TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 - RESOLUCIÓN ESTÁTICA DE VIGAS. Efectuar la resolución estática de las vigas de la de la planta tipo (s/pb y s/1º).

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1 1/8 TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 - RESOLUCIÓN ESTÁTICA DE VIGAS Efectuar la resolución estática de las vigas de la de la planta tipo (s/pb y s/1º). Coo ejeplo se realizará la resolución estática de vigas de la planta s/º (de azotea) y s/azotea. Planta s/º y s/ azotea En el trabajo práctico anterior (TP Nº 4) se llevó a cabo el análisis de cargas de las vigas. Dico análisis de cargas consiste en deterinar el valor de las cargas distribuidas y solaente indicar la presencia de cargas concentradas provocadas por las descargas de otras vigas sobre la viga analizada. Coo para la deterinación de las descargas de las vigas es necesario resolver previaente otras vigas, el orden de resolución no es el que se llevó adelante, por ejeplo, en la resoluciónd e losas. En efecto, no se coienza resolviendo la viga 1, luego la viga y así sucesivaente. Es necesario coenzar por las vigas de resolución inediata, es decir aquellas que no reciben descargas de otras vigas. Esta inevitable falta de orden, por otra parte, brinda ayor libertad para elegir con qué viga coenzar y, por tal otivo, coenzareos resolviendo las vigas isostática para resolver las vigas iperestáticas en segundo térino. VIGAS SOBRE VIGA 03 Esquea : q03a q03b q03a := 1645 kgf q03b := 969 kgf la lb la := 1.00 lb := 1.00

2 /8 Qa03 := q03a la la lb la lb q03b lb Qa03 = 1476 kgf Qb03 := q03a la q03b lb Qa03 Qb03 = 1138 kgf Para deterinar el oento áxio de trao es preciso deterinar el punto en que se anula el corte: Qa03 q03a x = 0 x := 0.90 tr := Qa03 x q03a x tr = 66kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor.

3 3/8 VIGA 16 Esquea : q16a P=Qa03 q16a := 177 kgf q16b q16b := 1335 kgf P := 1476kgf la lb la := 1.0 lb := 3.70 Qa16 := q16a la la la Plb q16b lb la lb Qa16 = 3741 kgf Qb16 := q16a la q16b lb P Qa16 Qb16 = 4747 kgf En este caso el oento tiene lugar cuando el corte cabia de signo por acción de la fuerza concentrada P. En este caso ay que toar ese punto coo el de oento áxio. x := 1.0 tr := tr = Qa16 x 345 kgf q16a x A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor.

4 4/8 VE (Viga de escalera) Se trata de la viga de escalera que se encuentra a itad de la altura sostenid por la coluna C3 y el tensor TE. Esquea : qe := 031 kgf qe le :=.00 Se trata de una viga sipleente apoyada con una carga distribuida por la resolución surge de la siguiente fórula: QaE := qe le QbE := QaE QaE = 031 kgf QbE = 031 kgf tr := tr = qe le kgf Con la resolución estática de la viga de escalera quedan resueltas todas las vigas isostáticas de la planta sobre piso. A partir de aquí las vigas son iperestáticas. A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y

5 5/8 oento flexor. g g g y VIGA 01-0 En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas son distintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlas por el étodo de las deforaciones. Esquea : P q01 q0a q0b l01 l0a l0b q01 := 1518 kgf l01 := 4.00 q0a := q0b := 979 kgf 1465 kgf l0a :=.00 l0b :=.00 l0 := l0a l0b La carga del tensor es igual a la reacción a de la viga de escalera ás el pes propio del tensor que posee una sección rectangular de 0x1 c y una altur de 1.40

6 6/8 pea := 400 kgf b := 0.1 d := 0.0 := TE := QaE pea b d TE = 11 kgf P0 := Qb16 P0 = 6859 kgf TE Para resolver el iperestático ediante el étodo de las deforaciones el prier paso deterinar el fundaental que se obtiene epotrando cada uno de los nudos interedios. q01 q0a q0b P 1 3 o 1 o 3 l01 l0a l0b A continuación se obtienen los oentos en los epotraientos del fundaental afectado con las cargas del sistea iperestático. Las fórulas que periten calcular estos oentos se encuentran en tabla anexa. 01 := q01 l := 9 18 q0a l q0b l0 3 P0 l = 3036 kgf 03 = 757 kgf Cálculo de rigideces A continuación se obtienen las rigideces angulares para lo cual se ipone un giro unitario y positivo al nudo interedio y se utilizan las fórulas que se agregan en la parte teórica y que dependen del aterial (E), el oento de inercia de la sección (J) y las condiciones de sustentación (articulado epotrado).

