Me temo que esto no me va a gustar mucho. El primer tema es bastante petardete,

Transcripción

1 0 Requisitos previos 0 Priitiva de una función 0 El problea del cálculo de priitivas 5 0 Priitivas inediatas 6 05 Funciones hiperbólicas 06 Cálculo de priitivas "por partes" 07 Cabio de variable 5 08 Priitiva de un cociente de polinoios 50 0 Funciones racionales del seno y el coseno 7 0 Funciones racionales de las funciones "sh" y "ch" 8 Priitivas de algunas funciones irracionales Cálculo de priitivas por reducción 07 Me teo que esto no e va a gustar ucho El prier tea es bastante petardete, pero luego la cosa se ania ucho y lo pasarás boba resolviendo probleas de la vida real Tea : Cálculo de Priitivas

2 0 PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES DE SH Y CH Nos planteaos el cálculo de la priitiva de una función racional del seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, es decir, de una función en la que " sh " y " ch " aparecen coo aparece la "" en los cocientes de polinoios; o sea, funciones coo las siguientes: sh sh ch ch sh f ( ) 5 7 ; g ( ) sh ch sh Para denotar genéricaente este tipo de funciones escribireos R( sh ; ch ) Caso general El problea de calcular la priitiva de una función R( sh ; ch ) siepre puede transforarse en el problea de calcular la priitiva de un cociente de polinoios haciendo el cabio de variable th ( / ) Coo ya eres un artista calculando priitivas de cocientes de polinoios, en los ejeplos sólo nos ocupareos del tránsito que conduce de una priitiva de la fora Rshch ( ; ) da la priitiva de un cociente de polinoios sh ch d d th ( / ) sh, ch yd d d Ln Ln th C deshaceos el cabio de variable: th ( / ) sh Cada ve que hagas el cabio th ( / ) tendrás que sustituir sh, ch y d por sus correspondientes valores en función de ""; por tanto, debes saber que si th ( / ), es: sh ch ; ; d d sh ch d d th ( / ) sh, ch yd d Tea : Cálculo de Priitivas 8

3 calculaos la priitiva del cociente de polinoios ( )( ) d g ( ) g ( th ) C deshaceos el cabio: th ( / ) Noooo! Ahora estudiareos otros cabios de variable que en ciertos casos son ás eficaces que th ( / ) Casos particulares Para calcular la priitiva R( sh ) ch d hareos sh ; así: Rsh ( ) chd R ( ) d sh ch d d sh sh ch d d Ln Ln sh C sh ch d d deshaceos el cabio: sh sh d ch d sh sh ch ch sh ch d es ch sh sh ch d d d g g sh C ( ) ( ) deshaceos el cabio: sh th sh d ch sh sh d d ( ) ( ) ( ) th sh/ ch sh chd d g( ) g( sh ) C deshaceos el cabio: sh Tea : Cálculo de Priitivas 85

4 Para calcular la priitiva R( ch ) sh d hareos ch ; así: Rch ( ) shd R ( ) d ch sh d d ch ch sh d d Ln Ln ch C ch sh d d deshaceos el cabio: ch ch d sh d ch ch sh sh ch sh d siepre es sh ch ch sh d d d g ( ) gch ( ) C deshaceos el cabio: ch th sh ch d ch sh d d ( ) ( ) th sh/ ch ch shd d g( ) g( ch ) C deshaceos el cabio: ch Para calcular la priitiva R( th ) d hareos th ; así: Rth ( ) d R ( ) d th arcth d d/( ) th d d g ( ) gth ( ) C th d d/( ) deshaceos el cabio de variable: th Tea : Cálculo de Priitivas 86

5 th ( ) ( ) th d d p gth C th d d/( ) deshaceos el cabio de variable: th Para calcular una priitiva de la fora R( sh ; ch n) d, donde "" y "n" son núeros enteros ( sh y ch aparecen elevados a eponentes pares), hareos th ; en este trance, para poder sustituir sh, ch y "d" por sus correspondientes valores en función de "", deberás saber que si th, es: sh ; ch ; d d d sh ch th sh, ch yd d d arc tg th ( ) arc tg( ) C 6 deshaceos el cabio: th d d d sh ( ) th sh yd d d d arh th ( ) arg th ( th ) C deshaceos el cabio: th Seguro que a continuación viene el caso R( sh ; ch ) sh chn Qué horror! Tea : Cálculo de Priitivas 87

