Solución por coeficientes indeterminados
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- Vicente David Aguilar Navarrete
- hace 6 años
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1 Ecuaciones no homogéneas En esta sección se parte de la una ecuación diferencial lineal no homogénea + ( 0 + ( = ( (1.342 donde ( 6= 0. Donde la solución general de la ec. (1.342 es la suma de la solución general de la correspondiente ecuación diferencial homogénea + ( 0 + ( =0 (1.343 y la solución particular de la ec. ( Estos dos términos, solución general y solución particular se definen como: ( = ( + ( ( Solución por coeficientes indeterminados El método de coeficientes indeterminados es adecuado para ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes = ( (1.345 donde ( puede ser una función exponencial, una potencia de, uncosenooseno,olassumas o productos de estas funciones. Se escoge una forma de similar a ( pero con coeficientes desconocidos, los cuales se determinan mediante la sustitución de ysuderivadaenlaedo. La tabla 1.1 muestra la alternativa de paralasformasimportantesde (. Las reglas correspondientes son: 1. Regla básica. Si ( en la ec. (1.345 es una de las funciones de la primera columna de las tabla 1.1, se elige en el mismo renglón y se determina el coeficiente indeterminado mediante la sustitución de en la ec. ( Regla de modificación. Si un término de la elección es la solución de la EDO homogénea correspondiente a la ec. (1.345, se multiplica por,o por 2 si la solución corresponde a una raíz doble de la ecuación característica de la EDO homogénea. 3. Regla de suma. Si ( es una suma de las funciones de la primera columna de las tabla 1.1, se elige como la suma de las funciones en los correspondientes renglones de la segunda columna. c Gelacio Juárez, UAM 72
2 Término ( cos sin cos sin Cuadro 1.1: Coeficientes indeterminados. Término ( cos + 2 sin ( 1 cos + 2 sin Término ( cos sin cos sin Término ( cos + 2 sin ( 1 cos + 2 sin Ejemplo 1 Resuelva la ecuación =2 2 (0 = 0 0 (0 = 2 0 (1.346 Solución. La ecuación homogénea + 1 = 0,conraíces =0± 1, tienen como solución de las tabla 1.1 se propone como ( = 1 cos + 2 sin (1.347 Sustituyendo la ec. (1.348 en la ec. (1.346 = ( = =2 2 2 = = 0 1 = =0 0 = 2 2 = 4 se obtiene la = (1.349 c Gelacio Juárez, UAM 73
3 La solución general se obtine de la suma de las ecs. (1.347 y (1.349 ( = ( + ( = 1 cos + 2 sin (1.350 Solución del problema de valores iniciales. Derivando la ec. ( ( = 1 sin + 2 cos +4 (1.351 Sustituyendo los valores iniciales de la ec. (1.346 en las ecs. (1.350 y (1.351 (0 = 1 4=0 1 =4 ( (0 = 2 =2 0 Sustituyendo los coeficientes de la ec. (1.352 en la ec. (1.350 se tiene la solución. ( =4cos +2sin Ejemplo 2 Resuelva la ecuación = (0 = (0 = 0 0 (1.353 Solución. La ecuación homogénea =0,conraíz = 3 2, tienen como solución de las tabla 1.1 se propone como ( =( (1.354 Sustituyendo la ec. (1.355 en la ec. (1.353 = 3 2 ( =0= Puesto que es solución de la ecuación homogénea, se multiplica la ec. (1.355 por 2 de acuerdo con la regla de multiplicación, así Sustituyendo la ec. (1.356 en la ec. (1.353 = ( =0= c Gelacio Juárez, UAM 74
4 = = = 2 se obtiene la = (1.357 La solución general se obtine de la suma de las ecs. (1.356 y (1.357 ( = ( + ( = (1.358 Solución del problema de valores iniciales. Derivando la ec. ( ( = ( Sustituyendo los valores iniciales de la ec. (1.353 en las ecs. (1.358 y (1.359 (0 = 1 =2 ( (0 = 1 2 ( =0 2 =3 Sustituyendo los coeficientes de la ec. (1.360 en la ec. (1.358 se tiene la solución. ( = (1.361 Ejemplo 3 Resuelva la ecuación =6 2 +6cos5 +130sin5 (0 = 5 0 (0 = 10 (1.362 Solución. La ecuación homogénea = 0,conraíces =1± 2, tienen como solución ³ ( = 1 1 cos sin 2 (1.363 de las tabla 1.1 se propone como soluciones particulares Sustituyendo la ec. (1.364 en la ec. ( = 1 2 ( = 2 cos sin 5 (1.365 c Gelacio Juárez, UAM 75
5 = =6 2 1 = 2 Sustituyendo la ec. (1.365 en la ec. ( = 22 2 cos cos sin sin 5 =6cos5 +130sin5 Agrupando términos 22 2 cos cos 5 = 6cos sin sin 5 = 130 sin 5 2 = 2 3 = 5 se obtiene la = =2 2 +2cos5 5sin5 (1.366 La solución general se obtiene de la suma de las ecs. (1.363 y (1.366 ³ ( = ( + ( = 1 1 cos sin cos5 5sin5 (1.367 Solución del problema de valores iniciales. Derivando la ec. ( ( = 1 cos sin cos sin cos 5 10 sin 5 (1.368 Sustituyendo los valores iniciales de la ec. (1.346 en las ecs. (1.350 y (1.351 (0 = =5 1 =1 ( (0 = = 10 2 = 30 2 Sustituyendo los coeficientes de la ec. (1.352 en la ec. (1.350 se tiene la solución. µ ( = 1 cos sin cos5 5sin5 ( c Gelacio Juárez, UAM 76
6 Tarea 1. La estructura mostrada en la figura 1.33 está sujeta a las condiciones iniciales (0 = 0 10 m y 0 (0 = 0 0m s. Las columnas son de sección cuadrada de m concreto con esfuerzo a compresión = 250 2, módulo elástico = Determine y grafique el desplazamiento velocidad y aceleración para valores de la constante de amortiguamiento =2 considerando =0 05, =0 5 y =1 0 para los casos en que a ( =0y ( = N cos = ( Figura 1.33: Marco de concreto. 2. Resuelva las siguientes ecuaciones = sin = 2 sin = 2 c Gelacio Juárez, UAM 77
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