7 7/8 Dado que en el presente caso los ateriales y las secciones son iguales, se puede a los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Esto facilita los cálculos, pero ay que toar en cuenta que los giros que se van a obtener no son los reales. E := 1 kgf J := 1 4 3E J µ1 := µ3 := l01 3E J l0 µ1 = 0.75 kgf µ3 = 0.75 kgf A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo. ( ) θ µ1 µ3 = 0 ( 01 03) θ := θ = 994 µ1 µ3 Con el valor del giro que coo señalaos, no corresponde al giro real, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para ello cual ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque con signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 1 = 58 kgf 3 = 58 kgf ( oento flexor) Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos.

8 8/8 Viga 01 q01 1 l01 1 q01 = 1 l01 1 l01 1 q01 l01 1 Q1 := Q1 = 1716 kgf l01 q01 l01 1 Q1 := Q1 = 4356 kgf l01 Viga 0

9 9/8 P0 q0a q0b 3 3 l0a l0b l0 = P0 q0a q0b 3 l0a l0b l0 3 3 l0 Q3 := q0a l0a l0a l0 l0b q0b l0b l0 P0 l0b l0 3 l0 Q3 = 6951 kgf Q3 := q0a l0a l0 q0b l0b l0b l0 l0a P0 l0a l0 3 l0 Q3 = 4796 kgf Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga.

10 10/8 Viga 01 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q1 x01 := x01 = 1.13 q01 q01 x01 01 := Q1 x01 01 = 969 kgf Viga 0 Para este trao donde no existe corte nulo, se obtiene el oento flexor, toando oentos en la coordenada donde se encuentra la carga concentrada. 0 := Q3 l0a q0a l0a 3 0 = 666 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA 04-05

11 11/8 En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas son distintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlas por el étodo de las deforaciones. P05 q04 q05a q05b l04 l05a l05b q04 := 48 kgf l04 := 4.00 q05a := q05b := 507 kgf 171 kgf l05a :=.00 l05b :=.00 l05 := l05a l05b P05 := Qa16 P05 = 3741 kgf Obtención de oentos iniciales P05 q04 q05a q05b 1 3 o 1 o 3 l04 l05a l05b 01 := q04 l04 8

12 1/8 03 := 9 18 q05a l q05b l05 3 P05 l = 4496 kgf 03 = 488 kgf Cálculo de rigideces Dado que en el presente caso los ateriales y las secciones son iguales, se puede a los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Esto facilita los cálculos, pero ay que toar en cuenta que los giros que se van a obtener no son los reales. E := 1 kgf J := 1 4 3E J µ1 := µ3 := l04 3E J l05 µ1 = 0.75 kgf µ3 = 0.75 kgf A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo. ( ) θ µ1 µ3 = 0 ( 01 03) θ := θ = 57 µ1 µ3 Con el valor del giro que coo señalaos, no corresponde al giro real, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para ello ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque con signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 1 = 4689 kgf 3 = 4689 kgf ( oento flexor)

13 13/8 Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos. Viga 04 q04 1 l04 1 q04 = 1 l04 1 l04 1 q04 l04 1 Q1 := Q1 = 334 kgf l04 q04 l04 1 Q1 := Q1 = 5668 kgf l04 Viga 05

14 14/8 P05 q05a q05b 3 3 l05a l05b l05 = P05 q05a q05b 3 l05a l05b l l05 Q3 := q05a l05a l05a l05 l05b q05b l05b l05 P05 l05b l05 3 l05 Q3 = 4664 kgf Q3 := q05a l05a l05 q05b l05b l05b l05 l05a P05 l05a l05 3 l05 Q3 = 3533 kgf Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga. Viga 04

15 15/8 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q1 x04 := x04 = 1.48 q04 q04 x04 04 := Q1 x04 04 = 457 kgf Viga 05 Para este trao donde no existe corte nulo, se obtiene el oento flexor, toando oentos en la coordenada donde se encuentra la carga concentrada. 05 := Q3 l05a q05a l05a 3 05 = 364 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas son distintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlas por el étodo de las deforaciones.

