Clase 1 Ecuaciones Diferenciales: Motivación y Conceptos Preliminares

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1 Clase 1 Ecuaciones Diferenciales: Motivación y Conceptos Preliinares L. A. Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departaento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela y Centro Nacional de Cálculo Científico Universidad de Los Andes (CeCalCULA), Corporación Parque Tecnológico de Mérida, Mérida 5101, Venezuela Mérida, Septiebre 003. Versión α Índice 1. Motivación y Origen 1 1. Motivación y Origen En Ciencias, una de las foras de odelar fenóenos físicos es ediante su caracterización a través de una función ateática, digaos G = G (x, y, z; t). Desde los albores de la actividad científica conteporánea es iperioso describir los fenóenos físicos en el lenguaje de las ateáticas. Una las foras (la ideal) para odelar los cabios de esta función, G (x, y, z; t), que depende de la posición y del tiepo, es a través de una ecuación en la cual están involucradas la función, G (x, y, z; t) y sus derivadas. A esa ecuación la llaareos Ecuación Diferencial. Existe toda una fauna de ecuaciones diferenciales y hoy disponeos de un iportante arsenal de técnicas, étodos y herraientas para encontrar la función G (x, y, z; t), la cual será nuestra * e-ail: nunez@ciens.ula.ve 1

2 función incógnita. Este curso trata, parcialente, de ostrar parte de esta fauna y de indicarles étodos para resolver un tipo particular de ecuaciones diferenciales: las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Epeceos por recordar que desde siepre heos tratado, la ayor de las veces sin saberlo o sin explicitarlo, con este tipo de ecuaciones en donde la incógnita no es un núero sino un conjunto de núeros: una función. El caso ás ebleático lo constituye el conjunto de fórulas que aprendios en nuestra ás tierna infancia intelectual cuando estudiábaos bachillerato o, ás recienteente, en los prieros cursos de Física General de la Universidad. En aquellos entonces describíaos el oviiento de partículas en una diensión, a través de dos ecuaciones: V f = V 0 + at y d = V 0 t + a t (1) de eoria repetíaos que V f representaba la velocidad final, V 0 la velocidad inicial, a la aceleración, t el tiepo transcurrido y d la distancia recorrida en ese tiepo. El problea consistía en encontrar, para un sinfín de situaciones físicas, prieraente el valor de la aceleración del óvil y a partir de las Leyes de Newton, luego conociendo la velocidad y la posición inicial, encontrábaos la posición, d, y la velocidad, V f en todo instante de tiepo. Así, ediante diagraas de cuerpo libre y la utilización de las leyes de Newton, encontrábaos el valor de la aceleración y las forulitas (1) resolvíaos el problea. V Fext f = V 0 + at Fext = a a = () d = V 0 t + a t Lo ás probable es que nuestros profesores nos repitieran hasta el cansancio que la suatoria de fuerzas externas F ext era constante, y lo ás seguro que nosotros en aquellos oentos no coprendiéraos la trascendencia de esa suposición. El caso ás representativo era el del oviiento de un cuerpo bajo la acción de un capo gravitatorio, ás aún: caída libre. V f = V 0 gt g = a a = g (3) d = V 0 t g t Lo que está detrás de este cuento que nos inició en el estudio de la Física y a uchos de nosotros nos sedujo para seguir estudiando y aprendiendo a tratar de describir la naturaleza, es, efectivaente, la utilización de las Leyes de Newton para odelar el fenóeno del oviiento. De este odo Fext = a = d x(t) = V (t) = dx(t) = V 0 + at x(t) = V 0 t + a t (4)

