Cap ıtulo 1 VECTORES 1

Transcripción

1 Capítulo 1 VECTORES 1

2 Matemáticas II VECTORES EN R 3 Se define R 3 = R R R = {(a, b, c)/a, b, c R}, es decir es el conjunto de todas las ternas de números reales que se puedan formar OPERACIONES QUE SE PUEDEN DEFINIR SUMA (a 1, b 1, c 1 ) + (a 2, b 2, c 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL λ (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c) A los elementos del conjunto R 3 se les llama vectores y a los elementos de R escalares. A los elementos de R 3 se les suele representar por u, v, w DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VEC- TORES COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Una combinación lineal de vectores de R 3 es toda expresión del tipo: λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u , donde λ 1, λ 2, λ 3,... R DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Un conjunto de vectores: U = { u 1, u 2, u 3,......, u n } se dice linealmente independiente (sistema libre) si toda combinación lineal de vectores igualada al vector cero, obliga que todos los escalares (números reales) sean cero. λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u λ n u n = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 Un conjunto de vectores es linealmente dependiente (sistema ligado) cuando no sea linealmente independiente, es decir cuando al menos uno de los λ i sea distinto de cero. Notas Todo conjunto de vectores que contenga al vector cero es un conjunto L.D. En R 3 el conjunto máximo de vectores L.I. es tres. Teorema La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea L.D. es que exista, al menos, un vector que sea combinación lineal de los restantes vectores. u, v, w son L.I. det( u, v, w) 0

3 Matemáticas II 3 Ejercicios 1. Hallar a, b y c para que se cumpla: 2 (3, 2, 5) 3 (a, b, c) = (0, 2, 7) 2. Demostrar que los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (0, 1, 1) y u 3 = (1, 0, 1) son linealmente independientes. 3. Estudiar si los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 2) y ( 1, 0, 1) son L.I. o L.D. 4. Expresar el vector u = (2, 2, 2) como combinación lineal de los vectores del ejercicio 2 y Estudiar si los vectores U = {(1, 0, 3), (1, 2, 0), (0, 1, 3)} son L.I. o L.D. 6. Expresar el vector u = (6, 4, 0) como combinación lineal de los vectores del ejercicio 5.

4 Capítulo 2 MATRICES 4

5 Matemáticas II DEFINICIÓN DE MATRIZ. TERMINOLOGÍA. TIPOS DE MATRICES Se llama matriz de orden m n sobre R a un cuadro que contiene m n elementos de R dispuestos en m fila y n columnas. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn En una matriz el elemento a ij ocupa el lugar determinado por la fila i y la columna j. Abreviadamente, una matriz como la anterior se designa también por: (a ij ) 1 i m, 1 j n Si en una matriz el número de filas, n, coincide con el número de columnas, se dice que es una matriz cuadrada de orden n. Cuando esto no ocurre se dice que es una matriz rectangular IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B de orden m n, A = (a ij ), B = (b ij ) son iguales si lo son los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir a ij = b ij ij MATRIZ TRASPUESTA Dada una matriz A = (a ij ) de orden m n, se llama traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. Ejemplo A = ( ) 1 4 A t = MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz cuadrada de orden n se dice simétrica si coincide con su traspuesta. A = A t MATRIZ DIAGONAL En una matriz cuadrada A de orden n, la diagonal principal está formada por los elementos que tiene los subíndices iguales a 11, a 22, a 33,... a nn. Al conjunto formado por los elementos a ij con i + j = n + 1 de la matriz A se le llama diagonal secundaria. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos cero.

6 Matemáticas II 6 Una matriz se llama escalar si es una matriz diagonal, que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales MATRIZ TRIANGULAR Una matriz cuadrada se dice triangular cuando los términos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos cero MATRIZ CERO La matriz cero de orden m n es 0 = MATRIZ OPUESTA Toda matriz A = (a ij ) tiene una opuesta A que se obtiene cambiando de signo los elementos de A: A = ( a ij ). Se cumple: A + ( A) = ( A) + A = MATRIZ IDENTIDAD (UNIDAD) La matriz identidad (unidad) es una matriz cuadrada de orden n definida por: I = Se cumple que: A I = I A = A 2.2. OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son dos matrices de orden m n se define la suma del modo siguiente: a 11 a 12 a 13 a 1n b 11 b 12 b 13 b 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A + B = b 21 b 22 b 23 b 2n = a m1 a m2 a m3 a mn b m1 b m2 b m3 b mn

