a) Qué expresión proporciona la cantidad de movimiento del cuerpo en cada

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1 III DINÁMICA En estas páginas ofreceos, resueltas, una selección de las actividades ás representativas de las unidades que coponen este bloque. No debes consultar estas resoluciones sin haber intentado, antes, resolver tú iso cada una de estas actividades. No olvides que el tiepo que dediques a pensar en ellas, aunque no consigas resolverlas, es ucho ás valioso que el que epleas en seguir nuestros razonaientos. UNIDAD 5. FUERZA Y MOVIMIENTO 6. La ecuación de oviiento que tiene un cuerpo de 5 kg de asa es: r t i r + t j r k r a) Qué expresión proporciona la cantidad de oviiento del cuerpo en cada instante? b) Calcula la expresión que indica cóo varía la fuerza que actúa sobre el cuerpo a lo largo del tiepo. c) Representa cóo varían la cantidad de oviiento y la fuerza entre los instantes t 0 y t 0 s. Suponeos que r se expresa en etros si t se expresa en segundos. a) La ecuación que perite calcular la cantidad de oviiento es: p r v r Debeos calcular, en prier lugar, la velocidad del objeto: v r r r r (t + t) r (t) t 4 t t i r t ( t) i r + t r j t v r 4 t i r t i r + r j Y, coo t tiende a cero: v r ( 4 t i r + j r ) s De ese odo, resulta para la cantidad de oviiento: p r v r ( 0 t i r +5 j r ) kg s b) De acuerdo con la segunda ley de Newton: F r a r Bloque III. Dináica

2 Podeos calcular ahora la aceleración a partir de la expresión de la velocidad: a r v r v r (t + t) v r (t) 4 (t + t) i r + r j ( 4 t i r + r j ) 4 i r t t t siendo, por tanto, la expresión que proporciona la fuerza: F r a r 5 ( 4 i r ) 0 i r N c) Si representaos el ódulo de la cantidad de oviiento y de la fuerza en función del tiepo, obteneos las siguientes gráficas: p (kg.. s ) F (N) t (s) 5 0 t (s) 30. Sobre un cuerpo de 0 kg, apoyado en un plano horizontal, actúan dos fuerzas concurrentes de 0 N cada una, que foran entre sí un angulo de 60. Si no hay rozaiento, calcula la fuerza resultante que actúa sobre él y la aceleración que adquiere. y En la figura podeos ver la representación de la situación descrita en el enunciado. F Escritas en notación vectorial, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las siguientes: F r F ir 0 i r 60 F N x F r F x ir + F y r j 0 cos60 i r + 0 sen60 r j (5 i r + 8,66 r j ) N La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es la resultante de la sua de estas dos fuerzas. Por tanto: F r F r + Fr F r 0 i r + 5 i r + 8,66 r j (5 i r + 8,66 r j ) N Y el ódulo de esta fuerza es: F 5 + 8,66 7,3 N Bloque III. Dináica

3 Para averiguar la aceleración que adquiere el cuerpo, aplicaos la segunda ley de Newton: a r F r a r 5 i r + 8,66 r j (0,75 i r + 0,43 r j ) s 0 En ódulo, el valor de esta aceleración es: a 0,75 + 0,43 0,86 s 3. Por un trao recto y horizontal de una autovía circula un caión cuya tara es de 6 t, siendo su carga de 5 t. Cuando el velocíetro señala 7 k/h, el caión acelera y, en un inuto, alcanza una velocidad de 90 k/h. Despreciando la acción de las fuerzas de rozaiento, qué fuerza ha hecho el otor en esa variación de la velocidad? Expresa el reultado en unidades S.I. En prier lugar, expresaos la asa del caión, incluida su carga, y el resto de agnitudes que intervienen en el problea en unidades del S.I.: caión + carga (6 + 5) kg v 0 7 k h 000 h 0 s k s v 90 k h 000 h 5 s k s t in 60 s A partir del instante en que el caión acelera, este realiza un.r.u.a. en el que la aceleración viene dada por la expresión: v v v v 0 + a t a 0 t 5 0 a 0,083 s 60 Aplicando, ahora, la segunda ley de Newton, obteneos la fuerza que ha realizado el otor para auentar la velocidad del caión: F a , N 34. Un tronco de un árbol, de 50 kg, se desplaza flotando en un río a 0 s. Un cisne de 0 kg intenta aterrizar en el tronco ientras vuela a 0 s en sentido contrario al de la corriente. Sin ebargo, resbala a lo largo del tronco, saliendo por el otro extreo con una velocidad de 4 s. Calcula la velocidad con que se overá el tronco en el instante en que el cisne lo abandona. Considera despreciable el rozaiento del tronco con el agua. Para calcular la velocidad del tronco debereos tener en cuenta el principio de conservación de la cantidad de oviiento. En general, siepre que apliques este principio, la estrategia de resolución consiste en plantear dos situaciones, inicial y final, y evaluar la cantidad de oviiento en cada una de esas situaciones, sabiendo que ha de ser igual en abas si el sistea físico que consideras está aislado. Bloque III. Dináica 3

