FISICA 1 (Q) PRIMERA PARTE 2do CUATRIMESTRE Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación

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1 FISICA 1 (Q) PRIMERA PARTE do CUATRIMESTRE CINEMÁTICA 1 - Un cuerpo se ueve a lo laro de una línea recta de acuerdo a la ecuación x + 3 = kt bt, con k, b constantes 0. a) Calcule la velocidad y la aceleración del cuerpo en función del tiepo, y rafíquelas. b) Halle el instante de tiepo, y la correspondiente posición, en el cual el cuerpo tendrá velocidad nula. c) Describa cualitativaente el oviiento indicando en qué intervalos de tiepo el oviiento es acelerado y en cuáles desacelerado. - Una partícula se desplaza en línea recta de acuerdo a la ecuación 0 x = x + kt, con x 0, k constantes > 0. a) Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiepo. b) Exprese las anitudes del punto a) en función de la posición, y rafíquelas partiendo de la posición a t = Un cuerpo se ueve en línea recta partiendo a t = 0 de la posición x(t = 0) = 0 con velocidad v (t = 0) = v 0. Encuentre x() t y x( v) en los casos en que la aceleración del cuerpo está dada por la ecuación (k constante): a) a = kt, k > 0. b) a = kv, k > 0. c) a = kvx, k > A t=0 se deja caer un cuerpo sin velocidad inicial desde una altura H del piso. Adeás del peso actúa una fuerza en la dirección horizontal que provoca una aceleración en esa dirección que puede expresarse coo a x = kt con k > 0. a) Escriba las ecuaciones de oviiento y halle la ecuación de la trayectoria. b) Dia en qué punto del eje x el cuerpo tocará el suelo. Copare con los resultados que se obtienen para a = 0 x 5 - Un helicóptero se encuentra suspendido en la posición x = L, y = H. En t = 0 el 1

2 helicóptero coienza a descender con aceleración ay = kt (k constante > 0). En el orien de coordenadas hay un cañón que fora un ánulo con la horizontal y dispara proyectiles con velocidad de salida v 0. a) Encuentre la trayectoria del proyectil (y en función de x). Grafique y vs x para el proyectil y para el helicóptero. b) Dia para qué valores de v o la trayectoria del proyectil y la del helicóptero se intersectan. c) Si v 0 es aluno de los valores hallados en b) dia en qué instante debe efectuarse el disparo para que el proyectil haa ipacto sobre el helicóptero. 6 - Un jueo de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se ueve por un carril rectilíneo con aceleración a = kt hacia la derecha, con k constante > 0. A t = 0, la pelotita se halla en reposo en el extreo izquierdo del carril (punto A). El juador dispone de un rifle, ubicado a una distancia D del punto A, que dispara bolas con velocidad v 0 variable, pero con un ánulo fijo. rifle v 0 A a=kt carril D a) Con qué velocidad v 0 debe disparar el juador para que le sea posible acertar en la pelotita? Es decir, para qué valor de v 0 las trayectorias de la bala y la pelotita se intersectan?. b) Si v 0 es aluna de las velocidades halladas en a), en qué instante debe disparar el juador para pearle a la pelotita?. 7 - Un juador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad inicial v 0 y ánulo de elevación θ. La tribuna fora un ánulo con la horizontal (ver fi.). Se aconseja utilizar un sistea de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones horizontal y vertical, respectivaente.

