirla a la itad? 10. Para cierta onda transversal la distancia entre dos áxios sucesivos es λ y N áxios pasan por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada t segundos. Deterine la velocidad de la onda. 11. Un alabre de longitud L y asa se estira bajo una tensión T. Si se generan dos pulsaciones, separadas por un intervalo de tiepo t, en cada extreo del alabre, a que distancia del extreo izquierdo se encuentran las pulsaciones? 12. Se puede producir un ruido al perturbar el flujo de aire proveniente de una pitillo de bebida. Si el flujo se perturba con los hoyitos,ver figura, en un disco que gira con frecuencia de 55Hz, en qué circunferencia de hoyos equidistantes hay que soplar para oír la nota La de 440Hz? 1

2 A B C D 13. Una onda en una ebrana circular se describe a través de la ecuación diferencial ( 1 ρ Ψ ) Ψ ρ ρ ρ ρ 2 φ Ψ v 2 t 2 E a) Muestre que una solución a la ecuación diferencial anterior esta dada por Ψ(ρ,φ,t) = A kρ sin(kρ ωt)e ıφ, donde ı = 1 y es un núero entero. b) Haga una gráfica de Ψ(ρ,φ,t) en el caso = 0. z x 14. Sea una onda viajera unidiensional g(x,t) = g(x vt) que se propaga respecto a un sistea de referencia S. Sea S un sistea de referencia, que se ueve respecto al sistea S con una velocidad V = Vî, con V > 0. Muestre que vista desde S la onda se propaga con una rapidez V v. 15. En un edio S se propagauna ondaarónicaψ(x,t) = Acos(ωt kx). Hallar la expresión de la onda en un sisteadereferencias queseueveenelsentidopositivo del eje de lasx auna velocidadconstantev. Cooson la longitud de onda y la frecuencia observada desde el sistea S respecto al sistea S y a) Una expresión para la rapidez de una onda que se propaga a lo largo del alabre de un extreo a otro. b) El tiepo en que deora en recorrer la onda la longitud total del alabre. c) Deterine la energía en el punto inicial y final del alabre. Que puede decir sobre la energía, la potencia y la intensidad de la onda a partir de estos resultados? d) Realice los cálculos anteriores considerando ahora que el radio de la sección transversal del alabre varia uniforeente. 17. Una cuerda uy larga y flexible, de asa µ por unidad de longitud, está estirada horizontalente soetida a una tensión F. Sujetaos con la ano el punto edio de la cuerda y la sacudios hacia arriba y abajo ipriiéndoleun.a.s.conunaaplitudayunafrecuencia f. En estas condiciones se generan ondas transversales que recorren la cuerda en abas direcciones. Antes de que el oviiento se coplique coo consecuencia de las reflexiones en los extreos lejanos de la cuerda, calcular: a) la potencia en función del tiepo que debe suinistrar la ano y b) el valor edio de dicha potencia. 18. Un pulso transversal de aplitud A avanza en el sentido positivo del eje x, a lo largo de una curda de densidad lineal µ, soetida a una tensión F. el pulso se describe por la función ( A 1 ct x ), si ct x < l y(x,t) = l 0, si ct x > l Deterine: a) Si el pulso es solución a la ecuación diferencial de onda. b) Dibuje la fora del pulso c) Una expresión para la densidad de energía y la energía total transportada por el pulso. d) Calcular la intensidad de la onda (flujo de energía) e) Paraun valorde x fijo integreel flujo de energíaen un intervalo de tiepo t (, ). Que puede decir de su resultado? 19. Un pulso que viaja por una cuerda, en la dirección x positiva, coo el ostrado en la figura, esta descrito por la ecuación. Deterine: y(x,t) = Ae B(vt x)2 y 16. Un alabre de densidad voluétrica ρ posee una longitud L, esta soetido a una tensión T y posee una sección transversal circular. El alabre esta fabricado de anera que el área de su sección transversal disinuye uniforeente de un extreo a otro. Si se genera un pulso en el extreo de ayor área deterine: v x 2