6 5 Podeos distinguir casos a la hora de calcular la priitiva de una función R( sh ; ch ) cuya epresión ateática es de la fora R( sh ; ch ) sh chn, siendo "" y "n" núeros enteros: A) Si alguno de los eponentes (por ejeplo, el "n") es ipar, lo epresareos coo sua de un núero par y del núero (o sea, n k, siendo "k" entero); así: sh ch k d sh ch k ch d sh( sh ) k ch d R( sh ) ch d B) Si los dos eponentes son pares pero alguno es negativo, hareos el cabio th ; coo ya sabeos, en tal caso, es: sh ; ch ; d d C) Si los dos eponentes son pares no negativos ( 0 ), por ejeplo p y n q siendo "p" y "q" núeros naturales, es: sh p p q ch q F - ch I d HG K J F ch I HG K J d ch ch sh ch ; Al efectuar el producto (- ch ) p( ch ) q obtendreos una sua de potencias pares e ipares de ch ; las priitivas de las potencias ipares de ch se calculan coo se indica en A), y con las priitivas de las potencias pares de ch basta tener en cuenta que ch ( ch )/, así: F HG ch ch r d d Al efectuar el desarrollo de ( ch ) r obtendreos una sua de potencias pares e ipares de ch ; las priitivas de las potencias ipares de ch se calculan coo se indica en el caso A), y las priitivas de las potencias pares de ch se calculan teniendo en cuenta que ch ( ch 8 )/, así: ch 8 chs d d Al efectuar el desarrollo de ( ch 8 ) s obtendreos una sua de potencias pares e ipares de ch 8 ; las priitivas de las F HG I K J r I K J s Tea : Cálculo de Priitivas 88

7 5 sh ch d sh ch sh d Caso 5A, pues estaos ante una priitiva de la fora sh ch d en la que algún eponente es ipar Epresaos dicho eponente ipar coo sua de un nuero par y del núero (5 ) ( ch ) ch sh d sh ch priitiva de la fora R( ch ) sh d ch sh d d ( ) d g ( ) g ( ch ) C sh ch d deshaceos el cabio de variable: ch 5 sh ch chd Caso 5A, pues estaos ante una priitiva de la fora sh ch d en la que algún eponente es ipar Epresaos dicho eponente ipar coo sua de un nuero par y del núero (5 ) sh ( sh ) ch d ch sh priitiva de la fora R( sh ) ch d sh ch d d ( ) d g( ) g( sh ) C deshaceos el cabio de variable: sen sh sh sh d sec hd d sh d Caso 5A, pues estaos ante una priitiva de la fora sh ch d en la que algún eponente es ipar Epresaos dicho eponente ipar coo sua de un nuero par y del núero (- - ) sh ch sh d d ch priitiva de la fora R( ch ) sh d ch sh d d g( ) g( ch ) C deshaceos el cabio de variable: ch n n n Tea : Cálculo de Priitivas 8

8 sh d sh ch d ch Caso 5B, pues estaos ante una priitiva de la fora sh ch d en la que abos eponentes son pares, pero alguno es negativo haceos el cabio th ; así: sh ; ch ; d d d ( ) d g( ) g( th ) C sh ch d deshaceos el cabio de variable: th ch ch d Caso 5C, pues estaos ante una priitiva de la fora sh chn d en la que abos eponentes son pares no negativos daos "entrada" al arguento "": es sh ( ch )/ y ch ( ch )/ ( ch ) d ch d ch d ( ) sh C 8 daos "entrada" al arguento "": ch ( ch )/ ch 6 ( ) d Caso 5C, pues estaos ante una priitiva de la fora sh chn d en la que abos eponentes son pares no negativos daos "entrada" al arguento "": es sh ( ch )/ ( ch ch ch ) d 8 sh d ch Es: ch d (caso 5C) d ( sh ) Es: ch d (caso 5A) ch ch d ( sh ) ch d ( ) d g( ) g( sh ) sh ch d d/ n Tea : Cálculo de Priitivas 0