4 En el problea que nos proponen considerareos coo situación inicial el oento en que el cisne toa contacto con el tronco y coo situación final el instante en que lo abandona. p r inicial tronco vr tronco + cisne vr cisne p inicial kg s p r final tronco vr tronco + cisne vr cisne p final 50 v tronco v tronco Aplicando ahora la conservación de la cantidad de oviiento, resulta: p inicial p final v tronco 40 Por tanto: 440 v tronco 8,8 s En la superficie de un vaso con agua (densidad 000 kg 3 ) flota un corcho de fora cúbica del que eerge un 30% de su voluen. Calcula la asa de ploo que debeos colgar del corcho en su parte inferior si quereos que el corcho se hunda con una aceleración de c s, sabiendo que su asa es de 0 g. Dato: Densidad del ploo kg 3. En este problea aparece un tipo de fuerza que viste el curso pasado; se trata del epuje. El epuje es la fuerza que realiza un fluido sobre un cuerpo suergido en él. Es una fuerza vertical ascendente que se opone al peso del cuerpo sobre el que se aplica. Su valor es: E V d líq g siendo V el voluen del cuerpo suergido en el fluido, d líq la densidad del líquido y g la aceleración de la gravedad. Para resolver el problea necesitaos conocer el voluen del cuerpo. Podeos averiguarlo, sabiendo que antes de añadir el ploo el cuerpo flota. Ello quiere decir que en ese instante el epuje es igual al peso y, por tanto, la resultante sobre el objeto es nula. Coo inicialente se encuentra suergido el 70% del objeto: E P 0,7 V d agua g corcho g corcho 0,0 V, ,7 d agua 0,7 000 Al añadir el ploo, el conjunto se hunde con cierta aceleración. Aplicando la segunda ley de Newton a este caso, se tiene: P E ( ploo + corcho ) a Ahora el peso no solo es del corcho, ya que lleva el ploo adherido. Por su parte, el epuje tabién cabia, pues ahora está todo el voluen del corcho suergido. Bloque III. Dináica 4

5 Desarrollando la ecuación anterior, queda: ( ploo + corcho ) g V d agua g ( ploo + corcho ) a donde V incluye tanto el voluen de agua desplazado por el corcho coo el del ploo, ya que abos se encuentran totalente suergidos. De la ecuación anterior despejaos la asa de ploo y sustituios. De ese odo, resulta: ploo ( ploo + corcho ) g ( V corcho + ) d agua g ( ploo + corcho ) a d ploo ploo d ploo [V corcho d agua g corcho (g a)] d ploo (g a) d agua g ploo [, ,8 0,0 (9,8 0,0)] (9,8 0,0) 000 9,8 0,009 9, g 37. Una regla de adera de 00 c de largo está equilibrada sobre un punto, coo se aprecia en la figura. A 0 c de uno de sus extreos cuelga un peso de 4 N, ientras que a 0 c del otro extreo cuelga un peso X. Si la regla está en equilibrio, el peso X, expresado en newton, debe ser: N X 00 a) b) 8 c) 4 d) 3 La regla está en equilibrio porque la fuerza y el oento resultantes sobre el sistea son nulos. Si nos centraos en el oento resultante, para que este sea nulo deben ser iguales el oento horario y el oento antihorario, es decir: n Σ i M i n Σ i F i r i sen θ i 0 4 0,4 sen 90 + X 0,3 sen ( 90 ) 0 X 4 0,4 0,3 3 N UNIDAD 6. FUERZAS EN ACCIÓN 0. Calcula la velocidad con que puede toar un vehículo una curva peraltada 0 si está lloviendo y, por tanto, podeos considerar nulo el rozaiento. El radio de la curva es igual a 50. Al estudiar la unidad, heos visto que, en ausencia de rozaiento, la velocidad áxia en una curva peraltada, viene dada por: v r g tg θ Bloque III. Dináica 5