3 a) Que es solución a la ecuación diferencial de onda unidiensional b) la velocidad de un punto sobre la cuerda. Deterine una expresión para el caso x = 0,5 20. Supongaos que se propaga una perturbación longitudinal a lo largo de un uelle de constante k, longitud L y asa, el cual es estirado de uno de sus extreos. Sea ξ el desplazaiento experientado por una sección del uelle de abscisa x. a) Mostrar que la variación de la tensión del uelle varía a lo largo del iso y viene dada por la expresión F = kl ξ x b) Mostrar que la fuerza resultante sobre un eleento del uelle de longitud dx es df = kl 2 ξ x 2 dx c) Mostrar que la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en el uelle es k v = L 21. Un alabre de aluinio, cuya longitud es l 1 = 60,0c y cuya sección transversal es 1, c 2 está unido a un alabre de acero de la isa sección transversal. El alabre coplejo soporta a un cuerpo cuya asa es de 10,0kg, en una disposición coo la que se uestra en la figura, de tal anera que la distancia l 2 desde la unión hasta la polea de soporte es de 86,6c. En el alabre se generan ondas transversales utilizando un generador externo de frecuencia variable. a) Deterinar una expresión algebraica para obtener la enor frecuencia de excitación para la cual se observa una onda estacionaria tal que el punto de unión de los alabres sea un nodo. b) Cuál es el núero total de nodos que se observan a esta frecuencia, excluyendo los dos extreos del alabre? La densidad del aluinio es de 2,60g/c 3 y la del acero es de 7,80g/c 3. l 1 l Una cuerda de longitud L se hace vibrar con una frecuencia f = 50Hz, coo se uestra en la figura. Se odifica la asa de a y el aspecto de la vibración cabia. Deterine la relación / para que la frecuencia peranezca constante. 23. Las ondas sonoras procedentes de un altavoz se difunden de fora casi unifore en todas las direcciones del espacio cuando sus longitudes de onda son grandes en coparación con el diáetro del altavoz. Por el contrario, cuando sus longitudes de onda son pequeñas, gran parte de la energía acústica se dirige hacia adelante. Calcular, para un altavoz de 20 c de diáetro, la frecuencia para la cual la longitud de onda del sonido en el aire es: a) 1/10 del diáetro del altavoz, b) igual al diáetro del altavoz y c) 10 veces el diáetro del altavoz. 24. Muestre que la rapidez áxia transversal para una partícula en una cuerda es enor que la velocidad de la onda en la cuerda. Recuerde que al deducir la ecuación de la onda en la cuerda se obtiene que A λ siendo A la aplitud de la onda y λ su longitud de onda. 25. Una cuerda esta forada por dos secciones con densidades lineales µ 1 = 0,10kg/ y µ 2 = 0,2kg/. Una onda, y(x,t) = (0,050)sin(7,5x 12,0t) con x en etros y t en segundo, incide desde el edio as ligero. Deterine a) Cuál es la longitud de onda en la sección as ligera? b) Cuál es la tensión de la cuerda? c) Cual es la longitud de onda en la sección as pesada? 26. Una cuerda de un etro de largo tiene dos secciones de igual longitud, con densidades lineales de 0,50 kg/ y 1,0kg/. La tensión total de la cuerda es constante. Los extreos oscilan de anera tal que en la cuerda surge una onda estacionaria con un solo nodo donde se unen las cuerdas cuál es la razón entre las frecuencias de oscilación en cada segento de la cuerda? 27. Deuestre que si la tensión de una cuerda estirada cabia por una pequeña cantidad T, la frecuencia de su odo fundaental cabia en la cantidad f = 1 2 ( T T ) f 28. Una fuente eite ondas sonoras(s) de longitud de onda λ, un detector (D) se encuentra a una distancia l de la fuente. El sonido llega directaente al detector y tabién al reflejarse desde un obstáculo (A). El obstáculo esta equidistante de la fuente y el detector. Cuando el obstáculo esta a la distancia d, coo se ve en la figura, las ondas llegan al detector en fase (interferencia constructiva). 3

