ACADEMIA GENERAL MILITAR CONVOCATORIA EMIEO PROM AÑO 2018 PROMOCIÓN SIN TITULACIÓN MATEMÁTICAS CÓDIGO DE LA PRUEBA

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1 ACADEMIA GENERAL MILITAR CONVOCATORIA EMIEO PROM AÑO 2018 PROMOCIÓN SIN TITULACIÓN MATEMÁTICAS CÓDIGO DE LA PRUEBA 21

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3 ++ = 1. Resolver el sistema = + = a) x = 1, y = 1 y z = 0 b) x = -1, y = 1 y z = 0 c) x = 1, y = 1 y z = 0 d) x = 1, y = 1 y z = 1 2. Sea la matriz, señalar la opción VERDADERA: a) Si a = 0, b = -2, c = -1, d = 3, e = 0, sería una matriz simétrica b) Si a = 0, b = -2, c = -1, d = 3, e = 0, sería una matriz antisimétrica c) Si a = 0, b = 2, c = 1, d = -3, e = 0, sería una matriz antisimétrica d) Ninguna de las anteriores es correcta 3. Calcular el rango de la matriz a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 4. Calcular la matriz inversa de a) b) c) d) No existe matriz inversa 1

4 5. Dadas tres matrices A, B y C, se sabe que A B C es una matriz de dimensión 2 x 3 y que B C es una matriz de dimensión 4 x 3. Señalar la opción FALSA: a) La dimensión de A B C es 2 x 3. El número de filas de A es 2 y el número de columnas de C es 3 b) La dimensión de B C es 4 x 3. El número de filas de B es 4 y el número de columnas de C es 3 c) Las matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. La dimensión de A es 2 x 4 d) Alguna de las anteriores es falsa 6. Sea la matriz A =, calcular A10 a) b) c) d) Sea la matriz A =, calcular A a) b) c) d)

5 8. Sea la matriz A, hallar el valor de a para que se cumpla A 2 + 2A + I=0, siendo I la matriz identidad de orden 3 y 0 la matriz nula de orden 3. A = a) a = 1 b) a = 0 c) a = -1 d) No existe ningún valor de a que cumpla dicha identidad 9. Calcular el valor de α y β para que la matriz A = verifique la ecuación A 2 +αa+βi=0, siendo I la matriz identidad. a) α = -4 β = 3 b) α = 4 β = 3 c) α = 4 β = -3 d) Ninguna de las anteriores 10. Respecto de una matriz cuadrada de orden 3 que tiene rango 2, señalar la opción VERDADERA: a) El rango de la matriz que resulta al quitar una fila es 2 si eliminamos una fila que depende linealmente de las otras b) El rango de la matriz que resulta al quitar una fila es 2 si las dos filas que dejamos son proporcionales c) El determinante de dicha matriz es 1 d) El orden del mayor menor no nulo es Dada la matriz A =, calcular ( ) a) / / / / b) / / / c) / d) / / 3

6 12. Calcular la matriz inversa de a) / / / / b) / / / c) / / / d) / 13. Dada la matriz A =, señalar la opción VERDADERA: a) La matriz A es una matriz regular b) Sea la matriz A y dada la relación ( ) =0, siendo 0 la matriz nula, se cumple que = c) Sea la matriz A, la única matriz X que verifica la ecuación =0 es la matriz nula d) La b) y la c) son falsas 14. Calcular la matriz X tal que =, siendo A = a) b) c) d) Hallar el valor de k para que el rango de la matriz sea 1. / a) k = -1/3 b) k = 0 c) k = 1/2 d) No hay ningún valor de k para el cual el rango sea 1 4