16 16/8 Esquea : q06 q07 l06 l07 q06 := q07 := 018 kgf 39 kgf l06 := 4.00 l07 := 4.00 Obtención de oentos iniciales q06 q l06 o 1 o 3 l07 01 := q06 l := q07 l = 4036 kgf 03 = 4658 kgf Cálculo de rigideces

17 17/8 Dado que en el presente caso los ateriales y las secciones son iguales, se puede a los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Esto facilita los cálculos, pero ay que toar en cuenta que los giros que se van a obtener no son los reales. E := 1 kgf J := 1 4 3E J µ1 := µ3 := l06 3E J l07 µ1 = 0.75 kgf µ3 = 0.75 kgf A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo. ( ) θ µ1 µ3 = 0 ( 01 03) θ := θ = 415 µ1 µ3 Con el valor del giro que coo señalaos, no corresponde al giro real, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para ello ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque con signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 1 = 4347 kgf 3 = 4347 kgf ( oento flexor) Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos. Viga 06

18 18/8 q06 1 l06 1 q06 = 1 l06 1 l06 1 q06 l06 1 Q1 := Q1 = 949 kgf l06 q06 l06 1 Q1 := Q1 = 513 kgf l06 Viga 05

19 19/8 q l07 q07 = 3 3 l l07 Q3 := q07 l07 3 l07 Q3 = 5745 kgf Q3 := q07 l07 3 l07 Q3 = 3571 kgf Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga. Viga 06 En cada trao, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio

20 0/8 oento flexor en el trao. p Q1 x06 := x06 = 1.46 q06 q06 x06 06 := Q1 x06 06 = 155 kgf Viga 07 x07 := Q3 q07 x07 = := Q3 x07 q07 x = 738 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA En este caso se trata de dos vigas con luces iguales y cargas iguales por lo cual es posible resolvelos con el auxilio de la tabla 51. Esquea :

21 1/8 q08 q09 l08 l09 q08 := q09 := 1518 kgf 1518 kgf l08 := 4.00 l09 := 4.00 En este caso se trata de un sistea iperestático por lo cual no tiene resolución con las ecuaciones de la estática. A los fines prácticos, se a incluido una tabla donde se indican coeficientes que periten resolver estos casos y que se agrega en anexo. Toando en cuenta que el esquea observado es equivalente estáticaente al de dos vigas continuas con luces y cargas iguales, se adopta el prier caso de la tabla T51, agregada en anexo. Para utilizar esta tabla es necesario en prier lugar deterinar la relación que existe entre cargas peranente y totales (peranentes sobrecargas) porque considera que las sobrecargas se aplican o bien en uno de los traos o en la totalidad de los traos. Esto se debe a que de esa anera se obtienen los casos ás desfavorables para los oentos de trao, apoyo y esfuerzos de corte. Sin ebargo, no es necesario realizar una deterinación precisa ya que las diferencias son pequeñas y por tal otivo, se establece que las cargas peranentes son el 70% de las cargas totales. De la tabla T51 se obtienen los siguientes valores: 1 := 1.90 (coeficiente del oento de trao) B := 9.41 (coeficiente del oento de apoyo) q1a :=.54 (coeficiente del esfuerzo de corte en apoyo articulado) q1b := 1.65 (coeficiente del esfuerzo de corte en apoyo epotrado) Coo se trata de un esquea siétrico, los valores de trao de abas vigas son iguales, así coo antiétricos los valores de los esfuerzos de corte.

22 /8 q08 l08 08 := 08 = 1883 kgf 1 q08 l08 ap08_09 := B ap08_09 = 581 kgf 09 := = 1883 kgf q08 l08 Q1 := Q1 = 391 kgf q1a Q1 := q08 l08 q1b Q1 = 3680 kgf Q3 := Q1 Q3 = 3680 kgf Q3 := Q1 Q3 = 391 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas. En

23 3/8 g g este caso, la única diferencia es una ayor coplejidad ateática para la resolución del sistea de ecuaciones. Esquea : Diensiones viga q10 q11 q1 l10 l11 l1 q10 := q11 := q1 := 50 kgf 863 kgf 585 kgf l10 := 3.90 l11 := 3.90 l1 := 3.90 Obtención de oentos iniciales q10 q11 q1 1 4 l10 o 1 o 3 l11 o 3 3 o 34 l1 q10 l10 01 := 03 := 8 q11 l11 1 q11 l11 03 := 034 := 1 q1 l1 01 = 4791 kgf 03 = 1094 kgf 8 03 = 1094 kgf 034 = 4915 kgf Cálculo de rigideces