3 L v 0 θ a) Muestre que la expresión del alcance L en función del ánulo θ está dada por: v L = 0 sen( θ )cosθ. cos b) Grafique el alcance L en función de θ y deuestre que para cada valor de L hay dos valores posibles de θ (tiro rasante y tiro de elevación). c) Cuál es el ánulo θ para el cual el alcance es áxio? 8 - Un cuerpo inicialente en reposo (θ (t = 0) = 0, ω (t = 0) = 0) es acelerado en una 4 3 trayectoria circular de 1,3 de radio, de acuerdo a la ley γ = 10s t 48s t + 16s donde γ es la aceleración anular edida en se. Halle: a) θ = θ (t) b) ω = ω (t) c) el vector aceleración (utilice la descoposición polar). d) cuánto vale v r en t = se? 9 - Un ecaniso de relojería utilizado para controlar cierta aquinaria consiste de dos aujas A y B que se ueven abas en sentido horario. La auja A se ueve con velocidad anular constante ω 0 partiendo de ϕ A (t = 0) = 0, ientras que la auja B se ueve con una aceleración anular constante γ partiendo con velocidad anular ω B (t = 0) = ω 0 de la posición ϕ B (t = 0) = 0. a) Calcule en qué instantes abas aujas coinciden. b) Ide en el caso en que la auja A se ueva en sentido antihorario Un auto azul parte del reposo desde el punto O en el instante t = 0, y describe una π 3 trayectoria circular de radio R = 90 con una aceleración anular Γ a = kt (k= s ). 6 Pasado un tiepo de 3 s desde la partida del auto azul, parte del reposo desde O un auto rojo que se ueve en línea recta hacia el punto P con una aceleración constante: a r = a xˆ 0 3

4 azul y x O rojo R P a) Calcule la aceleración y la velocidad del auto azul coo función del tiepo. b) Cuánto tiepo tarda el auto azul en llear al punto P?. c) Cuál debe ser el valor de a 0 para que el auto rojo pueda alcanzar al auto azul en el punto P? Un faro que ira con velocidad anular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla ubicada a una distancia d = OP (ver fi.). x P L pantalla A ϕ faro O ω a) Halle la velocidad lineal del punto luinoso sobre la pantalla en función de datos y de x. b) Calcule en función de datos y de x la velocidad anular del punto luinoso para un observador situado a una distancia D = AP de la pantalla. (Suerencia: haa este cálculo usando trionoetría). c) Cóo debería ser la velocidad anular del faro para que el punto luinoso se ueva con velocidad constante? 4

5 1 - Una catapulta está ubicada a una distancia D de un castillo (ver fi.). La catapulta se utiliza para lanzar proyectiles y consiste en un dispositivo ediante el cual cada proyectil parte desde la posición (1) con velocidad nula, lueo se ueve sobre la trayectoria circular ( n+ 1) K n de radio R con una aceleración anular ϕ& & dada por & ϕ = n+ ϕ (donde K y n son π 1 constantes, n = 4) y finalente es liberado en la posición (3). catapult 3 proyectil R ϕ 1 P D a) Exprese la velocidad tanencial v del proyectil (cuando está en la catapulta) en función de K, R y ϕ. Calcule v para la posición (). b) Calcule (en función de K, R y ) la distancia D a la que hay que ubicar la catapulta para que los proyectiles lanzados por ella peuen en el punto P del castillo Un nadador puede nadar a 0,7 /se. respecto del aua. Quiere cruzar un río de 50 de ancho, cuya corriente de aua tiene una velocidad de 0,5 /se. a) Si quiere llear al punto opuesto en la otra orilla, en qué dirección debe nadar? cuánto tarda en cruzar?. b) Si quiere cruzar en el enor tiepo posible, en qué dirección debe nadar?, a qué punto lleará? Sobre una rapa inclinada a 30º respecto de la horizontal, un óvil asciende con una aceleración de 1 /se. Si la rapa se acelera a partir del reposo hacia la derecha a 0,5 / se : a) Cuál es la aceleración del óvil respecto de la tierra?. b) Qué velocidad adquiere el óvil al cabo de 1 se respecto de la rapa y de la tierra?. 5

