DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL Y OBSERVADOR DE ESTADO PARA UNA MANO ARTICULADA

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1 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre de 6. UTP. ISSN -7 9 DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL Y OBSERVADOR DE ESTADO PARA UNA MANO ARTICULADA RESUMEN En este docuento se realiza el diseño de un algorito de control digital para una ano articulada, partiendo de un odelo para una articulación que consiste de un úsculo artificial ovido por un servootor, acoplado a un sistea ecánico. Se realiza un algorito de control usando realientación del estado del sistea de la articulación, el cual es de tercer orden. Las variables de estado son estiadas usando un observador de estado y el coando de referencia se diseña utilizando un odelo de servo. PALABRAS CLAVES: Estado, Realientación, Observador, Alcanzable, Servo. JASON EDWIN MOLINA Ingeniero Electricista Universidad Tecnológica de Pereira jason@oh.utp.edu.co DIDIER GIRALDO BUITRAGO Ingeniero Electricista, MEE Profesor Titular Universidad Tecnológica de Pereira dgiraldo@utp.edu.co ABSTRACT This paper shows the design of an algorith of digital control for an articulated hand, starting off on a odel for a joint with an artificial uscle, coupled with a echanic syste. A control algorith is ade using the feedback of the state of the syste of the joint, which is third order assigned. The state variables are estiated using a state observer and the coand reference is designed using a servo odel. KEYWORDS: State, Feedback, Observer, Reachable, Servo.. INTRODUCCIÓN En la robótica existen uchas aplicaciones que requieren la aplicación de técnicas de control especiales. Muchas fuentes utilizan técnicas de control oderno para estas aplicaciones, y pocas de estas utilizan la teoría de control clásica. El control clásico tiene una técnica que ha resultado ser uy eficiente en sisteas lineales, la cual es la realientación lineal del estado. En este artículo se uestra cóo se puede utilizar la técnica de realientación del estado en esta aplicación, adeás se propone el diseño de un observador del estado del sistea, pues coo es noral en estos sisteas no se tiene acceso al estado del sistea sino sólo a la edición de una salida. El observador deterina el estado a partir de la edición disponible si el sistea es observable desde esa salida. Se propone adeás un odelo de estado para un servo que realice la tarea de procesar la referencia y hacer que la salida del sistea siga la referencia en el estado estacionario. Poleas para transisión de potencia. La articulación. Un úsculo artificial es un actuador lineal que transfora el oviiento rotacional del otor en oviientos axiales usando engranajes planetarios. La fora esqueática de la estructura se presenta en la figura, y el diagraa del odelo en la figura. Tendón Músculo artificial Sensor de torque Sensores de ángulo Figura. Esquea de la unidad. X Músculo Artificial Bt Sensor de fuerza. SISTEMA FÍSICO τ θ Ro θ El sistea físico propuesto se define ediante un sistea de actuadores y sisteas de transisión para una ano, con oviiento por edio de articulaciones, en cada dedo. Las coponentes son []: Bt Ro θ Ro θ Servootor de corriente continua basado en úsculo artificial. Figura. Modelo de la unidad. Fecha de Recepción: 8 Julio de 6 Fecha de Aceptación: 3 Octubre de 6