24 4/8 Por lo indicado anteriorente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, por lo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos. Para obtener las rigideces se ipone un giro unitario a los nudos y 3 anteniendo el resto en las isas condiciones (epotrado). Hay que toar en cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por el giro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra. E := 1 kgf J := 1 4 Se ipone un giro unitario en el nudo. 3E J µ1 := µ3 := l10 4E J l11 3 := E J l11 µ1 = 0.77 kgf µ3 = 1.03 kgf 3 = 0.51 kgf Se ipone un giro unitario en el nudo 3. 4E J µ3 := µ34 := l11 3E J l1 3 := E J l11 µ3 = 1.03 kgf µ34 = 0.77 kgf 3 = 0.51 kgf

25 5/8 A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo y otra diferente en el nudo 3. Nudo ( ) θ µ1 µ3 3 θ3 = 0 Nudo 3 ( ) θ θ µ3 µ34 = 0 Operaos, reeplazaos los lugares por núeros y pasaos los térinos independientes al segundo iebro de la igualdad. En este caso teneos un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual ay que buscar algú étodo de resolución. Por su siplicidad, utilizareos la regla de Craer consistente en la resolución ediante el cociente de dos deterinantes. En anexo ateático, se explica este étodo. Nudo 1.80 θ 0.51 θ3 = 3697 Nudo θ 1.80 θ3 = 381 Para la resolución del sistea de ecuaciones según el étodo propuesto se debe obtener el deterinante de los coeficientes que es aquel cuyos lugares en la tabla son los valores que ultiplican a las incógnitas (θ y θ3): = La resolución es: := =.98 Seguidaente se obtienen los valores de los deterinantes y 3. Estos deterinantes se obtienen reeeplazando los valores de la coluna de cada incógnita por los térinos que aparecen en el segundo iebro de la ecuació = =

26 6/8 := := = = 8763 Finalente los giros se obtienen por los siguientes cocientes: θ := 3 θ3 := θ = 887 θ3 = 941 Con el valor de los giros que, coo señalaos, no corresponden a los giros reales, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para el ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque co signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 3 θ3 1 = 570 kgf 3 = 547 kgf ( oento flexor) 3 := 03 3 θ µ3 θ3 34 := 034 µ34 θ3 3 = 69 kgf 34 = 653 kgf ( oento flexor) Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos.

27 7/8 Viga 10 q10 1 l10 1 q10 = 1 l10 1 l10 1 q10 l10 1 Q1 := Q1 = 455 kgf l10 q10 l10 1 Q1 := Q1 = 5573 kgf l10 Viga 11

28 8/8 q11 3 l = q11 l l q11 l Q3 := Q3 = 166 kgf l11 q11 l Q3 := Q3 = 1704 kgf l11 Viga 1

29 9/8 q q1 l1 = 4 3 l l1 4 q1 l1 34 Q34 := Q34 = 571 kgf l1 q1 l1 34 Q43 := Q43 = 4361 kgf l1 Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga. Viga 10 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q1 x10 := x10 = 1.69 q10 q10 x10 10 := Q1 x10 10 = 359 kgf Viga 11 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q3 x11 := x11 = 1.93 q11

30 30/8 q11 x11 11 := 3 Q3 x11 11 = 947kgf En los casos en que de oento negativo en el trao, para calcular es necesario considerar un oento positivo ínio igual al que resulta de calcular un trao de viga con abos apoyos epotrados cuya fórula se indic a continuación: q11 l11 11calc := 11calc = 547 kgf 4 Viga 1 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q34 x1 := x1 =.1 q1 q1 x1 1 := 34 Q34 x1 1 = 3678 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas. Esquea :

31 31/8 q13 q14 q15 l13 l14 l15 q13 := q14 := q15 := 144 kgf 197 kgf 1454 kgf l13 := 3.90 l14 := 3.90 l15 := 3.90 Obtención de oentos iniciales q13 q14 q l13 o 1 o 3 l14 o 3 3 o 34 l15 q13 l13 01 := 03 := 8 q14 l14 1 q14 l14 03 := 034 := 1 q15 l15 01 = 4076 kgf 03 = 500 kgf 8 03 = 500 kgf 034 = 764 kgf Cálculo de rigideces Por lo indicado anteriorente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, por lo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos. Para obtener las rigideces se ipone un giro unitario a los nudos y 3 anteniendo el resto en las isas condiciones (epotrado). Hay que toar