6 - DINÁMICA 1 - El sistea de la fiura está inicialente en reposo, las poleas y los hilos tienen asas despreciables y los hilos son inextensibles. B A 3 1 a) Escriba las ecuaciones de Newton para las asas y la condición de vínculo que relaciona sus posiciones. b) Halle la aceleración de cada cuerpo y las tensiones en los hilos en función de las asas y de. - Un cuerpo de asa 1 está ubicado sobre una esa horizontal sin fricción, unido a otro cuerpo de asa por edio de un sistea de poleas, coo se uestra en la fiura. Considere que las soas son inextensibles, y que soas y poleas tienen asas despreciables. El sistea está inicialente en reposo y la polea A es óvil. 1 A B a) Escriba las ecuaciones de Newton para abas asas y la condición de vínculo que relaciona sus posiciones. b) Encuentre la aceleración de cada asa y las tensiones en los hilos en función de 1, y. 6

7 3 - El sistea de la fiura utiliza dos contrapesos de asa para levantar un cuerpo de asa M, que se halla inicialente en reposo sobre el piso. Considere que las soas son inextensibles, y que soas y poleas tienen asas despreciables. M a) Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para los cuerpos que foran el sistea. b) Calcule la aceleración de cada cuerpo en función de, M, y. c) Si el sistea coienza a accionar cuando se quitan los soportes que sostienen los contrapesos, indicar cuál es el ínio valor de para levantar el cuerpo a una altura H en un tiepo T. 4 - Un bloque de asa 1 está ubicado sobre un plano inclinado de asa e inclinación ϕ, el cual descansa sobre una superficie horizontal, coo uestra la fiura. Abas superficies carecen de fricción, y tanto el bloque coo el plano pueden overse. y ϕ 1 x i) Si el plano inclinado está fijo, halle las coponentes x e y de la aceleración del bloque. ii) Si el plano inclinado es libre de overse: a) Muestre que la coponente x de la aceleración del bloque es: = tan ϕ /( sec ϕ + 1 tan ϕ). a 1x b) Muestre que la coponente x de la aceleración del plano inclinado (y su única 7

8 coponente) es: c) Muestre que a 1 y es: a = tan ϕ /( sec ϕ + 1 tan ϕ). x 1 1 = ( 1 + ) tan ϕ /( sec ϕ + 1 tan ϕ). a y 5 - Una varilla de lonitud d se deja caer sobre un plano inclinado sin rozaiento coo se ve en la fiura, con H, L y coo datos. Un seundo después se dispara un proyectil sobre el plano con una velocidad inicial v r 0 forando un ánulo de 45º con respecto a la base del plano. H d v r 0 45º L a) Escriba las ecuaciones de Newton para el proyectil y la varilla utilizando un sistea de referencia fijo a la superficie del plano. b) Calcule las aceleraciones de abos cuerpos. c) Dia para qué valores de v 0 el proyectil alcanza la varilla. 6 - Una bolita de asa se desliza sobre una seiesfera de radio R, carente de fricción, coo se uestra en la fiura. R θ 8

9 a) Si inicialente la bolita es apartada de θ = 0 en un ánulo uy pequeño y su velocidad inicial es cero, calcular el ánulo θ para el cual se separa de la superficie esférica. b) Si ahora la bolita se enarza en un riel seicircular sin fricción de radio R, hallar la velocidad con que llea al suelo. Qué aceleración tanencial tiene en ese instante?. *c) Si la bolita está enarzada en el riel, estie nuéricaente el tiepo que tarda en llear al suelo si R = 1c, 10 c, 50 c, 100 c. Confeccione un ráfico del tiepo de lleada en función de /R (si lo necesita, calcule el tiepo para otros valores de R). 7 - Se tiene una bolita de asa unida al extreo de una barra ríida, de lonitud L y asa despreciable. La barra es libre de irar en el plano vertical alrededor de su otro extreo, fijo en un punto P. Se conoce la velocidad v 0 de la partícula cuando pasa por el punto ás bajo de su trayectoria. P θ L Deterine, en función de v 0,, L y : a) Los valores del ánulo θ que pueden ser alcanzados durante el oviiento y el ánulo θ v para el cual la velocidad de la bolita se anula. b) El ánulo θ f para el cual la fuerza que hace la barra sobre la bolita se anula. Observe que θ f puede no existir. c) Bajo qué condiciones se puede reeplazar la barra por una cuerda inextensible sin odificar la cineática de la partícula? Justifique. *d) Analice el problea nuéricaente para varias condiciones iniciales. Qué tipo de oviiento observa?. Confexione un ráfico que uestre la dependencia del período de oviiento con su aplitud. 8 - Considere una bolita de asa sujeta a una varilla ríida que le counica un oviiento circular unifore con velocidad anular de ódulo ω en un plano vertical. 9