6 En la expresión anterior, θ representa el ángulo del peralte. Por tanto, sustituyendo los datos que conoceos, resulta: v 50 9,8 tg 0 0,80 s 4. Tiraos de un objeto con una cuerda. El objeto se desliza sobre una superficie horizontal, y la cuerda con la que tiraos fora un ángulo de 37 con dicha superficie. a) Dibuja un esquea en el que figuren todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. b) Cuál es la fuerza efectiva que ueve el objeto? Supón que no existe rozaiento. c) Si el objeto tiene una asa, con qué velocidad se overá cuando haya recorrido una distancia s, si anteneos constante la fuerza con que tiraos de él? d) Resuelve de nuevo el problea considerando ahora que el rozaiento del objeto con el suelo es constante y vale µ. a) El esquea que nos piden es el que se indica en la siguiente figura: y N F F roz 37 x b) Coo se aprecia en la figura, la fuerza efectiva será la coponente horizontal de la fuerza que aplicaos: F efectiva F cos 37 c) Para calcular este apartado, heos de recurrir a las ecuaciones del oviiento rectilíneo uniforeente acelerado (.r.u.a.). Supondreos que la velocidad del objeto inicialente es nula. Por tanto, las ecuaciones del.r.u.a. quedan del siguiente odo: s a t [] v v a f 0 v f v f a t [] t t t Y la segunda ley de Newton se expresa, en este caso, coo sigue: F cos 37 a [3] P Bloque III. Dináica 6

7 La estrategia para resolver el problea será:. Despejar la aceleración de la ecuación [3].. Expresar el tiepo en función de la aceleración en la ecuación []. 3. Sustituir tiepo y aceleración en la ecuación []. Lo hareos paso a paso:. a. s a t s t a 3. v f ( ) F cos 37 s F cos 37 d) El planteaiento ahora es idéntico. Únicaente heos de tener en cuenta que la fuerza resultante no será la isa, pues ahora aparece otra fuerza, el rozaiento, que se opone al oviiento: Eje X: F cos 37 F roz F cos 37 µ N a Eje Y: F sen 37 g + N 0 N g F sen 37 La fora de resolver el problea es idéntica al caso anterior: F cos 37 µ N F cos 37 µ ( g F sen 37 ) a Por tanto: F cos 37 F (cos 37 + µ sen 37 ) µ g s t a s F cos 37 (F cos 37 ) s s F (cos 37 + µ sen 37 ) µ g Finalente, sustituios para hallar la velocidad, coo en el caso anterior: s [F (cos 37 + µ sen 37 ) µ g] v f a t 5. Un coche circula a 90 k h, cuando el conductor, a la vista de un obstáculo, frena bruscaente y se detiene tras recorrer 50. Calcula el coeficiente de rozaiento que existe entre el portaaletas y una caja de 5 kg guardada en su interior, si la caja está a punto de deslizarse ientras frena, pero no lo hace. La aleta, que no está solidariaente unida al coche debería, de acuerdo con el prier principio de la dináica, seguir su oviiento coo si nada pasase. Si no lo hace, es porque la fuerza de rozaiento que existe entre ella y el suelo del vehículo ipide dicho oviiento. Por tanto, la aleta, vista desde el exterior del coche, es Bloque III. Dináica 7