7 Matemáticas II 7 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 2n + b 2n = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a m3 + b m3 a mn + b mn Es decir, la suma A + B se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Si A = (a ij ) es una matriz de orden m n y λ R, el producto del escalar λ por la matriz A, se representa por λ A y se define por: λ a 11 λ a 12 λ a 13 λ a 1n λ a 21 λ a 22 λ a 23 λ a 2n λ A = λ a m1 λ a m2 λ a m3 λ a mn PRODUCTO DE DOS MATRICES Dadas dos matrices A y B, diremos que son multiplicables en este orden, y se escribe A B o AB, si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si se verifica esta condición y A = (a ij ) es de orden m n y B = (b ij ) es de orden n p, la matriz producto C = A B es de orden m p, C = (c ij ), y el elemento c ik viene definido por: Es decir: c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + a i3 b 3k a in b nk a i1 a i2 a i3 a in t=n c ik = a it b tk t=1 El elemento c ik de la matriz producto viene dado por el producto de la fila i de la matriz A por la columna k de la matriz B, como se indica en el siguiente esquema: b 1k b 2k b 3k = c ik. b nk Ejemplo 1 2 ( ) A = y B = ( ) A B = y B A =

8 Matemáticas II 8 Evidentemente A B B A El producto de matrices no es conmutativo 2.3. MATRIZ REGULAR O INVERSIBLE (INVER- SA) Dada una matriz A se dice que es regular o que tiene inversa si cumple dos condiciones: 1. A es cuadrada de orden n. 2. Existe otra matriz B cuadrada de orden n, tal que A B = B A = I. La matriz B se llama inversa de A y se representa por A RANGO DE UNA MATRIZ Se llama rango de una matriz A al número de filas linealmente independientes que posea. Este número coincide con el número de columnas linealmente independientes que tenga.

9 Capítulo 3 DETERMINANTES 9

10 Matemáticas II DETERMINANTES DE 2 o ORDEN ( ) a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a DETERMINANTES DE 3 er ORDEN. REGLA DE SARRUS a 11 a 12 a 13 Sea una matriz cuadrada de tercer orden A = a 21 a 22 a 23. Se define el determi- a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 nante det(a) = A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 Esta expresión se puede recordar fácilmente con ayuda del esquema conocido como regla de Sarrus. (Unir con una linea las letras iguales) a b c c b a c a b Términos con signo + b a c Términos con signo b c a a c b Ejemplo = = = = PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta. det(a) = det(a t ) 2.- Si un determinante tiene una línea de ceros vale cero. 3.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas iguales, este determinante vale cero. 4.- Si un determinante tiene 2 líneas paralelas proporcionales, este determinante vale cero.

11 Matemáticas II Si en un determinante intercambiamos entre sí 2 líneas paralelas el determinante cambia de signo. 6.- Si se multiplican (o dividen) por k 0 todos los elementos de una línea, el determinante queda multiplicado (o dividido) por k. α x 1 + β y 1 a 12 a 1n x 1 a 12 a 1n y 1 a 12 a 14 α x 2 + β y 2 a 22 a 2n x 2 a 22 a 2n y 2 a 22 a = α β α x n + β y n a n2 a nn x n a n2 a nn y n a n2 a nn 8.- El valor de un determinante no varía si a los elementos de una línea se les suma otra paralela multiplicada por un número. 9.- Si un determinante tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, este determinante es nulo Si A y B son dos matrices cuadradas, entonces: det(a B) = det(a) det(b) 11.- Si A es regular, entonces: det(a 1 ) = 1 det(a) 3.4. MATRIZ COMPLEMENTARIA. ADJUNTO Sea A una matriz cuadrada de orden n y a ij uno de sus elementos. Si en A se suprime la fila i y la columna j se obtiene una submatriz cuadrada de orden n 1, que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento a ij y que representaremos por B ij. Se llama adjunto del elemento a ij, y se representa por A ij a A ij = ( 1) i+j det(b ij ) Es decir el adjunto de un elemento es el determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila y la columna de dicho elemento, precedido del signo + o según que i + j sea par o impar REGLA DE LAPLACE El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir, tomando la fila i se tiene: j=n A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in = a ij A ij j=1