7 16. Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y sabemos que el determinante de la matriz 2A es = 8, cuánto vale el determinante de A? a) 1 b) 8 c) 4 d) Resolver el siguiente determinante: a) 24 b) -24 c) -55 d) Hallar el valor de m para que la matriz A no sea regular A = a) m= -1 y -3 b) m= 1 y 3 c) m 1 y 3 d) La matriz A es no regular para cualquier número real m 19. Señalar la opción FALSA: a) El producto de dos matrices no es conmutativo. b) El producto de una matriz A mxn y otra B pxq siempre da una matriz A mxq c) Se dice que una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz B con la propiedad de que A B = B A = I d) La traspuesta de un producto de matrices es el producto de las matrices traspuestas, pero en orden inverso 5

8 20. Si calcular el valor del determinante a) 5 b) -5 c) -1 d) 1 a b c = 1 5a -5b 5c Para que valor de m se cumple que rango(a) = 2? A = a) m = -1 b) m = 2 c) m = 1 d) m = Si A es una matriz y a R, cuándo se cumple que Rango(aA) = Rango(A)? Señalar la opción FALSA: a) Si A es la matriz nula, su rango es 0 y el rango de la matriz aa también es 0 para cualquier valor de a b) Si a 0, el número de filas o columnas linealmente independientes de A y de aa coincide. Los rangos de ambas matrices son iguales c) Si a=0, la matriz aa tiene rango 0 y solo coincide con el rango de A si esta matriz es nula d) Alguna de las anteriores es falsa 23. Señalar la opción FALSA: a) Sea A una matriz A que tiene inversa, se verifica que Rango(A -1 ) = Rango(A) b) Dada una matriz A, siempre se cumple que Rango(A) = Rango(A t ) c) Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión, es siempre cierto que Rango(A+B) = Rango(A) + Rango (B) d) Alguna de las anteriores es falsa 6

9 24. Sean las siguientes matrices, señalar la opción FALSA: = = C = a) La matriz A es una matriz diagonal de orden 2 b) La matriz B es una matriz rectangular de dimensión 2 x 3 c) La matriz C es una matriz triangular superior de orden 3 d) Alguna de las anteriores es falsa 25. Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A 2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A-I. Calcular B 2 a) I b) 0 c) A d) 2A 26. Sean los siguientes sistemas de ecuaciones, señalar la opción FALSA: + = A = = B = += = C = += = a) El sistema A tiene infinitas soluciones. Es compatible indeterminado b) El sistema B no tiene solución. Es incompatible c) El sistema C tiene una única solución. Es compatible determinado d) Alguna de las anteriores es falsa += 27. Resolver el sistema de ecuaciones = += a) x = -1, y = -2, z = -3 b) x = 1, y = 2, z = 3 c) x = -1, y = 2, z = -3 d) x = -1, y = -2, z = 3 7

10 + = 28. Sea el sistema +=, señalar la opción VERDADERA: += a) Si m =1 el sistema es incompatible b) Si m 1 el sistema es compatible determinado c) Si m 2 el sistema es compatible determinado d) Si m=2 el sistema es compatible indeterminado = 29. Sea el sistema de ecuaciones =, señalar la opción VERDADERA: += a) Es un sistema compatible determinado b) Es un sistema incompatible c) Es un sistema compatible indeterminado d) Ninguna de las anteriores 30. Hallar el valor de α y β para que el siguiente sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado. ++ = + = + = a) α = 6, β = 5 b) α = -6, β = -5 c) α = 6, β = -5 d) α = -6, β = Sean tres vectores (,, ), con = (,, ), = (,, ) =(,,). Indicar la respuesta VERDADERA: a) Los tres vectores no son linealmente independientes y no forman base del espacio vectorial tridimensional b) Los tres vectores no son sistema generador y no forman base del espacio vectorial tridimensional c) Su producto mixto es distinto de 0, los vectores son linealmente independientes y forman una base del espacio vectorial tridimensional d) Su producto vectorial dos a dos son vectores no nulos, los vectores son linealmente independientes y forman base del espacio vectorial tridimensional 8

