Mecánica y Ondas para biociencias - Serie 2 de Problemas

Transcripción

1 ecánica y Ondas para biociencias - Serie 2 de Probleas 3 de Octubre de 2012 Los probleas se deberán entregar en grupos de áxio 4 personas el día del segundo parcial, iércoles 24 de octubre, antes de finalizar la clase. Solo se reciben trabajos realizados en procesador de textos (coputador). No se recibirán ejercicios después de la fecha arriba encionada. Sección 1 - agnitudes de Fuerzas Counes Estie el valor, en Newtons, de las siguientes fuerzas: Fuerza gravitacional del sol sobre la tierra. Atracción eléctrica entre un protón y un electrón en un átoo de hidrógeno. Repulsión eléctrica entre dos electrones que están separados por una distancia de un Angstro (10 10 ). Fuerza ejercida por el suelo al detener una persona que pesa 70 kg al caer desde una distancia de 3 etros. Suponga que el suelo detiene la caída de la persona en 0.1 s. Sección 2 - Carácter vectorial de las fuerzas 1. Dos fuerzas tienen la isa agnitud F. Qué angulo hay entre los dos vectores si su resultante (la agnitud de la sua vectorial de los dos vectores) es: a) 2F? b) 2F? c) cero? 2. Una asa de 5 kilograos se ueve bajo la influencia de una fuerza F = (4t 2 î 3tĵ) Newtons, en donde t es el tiepo en segundos. La asa coienza a overse desde el origen en reposo en t = 0. Encuentre: a) Su vector velocidad ( v) para todo tiepo t. b) Su vector posición ( r) para todo tiepo t. c) El angulo forado por los vectores velocidad y posición para todo tiepo t. d) El producto r v. e) El valor del producto r v para t = 1 segundo. 3. Dos caballos tiran horizontalente de cuerdas atadas al tronco de un árbol. Las fuerzas F 1 y F 2 que aplican al tronco son tales que la fuerza neta resultante F total tiene la isa agnitud que la fuerza F 1 y esta a 90 de F 1. Si F 1 = 1300 N y F total = 1300 N. Calcule: a) la agnitud de F 2. b) la dirección relativa de F 2 con respecto a la dirección de F 1. 1

2 Sección 3 - Fuerzas en la vida diaria 1. Una bala de rifle calibre 22 que viaja a 350 /s golpea un árbol grande, penetrando a una profundidad de 13 c, la asa de la bala es de 1.8 graos. Conteste a) Cuál es la velocidad de la bala en kilóetros por hora?. b) Suponga que la fuerza de frenado es constante y haga una gráfica de velocidad contra tiepo. c) Cuánto tarda la bala en detenerse?. d) Calcule la aceleración de la bala al entrar en el árbol. e) Qué fuerza (en Newtons) ejerce el árbol sobre la bala?. 2. Una ezcladora de concreto, los eleentos del concreto (ceento, gravilla, y agua) son cobinados de anera unifore al colocarlos dentro de un tabor especial que rota lentaente. Si el tabor gira uy rápidaente los ingredientes se pegan a las paredes del tabor en lugar de ezclarse. Supongase que una ezcladora posee un tabor de radio R y es colocada de tal fora que el eje del tabor se encuentra en posición horizontal. a) Por qué se pegan los ingredientes de la ezcla a las paredes del tabor si este gira uy rápido?. b) Cuál es la áxia velocidad a la cual el tabor puede rotar sin que los ingredientes de la ezcla se peguen a las paredes? 3. La fuerza gravitatoria que una esfera, de densidad unifore, ejerce sobre una partícula con asa que se encuentra a una distancia R del centro de la esfera es de la fora F = G R 2 en donde la asa es la asa encerrada por la esfera de radio r (en donde r R). Esta asa ejerce una fuerza equivalente a la de un punto de asa. En la pagina 101, nota 2.1, del libro An Introduction to echanics se deuestra que una asa encerrada dentro de un cascaron esférico siente una fuerza total igual a cero dentro del cascaron, solaente la asa que se encuentra por debajo de la partícula ejerce una fuerza gravitatoria. a) Utilice el resultado anterior para probar que si se taladra un agujero que pase por el centro de la tierra, y usted se lanza por el agujero, usted va a efectuar un oviiento oscilatorio (arónico siple) alrededor del centro de la tierra. b) Encuentre el tiepo que usted deora en ir y volver al iso punto de la superficie. c) Copare el resultado del punto (b) con el tiepo de órbita de un satélite que se encuentra a una altura r = r tierra. 4. Un péndulo se encuentra suspendido del techo de un ascensor. El péndulo tiene una longitud l y de él pende una asa. a) Cual es el periodo del péndulo si el ascensor asciende a una velocidad constante de 2 /s?. b) Cual es el periodo del péndulo si el ascensor asciende con una aceleración constante de 10 /s 2. Sección 4 - oviiento en un edio viscoso Suponga que existe una tipo especial de fuerza viscosa se opone al oviiento con una fuerza inversaente proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir, siguiendo la ecuación F = C v 2 1. Deuestre que la segunda ley de Newton, F = a = dv dt, puede ser escrita coo F = v dv dx 2. Utilice la segunda ley de Newton, F = dv dt, para deostrar que x x 0 = C ln(v 0 v ) 2

