Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH) Facultad de Ciencias Escuela de Matemática Guía de Estudio Primer Parcial

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1 Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH) Facultad de Ciencias Escuela de Matemática Guía de Estudio Primer Parcial Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales (1 al 60): 3 3 d d ; + ; ( 1) 3. ( 3 ) e d e ( ) + d sin e d e 0 ; ( 1) 0 sec sin sin 0 d e 4 d 6. ( ) ( ) 7. d t tsin t sec t dt 8. 1 t 9. + d d 5 sin d 11. d ( + ) ( 1)

2 d ; ( 1) 1 d 14. sin e cos + Sug: use t tan 15. d e + e + e dt T t dt T + d Sug: use 17. ( ) t e e d e e ( 1+ tan )( ) d ( e ) 0. 3 d + 3 ; d ln Sug: use u d d + ln

3 d + 3 cos d d ; d ( 3 ) + 1 d ( ) d ; 1 3 d d + 0 d + 3. tan sin sin cos 33. e d e cot + csc sin 3 sin d 3 0 d d d d d d

4 + 1 d d d e + e + ( e + e ) ' d sin ' + ( sin cos ) sin ' 1 e ; ( 0) 1 n d 1 n Sug: use u 1 1 ' n Sug: use t 4 d 4 0 ( ) ln + ln d + ln + 0 Sug: use t ln cos d + cos sin ' + cos cos sin 1 + ' n ' e ( 1+ ) n 56. sin sin + d + 0

5 d + d ( 1 1 ) ( ) sin + sin + d + cos cos ' 3 ' ' ' ; n n 61. Mostrar que la ecuación sustitución v ; donde (, ) n F, ' f 0 puede ser resuelta con la F es una función homogénea de grado k 6. Sea f(, ) una función homogénea de grado n muestre que f f + nf 63. Sea M ( ) d, + N, 0 ecuación diferencial con coeficientes homogéneos. d o Muestre que la ecuación diferencial se puede epresar de dos formas : F ( ) G d ( ) 64. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85 F. Una hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80 F. Suponga que la temperatura del corazón en el momento de su muerte era de 98.6 F. Determine cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? 65. Un vaso con agua se introduce en un congelador que está a -3 C; al pasar 15 minutos en el congelador el agua a está a 19 C después de 30 minutos la temperatura del agua es de 10 C. Cuánto tiempo le tomara al agua congelarse cuál era la temperatura inicial del agua? 66. Un tanque de 300 galones de capacidad contiene inicialmente una solución salina de 10 galones con 10 libras de sal. Una solución salina de 3 lbs de sal por galón entra al tanque a una velocidad volumétrica de 1 gal / min la mezcla sale del tanque a una velocidad volumétrica de 6 gal /min. a. Desarrolle un modelo matemático para este problema. b. Determinar la solución del problema de valor inicial del inciso a. c. Calcular la cantidad de sal en el tanque para t minutos en el momento que el tanque comienza a rebozarse.

6 67. En el transcurso de la mañana se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicida dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70 F. A las 10:00 am del día la temperatura del cuerpo es de 80 F a la 11:00 a.m. la temperatura del cuerpo es de 75 F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir era de 98.6 F. A qué hora aproimadamente murió la victima? 68. Un tanque contiene inicialmente 50 galones de una solución de salmuera con 10 libras de sal. Al tanque entra una solución con un flujo de 13 gal /min, con una concentración variable de ce cos( t) lb / gal. La mezcla sale del tanque a una velocidad volumétrica de 7 gal /min. Plantee resuelva un modelo que permita calcular la cantidad de sal que ha en el tanque de 500 galones en el tiempo t. 69. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura de 0 F; si después de 0 minutos en el refrigerador la temperatura del cuerpo es de 40 F después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 F. cuál era la temperatura inicial del cuerpo? 70. Considere dos tanques en serie con capacidad de 500 galones. El primer tanque con volumen inicial de 100 gal el segundo tanque con volumen inicial de 00 gal. Cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Entra agua pura al tanque 1 a razón de 5 gal/min la mezcla bien agitada homogeneizada flue al tanque a razón de 5 gal/min. De igual manera vez que la mezcla es agitada homogeneizada en el tanque, flue fuera de este a razón de 5 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal (t) en el tanque 1 para un instante t cualquiera. b) Encuentre la cantidad de sal (t) en el tanque para un instante t cualquiera. c) Encuentre la cantidad máima de sal que llega a tener el tanque. 71. La tasa de cambio con respecto al tiempo, de una población de conejos P es proporcional a la raíz cuadrada de P. En el instante t0(meses) la población asciende a 100 conejos está aumentando a razón de 0 conejos por mes. Cuántos conejos habrá dentro de un año? 7. La tasa de cambio con respecto al tiempo, de una población, P, de lagartos en un pantano es proporcional al cuadrado de P. El pantano alberga una docena de lagartos en 1988 dos docenas en Cuándo habrá cuatro docenas de lagartos en el pantano? qué sucede a partir de ese momento?