2 9 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre 6. UTP El sistea para el actuador de la articulación tiene un odelo deducido a partir de las leyes de Newton, el cual puede ser reducido a un integrador debido al bajo valor de algunos paráetros de la tabla, coo se uestra en la ecuación (). El odelo ecánico del sistea se deterina a partir del análogo eléctrico, fuerza-torquecorriente. En la tabla se dan los datos de los paráetros del otor, del úsculo artificial, y del sistea de transisión que hacen parte del odelo. ( BR K l K b ) θ = K l i Rv x nθ = () K l 9e-3 N/A Constante de torque J,6e-7 Kg Inercia total B,e-4 N//s Fricción viscosa del otor K b e- V/rad/s Constante de contra f.e.. L µh Inductancia de aradura R 7 Ω Resistencia de aradura i -< i < Corriente de aradura del otor Torque de salida del otor τ n /33 Razón de reducción K t,86e4 N/ Constante de elasticidad B t 5,6e-4 N//s Fricción viscosa del cable 5 Kg Masa equivalente de la carga R e- Radio de la polea l 3e- Longitud de la barra en la carga Tabla. Paráetros de la planta. Para el sistea ecánico se obtiene la siguiente ecuación que relaciona el desplazaiento del úsculo artificial con la posición angular de salida del sistea, θ : l R R n n θ θ θ = x x = θ θ 3RBK K B K B K B t t t t t t t t Con la ecuación () y considerando las entradas al sistea coo: u = i v= Tg Tf nτ l Se tiene: θ ω.θ ω.θ = Mu Nu Qv Rv Lo cual conduce al odelo de espacio de estado (). x ω x x ω x M u R = v x 3 x3 N Q x θ = θ = [ ] x x 3 () En donde: 3R B x = θ ω t =, 3R K t ω = l l 3nKlR Bt M =, 3nKlR N = l ( BR KlKb) l ( BR KlKb) 3nRR Q =, 3nRR R =, l ( B R K K ) l ( B R K K ) l b l b La entrada v es una perturbación de tipo constante, dada por la fricción, la gravitación y la carga. La entrada u corresponde a la corriente de aradura, la cual está liitada por la potencia del otor; de acuerdo con [], el torque de salida del úsculo artificial es de 5 N, a una velocidad áxia de 5 /s, lo que corresponde a una potencia áxia de: 5x5x -3 = 7,5 W. Considerando que la alientación del otor puede ser de 6 Vcc; para generar dicha potencia sería necesario,5a de corriente de aradura, y teniendo en cuenta las pérdidas de conversión de oviiento, la corriente de aradura tiene sus cotas aproxiadaente en ± A. 3. ANÁLISIS ANÁLOGO DE LA PLANTA Para analizar el coportaiento en lazo abierto del sistea, se recurre a la siulación del odelo de espacio de estado, utilizando Matlab, coo sigue: Los polos y ceros del sistea en lazo abierto son: 6 P = ; P,3 = 9, 33 x ± 3,876 j 7 Z =,5489 x ; Z = 5,4 x La función de transferencia correspondiente es: 5-5 3,497 x s 5,435 x s 776 Hs ( ) = 3-5 s,867 x s 953,3s Las figuras 3 y 4 uestran la respuesta al ipulso y al escalón respectivaente, para el sistea en lazo abierto, donde se nota claraente que es un sistea inestable. Aplitud Respuesta al ipulso Tiepo (sec) Figura 3. Respuesta al ipulso. 4. ANÁLISIS DISCRETO DE LA PLANTA Para deterinar el odelo discretizado de la planta, se parte de la ecuación de estado (), para llegar al odelo discreto así []: x( k ) = F x( Gu( G v( y ( = Cx( p

3 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre de 6. UTP 93 Aplitud Respuesta al escalon Figura 4. Respuesta al escalón. Tiepo (sec) Sean las atrices A, B, B p, y C, las atrices del odelo de espacio de estado (3), las atrices F, G, G p, C, se deterinan a partir de estas coo es usual [], [3]: h F = Ah e, G = e As Bds, Gp = e h As B ds. En las expresiones anteriores, h es el tiepo de uestreo, que es escogido con base en el criterio proporcionado por Aströ, [4], que indica que si ω n es la frecuencia natural del sistea en lazo cerrado, entonces ω n h debe estar en el rango de, y,3. Para el sistea en lazo cerrado se quiere que la planta presente el coportaiento de un sistea de tercer orden, donde dos polos coplejos sean los de un sistea de segundo orden con coeficiente de aortiguaiento ρ de,77, y frecuencia natural ω n de rad/s, y el tercer polo, el cual es real, sea dos veces ás rápido que los anteriores. Lo anterior indica que si ω n =, y escogiendo ω n h coo,:, h = =, Así, el odelo de espacio de estado discreto para el sistea es: x( k ) x(.363 x( k ) x(.5377 = u( v( x3( k ) x3( 55.5 x( yk ( ) = [ ] x( (3) x 3( 4.. Regulación de la Planta 4... Realientación del Estado del Sistea. p ( ) Coo priera acción sobre el sistea, se realizará la realientación lineal del estado del sistea, la cual tiene coo eta, estabilizarlo, es decir que todo el estado del sistea caiga al origen en tiepo finito [3], para esto se usa la ley de control: ( ) Lx() t u k = (4) Se ubican los valores propios del sistea en lazo cerrado de tal anera que cuplan los requisitos dados en la sección anterior. Se deterinan los polos con la ecuación de segundo grado para ρ =.77, y ω n de rad/s, y el tercer polo coo -.5ρω n. El coando place en Matlab deterina la atriz L a partir de las atrices F y G del sistea y los polos requeridos []; la atriz L toa entonces el valor de: L = [ 4.88, 674, 47] La figura 5 uestra la respuesta del sistea en lazo cerrado, donde se han introducido condiciones iniciales, que lo inestabilizarían en lazo abierto, pero se nota coo este la realientación conduce al sistea al origen según las especificaciones de respuesta dadas en la sección anterior Figura 5. Respuesta del sistea en lazo cerrado a las condiciones iniciales no nulas Observador del Estado del Sistea. Hasta ahora se ha realizado la realientación suponiendo que hay acceso total al estado del sistea. Son obvias las razones para no conocer el estado del sistea, por lo cual se realiza un observador del estado, cuya tarea es estiar el estado en un tiepo finito [3]. Esto se efectúa ediante un odelo dináico y discreto igual al del sistea [], que tiene en un coputador digital la inforación del odelo de espacio de estado del sistea, pero no el estado en el instante actual; esto lleva a la estiación del estado, que se lleva a cabo ediante la realientación del error de estiación de la salida del sistea, a través de una atriz K, cuyos valores llevarán a que el error de estiación de las variables de estado caiga al origen en tiepo finito, la velocidad con la cual se consigue esto, se da en térinos de los polos del observador [4], de igual fora que para la planta: En este caso se quiere el observador tenga el iso coeficiente ρ que la planta, pero que la frecuencia natural ω sea el doble, para que el observador responda al doble de la velocidad de la planta, el tercer polo se ubica justo en la parte real de los anteriores dos polos.

4 94 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre 6. UTP El observador tiene el odelo de espacio de estado de (5), que sigue las condiciones descritas anteriorente y es de tercer orden, al igual que la planta, adeás es de notar que allí puede accederse a todo el estado estiado. El error de estiación de estado toa el odelo de espacio de estado de (6), donde se refleja que este caerá al origen en tiepo finito si los valores propios de la T T T atriz φ C K están en el interior del círculo unitario. xˆ k / k = φxˆ k/ k γu k K y k yˆ k ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) yˆ( Cxˆ( x( k ) xˆ ( k ) = x( k ) = [ φ KC] x( = (5) (6) El cálculo de la atriz K se realiza de la isa anera que se calculó L para la planta, esto es, la evaluación de la fórula de Ackerann [], [4], excepto porque las atrices F y K se transponen y la atriz G se reeplaza por C, con lo cual se obtiene: K = [,496,96 76,674] T La ley de control ahora se da en la isa fora que antes pero ahora se usa el estado estiado xˆ( k ), el cual es deterinado a partir del observador en cada instante de uestreo: u( = Lxˆ( t) La figura 6 uestra la respuesta del sistea a las isas condiciones iniciales puestas cuando se conocía todo el estado. La figura 7 uestra la señal de control generada para lograr el objetivo principal hasta ahora, que es estabilizar el sistea. Esta señal de control es una corriente coo se había dicho anteriorente liitada en ± A, esta condición se ve satisfecha en el sistea, lo que hace de la señal de control, una señal posible de generar Figura 6. Respuesta del sistea a las condiciones iniciales no nulas con el observador. La respuesta del sistea es buena coparada con la obtenida por realientación directa del estado, considerando que ahora existen dos tiepos de respuesta: el debido al sistea y el debido al observador. Aplitud (A) Figura 7. Señal de control generada digitalente. 