9 6 Para calcular priitivas de la fora basta recordar las fórulas: A) shachbd, a b B) sha sh b d, a b C) cha ch b d, a b sh ( a b) sh ( a b) A) sha ch b, a b ch ( a b) ch ( a b) Bshashb ), a b ch ( a b) ch ( a b) C) ch a ch b, a b Con ellas transforareos el problea de calcular la priitiva de un producto en el problea de calcular la priitiva de una sua 6 sh ch d ( sh 8 sh ) d sh ( 6) sh ( 6) sh 8 sh ( ) sh ch 6 sh 8 sh, pues sh ( ) sh ch 8 ch C sh sh d ( ch 8 ch ) d ch ( 6) chs ( 6) ch 8 ch ( ) sh sh 6 ch 8 ch, pues ch ( ) ch sh 8 sh C ch ch d ( ch 8 ch ) d ch ( 6) ch ( 6) ch 8 ch ( ) ch ch 6 ch 8 ch, pues ch ( ) ch sh 8 sh C 6 8 Tea : Cálculo de Priitivas

10 PRIMITIVAS DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES Al hablar de funciones irracionales nos referios a funciones en que la variable aparece bajo el signo de radicación, coo las siguientes: f ( ) ; f ( ) ( ) ; f ( ) f f ( ) ( ) ; ( ) ; f ( ) 5 El problea de calcular la priitiva de una función irracional puede ser asunto inediato, coo en el caso d/ C o totalente infuable incluso para los japoneses, coo en el caso 7 5 d 5 Tranquilo!, sólo estudiareos algunos tipos de priitivas de funciones irracionales y en cada caso deberás aprender el cabio de variable que transfora nuestro problea en el problea de calcular una priitiva de las que ya conoceos 5 Si el integrando f() es una ensalada de potencias del cociente de onoios ( a b)/( c d), hareos ( a b)/( c d) k, siendo "k" el ínio coún últiplo de los denoinadores de los eponentes de ( a b)/( c d) d / / ( ) ( ) d 6 ( ) / 6 es c(,,6) haceos d 6 d calculaos la priitiva del cociente de polinoios 6 d g() g(( ) / )) C deshaceos el cabio: ( ) / Tea : Cálculo de Priitivas

11 / d 6 d 6 d 5 / es c(,) 6 haceos 6 d 6 5 d calculaos la priitiva del cociente de polinoios 6 / g ( ) g ( ) C deshaceos el cabio: 6 / 6 Si el integrando f() contiene un único factor irracional de la fora a - b, lo hareos desaparecer con el cabio b a sen, pues así: a b a a sen a sen acos d sen cos d sen cos d sen d cos d cos cos d d ( sen ) arc sen sen ( arc sen ) C 8 deshaceos el cabio: sen sen arc sen NOTA Antes de deshacer el cabio podeos escribir sen sen cos, y así: d ( sen cos ) ( sen cos ) ( arc sen ( ) ) C deshaceos el cabio: arc sen sen sen S cos ( ) NOTA Tabién podeos resolver la papeleta ediante el cabio cos: R T Tea : Cálculo de Priitivas

12 d cos send cos send cos d sen d cos sen d d ( sen ) arc cos sen ( arc cos ) C 8 deshaceos el cabio: cos cos arc cos d 5 5 /cos d 5 / sen 55 sen 5 sen 5/ sen d 5/cos d 5 /cos d 5 / sen 5 sen 5 /cos d 5 / sen 5cos Priitiva de la fora R(sen ;cos )d cabio tg t, para el que es: sen t t ;cos ; d dt t t t 5 / t t 5 5 dt gt ( ) / t t t t t calculaos la priitiva del cociente de polinoios obtenido gtg arc sen 5 / ( ) C deshaceos los cabios de variable realiados: t tg arc sen 5 / tg 5 sen arc sen / 5 Salen uchos cocientes de polinoios espantosos! Tranqui, en eaen todo estará "preparado" para que el cociente de polinoios sea asequible Tea : Cálculo de Priitivas

