Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile

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Celia Toledo Flores
hace 6 años
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1 Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIS-5-0: Física Clásica FIZ-0-0: Mecánica Clásica Ejercicios Resueltos de Dináica 30 de Aosto de 008 Problea : Considere el sistea de la fiura, que consiste en dos bloques de asas M respectivaente, unidos por una cuerda ideal de laro l. a) Suponiendo que el coeficiente de roce estático entre los bloques el suelo es el iso, e iual a µ e, cual es la áia fuerza F que se puede aplicar a M sin que el sistea se ueva. b) Si el coeficiente de roce dináico entre los bloques es µ d, que fuerza F se debe aplicar al bloque de asa M para que abos bloques aceleren con aceleración a. Cuál es el valor de la tensión de la cuerda en ese caso? M F µ, µ µ, µ e d e d Solución: a) En la fiura heos dibujado los diaraas de cuerpo libre para abos cuerpos. Si el sistea está en equilibrio, teneos que F f r = 0, M = 0,, f r µ e M, () f r = 0, M = 0,, f r µ e. () Suando las dos prieras ecuaciones de () () teneos de inediato que de odo que F á = µ e (M + ). F = f r + f r µ e (M + ), (3) b) uevaente teneos = M =, esta vez, f r = µ d = µ d M, f r = µ d = µ d. Coo cada bloque acelera con aceleración a, aplicando la seunda le de ewton a cada cuerpo obteneos, F f r = F µ d M = Ma, (4)

2 f r f r M M F para el bloque de asa M,, f r = µ d = a, (5) para el bloque de asa. Suando aas ecuaciones obteneos F µ d (+ M) = ( + M)a, así es que finalente, F = ( + M) [a + µ d ]. Problea : Un bloque de 5 [k] se coloca sobre un bloque de 0 [k], coo se indica en la fiura. Se aplica sobre el bloque de 0 [k] una fuerza horizontal de 45 [], en tanto que el bloque de 5 [k] está aarrado a la pared. El coeficiente de roce dináico entre las dos superficies en oviiento es µ d = 0,. a) Dibuje un diaraa de cuerpo libre para cada bloque identificando las fuerzas de acción reacción dobre los bloques. b) Deterine la tensión en la cuerda la aceleración del bloque de 0 [k]. 5k 0 k F=45 Solución: a) En la fiura heos dibujado los diaraas de cuerpo libre para cada uno de los dos bloques del problea: Sobre el bloque superior actúan las siuientes fuerzas: la tensión de la cuerda hacia la izquierda; el peso 5 hacia abajo; la noral hacia arriba, el roce entre los dos bloques, de anitud f r hacia la derecha (nótese que el bloque superior ejerce la fuerza f r hacia la izquierda sobre el bloque inferior).

3 5k 5 f r f r R 0 k F=45 0 Sobre el bloque inferior actúan las siuientes fuerzas: la fuerza F = 45 [] hacia la derecha; el peso 0 hacia abajo; la reacción del bloque superior hacia abajo; la reacción del suelo sobre el bloque R el roce entre los dos bloques, de anitud f r hacia la izquierda. b) El bloque de arriba está en reposo, ientras que el de abajo acelera hacia la derecha con aceleración a. Entonces las ecuaciones de oviiento son: para el bloque de arriba, f r = 0, en que Y, para el bloque de abajo, 5 = 0, f r = µ d = 0, = 0, 5 =. 45 f r = 45 = 0a, R = 0 + = 5. De las ecuaciones anteriores obteneos, a = 3, 5/se, = f r = = 9, 8[]. Problea 3: Se counica al ladrillo de la fiura una velocidad v 0 a lo laro del plano inclinado diriida hacia arriba. Supona que la superficie del plano 3

4 inclinado es ruosa que el coeficiente de roce dináico entre la superficie el ladrillo es µ d, que el ánulo α es aor que el crítico (i.e., tan α µ e, en que µ e es el coeficiente de roce estático entre el ladrillo la superficie del plano inclinado). a) Encuentre la distancia que recorrerá el ladrillo plano arriba, b) Calcule el tiepo que tardará en deslizarse hacia arriba hacia abajo hasta volver a su posición inicial. α v 0 Solución: a) Cuando el ladrillo viaja plano arriba, la fuerza de roce apunta plano abajo. En la fiura heos dibujado todas las fuerzas que actúan sobre el ladrillo, heos ilustrado la elección de nuestros ejes coordenados. f r α De la fiura teneos de inediato las ecuaciones de oviiento para el ladrillo, i.e., cos α = 0, (6) senα f r = senα µ d cos α = ẍ, (7) de odo que la aceleración del ladrillo está dada por ẍ = (senα + µ d cos α). (8) Interando esta ecuación dos veces, usando las condiciones iniciales, (0) = 0, ẋ(0) = v 0, obteneos (coo en clases), ẋ(t) = v 0 (senα + µ d cos α)t, (9) 4