3 Sí la suatoria de fuerzas externas es una contante tendreos que = a = Claraente al identificar Fext = constante V (t) = a = t a + C x(t) = (t a + C ) = t a + C t + C 1 (5) C = V (t = 0) = V 0 y C 1 = x(t = 0) = x 0 = 0 (6) reobteneos nuestras forulitas ancestrales. Es iportante señalar que = a y dx(t) = t a + C (7) constituyen ecuaciones diferenciales donde las funciones incógnitas son la velocidad, V (t), y la posición, x(t), respectivaente. Abas funciones se encontraban dentro de un signo de derivada y fueron despejadas ediante un proceso de integración. La descripción del oviiento de partículas es ás rica y copleja. El oviiento de una gran cantidad de partículas puede ser siulado a través de una ecuación diferencial del tipo ( r (t), V (t) = d r(t) ) ; t = a = d r(t) ; t = a = d V (t) El carácter vectorial iplica tres ecuaciones diferenciales, una por cada diensión del oviiento, vale decir: F x ext ; t = a x = d x(t) = dv x(t) ( F y ext r (t), d r(t) ) ; t = a y = d y(t) F z ext ; t = a z = d z(t) = dv y(t) = dv z(t) Adeás del carácter vectorial de la ecuación, las coponentes de la fuerza pueden dejar de ser constantes y depender de no sólo del tiepo, sino del vector posición, del vector velocidad o, de abas siultáneaente. En este caso nuestras forulitas dejan de ser válidas en general y debeos integrar las ecuaciones diferenciales para obtener la trayectoria de la partícula r (t), conocidas: la asa,, la expresión de la suatoria de fuerzas externas Fext, la posición y la velocidad inicial ( r (t 0 ) = r 0 y V (t 0 ) = V 0 ). Este problea se conoce coo el problea de condiciones iniciales y es, coo heos dicho antes, la razón de este curso. Antes, intentaré ostrar coo ese conociiento del oviiento bajo acción de una resultante de fuerzas 3 (8)

4 constante, es decir el oviiento de una partícula con aceleración constante puede resultar uy útil para resolver, de fora aproxiada, el caso ás general que heos encionado: F total = ( Fext r (t), d r(t) ) ; t. Veaos con deteniiento que significan estas afiraciones. Es claro el tiepo de evolución esta coprendido entre el tiepo inicial y el tiepo final, t 0 t t final. Supongaos que dividios ese intervalo de tiepo en N subintervalos [t 0, t final ] = [t 0, t 1 ] [t 1, t ] [t, t 3 ] [t i, t i+1 ] [t N, t N 1 ] [t N 1, t N = t final ] (9) de tal odo que en cada uno de esos N subintervalos la aceleración es constante. En estas situación, nuestras forulitas son válidas. Esto es [t 0, t 1 ] Fext (d 0, V 0 ; t 0 ) V (t 1 ) = V 1 = V 0 + [t 1 t 0 ] V (t 0 ) = V 0 (10) Fext (d 0, V 0 ; t 0 ) [t 1 t 0 ] d (t d (t 0 ) = d 1 ) = d 1 = V 0 [t 1 t 0 ] + 0 [t 1, t ] V (t 1 ) = V 1 d (t 1 ) = d 1 Fext (d 1, V 1 ; t 1 ) V = V 1 + [t t 1 ] Fext (d 1, V 1 ; t 1 ) [t t 1 ] d = d 1 + V 1 [t t 1 ] + (11) [t i, t i+1 ] V (t i ) = V i d (t i ) = d i.. Fext (d i, V i ; t i ) V i+1 = V i + [t i+1 t i ] Fext (d i, V i ; t i ) [t i+1 t i ] d i+1 = d i + V i [t i+1 t i ] + (1) [t N 1, t N ] Fext (d N 1, V N 1 ; t N 1 ) V N = V N 1 + [t N t N 1 ] V (t N 1 ) = V N 1 Fext (d N 1, V N 1 ; t N 1 ) [t N t N 1 ] d d (t N 1 ) = d N = d N 1 + V N 1 [t N t N 1 ] + N 1 (13) Nótese que las posiciones y velocidades finales para cada intervalo, son las posiciones y velocidades iniciales para el intervalo siguiente y que el valor de la aceleración, que es variable, se toa coo constante e igual al valor que tiene en el coienzo del intervalo. 4