13 Si el integrando f() contiene un único factor irracional de la fora a b, lo hareos desaparecer con el cabio b a tg, pues así: a b a a tg a tg a/cos d tg d cos tg d d cos tg d d d cos cos cos cos coo todo el undo sabe, es tg /cos n priitiva de la fora sen cos d, siendo ipar algún eponente epresaos el eponente ipar coo sua de un núero par y de cos cos cos d ( sen ) d priitiva de la fora R(sen )cos d, haceos el cabio sen t cos d dt calculaos la priitiva del cociente de polinoios dt ( t ) g( t) g( sen arc tg ) C deshaceos los cabios de variable realiados: t sen sen arc tg tg arctg d tg tg d tg cos tg d d/cos tg /cos tg tg cos d cos d cos cos cos cos Tea : Cálculo de Priitivas 5

14 cos tg cos sen d cos d sen d cos cos cos cos cos cos descoponeos en sua de dos suandos d sen d cos cos cos cos dt t cos cos t ( t ) t t R(sen ;cos )d cabio tg t, para el que es: t cos ; d dt t t Es: d sen Es: d dt d cos cos t t priitiva de la fora R(cos ) send, haceos el cabio cos t sen d dt Si el integrando f() contiene un único factor irracional de la fora b - a, lo hareos desaparecer con el cabio b asec, pues así: b a a sec a a sec a tg d sec sec tgd sec sec d sec tg d sec tg tg tg tgd d sen /cos sec d sec sec /cos cos sen d d ( sen ) ( sen cos ) ( arc cos ( / ) ) C R S T Tea : Cálculo de Priitivas 6 arc cos sec cos cos sen cos ( / )

15 d sec sec tgd sec sec sec tgd sec sec d sec tg d sec tg d tg sec tg sen cos (cos sen) d sen cos cos d sen cos Priitiva de la fora R(sen ;cos )d cabio tg t, para el que es: sen t t ;cos ; d dt t t t calculaos la priitiva del cociente de polinoios t t dt cos / gt ( ) gtg ( arc ) C ( t ) ( t t ) t t t t deshaceos los cabios realiados: t tg tg arc cos / sec cos arccos / cos 5 Para calcular priitivas de la fora d a b c anipulareos el polinoio a b c para conseguir alguna de las siguientes inediatas: u k u ( u ( )) u '( ) d arc sen u ( ) ( u( )) k '( ) d sh u ( ) arg k k '( ) d ch u ( ) arg ( u ( )) k k Tea : Cálculo de Priitivas 7

16 d d ( ) arc sen C ( 6 ) 6 ( ) d arg sh C 7 ( ) 6 d 7 ( ) 7 ( ) 6 d arg ch C 5 ( ) 6 d 5 ( ) 5 ( ) 6 d d 7 7 d arg ch C ( ) 57 57/ ( 7 57 ) 6 6 ( ) 6 d d d arg sh 6 C ( 5 ) 5 5/ ( 5 ) 6 6 ( ) 6 d d d arc sen 6 C 7 ( 5 ) 7/ ( 5 5 ) 7 ( 5 ) Tea : Cálculo de Priitivas 8

17 6 Siendo P() es un polinoio de grado ayor o igual que, para calcular priitivas de la fora P ( ) d () I a b c usareos el llaado étodo aleán: λ P ( ) d Q ( ) a b c d ( a b c a b c II ) donde Q() es un polinoio copleto de coeficientes indeterinados y grado una unidad inferior al grado de P() y l es un núero indeterinado Así, el problea de calcular (I), se transfora en el problea de calcular l d/ a b c, que es del tipo 5 Para calcular el valor de λ y los coeficientes de Q() derivareos los dos iebros de (II); se obtiene: P ( ) dq ( ( ) a b c) a b c λ d a b c Tras reducir a coún denoinador en el segundo iebro de la últia igualdad e identificar los nueradores de abos lados, llegareos a un sistea lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son los coeficientes de Q() y l d 5 d dq ( ( ) ) λ d coo P() tiene grado Q() tiene grado 0, o sea, es Q() k dk ( ) λ d k( ) λ k k λ R S U T V W k k k k λ k λ { λ 5 / Tea : Cálculo de Priitivas