7 73. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 00 C. La temperatura del aire que le rodea es de 30 C. Después de 10 min, la temperatura de la superficie del motor es de 180 C. a) Cuánto tiempo tomará que la temperatura de la superficie del motor baje a 40 C? b) Para una temperatura dada T entre 00 C 30 C, sea t(t) el tiempo que necesita para que el motor se enfrié de 00 C a T(t(00)0 t(40) es la respuesta del inciso a)) Encuentre una fórmula para t(t) grafique la función.(la temperatura del ambiente sigue siendo 30 C) 74. Un estanque con buena circulación contiene un millón de litros de agua que contiene un contaminante a una concentración de 0.01kg/L. Agua pura entra de un arroo a 100 L/h. El agua se evapora del estanque (dejando el contaminante ahí) a razón de 50 L/h flue hacia afuera por una tubería de salida a 50 L/h. Cuántos días tardara en bajar la concentración de contaminante a kg/l? 75. Considere tres tanques. Inicialmente, el tanque 1 contiene 100 gal de salmuera con 17 lb de sal, el tanque contiene 00 gal de salmuera con 19 lb de sal el tanque 3 contiene 300 gal de salmuera con 1 lb de sal. Salmuera que contiene 5 lb de sal por galón entra al tanque 1 a una tasa de 11 gal/s. La mezcla de salmuera en el tanque 1 flue al tanque a una tasa de 18 gal/s. además la mezcla flue del tanque al tanque 3 a una tasa de 18 gal/s. Cuánta sal ha en cada tanque como función del tiempo? 76. Considere dos tanques. Inicialmente, el tanque 1 contiene 30 gal de salmuera con 8 lb de sal el tanque contiene 75 gal de salmuera con 7 lb de sal. Salmuera que contiene 5 lb de sal por galón entra al tanque 1 a una tasa de 1 gal/s. La mezcla de salmuera en el tanque 1 sale a una tasa de 18 gal/s, la mitad de este flujo de salida entra al tanque. La mezcla del tanque flue hacia afuera a una tasa de 4 gal/s. Cuánta sal ha en cada tanque como función del tiempo? 77. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t. Si en cinco años se duplica una población inicial P0, Cuánto tardara en triplicarse? en cuadruplicarse? 78. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. Cuál será la población en 30 años? Qué tan rápido está creciendo la población en t30?

8 79. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t. Después de tres horas se observó que están presentes 400 bacterias. Después de diez horas ha 000 bacterias. Cuál fue el número inicial de bacterias? 80. Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de líquido en el que se disolvieron 10 lb de sal. Se bombea al depósito salmuera a contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos. Bibliografía Boce, W., & Diprima, R. (1984). Ecuaciones diferenciales problemas con valores en la frontera. Limusa. Campbell, S., & Haberman, R. (1998). Introducción a las Ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera. Mc Graw Hill. Penne, D., & Edwars, H. (001). Ecuaciones Diferenciales. Pretince Hall. Rainville, E., Bedient, P., & Bedient, R. (s.f.). Ecuaciones diferenciales. Pearson Education. Zill, D., & Cullen, M. (008). Ecuaciones Diferenciales. Mac Graw Hill. Zill, D., & Cullen, M. (008). Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Cengage Learning.