32 3/8 ( p ) y q en cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por el giro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra. E := 1 kgf J := 1 4 Se ipone un giro unitario en el nudo. 3E J µ1 := µ3 := l10 4E J l11 3 := E J l11 µ1 = 0.77 kgf µ3 = 1.03 kgf 3 = 0.51 kgf Se ipone un giro unitario en el nudo 3. 4E J µ3 := µ34 := l11 3E J l1 3 := E J l11 µ3 = 1.03 kgf µ34 = 0.77 kgf 3 = 0.51 kgf A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo y otra diferente en el nudo 3.

33 33/8 Nudo ( ) θ µ1 µ3 3 θ3 = 0 Nudo 3 ( ) θ θ µ3 µ34 = 0 Operaos, reeplazaos los lugares por núeros y pasaos los térinos independientes al segundo iebro de la igualdad. En este caso teneos un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual ay que buscar algú étodo de resolución. Por su siplicidad, utilizareos la regla de Craer consistente en la resolución ediante el cociente de dos deterinantes. En anexo ateático, se explica este étodo. Nudo 1.80 θ 0.51 θ3 = 1576 Nudo θ 1.80 θ3 = 64 Para la resolución del sistea de ecuaciones según el étodo propuesto se debe obtener el deterinante de los coeficientes que es aquel cuyos lugares en la tabla son los valores que ultiplican a las incógnitas (θ y θ3): = La resolución es: := =.98 Seguidaente se obtienen los valores de los deterinantes y 3. Estos deterinantes se obtienen reeeplazando los valores de la coluna de cada incógnita por los térinos que aparecen en el segundo iebro de la ecuació = = := := = = 179

34 34/8 Finalente los giros se obtienen por los siguientes cocientes: θ := 3 θ3 := θ = 997 θ3 = 49 Con el valor de los giros que, coo señalaos, no corresponden a los giros reales, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para el ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque co signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 3 θ3 1 = 3309 kgf 3 = 330 kgf ( oento flexor) 3 := 03 3 θ µ3 θ3 34 := 034 µ34 θ3 3 = 48 kgf 34 = 434 kgf ( oento flexor) Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos. Viga 13

35 35/8 q13 1 l13 1 q13 = 1 l13 1 l13 1 q13 l13 1 Q1 := Q1 = 333 kgf l13 q13 l13 1 Q1 := Q1 = 509 kgf l13 Viga 14

36 36/8 q14 3 l = q14 l l q14 l Q3 := Q3 = 4069 kgf l14 q14 l Q3 := Q3 = 361 kgf l14 Viga 15

37 37/8 q q15 l15 = 4 3 l l15 4 q15 l15 34 Q34 := Q34 = 3459 kgf l15 q15 l15 34 Q43 := Q43 = 11 kgf l15 Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga. Viga 13 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q1 x13 := x13 = 1.55 q13 q13 x13 13 := Q1 x13 13 = 590 kgf Viga 14 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao.

38 38/8 Q3 x14 := x14 =.06 q14 q14 x14 14 := 3 Q3 x14 14 = 897 kgf Viga 15 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q34 x15 := x15 =.38 q15 q15 x15 15 := 34 Q34 x15 15 = 1681 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor. VIGA En este caso se trata de tres vigas continuas, dos con cargas distribuidas y una tercera con cargas distribuidas parciales y una concentrada. Esquea :

39 39/8 P19 q17 q18 q19a q19b l17 l18 l19a l19b q17 := q18 := 1479 kgf 1047 kgf l17 := 3.90 l18 := 3.90 q19a := q19b := 906 kgf 763 kgf l19a := 1.30 l19b :=.60 P19 := Qb03 l19 := l19a l19b P19 = 1138 kgf Obtención de oentos iniciales l19 = 3.90 En el tercer trao se resuelve por separado cada una de las cargas con ayuda de la tabla de iperestáticos de un trao resueltos. P19 q17 q18 q19a q19b 1 4 o 1 o 3 o 3 3 o 34 l17 l18 l19a l19b q17 l17 01 := 03 := 8 q18 l18 1

