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1 Tabla de contenido Página Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 3 Problea de enfriaiento 3 Caída de cuerpos 6 Mezclas o diluciones 0 Trayectorias ortogonales 3 Resuen 6 Bibliografía recoendada 6 Párrafo nexo 6 Autoevaluación forativa 7

2 Copyright 999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN Facultad de Ingeniería de Sisteas. Sistea de Educación Abierta y a Distancia. Santa Fe de Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de JAIME PRECIADO LOPEZ Sede Santa Fe de Bogotá, D.C. Diseño instruccional y orientación a cargo de MARIANA BAQUERO DE PARRA Diseño gráfico y diagraación a cargo de SANTIAGO BECERRA SAENZ ORLANDO DIAZ CARDENAS Ipreso en: GRAFICAS SAN MARTIN Calle 6A No Tels.: Santa Fe de Bogotá, D.C.

3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales En este fascículo solucionareos algunos ejeplos, en probleas, donde utilizaos las ecuaciones diferenciales de prier orden; en ellos vereos el uso de éstas y llegareos a su solución con los étodos que heos trabajado. Las aplicaciones que conteplaos aquí corresponden a probleas de enfriaiento, caída de cuerpos, ezclas o diluciones y trayectorias ortogonales. Es de anotar que heos trabajado ya algunas aplicaciones tales coo probleas de creciiento y decreciiento, en el fascículo 8, y los probleas de circuitos en el fascículo 9. Por esta razón se incluyen algunos ejercicios en actividad de estos casos. Al terinar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Plantea probleas correctaente epleando ecuaciones diferenciales. Resuelve correctaente ecuaciones diferenciales lineales. Reconoce la iportancia de las ecuaciones diferenciales en la solución de probleas científicos. Problea de enfriaiento La ley de newton sobre enfriaiento establece que la razón a la que un objeto se enfría es proporcional a la diferencial de la teperatura entre el objeto y el edio abiente. Si llaaos T a la teperatura del cuerpo y T la teperatura del edio abiente, entonces el cabio de la 3

4 Isaac Newton (64.77). Publicó en 686 su obra Principios Mateáticos de la Filosofía Natural, donde enuncia las tres Leyes del Moviiento. dt teperatura con respecto al paso del tiepo es y por tanto pode- os forular la Ley de Enfriaiento de Newton coo: dt k T () T Donde k es una constante de proporcionalidad, la ecuación () tabién la podeos escribir coo: dt () kt kt debeos reconocer () coo una ecuación lineal y de esa fora podeos resolverla. Veaos un ejeplo. Ejeplo Un cuerpo sacado de un horno a está a 300 o F es colocado en cuarto que 75 o F ; si la teperatura decae hasta o F cuál será la teperatura al cabo de tres horas?. 00 en edia hora, Podeos aplicar la Ley de Enfriaiento de Newton, si llaaos T ( a la teperatura edida en grados F, a las horas t, entonces debeos resolver la ecuación: dt kt kt De donde dt kt k(75) Sabeos que 4

5 T( 0) 300 T 00 y quereos hallar T (3). Resolvaos nuestra ecuación: dt o o F F kt 75k para esta ecuación lineal el factor de integración es: k e e kt Al ultiplicar nuestra ecuación por el factor de integración y escribirla coo derivadas obteneos: d kt kt e T 75ke Integrando respecto a t e kt T kt 75 ( e c) De donde T 75 ce kt Coo T es función del tiepo podeos escribir T( 75 ce kt Si reeplazaos las condiciones dadas T( 0) 300 o F obteneos ce kt de donde, así, entonces T( 75 5 e kt 5

6 adeás coo o T 00 F entonces de donde, así nuestra ecuación es: T( 75 5 e e k, 75t podeos ahora encontrar la teperatura a las tres horas, haciendo: T( 3) 75 5e T( 3) 8, 6 o F, 75.( 3) Caída de cuerpos Si consideraos un cuerpo de asa cayendo verticalente hacia abajo soetido a la acción única de la gravedad g y a una resistencia del aire proporcional a la velocidad del cuerpo, entonces, si elegios la dirección hacia abajo coo la dirección positiva y suponeos que la asa del cuerpo y el valor de la gravedad peranecen constantes podeos enunciar la segunda ley de Newton para el oviiento así: La cantidad de oviiento o oento lineal frecuenteente representado por la letra p, de un cuerpo de asa y velocidad v está dado por p v. La fuerza neta (total), que actúa sobre un cuerpo es igual a la tasa de cabio en el tiepo de la cantidad de oviiento del cuerpo, para una asa constante; de este odo si llaaos F a la fuerza neta y v a la velocidad del cuerpo de asa en el tiepo t podeos escribir que: dv F Si analizaos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo podeos considerar dos, la fuerza debida a la gravedad, dada por g y la fuerza de la resistencia del aire, dada por kv, con k una constante positiva; el 6