5 (t) = v 0 t (senα + µ d cos α)t. (0) De (0), veos que el tiepo que el ladrillo tarda en subir (hasta detenerse) es t = la distancia que recorre, d = (t ) está dada por d = v 0 (senα + µ d cos α), () v 0 (senα + µ d cos α). () b) Cuando el ladrillo viaja plano abajo, la fuerza de roce apunta plano arriba. En la fiura heos dibujado todas las fuerzas que actúan sobre el ladrillo, heos eleido los isos ejes coordenados que en la parte a). f r α De la fiura teneos de inediato las ecuaciones de oviiento para el ladrillo, i.e., cos α = 0, (3) senα + f r = senα + µ d cos α = ẍ, (4) de odo que la aceleración del ladrillo está dada por ẍ = (senα µ d cos α). (5) Interando (5), usando esta vez las condiciones iniciales, (0) = d ẋ(0) = 0, obteneos, (t) = d (senα µ d cos α)t. (6) El tiepo t que el ladrillo tarda en bajar está dado por (t ) = 0, de odo que, t = d/((senα µ d cos α)) = v 0 sen α µ d cos α, (7) en que usaos () para reeplzara el valor de d obtenido en la parte a). 5

6 Problea 4: En la fiura, el coeficiente de roce dináico entre los bloques de [k] 3 [k] es 0, 3. La superficie horizontal las poleas no tienen roce las asas se liberan a partir del reposo. a) Dibuje los diaraas de cuerpo libre de cada bloque. b) Calcule la aceleración de cada bloque. c) Deterine las tensiones en las cuerdas. 3 Solución: a) En la fiuras siuientes heos dibujado nuestra elección de coordenadas los diaraas de cuerpo libre de cada uno de los tres bloques. D z 3 b) De abas fiuras anteriores, podeos escribir de inediato las ecuaciones de oviiento de cada uno de los tres bloques, así coo las ecuaciones de liazón para las coordenadas de los bloques. Estas son: 3 = 3 z, (8) 6

7 f f r 3, en que f r = ẍ, (9) f r = ẍ, (0) f r = µ d = µ d. () Las ecuaciones de liazón entre las coordenadas de las partículas, que toan en cuenta el hecho que las cuerdas son de laro fijo, están dadas por, (en que l es, esencialente, el laro de la cuerda ),, + = l () z + (D ) = l, (3) en que l es, esencialente, el laro de la cuerda, D es la distancia entre la pared el precipicio. Suando las ecuaciones (8), (9) (0), usando que ẍ = ẍ = z (que siue de ( (3), tabién reeplazando el valor de f r dado por () obteneos, z = 3 µ d + + 3, (4), = ( µ d + 3 ( + µ d ) µ d ) + + 3, (5) = 3( ( + µ d ) + ) (6) Finalente, para los datos nuéricos del problea obteneos: z = 5, 76 [/se ], = 3, 8[], = 40, 55 []. Problea 5: Considere un alabre plano descrito por la ecuación = (). Supona que sobre él puede deslizar una asa. Qué fora debe tener el alabre para que al hacerlo irar en torno al eje vertical (eje con velocidad 7

8 anular constante ω la asa se desliza sobre él se encuentre en equilibrio en cualquier punto? [Ref.: pp. 46 (Prob. 8; Cáp. ), del libro R.B., M.C. Depassier, Probleas Resueltos de Mecánica Clásica, Ediciones UC, Santiao de Chile, 995]. ω () Solución: Las coordenadas de la asa son e () coo se indica en la fiura. Las fuerzas que actúan sobre la asa son su peso ĵ la reacción del alabre sobre ella (noral al alabre). Por otra parte, coo vios en clases, la aceleración de la asa (que está describiendo un círculo de radio con velocidad anular unifore ω) es centrípeta está dada por a = ω î. La ecuación de oviiento de la asa está dada por ĵ + = ω î. (7) Coo es noral a la curva, ˆt = 0, en que ˆt es la tanentea la curva (). Si llaaos r = î + ()ĵ al vector posición de la asa, d r d = î + d dĵ (8) es tanente a la curva. Multiplicando (7) por d r/d obteneos es decir, d d = ω, d d = ω, ecuación que puede ser interada de inediato (usando el eorea Fundaental del Cálculo) para obtener = () = ω + c. (9) La ecuación (3) es la ecuación de una parábola. Aquí c, es una constante de interación corresponde al ínio de la parábola, que por supuesto puede ser fijado en fora arbitraria. 8

9 ω ota: Si se hace irar un vaso con aua (o cualquier otro líquido) con respecto al eje del vaso con velocidad anular constante, la superficie libre del líquido adopta precisaente la fora parabólica que heos encontrado en la solución de este problea. Ver, e.., el libro de H. Lab, Hdrodnaics, Dover Publications, Y, 945, problea 6, pp. 8, Capítulo. 9

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