4 a) A que distancia, oviendo el obstáculo hacia la derecha o a la izquierda, se debe colocar este para que se produzca una interferencia destructiva? b) Manteniendo el obstáculo en su posición que tanto se debe alejar o acercar el detector para que haya interferencia destructiva? D donde T c es la teperatura en grados Celcius. En aire seco la teperatura disinuye a una razón β( C/) con el auento en la altura. a)suponiendo que este cabio es constante hasta una altitud de H (), deterine una expresión para calcular el tiepo que deora en viajar una onda sonora producida a una altura H hasta el piso, suponiendo que este se halla a una teperatura T s ( C). b) Deterine el tiepo si β = ( C/), H = 9000() y T s = 30( C) l d A 34. En un cilindro largo se bobea agua a una tasa R(c 3 /s), el radio de cilindro es r(c) y en su parte superior hay un generador de ondas sonoras que eite con frecuencia constante f (Hz), cuando la coluna de agua asciende. a) cuanto tiepo transcurre entre dos resonancias sucesivas?. b) Calcule el tiepo si R = 18,0(c 3 /s), r = 4,0(c) y f = 200(Hz) S 29. Mida la distancia que separa sus oídos, el típano se encuentra a una distancia de 25 del oído externo, a partir de esta inforación, considerando que la teperatura del aire de su habitación es de unos 28 C que frecuencia debe eitirse a través de los parlantes de un coputador, separados una distancia 40c, para que usted pueda. o bservar íniosde interferenciasise encuentra a una distancia de 1 de los parlantes. 30. Muestre que a) Para un proceso adiabático el odulo de coprensión de un gas esta dado por B = γp, siendo P la presión del aire. b) La velocidad de las ondas sonoras en un gas durante un proceso adiabático esta dada por γb v = ρ 31. Muestre que la velocidad de la onda sonora en un gas esta dada por γrt v = M Donde R es la constante universal de los gases, T la teperatura del gas en grados Kelvin y M su asa olecular. 32. Se detona una carga explosiva a varios kilóetros en la atósfera. A una distancia de 400 de la explosión la presión acústica alcanza un áxio de 10 Pa. Si se supone que la atósfera es hoogénea sobre la distancia considerada, cual es el nivel sonoro, en decibelios, a 4 k de la explosión. Nota: las ondas sonoras en el aire absorben a una tasa de 7 db/k 33. La velocidad del sonido, en /s, depende de la teperatura del aire de acuerdo con la expresión v = 331,5+0,607T c 35. Un tubo abierto de longitud L se coloca verticalente en una cubeta cilíndrica que tiene una área A en el fondo. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que un diapasón vibrando con frecuencia f, situado sobre el tubo, produce resonancia. Encuentre la asa del agua en la cubeta en estos oentos. Deterine la asa si L = 0,40(), A = 0,10( 2 ) y f = 440Hz) Para los siguientes ejercicios utilizar el servicio en línea de la pagina fooplot para hacer los gráficos 36. El teorea de Fourier establece que cualquier onda periódica de frecuencia f, no iporta que tan coplicada sea, puede expresarse coo una sua de funciones arónicas pares e ipares, esto es y(t) = A n sin(nωt+φ n ) n=0 donde ω = 2πf. Use A n = n 1, con n = 1,,10 y φ n = 0 para todo n y deterine y(t) a edida que adiciona térinos a la suatoria. 37. Considere dos ondas viajeras de aplitudes A 1 = A 2 = 0,10(), frecuencias angulares ω 1 = ω 2 = 2,5(rad/s), núeros de onda k 1 = k 2 = 1,0(rad/) y φ 1 = 0, φ 2 puede toar valoresen el conjunto {0,π/8,π/4,π/2,π} a) Haga las gráficas y señale para que valores de φ 2 hay 4

5 interferencia constructiva y destructiva. Repita el anterior proceso pero considerando b)a 1 A 2 = 0,2(), c)ω 1 ω 2 = 3,5(rad/s) 5