4.. Coando de Referencia del Sistea Para que el sistea se coporte de acuerdo a condiciones específicas y su salida siga una referencia dada en el estado estacionario, se realiza un odelo de referencia (Servo) con condiciones específicas; los polos de este odelo serán los isos escogidos para el observador, así el odelo responderá el doble de rápido que la planta y con un sobrepaso pequeño, de odo que, coo el objetivo es que el sistea siga el odelo de referencia, entonces el sistea deberá coportarse de igual fora al seguir el coando de referencia. El servo tiene entonces el odelo de espacio de estado de (7), el cual está en fora canónica alcanzable. En este odelo se parte de que sus ceros son los isos de la planta y los polos son 3 definidos por el polinoio A ( z) = z a z a z a3 pues la planta es de tercer orden, adeás se da la expresión para la señal en lazo directo u ff ( k ), así coo la de realientación u fb ( [3]. x( k ) = φx( γr( (7) y( = Cx( uff ( = λr( Cff x ( u k = L x k x k ( ) ( ) ( ) ( ) fb fac Si B( z ) es el nuerador de la planta en lazo abierto, y adeás se condiciona al sistea para que siga a un escalón de referencia, sin error de estado estacionario, se puede deostrar que: λ = A B ( ) () Con esto se tiene copleto todo el algorito para prograar el control copleto de la planta Introducción de la Perturbación La perturbación en este sistea según se indica en [], es de tipo constante, y puede verse que ingresa por la entrada del sistea después de ultiplicarse por un factor

5 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre de 6. UTP 95 de escala, pues se trata de la superposición de tres torques: fricción, gravitación y carga. Puede ostrarse que, en general la perturbación no es alcanzable desde la entrada al sistea, pero si es observable [4], lo cual es lógico; y se usa este hecho para eliinar el efecto de la perturbación sobre el sistea, incluyendo un polo ás al observador, por efecto de que la estiación del estado del observador incluye ahora la estiación de la perturbación []. Esto se realiza apliando el odelo del observador, con el de la perturbación, el cual es: v ( k ) = v( El odelo apliado del observador es: xk ˆ( ) φ γ xk ˆ( ) γ uk K ˆ A yk yk vk ˆ = ( ) vk ˆ ( ) ( ) ( ( ) ( )) La atriz K A del odelo apliado se calcula de la isa fora descrita antes, pero ahora se incluye la condición para el cuarto polo del observador: los tres prieros polos del observador son iguales y el cuarto se escoge en el eje real y ubicado.5 veces ás lejos que el anterior polo real. En la figura 8 se realiza un suario de la ubicación de polos en los diferentes tópicos que trata este docuento. El diagraa que incluye todo lo relacionado en este algorito es el ostrado en la figura 9, el cual fue realizado y siulado con la herraienta Siulink de Matlab. plano S.5ρωn Polos del proceso en lazo cerrado plano S ρωn plano S.5ρωn ρ=.77 ωn= ρωn Polos del Servo Figura 8. Ubicación de polos para todo el algorito. Polos del observador paralelo Es iportante notar que en el algorito se hace la realientación de la diferencia entre las variables de estado del servo y las variables de estado observadas, pero debido a que el servo tiene el estado de referencia en fora canónica alcanzable, y el observador no tiene su estado en esta fora, se hace necesario transforar las variables de estado observadas a las de la fora canónica alcanzable. Nótese de la ecuación, que la señal de realientación u fb ( k ) necesita el estado en fora canónica alcanzable para poder restarlo del estado del odelo de referencia, entonces