11 32. Sea (,, ) una base ortonormal, cuáles son todos los vectores de módulo 1 ortogonales a y a +? a) 0,, b) 0,,, 0,,, 0, c),, y,, d) 0,, y 0,,, y 0,, 33. Sean dos vectores tales que ( + ) ( )= y = 9. Calcular el módulo del vector. a) 7 b) 5 c) 8 d) Qué valor debe tomar α para que los vectores = (,,) y =(,, ) tengan la misma dirección? a) 2 b) 1 c) 2 d) Determinar los valores de α para que los vectores =(,,), = (,,) y =(,,) constituyan una base de. a) α = 1 y 3 b) α 1 y 3 c) α =1 y 3 d) α 1 y 3 9

12 36. Dada la afirmación Si dos vectores y tienen el mismo módulo, entonces los vectores + y son ortogonales, indicar la respuesta VERDADERA: a) No es posible que los vectores u+v y u v sean ortogonales con el mismo módulo b) Se cumple aunque el módulo de los vectores no interviene en el resultado c) Se cumple ya que el producto escalar entre los vectores u+v y u v es nulo d) Ninguna de las anteriores es correcta 37. Encuentra un vector que tenga módulo 5 y que sea perpendicular a los vectores =(,, ) y =(,,). a) ( 9,10,6 ) b) ( 3,3,1) c) d),,,, 38. Cómo han de ser dos vectores y para que cumplan que = : a) Paralelos b) Coincidentes c) Perpendiculares d) Coincidentes y opuestos 39. Encuentra la proyección del punto A (0, 0, 0) sobre la recta r: = = a) Q (1, 1,0) b) Q (0, 1,1) c) Q (1,0, 1) d) La proyección ortogonal de A sobre r es A 40. Sean los puntos P (1, 2, 2) y Q (2, m, m). Hallar el valor de m para que la recta que une P y Q pase por el origen de coordenadas. a) m = 4 b) m = 2 c) m = 1 d) m = 0 10

13 41. Sean dos rectas r y r de determinaciones lineales (, ) y (, ) respectivamente. Indicar la respuesta FALSA: a) r y r son paralelas y coincidentes si rangou,v,pp =1 b) r y r se cortan si rango (u,v )=rangou,v,pp =2 c) r y r son paralelas no coincidentes si rango (u,v )=1 y rangou,v,pp =2 d) r y r se cruzan si rango (u,v )=1 y rangou,v,pp =3 42. Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de dos puntos fijos A (2, 0, 1) y B (4, -2, 0). a) 4x+4y+2z+15 =0 b) 3x 2y+3z =1 c) 3x+z =0 d) y+z=0 43. Hallar la posición relativa del plano : += y la esfera de centro el punto C (2, 0, 3) y radio r = 3. a) El plano es tangente a la esfera en un punto b) El plano es tangente a la esfera en una recta c) El plano es secante a la esfera d) El plano es exterior a la esfera 44. Hallar la distancia del punto P (1, 2, 3) a la recta r: = = a) 3 u b) 9 u c) 6 u d) 5 u 11

14 45. Determinar la posición relativa de las rectas: r: = = =+ : = = a) Las rectas son perpendiculares b) Las rectas se cortan en un punto c) Las rectas se cruzan sin cortarse d) Las rectas son paralelas 46. Determinar la posición relativa de la recta :(+,, +) y el plano :+ =. a) La recta y el plano son perpendiculares b) La recta y el plano se cruzan c) La recta y el plano son secantes d) La recta es paralela al plano o está contenida en él 47. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1, 0) y es paralela a los planos :+ = y :+=. a) b) c) d) = = = = = = = = 48. Hallar el punto de la recta a) A (1,2,3) b) A (1,0, 3) c) A (0,2,3) d) A (1,2,0) = = cuya distancia al punto P (1, 0, 2) es. =+ 12