10 j w a) Escriba la ecuación de Newton para la bolita y las condiciones de vínculo a las que está sujeto el oviiento. b) Calcule la fuerza ejercida por la barra en función del ánulo ϕ. 9 - Dos cuerpos de asas M y, respectivaente, se hallan unidos a los extreos de un hilo inextensible que pasa a través de un tubo delado de vidrio, tal coo se uestra en la fiura. El cuerpo de asa describe una trayectoria circular alrededor del tubo, en un plano horizontal, de tal fora que M peranece en reposo, siendo T el período del oviiento circular. Considere la asa del hilo despreciable y M >. h L M a) Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para los cuerpos que foran el sistea. b) Dia cuál es el ánulo entre el hilo y el tubo en función de y M. c) Exprese el valor de L en función de T,, M y. d) Exprese T en función de y h Un cuerpo de asa se halla apoyado sobre una superficie cónica sin fricción, colando del extreo de una cuerda inextensible de lonitud L. En el instante inicial el 10

11 cuerpo rota con velocidad anular de ódulo ω 0. L a) Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo para el cuerpo. b) Calcule la aceleración del cuerpo. c) Halle el valor de la tensión de la cuerda y de la fuerza de interacción ejercida por la superficie. Dia para que valor de ω 0 esta últia fuerza se anula Para que un avión que vuela con v r = cte. pueda realizar una trayectoria circular de radio R, debe inclinar el plano de sus alas en un ánulo θ respecto de la horizontal. Considere que sobre el avión actúa, adeás del peso, la fuerza de epuje aerodináico, la cual apunta hacia arriba, perpendicular al plano de las alas. θ a) Escriba la ecuación de Newton para el avión. 11

12 b) Deterine el ánulo θ en térinos de v r, R y. Cuál es el ánulo para v r = 60 /se y R = 1 k? 1 - Un jueo de un parque de diversiones consiste en un carro de asa 1 que se desplaza sobre un riel seicircular de radio R, carente de rozaiento. El carro es arrastrado ediante una soa que se desliza a lo laro del riel y que está enanchada a un sistea de poleas del cual cuela un contrapeso de asa. Este contrapeso se ueve sobre un plano inclinado, sin fricción, que fora un ánulo con la horizontal. Considere que las soas son inextensibles, y que soas y poleas tienen asas despreciables. 1 ϕ a) Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para abas asas. b) Dia para qué valor de ϕ el carro podrá peranecer en reposo. c) Encuentre la velocidad del carro coo función de ϕ. *d) Resuelva nuéricaente la ecuación de oviiento y encuentre el tiepo que tarda el carrito en subir hasta ϕ =π /, suponiendo que sen =1/, 1 =, ϕ (0)=0, ϕ& ( 0) = 0. 1