12 Matemáticas II 12 Ejemplo Sea el determinate A = Los adjuntos de los distintos elementos tienen los siguientes signos: Desarrollando por los adjuntos de la primera fila se tiene: A = ( 10) ( 12) = = = REGLA DE CHIO El mismo resultado se puede obtener haciendo ceros en la primera fila, utilizando la propiedad número 8 de los determinantes. En efecto, sumando a la tercera columna la primera columna multiplicada por 1 y a la cuarta columna la primera multiplicada por 2 resulta: A = = = = CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz inversa A 1 se calcula siguiendo los siguientes pasos: { = 0, No tiene matriz inversa. 1. Se calcula A = 0, Si tiene matriz inversa. 2. Se calcula la matriz traspuesta A t 3. Se calcula la matriz adjunta Adj(A t ) 4. Se multiplica por 1 A

13 Matemáticas II 13 NOTA: Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto A ij. A 1 = 1 A Adj(At ) Ejemplo Calculemos la matriz inversa de la matriz A = Se calcula el determinante de A. A = 2 2. Se calcula la matriz traspuesta de A A t = Se calcula la matriz adjunta de la traspuesta de A Adj(A t ) = = Se multiplica por 1 2 A 1 = = / CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Rango de una matriz A es un número que nos indica el número de filas L.I. que tiene dicha matriz y se representa por:. rango(a) = r(a)

14 Matemáticas II 14 Método de cálculo 1.- Se eliminan de la matriz A las filas de ceros. 2.- Se elige la submatriz A 1 = ( a 11 a 12 ) a 1n y de ésta un elemento no nulo, por ejemplo, a 11. Esto nos permite afirmar que r(a) = Se considera la submatriz: a 11 0 ( ) a11 a A 2 = 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (3.1) y en ella se elige la submatriz formada por la columna que contiene al elemento a 11. ( ) a11 C 2 = 4.- Se añade a la matriz C 2, sucesivamente, las restantes columnas de la matriz (3.1) hasta encontrar un determinante de segundo orden no nulo. Si todos ellos fuesen cero el rango de la matriz A 2, sería uno y se podría prescindir de la segunda fila y sustituirla por la tercera de A. Así se seguiría hasta llegar a una fila de la matriz A tal que la matriz : ( ) a11 a A 2 = 12 a 1n a i1 a i2 a in a 21 tenga un determinante de segundo orden distinto de cero. r(a) = Si este determinante es: a 11 a 12 0 (3.2) a i1 se forma la matriz que resulta de añadir a la matriz A 2 la fila siguiente: a 11 a 12 a 1n A 3 = a i1 a i2 a in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a i2 se forma la submatriz de A 3 con las columnas en que intervienen los elementos del determinante (3.2) a 11 a 12 C 3 = a i1 a i+1,1 a i2 a i+1,2 y se añaden sucesivamente a esta matriz C 3 las restantes columnas de la matriz A 3 hasta hallar un determinante de tercer orden distinto de cero. Así se sigue hasta agotar todas las filas de la matriz A. El orden del último determinante distinto de cero hallado es el rango de la matriz A.

15 Capítulo 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 15

16 Matemáticas II DEFINICIONES Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de expresiones de la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c (4.1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m en donde las a ij y los c i son números reales. llamados coeficientes y términos independientes, y los x i son letras denominadas incógnitas. Se llama solución del sistema (4.1) a todo vector p = (p 1, p 2,, p n ) tal que verifique las igualdades siguientes: a 11 p 1 + a 12 p a 1n p n = c 1 a 21 p 1 + a 22 p a 2n p n = c a m1 p 1 + a m2 p a mn p n = c m (4.2) Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalentes cuando tiene las mismas soluciones. Resolver un sistema de ecuaciones es averiguar si posee soluciones y, en caso afirmativo, hallarlas todas. Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles y los que no poseen solución se llaman incompatibles. Sistemas de ecuaciones { Determinados Compatibles Indeterminados Incompatibles Los sistemas compatibles si tiene una solución única se llaman determinados y si tiene infinitas soluciones se llaman indeterminados. Sea el sistema (4.1) que podemos escribir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn. x 1 x x n = = c 1 c c m c 1 c c m A X = C (4.3) Si llamamos A, X y C a las matrices de coeficientes, de incógnitas y términos independientes.