15 49. Una recta pasa por el origen y es perpendicular al plano :++=. Hallar el punto de corte de dicha recta con el plano π. a) Q(4,0, 1) b) Q (3,1, 1) c) Q ( 2,1,2) d) Q (1,1,1) 50. Dado el plano :++=, calcular α para que la recta que pasa por el punto P (1, 1, 2) y es perpendicular a este plano ( ) sea paralela al plano : =. a) = 2 b) α =2 c) α =0 d) α =3 51. Calcular la distancia entre los planos :+ = y :+ =. a) b) 3 3 c) 5/2 d) Los planos son coincidentes o secantes y la distancia entre ellos es nula 52. Sean las rectas r y s, hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. r: = = : = = a) 3x+5y+4z 13=0 b) x+5y+z 2=0 c) x+y+4z=3 d) y+2z =0 13

16 53. Hallar el área del triángulo que forma el plano : + = al cortar con los tres ejes coordenados. a) b) 15 u 25 u c) 15 u d) u 54. El plano :++= corta a las rectas: : == : == : == en los puntos A, B y C, respectivamente. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D (1, 2, 3). a) 17 2 u b) 26 3 u c) Los cuatro puntos no determinan ningún volumen ya que son coplanarios d) 15 6 u 55. Calcular el valor de α para que el plano :++= forme un ángulo de radianes con el plano =. a) ± 1 2 b) ± 1 6 c) ± 2 d) ± Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: =(,, ), =(,,) =(,,). a) 1 u b) 3 u c) 0 u d) 5 u 14

17 57. Calcular + a) 0 b) 2 c) 1 d) 1/2 58. Calcular a) 1 b) 0 c) 2 d) 1/2 59. Calcular ( ) a) 1/2 b) 1 c) 2 d) Calcular a) 1/2 b) 2/3 c) 1/6 d) 3/2 61. Calcular a) e b) e c) e d) e 15

18 62. Sea la función ()= + ++ continua f(x)?, para qué valores de a y b es a) Es continua para todos los valores de a y b b) Es continua si b=5,independientemente del valor de a c) Es continua si a=5 y b =0 d) Es continua si a 0 y b Según el teorema de Bolzano, puede asegurarse que la función ()= tiene una raíz en el intervalo,? a) Sí,porque tiene signos contrarios en los extremos del intervalo b) Sí,porque es continua en el intervalo, c) No,porque el intervalo debe ser abierto d) No,porque la función no es continua en el intervalo, (+) < Sea la función ()= =, indicar la opción VERDADERA: > 1 a) g(x) es continua en todo R b) g(x) tiene una discontinuidad de salto inito en x= 1 c) g(x) tiene una discontinuidad evitable en x= 1 d) g(x) tiene una discontinuidad de salto ininito en x= Sea la función ()= + <<0, hallar el valor de a para que la función resulte continua en (,+ ). a) a = 0 b) a = 3 c) a = 1 d) a = 4 16

19 66. Indicar la opción VERDADERA: a) El dominio de la función sec x es el conjunto (, 1) (1,+ ) b) El dominio de la función sec x es (,+ ) c) El dominio de la función sen x es (,+ ) d) Todas las anteriores son verdaderas 67. Sea la función f(x) = ()() a) f(x) es continua en todo R, indicar la opción VERDADERA: b) f(x) tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 1/2 c) f(x) tiene una discontinuidad de salto finito en x = -2 y en x = 1/2 d) f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola ()= + paralela a la recta 3+ =. a) y = x b) y = 3x+5 c) y = d) y =x Sea la función ()=, para qué valor de c en el intervalo, se cumple el teorema de Rolle? a) c = π/3 b) c = 3π/4 c) c = π/4 d) c = π 17