40 40/8 03 := q18 l18 1 q19a l19a 034a := 8 l19a l19 034b := q19b l19b 8 l19b l19 034c := P19 l19a l19b ( l19 l19b) l := 034a 034b 034c 01 = 81 kgf 03 = 137 kgf 03 = 137 kgf 034 = 356 kgf Cálculo de rigideces Por lo indicado anteriorente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, por lo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos. Para obtener las rigideces se ipone un giro unitario a los nudos y 3 anteniendo el resto en las isas condiciones (epotrado). Hay que toar en cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por el giro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra. E := 1 kgf J := 1 4 Se ipone un giro unitario en el nudo. 3E J µ1 := µ3 := l10 4E J l11 E J 3 := l11

41 41/8 µ1 = 0.77 kgf µ3 = 1.03 kgf 3 = 0.51 kgf Se ipone un giro unitario en el nudo 3. 4E J µ3 := µ34 := l11 3E J l1 3 := E J l11 µ3 = 1.03 kgf µ34 = 0.77 kgf 3 = 0.51 kgf A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo y otra diferente en el nudo 3. Nudo ( ) θ µ1 µ3 3 θ3 = 0 Nudo 3 ( ) θ θ µ3 µ34 = 0 Operaos, reeplazaos los lugares por núeros y pasaos los térinos independientes al segundo iebro de la igualdad. En este caso teneos un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual ay que buscar algú étodo de resolución. Por su siplicidad, utilizareos la regla de Craer consistente en la resolución ediante el cociente de dos deterinantes. En anexo ateático, se explica este étodo. Nudo 1.80 θ 0.51 θ3 = 1485 Nudo θ 1.80 θ3 = 109

42 4/8 Para la resolución del sistea de ecuaciones según el étodo propuesto se debe obtener el deterinante de los coeficientes que es aquel cuyos lugares en la tabla son los valores que ultiplican a las incógnitas (θ y θ3): = La resolución es: := =.98 Seguidaente se obtienen los valores de los deterinantes y 3. Estos deterinantes se obtienen reeeplazando los valores de la coluna de cada incógnita por los térinos que aparecen en el segundo iebro de la ecuació = = := := = = 610 Finalente los giros se obtienen por los siguientes cocientes: θ := 3 θ3 := θ = 1073 θ3 = 876 Con el valor de los giros que, coo señalaos, no corresponden a los giros reales, se pueden obtener los valores de los oentos iperestáticos. Para el ay que suar a izquierda y a dereca los valores de los oentos en el sistea fundaental ás el giro ultiplicado por el valor de las rigideces. Se calculan abos oentos que deben resultar siilares en ódulo aunque co signo opuesto y esto verifica la corrección del resultado. 1 := 01 µ1 θ 3 := 03 µ3 θ 3 θ3 3 := 03 3 θ µ3 θ3 1 = 1986 kgf 3 = 1979 kgf ( oento flexor) 3 = 1675 kgf

43 43/8 34 := 034 µ34 θ3 34 = 1683 kgf ( oento flexor) Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtención del oento flexor, se a resuelto el sistea iperestático, aora ay que obtener los diagraas de corte. Para ello se considera cada barra en fora aislada y se aplica superposición de esfuerzos. Viga 17 q17 1 l17 1 q17 = 1 l17 1 l17 1 q17 l17 1 Q1 := Q1 = 375 kgf l17 q17 l17 1 Q1 := Q1 = 3393 kgf l17 Viga 18

44 44/8 q18 3 l = q18 l l q18 l Q3 := Q3 = 10 kgf l18 q18 l Q3 := Q3 = 1964 kgf l18 Viga 19

45 45/8 P19 q19a q19b 4 o 3 34 l19a l19b q19a P19 = q19b 4 o 3 34 l19a l19b 4 o 3 34 l19 Q34 := q19a l19a l19a l19b l19 q19b l19b 1 l19 Q43 := q19b l19b l19b l19a l19 q19a l19a 1 l19 Q34 = 15 kgf Q43 = 1636 kgf Por últio, se obtienen los oentos de trao de cada viga. Viga 17 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao.

46 46/8 Q1 x17 := x17 = 1.61 q17 q17 x17 17 := Q1 x17 17 = 1906 kgf Viga 18 En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el áxio oento flexor en el trao. Q3 x18 := x18 =.0 q18 q18 x18 18 := 3 Q3 x18 18 = 167 kgf Viga 19 Aunque ay una carga concentrada, igualente es necesario obtener el punto de corte nulo ya que la isa no llega a provocar un cabio de signo del oento de corte. Por coodidad en este caso, se toarán oentos a la dereca pero cabiándoles el signo Q43 x19 := x19 =.14 q19b q19b x19 19 := Q43 x19 19 = 1753 kgf A continuación se representan los diagraas de esfuerzos de corte y oento flexor.