17 Matemáticas II REGLA DE CRAMER Vamos a considerar el caso en que A sea una matriz cuadrada de determinante no nulo. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer si: 1. Tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas. 2. Det(A) 0. Multiplicando la igualdad (4.3) por la izquierda por A 1 tenemos: X = A 1 C (4.4) Las incógnitas están unívocamente determinadas, por tanto el sistema tiene una única solución y ésta se obtiene efectuando las operaciones de (4.4). A 11 A 21 A n1 c 1 1 X = Det(A) A 12 A 22 A n2 c 2 A 1n A 2n A nn c n Luego cada una de las incógnitas se calculan con la fórmula: x j = a 11 a 21. a n1 a 12 a 22. a n2 j c 1 c c n Det(A) Esta fórmula es conocida como regla de CRAMER a 1n a 2n. a nn, j = 1, 2, 3,...n. (4.5) 4.3. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Sea el sistema (4.1), y sean A y A la matriz de coeficientes y la matriz ampliada respectivamente: a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n c 2 A = A = a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn c m que representaremos por: A = a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c = A a m1 a m2 a mn c m

18 Matemáticas II 18 Un sistema (4.1) de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene solución si y solo si rango(a) = rango(a ) Supongamos que: rango(a) = rango(a ) = k Entonces nos quedamos con el sistema: a 11 x 1 + a 12 x a 1k x k = c 1 a 1,k+1 x k+1... a 21 x 1 + a 22 x a 2k x k = c 2 a 2,k+1 x k a k1 x 1 + a k2 x a kk x k = c k a k,k+1 x k+1... que se resolverá por la regla de Cramer. Las incógnitas x 1, x 2,..., x k se llaman principales y el resto secundarias. En el caso de que: rango(a) rango(a ) El sistema de ecuaciones no tiene solución (incompatible). Esquema n= número de incógnitas. SIST EMA COMPATIBLE r(a)=r(a ) INCOMPATIBLE r(a) r(a ) DETERMINADO r(a)=r(a )=n INDETERMINADO r(a)=r(a )<n 4.4. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS Se llaman sistemas lineales homogéneos a los sistemas lineales que tienen los términos independientes de todas las ecuaciones igual a cero. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = (4.6) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Se deduce de forma inmediata que un sistema homogéneo siempre tiene solución, y que ésta es la solución nula o trivial (x 1, x 2,..., x n ) = (0, 0,..., 0). Evidentemente se cumple en todo sistema homogéneo que r(a) = r(a ), por tanto: a) Si r(a) = r(a )= número de incógnitas tiene solo la solución trivial. b) Si r(a) = r(a ) < número de incógnitas tiene infinitas soluciones.

19 Matemáticas II 19 ESQUEMA RESUMEN n=número de incógnitas. SIST EMA NO HOMOGENEO Algun c i 0 HOMOGENEO Todos los c i =0 COMPATIBLE r(a)=r(a ) INCOMPATIBLE r(a) r(a ) DETERMINADO r(a)=n INDETERMINADO r(a)<n DETERMINADO r(a)=r(a )=n INDETERMINADO r(a)=r(a )<n

20 Capítulo 5 GEOMETRÍA DEL ESPACIO R 3 20

21 Matemáticas II PUNTOS Y VECTORES EN EL ESPACIO Consideramos R = {O; e 1, e 2, e 3 } un sistema de referencia, donde O es un punto fijo y B = { e 1, e 2, e 3 } una base de vectores (tres vectores linealmente independientes). El sistema de referencia consideraremos que es ortonormal, es decir son vectores unitarios y perpendiculares. Todo punto P del espacio determina con O un vector OP que se llama vector de posición del punto P, de este modo la descripción analítica de los puntos del espacio, se reduce a la de los vectores. El vector OP determina una terna de números (x 1, x 2, x 3 ) tales que: OP = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 A la terna de números (x 1, x 2, x 3 ) se les llama coordenadas de OP respecto de la base B = { e 1, e 2, e 3 }, estas coordenadas son únicas. Recíprocamente a cada terna de números le corresponde un vector y a este un punto del espacio PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores u, v es un número real que se define del siguiente modo: { u v cos( u, v) si u 0 y v 0 u v = 0 si u = 0 o v = 0 Interpretación geométrica El producto escalar de dos vectores es el módulo de uno por la proyección del otro sobre él. Propiedades 1.- Conmutativa 2.- Homogénea 3.- Distributiva u v = v u α( u v) = (α u) v = u (α v) u ( v + w) = u v + u w α R