13 3- INTERACCIÓN DE ROZAMIENTO 1 - Un cuerpo de asa 1 se apoya sobre otro de asa coo indica la fiura. No hay rozaiento entre la esa y el cuerpo, pero si entre los cuerpos 1 y, siendo µ E el coeficiente de rozaiento estático entre abos. a) 1 F c) 1 F a) Cuál es la fuerza áxia aplicada sobre el cuerpo 1 que acelera a abos cuerpos, sin que deslice uno respecto del otro?. b) Cuál es la aceleración del sistea?. c) Ide que a) y b) pero si se aplica la fuerza sobre el cuerpo. d) Se aplica ahora sobre la asa una fuerza el doble de la calculada en c). Cuál es la aceleración de 1 y si el coeficiente de rozaiento dináico es µ D?. e) Si la diensión del cuerpo es L y la del cuerpo 1 es l, siendo l << L Cuánto tardará en caerse 1 si inicialente estaba apoyada en el centro de?. - Se trata de over un bloque de asa sobre un plano inclinado ejerciendo una fuerza F r, tal coo indica la fiura. El coeficiente de rozaiento estático entre el bloque y el plano es µ E. F a) Si F r = 0 para qué valores de el bloque estará en reposo?. b) Si es aluno de los hallados en a), para qué valores de F r peranecerá el bloque en reposo?. c) Si = k y µ E = t = 0.3 hallar la F r áxia que se puede ejercer de odo que el bloque no se ueva. 3 Dos cuerpos de asas 1 y se hallan unidos entre sí a través de un sistea de poleas, tal coo indica la fiura. El cuerpo 1 se desliza sobre un plano inclinado, de inclinación, el cual posee rozaiento, siendo µ e y µ d los coeficientes de rozaiento 13

14 estático y dináico, respectivaente. Considere que los hilos son inextensibles y de asa despreciable, y que las poleas tienen asas despreciables. 1 O P a) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para el sistea. b) Si el sistea se halla inicialente en reposo, encuentre dentro de qué rano de valores debe estar para que el sistea peranezca quieto. c) Dia cúanto debe valer para que dicha asa descienda con aceleración constante a. Dia, justificando su respuesta, si la aceleración a puede ser tal que a>. d) Para el caso considerado en c), halle la posición de la polea O coo función del tiepo, sabiendo que en el instante inicial estaba a distancia h del piso con velocidad nula. La polea se acerca o se aleja del piso?. 4 - Un autoóvil recorre una autopista con velocidad constante v en un trao en el cual el caino tiene un radio de curvatura R. La autopista es perfectaente horizontal, es decir, sin peralte. a) Cuál debe ser el ínio coeficiente de rozaiento para que el autoóvil no deslice? El rozaiento será estático o dináico? Por qué? b) Con qué peralte le aconsejaría a un ineniero que construya una autopista que en una zona tiene un radio de curvatura R?. Supona que no hay rozaiento y que todos los autos tienen velocidad v. 5 - Preunta: Si sabe que un sistea de partículas está en reposo y quiere hallar la fuerza de rozaiento la obtiene a partir de las ecuaciones de Newton y de vínculo o la obtiene poniendo fr e = µ e N? 6 - Dos bloques de asas 1 y se hallan apoyados sobre un plano inclinado, de inclinación, con rozaiento, unidos entre sí por una barra ríida, de asa despreciable, tal coo se indica en la fiura. Los coeficientes de rozaiento estático entre los bloques (1) y () y la superficie son µe 1 y µe, respectivaente. 14

15 1 a) Supona que los bloques están en reposo y encuentre una relación entre fr 1, fr, 1, y (fr = fuerza rozaiento). Grafique la relación en un ráfico fr vs. fr 1. b) Si los datos son µ e = 0.6, µ e1 = 0.9, 1 = 5 k, = 10 k, = 30º, dibuje en el ráfico anterior la zona en donde el rozaiento puede ser estático. c) Dia si es posible, con estos datos, el estado de reposo que heos supuesto. d) Puede deterinar los valores de fr 1 y fr?. Dia qué valores puede toar para que el sistea peranezca en reposo. 7 - Dos bloques de asas 1 y se hallan apoyados sobre sendos planos inclinados, de inclinaciones y b, respectivaente, unidos entre sí por un hilo inextensible y de asa despreciable, tal coo se indica en la fiura. Los coeficientes de rozaiento estático y dináico entre los bloques y las correspondientes superficies son µ E = 0.3 y µ D = 0.5, respectivaente. 1 β a) Inicialente se traba el sistea, de odo que esté en reposo, dia qué relaciones se deben cuplir entre las asas y los ánulos para que quede en reposo cuando se lo destrabe. b) Si 1 = 1 k, = k, = 60º y β = 30º, se pondrá en oviiento el sistea?. c) Supona ahora que inicialente se le da al sistea cierta velocidad inicial y que los 15