18 5 arg sh C d d sh (/ ) arg arg sh ( ) / ( ) ( ) d ( 5 5 ) 6 d dq ( ( ) ) d λ coo P() tiene grado Q() tiene grado, o sea: Q()A BC ( 5 5 (/ ) ) 6 arg sh C / 6 d d sh (/ ) arg ( 5 5/ 6 ) 6 ( ) (( ) ) (( ) 5 ) Tea : Cálculo de Priitivas 00 d(( A B C) ) λ d ( A B C)( ) ( A B) λ ( A B)( ) ( A B C)( ) λ 6A ( 5A B ) ( A B C) ( B C λ) R 6 A U 0 5A B S V RA / S B 56 / A B C C 5/ 6 T 6/ 8 B C λ λ T W

19 7 Para calcular priitivas de la fora a b c d, ultiplicaos y dividios por a b c; así: a b cd a b c a b c d que es del tipo 6 d ( ) 7 d 8 6 d dq ( ( ) ) λ d coo P() tiene grado Q() tiene grado, o sea, es: Q() A B d(( A B) ) λ d ( A B)( ) A λ A( ) ( A B)( ) λ A ( A B) ( A B λ ) R S T A A B A B λ ( (/) ) 7 arg ch C 8 6 7/ 6 Tea : Cálculo de Priitivas 0 U V W R S T A / B 8 / λ 7/ 6 d d ch (/) arg ( 7 7/ 6 ) 6 (( ) ) (( ) 7 ) 6 6 6

20 8 Siendo "k" un núero natural, para calcular una priitiva de la fora d ( - a) k a b c hareos el cabio de variable /( α ), que en el caso k nos conducirá a una priitiva tipo 5, y si k > nos conducirá a una priitiva tipo 6 (étodo aleán) ( d/ ) ( ) ( ) ( ) d d / ( d/ ) ( d/ ) ( d/ ) d d arg sh ( 7 76 / ) 6 (( ) ) (( ) 7 ) arg sh arg sh C 7 7 deshaceos el cabio de variable: /( ) d d d ( / ) ( d/ ) d d/ d tipo 6, étodo aleán Tea : Cálculo de Priitivas 0

21 A la hora de calcular la priitiva de una función de la fora R ( ; a b c), distinguios tres situaciones: A) Si a > 0 cabio a b c a B) Si c > 0 cabio a b c c C) Si a < 0 cabio a b c ( α), siendo αuna de las soluciones de la ecuación a b c 0 Observa que puede haber "solapes"; por ejeplo, siendo I d ; I d el cálculo de I corresponde al caso A o al B, y el de I corresponde al caso B o al C d d ( ) ( ) ( ) ( ) Caso A fi haceos el cabio, y así: R S T ( ) ( ) ( ) calculaos la priitiva del cociente de polinoios g ( ) g( ) C deshaceos el cabio: si ( ) ( ) ( )( ) d d d ( ) ( ) Tea : Cálculo de Priitivas 0

22 d d ( ) ( ) Corresponde al caso A o al B, y la calculaos coo B; o sea, haceos el cabio ; así: ( ) ( ) R S ( ) ( )( ) d d d ( ) ( ) T calculaos la priitiva del cociente de polinoios g ( ) g( ) C deshaceos el cabio: si 6 d ( ) ( ) d Corresponde al caso B o al C, y la calculaos coo C; o sea, haceos el cabio ( α ) , siendo a una de las raíces de la ecuación 0( ó ( )( )) Así: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ( S ) ( ) ( )() d d 6 d ( ) ( ) T Tea : Cálculo de Priitivas 0