3 Sección 5 - Oscilador en un edio viscoso El oviiento de un asa () atada a un resorte, de constante k, que se encuentra suergida en un edio viscoso, con constante de viscosidad b, está descrito por la ecuación ẍ + b ẋ + k x = 0 1. Deuestre que una posible solución a esta ecuación tiene la fora en donde γ = b y ω 1 = ω 0 γ2 4 (con ω 0 = k ). x(t) = A exp( γ 2 t) cos(ω 1t + ψ) 2. Haga una gráfica de la posición contra el tiepo de la ecuación solución al oviiento. 3. Diga qué pasa si la viscosidad del edio es igual a cero, es decir, si b = Que pasaría si se eliina el resorte del sistea?, es decir si k = 0. Sección 6 - Energía potencial Para una fuerza conservativa la relación entre el trabajo realizado por una fuerza F, al over un objeto entre las posiciones inicial (r i ) y final (r f ), y la energía potencial U(r) asociada a la fuerza esta dado por: W = ˆ rf r i F d r = [U(rf ) U(r i )] (1) Encuentre la fora funcional de la energía potencial asociada a las siguientes fuerzas: Oscilador arónico siple unidiensional: F = kx. La fuerza de la gravedad sobre la superficie de la tierra: F = g. Una fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia: F = C r 2, en donde C es una constante. Efectúe la integral entre r i y r f = r 0. Sección 7 - Péndulo balístico Una anera siple de edir la rapidez de una bala es con el péndulo balístico, en el una bala de asa, la cual va a una velocidad V, ipacta un bloque de adera de asa y se incrusta en el bloque, el bloque se encuentra suspendido por edio de dos cuerdas de longitud l cada una, y el ipacto de la bala hace que el bloque se eleve forando un ángulo áxio de θ, tal y coo se uestra en la figura inferior. Responda: l θ v 1. Se conserva el oentu lineal?, si su respuesta es afirativa plantee las ecuaciones de conservación del oentu lineal antes y después del choque de la bala. 2. Que tan rápido se ueve el conjunto del bloque con la bala de asa inediataente después de que la bala se incrusta en el bloque de adera?, asua que este proceso ocurre uy rápidaente. 3. Se conserva la energía total del sistea?, si su respuesta es afirativa plantee las ecuaciones de conservación de la energía ecánica total. 4. uestre coo se puede edir la velocidad de la bala V si se iden previaente las asas y, la longitud l, y el ángulo θ. (Ayuda: V = [( + )/] 2gl(1 cos θ)) 3

4 Sección 8 - Conservación de la energía 1. Una asa = 10 kg se encuentra oscilando atada a un resorte de constante k = 10 N/, se sabe que cuando la asa pasa por el punto de equilibrio del resorte con una velocidad de v = 10 /s. a) Cuál es la energía cinética y potencial cuando la asa pasa por el punto de equilibrio del resorte?. b) Se conserva la energía ecánica total?. c) Cuál es el áxio desplazaiento de la asa?. d) Plantee la ecuación de Newton que describe el sistea asa-resorte. e) Cuál es la solución a la ecuación diferencial, x(t), planteada en el punto anterior (d)?. f ) Cuál es la velocidad, v(t), del sistea asa-resorte?. g) Utilizando las ecuaciones de oviiento y velocidad calcule el áxio desplazaiento de la asa. Copare este resultado con el resultado obtenido en el punto (c). 2. Una bola de asa = 1 kg es lanzada verticalente hacia arriba con una velocidad inicial de 5 /s, se desea conocer la altura que tiene la bola cuando tenga una velocidad de 1 /s. a) Haga el gráfico del sistea, plantee las ecuaciones de Newton y deduzca la altura de la bola. b) Utilizando el principio de conservación de la energía ecánica deduzca la altura de la bola y copárela con la altura obtenida en el punto (a). Sección 9 - Conservación de la energía y oentu lineal Una bola pequeña de asa es colocada encia de una superbola de asa, y las dos bolas son lanzadas desde una altura h. Asua que las dos bolas están separadas por una distancia uy pequeña y que. 1. Cuál es la velocidad de las bolas antes de llegar al suelo?. 2. Plantee las ecuaciones de conservación de oentu lineal. 3. Si asue una colisión totalente elástica plantee las ecuaciones de conservación de la energía. 4. A que altura llega la bola peque~na después de la colisión?. Si el resultado le parece sorprendente trate de realizar el experiento con una bola de basquetball y una canica de cristal. g Sección 10 - Leyes de Newton 1. Se les pide llevar a cabo el ontaje ostrado en la figura inferior donde θ 1 = 60, θ 2 = 70 y = 10 kg, para escoger el tipo de cables necesarios para que el ontaje resista usted debe hallar la relación entre las tensiones de abos cables. Cuál es esta relación entre T 1 y T 2?. θ 1 θ 2 T T 1 2 4

5 2. Una asa = 20 kg esta unida por una cuerda al techo de un ascensor coo se uestra en la figura. El ascensor acelera hacia arriba con a = 15 /s 2. Cuál es la áxia tensión que resiste la cuerda?, Qué pasaría si el ascensor adeás de acelerar hacia arriba se oviera hacia la derecha con una velocidad constante de 2 /s?. a 3. Con respecto a la figura inferior, si el coeficiente de fricción cinético entre la asa 3 y la superficie es µ k = 0,3 Cuál será la fuerza que debe aplicarse al bloque de asa 3 para antener el sistea en equilibrio dináico?, si la fricción entre la pared y el bloque de asa 3 fuera despreciable que fuerza será necesaria para antener el equilibrio dináico del sistea?. F 3 5