47 47/5 Vigas sobre Azotea Para resolver las vigas 301 y 30 es necesario conocer previaente el valor d las reacciones de la viga 304 por lo cual se dejará el cálculo de estas vigas para el final. VIGA 303 Esta viga no recibe reacciones de losa ni un uro de cierre. Solaente soporta dos cargas concentradas correspondiente a las colunas del tanque. Esquea : P P q303 l303 := 3.90 q303 := 86 kgf lp lp l303 La viga recibe dos cargas concentradas (P) que corresponden a la carga de dos colunas del tanque (cuyo peso cargado se estia en un valor igual al doble de la carga de agua, es decir, 1000 Kgf). P := 1000kgf 4 P = 3000 kgf lp := 1.00 Qa303 := P q303 l303 Qb303 := Qa303 Qa303 = 3168 kgf Qb303 = 3168 kgf

48 48/5 303 := Qa303 l303 P l303 lp q303 l = 1664 kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor. VIGA 304 Esquea : P P q304 l304 := 3.90 lp lp q304 := 188 kgf l304 La viga recibe dos cargas concentradas (P) que corresponden a la carga de dos colunas del tanque (cuyo peso cargado se estia en un valor igual al doble de la carga de agua, es decir, 1000 Kgf). P := 1000kgf 4 P = 3000 kgf lp := 1.00 Qa304 := P q304 l304 Qb304 := Qa304

49 49/5 Qa304 = 6670 kgf Qb304 = 6670 kgf 304 := Qa304 l304 P l304 lp q304 l = 6578 kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor. VIGA 305 Esquea : q305 l305 := 3.90 q305 := 188 kgf l305 Se trata de una viga sipleente apoyada con una carga distribuida por la resolución surge de la siguiente fórula: Qa305 := q305 l305 Qb305 := Qa305 Qa305 = 3670 kgf Qb305 = 3670 kgf

50 50/5 305 := q305 l = 3578 kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor. VIGA 301 Esquea : l301 := 4.00 q301a P q301b q301a := 86 kgf l301/ q301b := 197 kgf l301 P := Qb304 P = 6670 kgf Qa301 := q301a l301 q301b l301 4 P

51 51/5 Qb301 := q301b l301 q301a l301 4 P Qa301 = 5479 kgf Qb301 = 7365 kgf 301 := Qa301 l301 q301a l = kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor. VIGA 30 Esquea : l30 := 4.00 q30a P q30b q30a := 86 kgf l30/ q30b := 1405 kgf l30 P := Qa304 P = 6670 kgf

52 5/5 Qa30 := q30a l30 q30b l30 4 P Qb30 := q30b l30 q30a l30 4 P Qa30 = 491 kgf Qb30 = 631 kgf 30 := Qa30 l30 q30a l30 30 = 965 kgf A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagraas de corte y oento flexor.

53 ANEXO ATEÁTICO Para la resolución de los sisteas de ecuaciones que suelen aparecer en el étodo de las deforaciones, se puede aplicar cualquier étodo, tales coo sustituciones, suas y restas y ucos ás. Sin ebargo, por su siplicidad, se utilizó el llaado étodo de Craer consistente en el cociente de dos deterinantes y, por tal otivo, se ará una breve reseña de este étodo, no en cuanto a su fundaentación, sino a su procediiento. En prier lugar, se recordará que los deterinantes son núeros que se obtienen a partir de tablas o atrices cuadradas que asignan un valor nuérico en cada posición. El deterinante se obtiene de la sua de un núero de factores iguales al grado del deterinante. Por ejeplo, si la atriz posee dos filas y dos colunas, los térinos de cada deterinante poseen dos factores, si consta de tres filas y tres colunas, se suarán tres factores. En particular, se indicará coo se obtienen los valores de los deterinantes de x que son los necesarios para la resolución del iperestático a11 a1 a1 a = a11xa a1xa1 Aora bien, dado un sistea de ecuaciones del tipo siguiente: a11 x a1 y = b1 a1 x a y = b La regla de Craer establece que la solución del sistea se obtiene del cociente de los siguientes deterinantes. 1 x := y := Donde: a11 a1 a1 a

54 1 b1 b a11 a1 a1 a b1 b

55