7 signo enos indica que esta fuerza se opone a la velocidad, es decir, en dirección negativa coo uestra la figura. Figura. Fuerzas actuando sobre un cuerpo que cae. Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es F g kv Si sustituios en la ecuación para la Segunda ley de Newton teneos: g kv dv De donde dv k v g Esta últia ecuación tabién es una ecuación diferencial lineal; adeás si la resistencia del aire es despejable entonces k 0 y la ecuación se reduce a: dv g si k 0, la velocidad liite v l es definida por veaos un ejeplo de aplicación. v l g k 7

8 Ejeplo Un cuerpo que pesa 64 Newtons se deja caer desde la altura de 00 etros con velocidad inicial s 0. Si suponeos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo y la velocidad líite es s 8, encontraos expresiones para la velocidad del cuerpo y la posición en cualquier instante del tiepo t. Un Newton (N) es la fuerza necesaria para que un cuerpo de un kilograo ( kg) adquiera una aceleración de un etro por segundo cuadrado. s kg N kg. s s De los datos suinistrados en el problea teneos: Peso del cuerpo 64 N g de donde si g 9, 8 s 64N 6, 5kg 9, 8 s entonces Adeás v 8 s k, entonces coo g v l 64 8 g v l así k kg s s con estos valores nuestra ecuación diferencial es dv k v g dv v 9, 8 3 si resolveos esta ecuación lineal obteneos t 3 v 8 ce 8

9 es decir, t 3 v( 8 ce de las condiciones del problea teneos que en t 0 la velocidad es s 0 por tanto así c 8 0 v ( 0) 8 ce. 0 3 por tanto la expresión pedida para la velocidad es v( 8 8 e t 3 Si recordaos que dx v donde x es la posición del objeto, enton- ces x v, por tanto x( 8 8e x( e t 3 t 3 coo en t 0 el cuerpo se encuentra en 0 d x etros, (porque estaos considerando que coienza su oviiento hacia abajo) teneos que: de donde 534 d en cualquier instante del tiepo es: e 3 d ; así la expresión para el cálculo de la posición t 3 x ( e 534 9

10 Mezclas o diluciones Considereos un tanque o recipiente que contiene inicialente v 0 galones de una solución salina (por ejeplo, saluera, agua con sal), supongaos que en el tanque hay a libras de sal disueltas. Otra solución salina que contiene b libras de sal por galón entra al tanque a razón de e galones por inuto; siultáneaente la solución bien ezclada, sale del tanque a una velocidad de f galones por inuto. Quereos encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Llaeos Q a la cantidad de sal (en libras) en cualquier instante del dq tiepo (es decir Q (), así es el cabio de la cantidad de sal que hay en el tanque con respecto al cabio del tiepo; esta cantidad es igual a la razón de entrada de sal enos la razón a la cual sale la sal del tanque, es decir, la razón de entrada es: dq = (razón entrada) (razón de salida) Razón de entrada = lib galón lib b. e be galón in in Para calcular la razón de salida priero calculaos el voluen de solución salina que hay en el tanque en cualquier instante t ; este es el voluen inicial v 0 ás el voluen de la solución salina agregada ft ; entonces el voluen de la solución salina en cualquier instante corresponde a v0 et ft galones. Por tanto, la concentración de sal en el tanque en cualquier instante es: 0

11 v o Q et libras ft galones Coo la solución sale del tanque a razón de f galones por inuto entonces se deduce que la sal sale del tanque a razón de: v entonces: equivalente a Q et lib. f ft galón galón in v 0 0 dq v dq 0 be v f ( e 0 f ( e Q be f ) t f et Q f ) t lib Q ft in () Resolvaos un ejeplo para esta aplicación. Ejeplo En un tanque hay una libra de sal disuelta en 00 galones de agua. Una solución salina que contiene libra de sal por galón entra al tanque a razón de 3 galones por inuto. La solución se antiene totalente agitada y sale del tanque a la isa razón. Encontreos la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Para este ejercicio, y de acuerdo con lo planteado teóricaente, podeos decir que: v 0 = 00 galones a = libra b = libra/gal e = 3 galones/in f = 3 galones/in

12 así: dq v o f ( e que para nuestro ejercicio corresponde a: de donde Q be f ) t dq 3 Q ( 3 3) t dq 0, 03Q 3 al resolver esta ecuación lineal obteneos: Q( 00 ce 0, 03t coo en el instante t 0 la cantidad de sal es libra entonces 0, ce de donde c 99 así la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante de tiepo es Q( 00 99e 0, 03t Si deseaos por ejeplo saber la cantidad de sal que hay en el tanque a las horas de iniciado nuestro procediiento podeos hacer t 3 y obteneos Q( 3) 00 99e 9, 5libras 0, Si deseaos saber, por ejeplo en que instante habrá en el tanque 5 libras de sal, basta con hacer ( 5 Q y despejar t. de donde e 0, 03t e 0, 03t