se requiere usar una transforación lineal cuya atriz es T, que transfora las variables de estado de algún odelo dado en el odelo de la fora canónica alcanzable, la atriz T es calculada así: T = WW c c Donde W es la atriz alcanzable de la fora canónica c alcanzable y W es la atriz alcanzable del odelo de c estado original: Wc = γ φγ φ γ Adeás de esto la realientación del estado tiene la atriz L calculada a partir del odelo de estado original del observador, y ahora se va a realientar un odelo alcanzable, esto iplica que la atriz de realientación debe ser ahora transforada a la atriz de realientación del odelo alcanzable. Puede deostrarse que esta nueva atriz es: L = LT En general el sistea tiene la respuesta dada en la figura que uestra la referencia tipo escalón, y superpuesta con ella la respuesta del sistea, atenuando las condiciones iniciales; en 3 segundos se ve coo el sistea responde a la perturbación tipo escalón, la cual atenúa y alcanza el estado estacionario; luego, en 6 segundos entra el coando de referencia escalón de agnitud. rad, que lo sigue en el estado estacionario sin error y adeás siguiendo el odelo de referencia; con un sobrepaso pequeño. Figura 9. Diagraa copleto del algorito descrito.

6 96 Scientia et Technica Año XII, No 3, Diciebre 6. UTP Figura. Seguiiento del sistea a una referencia escalón. La figura uestra coo el error de estiación de la salida tiende a cero en el estado estacionario cada que hay actividad sobre el sistea, excepto cuando entra la perturbación, ya que puede ostrase que el error de estiación no es alcanzable desde la entrada [] Figura. Error de estiación de la salida. La figura uestra la señal de control ejercida sobre el sistea, la cual no sobrepasa los líites previstos de corriente de aradura del otor, y sin ebargo sí cuple todos los objetivos propuestos para el sistea CONCLUSIONES Se diseñó un algorito de control de posición para un sistea físico que consiste en una articulación óvil, basado en la realientación lineal del estado, por una entrada del sistea, desde la cual este es controlable. Un observador digital se hace necesario cuando no es conocido directaente el estado del sistea, sino solo una salida desde la cual el sistea es observable, para su posterior realientación. En este docuento se ha realizado un observador del estado discreto que para el sistea continuo correspondería a una fora canónica Observer, adeás de incluir el algorito necesario para observar la perturbación de tipo escalón, y eliinar su efecto sobre el proceso en el estado estacionario. Para que el sistea siga el coportaiento de un odelo especificado previaente se diseñó un odelo de referencia o servo el cual contiene la fora de respuesta requerida para el sistea, así coo la referencia en estado estacionario. Usualente, coo el servo tiene criterios de diseño para la fora canónica alcanzable, se opta por diseñar un odelo de estado en fora canónica alcanzable para el sistea, lo cual puede resultar poco conveniente cuando se quiere que las variables de estado tengan alguna interpretación física. Debido a ello se presentó en este artículo, una fora general para usar cualquier odelo de estado, y ediante una transforación lineal, adecuarlo al algorito deducido para la fora canónica alcanzable. Esto perite ayor flexibilidad en los diseños. 4. BIBLIOGRAFÍA [] H. Liu, J. Butterfass, S Knoch, P. Meusel, G. Hirzinger, Multisensory Articulated Hand, IEEE Control Systes Magazine, Volue 9 N, pp. 47-6, Abril 999. [] GIRALDO, Didier, Control Digital, Universidad Tecnologica de Pereira, Colobia. Aplitud (A) -. [3] OGATA, Katsuhiko. Sisteas de control en tiepo discreto, Segunda edición, Prentice Hall, México, Figura. Señal de Control. [4] ASTRÖM, K. J. y WITTENMARK, B. Coputer - controlled systes, Theory and design, Upper Saddle River, Prentice-Hall, N.J. 997.