5 Figura 1: Diagraa de Cuerpo Libre de una esfera de corcho que eerge desde el fondo de un tanque de agua. Para analizar este caso considereos el caso de una esfera de corcho, con Radio R y asa M que se suelta desde el fondo de un tanque de agua de profundidad h. Quereos conocer con que velocidad llega la esfera a la superficie. El diagraa de cuerpo libre se puede observar en la figura 1 y la ecuación de Newton para este caso se expresa coo ; t En la cual heos identificado = a g KηV (t) + f g = peso g (14) Fricción KηV (t) (15) Epuje f g Coo aprendios tabién hace algún tiepo el epuje o fuerza de Arquíides es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. Por ello aparece f que representa la asa del fluido. Para el caso en el cual el fluido no es viscoso, es decir, no hay fricción con el fluido, la ecuación se 5

6 reduce a ; t = a g + f g = a (16) en la cual claraente la aceleración es constante e igual a ( f ) ( ) a = g 1 ρf g 1 = cte (17) ρ c donde heos indentificado ρ f la densidad del fluido y ρ c la densidad del cuerpo. Para encontrar la velocidad con la cual llega a la superficie, encontraos priero el tiepo que tarda en subir y luego evaluaos la velocidad en ese tiepo. Esto es h = g ( ) ρf t 1 ρ c t = ( ) ρf hρ c V final = g 1 ρ c g (ρ f ρ c ) hρ c g (ρ f ρ c ) En el caso general, descrito por la ecuación (14), procedeos del iso odo: encontraos el tiepo en el cual llega la superficie y luego evaluaos la expresión para la velocidad para ese tiepo. Fíjense que la estrategia para resolver el problea físico es la isa, sólo que tendreos que disponer de un arsenal adicional de herraientas y técnicas para despejar la función velocidad. Aprendereos a resolver ecuaciones diferenciales de la isa anera que antes resolvíaos ecuaciones algebraicas. En este caso la solución exacta para la expresión de la velocidad es g KηV (t) + f g = V (t) = g ( tkη f) e Kη (18) (19) (0) 1 (1) Con lo cual dy(t) = V (t) = g ( tkη f) e 1 () Kη y la función posición surge de integrar la ecuación diferencial Y (t) = g( tkη f) e + tkη (3) K η desafortunadaente la no se puede despejar el tiepo de anera exacta por cuanto la ecuación Kη t g ( f ) e 1 + Kη t = h (4) K η 6

7 es una ecuación trascendente y debe ser resuelta nuéricaente. Haciendo algunas sustituciones siplificadoras f = 4 3 π ξ ρ R3 ; = 4 3 π φ ρ R3 ρ f = ξρ ρ c = φρ y K = 6 π R (5) Donde ξ y φ representan las densidades relativas del fluido y del cuerpo respecto al agua (de densidad ρ ), respectivaente. Seguidaente sustituios los valores nuéricos g = 9,8; R = 0,0; ρ = 10 3 ; ξ = 1; φ = 0,8; V 0 = 0; η = 1, (6) la ecuación (4) nos queda para h = 10, ts 10 = 1339,7755 (1 exp( 0, t)) 173, t (7) y se obtiene t final =, sg. con el cual se evalúa la ecuación para la velocidad V (t) = 173, (1 exp( 0, t)) V final = 6, /s (8) En la siguiente tabla se ipleentan las ecuaciones (10) a (13) habida cuenta de las siplificaciones (5) y los valores nuéricos (6) para h = 1/10 [t i+1 t i ] t i (s) V i (/s) d i () V (t) (/s) d (t) () V i y d i representan la velocidad y la posición aproxiada, tal y coo se expresan en las ecuaciones (10) a (13). Mientras que V (t) y d (t) ilustran los valores de la velocidad y la posición exactas, calculadas a partir de las ecuaciones () y (3). Es clara que la aproxiación es buena hasta la priera cifra decial. 7