13 es decir ó ln, 37horas t , 04 0, 03t 0, 03t Trayectorias ortogonales Se dice que dos curvas C y C que se intersectan en un punto son ortogonales en dicho punto si y sólo si las rectas tangentes a las curvas en el punto encionado son perpendiculares entre si. Recuerda que: dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es.., de donde. Definición Cuando una failia de curvas G ( x, y, c ) 0 cortan ortogonalente a otra failia H ( x, y, c ) 0, se dice que las failias son cada una trayectorias ortogonales de la otra. Las trayectorias ortogonales son encontradas con frecuencia en estudios eteorológicos y en capos eléctricos alrededor de cargas opuestas. dy Recuerda que si dx corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en y en algún punto x. Si quereos hallar las trayectorias ortogonales de una failia de curvas dy dadas se encuentra priero para la failia dada; esto nos da dx 3

14 dy dy f ( x, y) y resolviendo la ecuación dx dx f ( x, y ) encontraos las trayectorias ortogonales de la failia dada. Ejeplo Halla las trayectorias ortogonales de la failia de curvas y cx. La failia que está dada por F ( x, y, c) y cx consiste en parábolas asiétricas al eje y, con su vértice en el origen. Derivando iplícitaente la ecuación dada con respecto a x obteneos: dy dx cx. Para eliinar c observaos de la ecuación dada que por lo tanto Aquí c y x dy y dx x y F( x, y) se convierte en x dy dx x o xdx ydy 0 y la solución a este ecuación separable es x y k. La figura uestra las failias de curvas ortogonales del ejeplo anterior. 4

15 Figura. Failias ortogonales. 00 o F. Resuelve los siguientes probleas. Un cuerpo a una teperatura desconocida se pone en un refrigerador a una teperatura constante de 0 o F. Si después de 0 inutos la teperatura del cuerpo es 40 o F y después de 40 inutos la teperatura del cuerpo es de 0 o F. Halla la teperatura inicial de éste.. Un cuerpo a una teperatura de 50 o F se pone en un horno cuya teperatura se antiene a 50 o F. Si después de 0 inutos la teperatura del cuerpo es de 75 o F, halla el tiepo requerido por el cuerpo para llegar a una teperatura de 3. Se sabe que la población de un estado crece a una rata proporcional al núero de habitantes que viven actualente en el estado. Si después de 0 años la población se ha triplicado y después de 0 años la población es de habitantes, halla el núero de habitantes que había inicialente en el estado. 4. Un cuerpo de asa se lanza verticalente en el aire con una velocidad inicial v. El cuerpo no encuentra resistencia al aire. o Halla: a. La ecuación del oviiento. b. Una expresión para la velocidad del cuerpo en un oento t. c. El oento t en el cual llega el cuerpo a su altura áxia. d. Una expresión para la posición del cuerpo en un oento t. e. La altura áxia alcanzada por el cuerpo. 5

16 5. Un tanque contiene inicialente 0 galones de agua pura. Para t 0, una solución salina que contiene edia libra de sal por galón se agrega en el tanque a una rata de gal/in., ientras que una solución bien ezclada sale del tanque a la isa rata. Halla: a. La cantidad. b. La concentración de sal en el tanque en cualquier oento t. 6. Halla las trayectorias ortogonales de la failia de curvas x y ce 7. Halla las trayectorias ortogonales de la failia de curvas x y cx En este fascículo heos trabajado algunas de las aplicaciones de las ecuaciones lineales a probleas reales; heos reconocido la iportancia de las ecuaciones diferenciales y su étodo de solución en el planteaiento y búsqueda de respuesta en áreas diversas de la ciencia. Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones diferenciales. México: Ed. Prentice Hall, octava edición, 997, cap. y Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de odelado. México: Ed. Inter. Thoson Editores, sexta edición, 000, cap. 3. En el fascículo siguiente iniciareos el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior, Solucionareos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Para llevar a cabo este procediiento hareos uso de la llaada ecuación característica o auxiliar de la ecuación diferencial dada. 6

17 Autoevaluaciónforativa Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. Nobre Apellidos Fecha Ciudad Seestre Resuelve los siguientes probleas:. Un cuerpo con una asa de 0 slugs se suelta de una altura de pies sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad líite debe ser de 30 pies / segundo, encuentra a. Una expresión para la velocidad del cuerpo en un oento t. b. Una expresión para la posición del cuerpo en un oento t. c. El tiepo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 60 pies / segundo.. Un tanque contiene inicialente 80 galones de solución salina con edia libra de sal por galón. Para t 0, otra solución salina que contiene libra de sal por galón se agrega en el tanque a una rata de 4 gal./in., ientras que una solución bien ezclada sale del tanque a una rata de 8 gal./in. Halla la cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactaente 40 galones de solución. 3. Halla las trayectorias ortogonales de la failia de curvas x y c 7