20 70. Dada la parábola ()=, según el teorema del valor medio, encontrar un punto en que la tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y (4, 48). a) (2,12) b) (1,3) c) (3,27) d) (5,50) 71. Puede aplicarse el teorema del valor medio a la función ()= en el intervalo [0, π]? a) No, porque f(x) no es derivable en el intervalo (0, π) b) No, porque f(x) no es continua en el intervalo [0, π] c) No, porque no existe un punto c ϵ [0, π] que cumpla que f(c) = f (c) d) Sí, porque cumple todas las condiciones del teorema 72. Si el número de visitantes a un museo se obtiene mediante ()=, siendo x la hora desde su apertura, cuándo recibe mayor número de visitantes? a) Recibe el mayor número de visitantes desde el momento de su apertura b) Recibe el mayor número de visitantes cuando pasa 1 hora desde su apertura c) Recibe el mayor número de visitantes cuando pasan 45 mn desde su apertura d) Recibe el mayor número de visitantes cuando pasan 30 mn desde su apertura 73. Se desea delimitar una parcela rectangular, pegada a la pared de una nave. Si se dispone de 200 m de tela metálica para cercarla, Cuáles son las dimensiones de la parcela que tiene la mayor superficie? a) x = 50 m e y = 100 m b) x = 25 m e y = 50 m c) x = 50 m e y = 80 m d) x = 25 m e y = 80 m 18

21 74. Sea la función: ()= +, señalar la respuesta VERDADERA: a) f(x) tiene un mínimo relativo en x = -3/4 b) f(x) tiene un mínimo relativo en x = 3/2 c) f(x) tiene un máximo relativo en x = 3/2 d) f(x) tiene un máximo relativo en x = -3/4 75. Sea la función: ()=(+), señalar la respuesta VERDADERA: a) f(x) tiene un máximo relativo en x = -1 b) f(x) tiene un mínimo relativo en x = -1 c) f(x) tiene un extremo absoluto en x = -1 d) f(x) no tiene un extremo relativo en x = Sean las funciones ()= ()=+, para qué valor de c en el intervalo [0, 3] se cumple el teorema de Cauchy? a) c = 2 b) c = 3 c) c = 3/2 d) c = 3/4 77. Sea (), señalar la opción VERDADERA: a) Si f(x) es par () b) Si f(x) es par () c) Si f(x) es par () d) Si f(x) es par () =1; si f(x) es impar () = 2 () =2 () ; si f(x) es impar () =1 =0; si f(x) es impar () = 2 () =2 () ; si f(x) es impar () =0 19

22 78. Sea f(x) una función definida en el intervalo,. El Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral dice que, tal que: ( )= que se cumpla, la función f(x) debe ser: a) Continua en, b) Continua y derivable en, c) Continua en, y derivable en (,) d) Integrable según el criterio de Riemann (), pero para 79. Calcular (), sabiendo que () es una primitiva de la función f(x): ()= a) 99 b) 85 c) 65 d) Sea la función ()= x = 0 e y = 0. a) 3+ln2 b) 2ln2 1 c) 1+3ln2 d) 2+ln2, calcular el área limitada por dicha gráfica y las rectas 81. Se lanzan tres veces consecutivas dos dados equilibrados de seis caras. Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un doble distinto del seis doble. a) 1/24 b) 5/216 c) 2/125 d) 7/512 20

23 82. Hallar la probabilidad de sacar una carta de copas al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. a) p(c)= 1/2 b) p(c)= 1/6 c) p(c)= 1/8 d) p(c)= 1/4 83. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,4 y P( ) = 0,7. Calcular P(A B) a) 0,2 b) 0,7 c) 0,4 d) 0,3 84. Teniendo en cuenta los dos sucesos A y B del experimento aleatorio del ejercicio anterior, calcular P(A B). a) 0,2 b) 0,3 c) 0,7 d) 0,4 85. Se lanzan al aire dos monedas. Hallar la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz. a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/8 21