8 decir, vista por un observador inercial, es un objeto que se ueve con cierta velocidad y que se detiene porque una fuerza (la de rozaiento con el coche) le obliga a hacerlo. Por tanto: F roz a a µ g a µ g Podeos calcular la aceleración de frenado sabiendo que el oviiento del coche es un.r.u.a., de ecuaciones: v v 0 a t s v 0 t a t Eliinando el tiepo entre estas dos ecuaciones llegaos a la expresión: v v s 0 ( a) Despejando, la aceleración de frenado resulta: a v 0 5 s 50 6,5,5 s Por últio, obteneos el coeficiente de rozaiento: a,5 µ 0,6 g 9,8 8. Un objeto de 00 g de asa se encuentra sobre un plano que fora un ángulo de 30 con la horizontal. El coeficiente de rozaiento entre las superficies de deslizaiento vale 0,. Halla la fuerza paralela al plano que se necesita aplicar al objeto para subirlo con velocidad constante. Coo se aprecia en la figura, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son su peso y la reacción noral del suelo que, debido al coeficiente de rozaiento, origina una fuerza que se opone al oviiento. y N F x 30 F roz Si descoponeos estas fuerzas en una coponente noral al plano y otra paralela a este, las fuerzas que se oponen al oviiento son: F roz µ N µ g cos 30 P x g sen 30 P Bloque III. Dináica 8

9 Para que el cuerpo ascienda con velocidad constante, debeos ejercer una fuerza paralela al plano que equilibre las dos anteriores. Aplicando la segunda ley de Newton: a F F roz P x 0 F F roz + P x µ g cos 30 + g sen 30 F g (sen 30 + µ cos 30 ) Sustituyendo valores obteneos el valor de la fuerza: F 0, 9,8 (sen , cos 30 ) 0,677 N 3. Una bola de billar golpea a otra que se encuentra en reposo, y, tras el choque, se ueven abas coo se indica. A B A v A.v B α 37 β? B Sabiendo que las dos bolas tienen la isa asa y que la priera reduce su velocidad a la itad, calcula el ángulo que fora la dirección en que sale la segunda bola con la dirección en que se ovía la priera Para obtener el ángulo que nos piden debeos tener en cuenta que en el choque se conserva la cantidad de oviiento entre los instantes anterior y posterior a él. En el choque que analizaos en este problea no se conserva la dirección, lo que nos obliga a plantear la conservación de la cantidad de oviiento de fora vectorial. Estableciendo las correspondientes igualdades para las coponentes en los ejes OX y OY de la cantidad de oviiento, resulta: A v r A v r + B v r B Para OX: A v A v cos 37 + B v B cos β Para OY: A v sen 37 B v B sen β 0 Teniendo en cuenta que las dos asas son iguales, podeos despejar directaente sen β y cos β: senβ v sen 37 ; cosβ v B v v cos 37 v B Dividiendo abas expresiones entre sí, obteneos la tangente del ángulo y, a partir de ella, el ángulo que nos piden: sen β sen 37 tg β 0,5 arctg 0,5 6,6 cos β cos 37 v B Bloque III. Dináica 9

10 35. Se deja caer una piedra desde una terraza, y desde una ventana de,8 de altura se la ve pasar, tardando 0,0 s en cruzarla. Calcula la distancia que existe entre la terraza y la parte ás alta de la ventana. Aunque al iniciar el oviiento la piedra tenía una velocidad nula, cuando pasa por delante de nosotros la piedra sí posee cierta velocidad, ya que el oviiento ha coenzado. Por tanto, la ecuación que utilizareos en este caso para estudiar la caída de la piedra será la siguiente: s v inicio ventana t g t Esta expresión nos perite calcular la velocidad inicial con que alcanza la ventana, ya que el resto (espacio recorrido y tiepo que tarda en recorrerlo) es inforación que conoceos: s g t,8 9,8 0, v inicio ventana 7,5 s t 0, Conocida esta velocidad, podeos averiguar el tiepo transcurrido desde que fue soltada: v v inicio ventana v 0 g t t inicio ventana v 0 7,5 0,787 s g 9,8 El espacio que ha recorrido desde que fue soltada hasta que llegó a la parte superior de la ventana es: s g t 9,8,787 5,65 Por tanto, la cornisa de la terraza del edificio está 5,65 por encia de la parte superior de la ventana. Bloque III. Dináica 0