23 calculaos la priitiva del cociente de polinoios g ( ) g( ) C deshaceos el cabio: ( ) Si hay "solape", cuál elijo? A priori no hay fora de saber qué opción es la enos petarda; elige la que quieras, y si te conduce a un cociente de polinoios infuable, prueba con la otra 0 Se llaan irracionales "binoias" a las priitivas de la fora: ( a b n) p d donde los eponentes "", "n" y "p" son núeros racionales Se transfora en la priitiva de un cociente de polinoios en los siguientes casos: A) Si "p" es entero la priitiva es del tipo cabio k, con k c ( denoinadores de "" y "n") B) Si ( )/n es entero cabio a b n r, siendo "" r el denoinador de "p" C) Si p es entero cabio a n b r, n siendo "" r el denoinador de "p" Fuera de estos tres casos, la priitiva no puede epresarse ediante funciones eleentales d / ( 5 / ) d ( 5 ) caso 0A ( p es entero) cabio c (,) 6 d 6 5 d ( 5 ) 6 5 d 8 6 dy g( ) g( / 6) C ( 5 ) deshaceos el cabio: 6 / 6 Tea : Cálculo de Priitivas 05

24 / ( / ) / d Priitiva del tipo ( a b n) p d ( irracional "binoia"), siendo: / ; n / ; p / ( / ) Coo entero haceos el cabio / : n / / ( ) d ( ) d (( ) ) / ( ) / ( ) d ( ) d ( 6 ) d ( 7 ) ( 7 7 / ) 7/ ( / ) / C deshaceos el cabio: / ( / ) / / d ( ) d Priitiva del tipo ( a b n) p d ( irracional "binoia"), siendo: ; n ; p / Coo p entero cabio : n ( ) / ( ) / ( ( ) ) / /( ) / d ( ) / d RST (( ) / ) ( ) / d ( ) / (( ) ( ) / d ( ) / d ( ) / C deshaceos el cabio: ( ) / Queda ucho? Menos que al principio, se hace caino al andar Tea : Cálculo de Priitivas 06

25 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR REDUCCIÓN Este étodo se usa para calcular priitivas de funciones faosas que van afectadas de eponentes (noralente enteros) grandes I ( Ln ) d ( Ln ) ( Ln ) d Por ejeplo: u ( Ln ) du ( Ln ) d dv d v I ( Ln ) I es: ( Ln ) d I I ( Ln ) d ( Ln ) I es: I ( Ln ) d ( Ln ) I ( Ln ) ( ( Ln ) I ) ( Ln ) ( Ln ) 6 I es: I ( Ln ) d ( Ln ) I 0 ( Ln) ( Ln) 6 c( Ln) I0h ( Ln ) ( Ln ) 6 Ln I0 ( Ln) ( Ln) 6 Ln C es: I 0 ( Ln ) 0 d d u sen du ( )cos sen d dv sen d v sen d cos I sen d sen sen d I sen cos ( ) sen cos d Tea : Cálculo de Priitivas 07 I sen cos ( )( I I ) sen cos d sen ( sen ) d sen d sen d I I I sen cos ( ) I I sen cos I

26 Por ejeplo: I sen d sencos I u cos du ( ) sen cos d dv cos d v cos d sen I cos d cos cos d I sen cos ( ) sen cos d es: sencos d ( cos )cos d cos d cos d I I Tea : Cálculo de Priitivas 08 I sen cos ( )( I I ) I sen cos I 0 es: I 0 sen0 d d I sencos ( ) I I sen cos I n n In ; sen cos d sen cos sen d u sen du ( )cos sen d dv sen cos n d v sen cos n d cosn n I sen n ; cos n sen cos n d n n n n sen cos d sen cos cos d sencos n( sen) d sencos n d sencos n d I ; I ; I sen n ; cos n ( I n n ; n I; n) ( ) I cos ; sen n n n I n n ; n n I sen n n n I ; cos n n ; n I n sen n ; cos n n I ; n n n