16 datos son los dados en b). Encuentre la aceleración y describa cóo será el oviiento del sistea teniendo en cuenta los dos sentidos posibles de dicha velocidad. 8 - Preunta: Cuál es el vicio del siuiente razonaiento? Sobre un cuerpo apoyado sobre la pared se ejerce una fuerza F. f r F N El cuerpo está en reposo porque su peso es equilibrado por la fuerza de rozaiento. Coo fr es proporcional a la noral, podeos conseuir que el cuerpo ascienda auentando el valor de F. 16

17 4- MOVIMIENTO OSCILATORIO 1 - Considere una partícula de asa suspendida del techo por edio de un resorte de constante elástica k y lonitud natural l 0. Deterine cóo varía la posición con el tiepo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia l 0 del techo, con velocidad nula. - El sistea de la fiura, copuesto por dos cuerpos de asas 1 y y un resorte de constante elástica k y lonitud natural l 0, se encuentra inicialente en equilibrio. Se lo pone en oviiento ipriiendo a la asa 1 una velocidad v 0 hacia abajo. Considere que no hay rozaiento entre los cuerpos y las superficies. k, l o 1 a) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para 1 y. b) Dia cóo varía la posición de con el tiepo. 3 - Un cuerpo de asa se desliza sobre una superficie horizontal, sin rozaiento, conectado a dos resortes de constantes elásticas k 1 y k, y lonitudes naturales l 01 y l 0, respectivaente, tal coo se uestra en las fiuras a), b) y c). k k. 1 (a) d k 1 k (b) i) Deostrar que la frecuencia de oscilación d vale, en el caso a) k 1 k (c) l 01 = l 0 f 1 = π k1k ( k + k ) 1 y en los casos b) y c): 17

18 = 1 k1 + k π f ii) Encuentre las posiciones de equilibrio en cada uno de los casos. 4 - Una bolita de asa se halla sobre un plano inclinado sostenida por dos resortes, de constantes elásticas k 1 y k, y lonitudes libres l 01 y l 0, respectivaente, los cuales se encuentran fijos a dos paredes separadas una distancia L. k 1, l 01 k, l 0 a) Plantee la ecuación de Newton para la bolita y encuentre la ecuación de oviiento. b) Halle la posición de equilibrio y deterine si es estable o inestable. c) Si partiendo de la posición de equilibrio el sistea se pone en oviiento ipriiéndole a la bolita una velocidad v 0 hacia arriba, encuentre la posición de la bolita coo función del tiepo. 5 - Cuatro resortes idénticos, de constante elástica k desconocida y lonitud natural l 0, se hallan sosteniendo un cuerpo forado por dos pesas de asa cada una, coo uestra la fiura. k k k k a) Sabiendo que la posición de equilibrio del cuerpo se halla a una distancia d del techo, encuentre el valor de k. b) Estando el sistea en su posición de equilibrio se retira una de las pesas sin perturbarlo y se lo deja en libertad. i) Obtena la ecuación que rie el oviiento posterior del sistea. Calcule el período de oscilación y la nueva posición de equilibrio. ii) Utilizando las condiciones iniciales halle la posición del cuerpo en función del tiepo. 18