24 86. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras; la segunda, 5 bolas negras; y la tercera, 4 blancas y 3 negras. Si se elige una caja al azar, y luego se extrae una bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra? a) P(N)= 1/2 b) P(N)= 2/3 c) P(N)= 1/3 d) P(N)= 2/5 87. De acuerdo con el ejercicio anterior, si se extrae una bola negra de una de las cajas, cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda caja? a) P(B/N)= 2/3 b) P(B/N)= 1/3 c) P(B/N)= 1/2 d) P(B/N)= 1/5 88. La probabilidad de que, en un determinado mes, un cliente de una gran superficie compre un producto A es 0,6, y la probabilidad de que compre un producto B es 0,5. Se sabe también que la probabilidad de que un cliente compre el producto B no habiendo comprado el producto A es 0,4 Cuál es la probabilidad de que un cliente haya comprado únicamente el producto B? a) 0,16 b) 0,20 c) 0,34 d) 0, De acuerdo con el ejercicio anterior, cuál es la probabilidad de que un cliente no haya comprado ninguno de los productos? a) 0,34 b) 0,76 c) 0,16 d) 0,20 22

25 90. En un supermercado, las mujeres realizan el 70% de las compras. De las compras hechas por éstas, el 80% supera los 12, mientras que de las compras realizadas por hombres, solo el 30% sobrepasa esa cantidad. Elegido un tique de compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere los 12? a) 0,85 b) 0,35 c) 0,65 d) 0, Continuando con el ejercicio anterior, si se sabe que un tique de compra no supera los 12, cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? a) 0,3 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,8 92. Sean A, B y C tres sucesos independientes de un mismo espacio muestral E, calcular la probabilidad P de que ocurra el suceso ( ) C. a) P=().()+ P().P(C) b) P=1 ().().P(C) c) P= P().()+ P().P(C) d) P=().()+ P().P(C) 93. Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo espacio muestral, con P(A)=a y P(B)=b. Hallar la probabilidad del suceso ( )/( ). a) 2ab-a-b b) c) 1 d) () 23

26 94. En una urna hay 13 bolas amarillas y 8 azules. Si se extraen 3 bolas sin devolución, cuál es la probabilidad de que se obtengan dos bolas amarillas y una azul? a) 0,15639 b) 0,46917 c) 0,43797 d) 0, Según Laplace la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos... (1)...a que ocurra el suceso y el número de casos... (2)..., en el supuesto de que todos sean igualmente... (3)... a) (1) favorables, (2) posibles, (3) probables b) (1) aleatorios, (2) deterministas, (3) complementarios c) (1) posibles, (2) favorables, (3) imprevisibles d) (1) supuestos, (2) conocidos, (3) indefinidos 96. Señalar la opción FALSA: a) Dos sucesos independientes con probabilidad no nula no pueden ser incompatibles b) Dos sucesos incompatibles, no imposibles, siempre son independientes c) Dos sucesos A y B tales que P(A) + P(B) >1, no pueden ser incompatibles d) Si dos sucesos son independientes: P(B/A)=P(B) 97. En un espacio muestral dado se consideran dos sucesos A y B tales que su unión es el suceso seguro, y las probabilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = 1/2 y P(B/A) = 1/3. Hallar las probabilidades de A y B. a) P(A)= 3/4 P(B)= 1/4 b) P(A)= 1/4 P(B)= 1/2 c) P(A)= 3/4 P(B)= 1/2 d) P(A)= 1/4 P(B)= 3/4 24

27 98. El 20% de los tornillos de un gran lote es defectuoso. Si se cogen tres tornillos al azar, calcular la probabilidad de que los tres sean defectuosos. Nota: como son muchos tornillos, se supone que la probabilidad no cambia de sacar un tornillo al sacar el siguiente. a) 0,512 b) 0,008 c) 0,384 d) 0, Según el ejercicio anterior, calcular la probabilidad de que solamente uno sea defectuoso. a) 0,512 b) 0,008 c) 0,384 d) 0, Se lanzan cinco monedas al aire. Calcular: A: la probabilidad de no obtener ninguna cara B: la probabilidad de obtener una cara C: la probabilidad de obtener más de una cara a) P(A)=1/32 P(B)=5/32 P(C)=13/32 b) P(A)=5/32 P(B)=1/32 P(C)=13/16 c) P(A)=1/16 P(B)=5/16 P(C)=13/32 d) P(A)=1/32 P(B)=5/32 P(C)=13/16 25

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