27 Tabién se puede trabajar así: In ; sencos n d sencos n cos d u cos n du ( n ) sen cos n d dv sen cos d v sencos d sen I sen n n ; cos n sen cos n d I sen cos n n ( I n In) n ; ; ; ( n ) I cos ; sen n n n I n ; Por ejeplo: n I sen n n n I ; cos n ; I n sen n n ; cos n n I n ; n n sen cos d sen cos sen d sencos n( cos ) d sencos n d sencos n d In ; I ; n I6 sen6 d sen7 ; cos cos I ; I6 sen6 d sen7 ; cos cos I ; I60 ; sen6cos 0 d es J sen d k sen k k k k cos J k k sen6cos 6 J 6 6 es J sen d sencos J es J sen d sencos J 0 es J0 sen0 d d Tea : Cálculo de Priitivas 0

28 u sen du ( )cos sen d dv sen cos d v sen cos d cos I tg d sen cos d sen cos sen d I sencos sencos d I tg tg d sen sencos tg cos sen sencos tg cos I tg I I ctg d sen cos d sen cos cos d u cos du ( ) sen cos d dv cos sen d v cos sen d sen I sen cos sen cos d I ctg ctg d cos sen cos ctg sen cos sen cos ctg sen I ctg I I arc sen d arc sen k k ( ) k ( ) k ( arc sen ) k d u ( arcsen ) k du k ( arc sen ) k d dv d v Tea : Cálculo de Priitivas 0

29 e ( arc sen ) k k ( arc sen ) k ( k ) ( arc sen ) k d u ( arcsen ) k du k ( arc sen ) k d dv d v d ( arcsen ) k k ( arcsen ) k k( k) Ik k ( arc sen ) d I k I arc d arc k k ( cos ) k ( cos ) k ( arc cos ) k d u ( arccos ) k du k ( arc cos ) k d dv d v e ( arc cos ) k k ( arc cos ) k ( k ) ( arc cos ) k d u ( arccos ) k du k ( arc cos ) k d dv d v d ( arc cos ) k k ( arc cos ) k k( k ) Ik k ( arc cos ) d I k I d d d k sec k k cos cosk cos sen sen Ik ( k ) cosk cosk d u sen du ( k ) cosk d cos k dv d v d sen tg cos cos cos sen d cos d d cos cos cos sec k sec k k d k k k cosk d d I Ik sen Ik ( k )( I I k k k ) cos sen sen ( k ) I ( k ) I I k k I cosk k k k cos k k k Tea : Cálculo de Priitivas j j

30 I ec d d d k cos k senk senk sen cos cos Ik ( k ) senk senk d NOTA u cos du ( k ) senk senk d dv d v d cos ctg sen sen sen cos sen d sen d d sen sen cos k cos k k d k k k senk ec d ec d I I cos Ik ( k )( I I senk k k ) I cos k k I k senk k k k Para despedir el cálculo de priitivas, coentaos una chorradita que acaso debios coentar al principio, pero no pasa nada por coentarla al final: la función derivada de F( ) es f ( ) 6 ; así, una de las priitivas de f( ) 6 es F ( ), y la priitiva de f() es 6 d C Pregunta: qué priitiva de f( ) 6 pasa por el punto ( 8 ; )? Respuesta: la que corresponde al valor de "C" tal que C 8 C 6 la priitiva de f( ) 6 que pasa por ( 8 ; ) es u( ) 6 Pregunta: qué priitiva de f( ) 6 pasa por el punto ( 05? ; ) Respuesta: la que corresponde al valor de "C" tal que 0 C 5 C 5 la priitiva de f( ) 6 que pasa por ( 05 ; ) es v( ) 5 Pregunta: qué priitiva de f( ) 6 pasa por ( ; ) y ( 60 ; )? Respuesta: la que verifica C y C 60; de la priera ecuación se obtiene C y de la segunda se obtiene C 6 Coo "C" no puede toar a la ve dos valores distintos, se deduce que no hay ninguna priitiva de f( ) 6 que pase por los puntos ( ; ) y ( 60 ; ) Pregunta: qué priitiva de f( ) 6 pasa por los puntos ( ; ) y ( 07 ; )? Respuesta: la que verifica C y 0 C 7; de abas ecuaciones se obtiene C 7 Por tanto, la priitiva de f( ) 6 que pasa por los puntos ( ; ) y ( 07 ; ) es p ( ) 7 Tea : Cálculo de Priitivas