MATEMÁTICAS II. F 3 = F 3 (m 1)F 1. ( m 1 F 2 = F 2 F 1 F 3 = F 3 2F 1 F 4 = F 4 + 2F 1. = x = y = z = λ λ IR

Transcripción

1 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8 MATEMÁTICAS II Se presentan los ejercicios con un procediiento para resolverlos. Naturalente, los procediientos propuestos no son los únicos posibles. OPCIÓN A. Dada la atriz A ( donde es un núero real. a Estudiar el rango de A según los valores de. (.5 puntos b Para, calcula la solución, si existe, del sistea ( punto ( xy A t z (A t atriz traspuesta a Aplicando Gauss ( F 3 F 3 + F F F F F 3 F 3 ( F ( + (. Si y las tres filas son independientes, por tanto, el rango es 3.. Si la últia fila es nula y el rango es. 3. Si las dos últias fila son nulas y el rango es. b Para, rango(a t rango(a. ( ( + ( ( x y z x + y z y z F F F F 3 F 3 F F 4 F 4 + F } ( x y z x y z λ λ IR. Se quiere construir una rapa(ver gráfica para caiones con una pendiente tan(α > y que salve una altura h etros. a Calcula, en función de, el valor de b y coprueba que la longitud de la rapa + L se puede expresar coo L( (.5 puntos 7-8

2 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8 b El caión se ueve a una velocidad constante que depende de la pendiente y se expresa, en etros por segundo, a través de la función v(. Deuestra que el tiepo t, en segundos, que tarda un + caión en recorrer la rapa se puede expresar coo t( (.5 puntos c Calcula la pendiente que hace ínio el tiepo de recorrido de un caión. (.5 puntos (Se recuerda que tan tangente y velocidadespacio/tiepo. a Se tiene que b c Calculaos la derivada de la función < tan(α b L( + b b( t( L( v( / + Recordeos que > t ( + 3 ( + t ( (Se descarta el Analizaos los valores de t ( por la izquierda y derecha de luego, se coprueba que es ínio. t ( < t( decreciente t ( + > t( creciente 3. Sean r y s dos rectas perpendiculares que se cortan. La recta r viene dada por las ecuaciones r : x y + z +. Calcula: a Un vector director v de r. (.75 puntos b Un vector director v de s sabiendo que v v es proporcional al vector (,,. ( punto c Las ecuaciones del plano π que contiene abas rectas. (.75 puntos a Un vector director de r será r : x y + z v (,, 7-8

3 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8 b Si r y s son perpendiculares tabién lo serán v y v y coo w (,, es perpendicular a abos, se tendrá que v v w (, 5, es un vector director de s. c Un vector noral al plano π será w. Luego la ecuación de π será Adeás A(,, r π 5 + d π : x + z + d π : x + z 5 4. En un espacio uestral se tienen dos sucesos independientes: A y B. Se conocen las siguientes probabilidades: p(a B.3 y p(a/b.5. Calcula: a p(a y p(b. ( punto b p(a B y p(b/a. ( punto c La probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B. (.5 puntos a Para calcular p(b, aplicaos y coo los sucesos son independientes p(b p(a B p(a/b p(a p(a B p(b.5 b p(a B p(a + p(b p(a B p(b/a p(a B p(a c La probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B es el suceso contrario a A B p(a B p(a B p(a B

4 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8. Dadas las atrices ( 3 A B OPCIÓN B ( C ( a Calcula, si existe, la inversa de B. ( punto b Deterina, si existe, la atriz X que verifica la relación AXB C. (.5 puntos a Calculaos su deterinante B Por tanto, la atriz posee inversa ( B F 3F 3 F B B (Adj(B t b Coo A, se tiene que A posee inversa ( 3 A A A (Adj(A t y entonces la ecuación AXB C se puede despejar ( ( X A C B 3 ( ( ( 3 ( 4. Dada la función f(x x + x 6 a Estudia su doinio de definición y calcula sus asíntotas. (.75 puntos b Estudia sus áxios, ínios y puntos de inflexión. (.75 puntos c Calcula una priitiva de la función f(x. ( punto a x + x 6. Salvo en los puntos x y x 3 la función existe y es (x + 3(x continua y derivable. Asíntotas verticales. Veaos en esos puntos sus líites laterales: lí x 3 + x + x 6 lí x 3 x + x 6 + Las rectas x, x 3 son asíntotas verticales. Asíntotas horizontales. lí x ± Asíntotas oblicuas lí x ± lí x + x + x 6 + x La recta y es asíntota horizontal. + x 6 f(x x lí x ± x(x no hay asíntotas oblicuas + x 6 lí x x + x 6 7-8

5 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8 b La derivada de la función es f (x con punto crítico x /. La derivada segunda es (x + (x + x 6 f (x ((3x + 3x + 7 (x + x 6 3 el nuerador no tiene raíces reales, luego no existen puntos de inflexión y ( A, 4 ( f < áxio 5 c Para calcular la priitiva se descopone la función en fracciones eleentales y el cálculo de la priitiva x + x 6 dx x + x 6 (x + 3(x 5 [ 5 (x 5 ] dx (x + 3 (x 5 5 (x + 3 (x dx ( 5 ln( x 5 ln( x C ln x /5 + C x (x + 3 dx 3. Dado la recta r : { y z, el punto Q(,, y un plano π. a Calcula el punto P de la recta r que verifica d(p, Q u. (.5 puntos b Se sabe que Q π y que d(p, Q d(p, π. Deterina la ecuación del plano π. (.5 puntos a Un punto de la recta es del tipo P (λ,, λ IR Luego si d(p, Q. (λ + λ P (,, b Según los datos del problea se tiene que el vector P Q (,, es noral al plano π. Luego π : z + d Si Q π π : z 4. En la siguiente tabla se uestra la distribución de un grupo de personas en relación al consuo de tabaco: Fuador No fuador Hobres 3 Mujeres 4 7-8

6 el acceso a la Universidad (EBAU Curso 7-8 Se elige en ese grupo una persona al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos diferentes: a Sea fuador. (.5 puntos b Sabiendo que es fuador, se trate de una ujer. ( punto c Se extrae una segunda persona al azar. Cuál es la probabilidad de que una fue y la otra no? ( punto Según la tabla tendreos que el núero total de personas es T, el de hobres H 4, el de ujeres M 6, el de fuadores F 3, y el de no fuadores NF 7 a p(f b donde c En el nuevo espacio uestral se tendrá: p(m/f p(m F p(f p(m F 5. p(m/f p(m F p(f p(f NF ( ( 7 (