19 6 - Un cuerpo de asa que se halla suspendido de un hilo inextensible, de lonitud L y asa despreciable, realiza un oviiento oscilatorio en un plano vertical, siendo θ el ánulo entre la vertical y el hilo. a) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para el cuerpo. b) Si L=80 c Bajo qué aproxiación el oviiento es arónico? Qué período tiene el oviiento? c) Si en t = 0 vale θ = 0 yθ & = 0. se 1 se satisface la aproxiación de b) t? d) Usando las ecuaciones planteadas en a) halle la posición de equilibrio y dia si es estable o inestable y por qué. 7 - Una bolita de asa está enhebrada en un aro seicircular de radio R y sujeta a un resorte de constante elástica k y lonitud natural l 0 = πr/, coo uestra la fiura. a) Halle la ecuación diferencial que rie el oviiento de la bolita. b) Encuentre posiciones de equilibrio y deterine, justificando su respuesta, si son estables o inestables. 8 - Una bolita de asa se ueve por un tubo delado, carente de rozaiento, el cual describe una seicircunferencia de radio R. La bolita se halla sujeta por un extreo a un resorte de constante elástica k y lonitud natural l 0 = πr/, y por el otro a una soa, deslizando abos eleentos por el interior del tubo, tal coo uestra la fiura. Del extreo de la soa pende, a través de una polea, otro cuerpo de asa M que actúa coo contrapeso. Considere la soa inextensible, y las asas de soa, resorte y poleas despreciables. En el instante inicial la bolita se halla en el punto A ( ϕ = 0 ) con velocidad v 0. 19

20 a) Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo para los cuerpos que foran el sistea. b) Encuentre la ecuación diferencial que rie el oviiento de la bolita. c) Halle ráficaente la o las posiciones de equilibrio de la bolita, deterinando si corresponden a posiciones de equilibrio estable o inestable. d) Halle la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el tubo sobre la bolita coo función del ánulo ϕ. 9 - Una bolita de asa está enhebrada en un aro circular, carente de fricción y de radio R, unida al extreo de un resorte de constante k y lonitud natural nula (se considera despreciable frente al radio del aro). El otro extreo del resorte corre libreente a lo laro de un eje vertical, de odo tal que el resorte peranece siepre en posición horizontal, tal coo uestra la fiura. θ R a) Halle las ecuaciones de Newton y de vínculo para la bolita. b) Si inicialente bolita se encuentra en θ = π/ con velocidad nula, halle la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el aro en función del ánulo θ. c) Encuentre las posiciones de equilibrio y analice si son estables o inestables El sistea de la fiura, forado por un cuerpo de asa que desliza sobre una superficie horizontal unido un resorte de constante k y lonitud natural l 0, se halla suerido en un edio viscoso que le ejerce una fuerza de rozaiento proporcional a la velocidad del cuerpo, siendo r la constante de proporcionalidad. 0

21 l 0 k x a) Escriba la ecuación diferencial que rie el oviiento del cuerpo. c) Definiendo β = r/, ω 0 = k/, halle las soluciones x(t) de la ecuación de oviiento y verifique que son: i) si β > ω 0 x( t) = e β t β ω t A e A e 0 β ω t ii) Si β = ω 0 ( A A t) t x( t) = e β + 1 iii) Si β < ω 0 x( t) = Ae cos ( ω 0 β t + ϕ ) β t d) Grafique x versus t para los tres casos considerados en el punto c), y analice los ráficos Un péndulo siple de 10 de asa tiene inicialente un período de se y una aplitud de º. Lueo se lo suere en un edio viscoso, con constante de aortiuaiento r, y después de dos oscilaciones copletas la aplitud se reduce a 1.5º a) Exprese el ánulo que fora el péndulo con la vertical coo función del tiepo, antes y después de suerirse en el edio viscoso. b) Usando los datos nuéricos del problea, encuentre el valor de la constante de aortiuaiento r. 1 - Una partícula de asa está unida al extreo de un resorte de constante elástica k y lonitud natural l 0. El otro extreo del resorte está unido a una pared que se ueve de acuerdo a la ley x p ( t) = L cos( ω t). La partícula tabién está soetida a la acción de r una fuerza viscosa tal que F v = r x& xˆ. a) Escriba la ecuación de Newton para la partícula. Indique claraente cuáles son las fuerzas que actúan sobre ella. c) Para el caso k r > ( ), dia cuál es la solución de la ecuación de oviento x(t). r Para tiepos laros ( β t >> 1, con β = ), dia en qué dirección se ueve la k partícula cuando la pared se ueve hacia la derecha, si ω =. 1