22 Matemáticas II 22 Expresión analítica del producto escalar Si los vectores u y v tiene de coordenadas u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 ) v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 (y 1, y 2, y 3 ) El producto escalar se calcula con la expresión: Módulo de un vector u v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (5.1) Sea un vector u. Calculamos el producto escalar de este vector por si mismo u u = u u cos 0 = u 2 u = + u u Si las coordenadas del vector u son u = (x 1, x 2, x 3 ), la expresión analítica del módulo será: u = + x x x 2 3 (5.2) Ángulo de dos vectores Utilizando la definición de producto escalar, despejamos el coseno del ángulo: cos α = u v u v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x x x 2 3 y y y 2 3 (5.3) Condición de perpendicularidad Dos vectores u y v son perpendiculares ( se notará u v ) si forman un ángulo de 90 o 270 cos α = 0 u v = 0 Condición de paralelismo Dos vectores u y v son paralelos si son linealmente dependientes, es decir u = λ v y por tanto sus coordenadas son proporcionales (x 1, x 2, x 3 ) = λ (y 1, y 2, y 3 ) x 1 y 1 = x 2 y 2 = x 3 y PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores u y v es otro vector que se designa por u v o por u v, y que se obtiene del siguiente modo: 1. Si u, v 0 y no proporcionales, u v es un vector que tiene: módulo: u v sen α

23 Matemáticas II 23 dirección: perpendicular a ambos vectores. sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v. 2. Si alguno de los dos vectores es el vector cero, o son proporcionales, se tiene: u v = 0 Interpretación geométrica u v = u }{{} Base v sen α = }{{} Altura Área del paralelogramo construido sobre los vectores Propiedades 1.- Anticonmutativa 2.- Homogénea 3.- Distributiva u v = v u α( u v) = (α u) v = u (α v) u ( v + w) = u v + u w Expresión analítica del producto vectorial Si los vectores u y v tiene de coordenadas u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 ) v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 (y 1, y 2, y 3 ) El producto vectorial se calcula con la expresión: e 1 e 2 e 3 ( ) u v = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 (5.4) 5.4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Se llama producto mixto de tres vectores u, v y w y se designa por [ u, v, w], al número real que se obtiene al operarlos del siguiente modo: Interpretación geométrica [ u, v, w] = u ( v w) [ u, v, w] = Volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores

24 Matemáticas II 24 Expresión analítica Si los vectores u, v y w tiene de coordenadas u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 ) v = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 (y 1, y 2, y 3 ) w = z 1 e 1 + z 2 e 2 + z 3 e 3 (z 1, z 2, z 3 ) El producto mixto se calcula con la expresión: [ u, v, w] = x 1 y 2 y 3 z 2 z 3 x 2 y 1 y 3 z 1 z 3 + x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 (5.5) Propiedades 1. [ u, v, w] = [ v, w, u] = [ w, u, v] 2. [ u, v, w] = [ u, w, v] 3. [ u, v, w] = 0 u, v, w son linealmente dependientes 4. [a u, b v, c w] = abc[ u, v, w] 5. [ u + u, v, w] = [ u, v, w] + [ u, v, w] Nota Tanto la interpretación geométrica como la expresión analítica permiten concluir que si permutamos los vectores, cambia el signo del resultado, pero no su valor absoluto. Por tanto, para el cálculo de volúmenes tomaremos los vectores en cualquier orden y si es necesario el valor absoluto de dicha expresión ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS Vector que une dos puntos Dados los puntos A(a 1, a 2, a 3 ) y B(b 1, b 2, b 3 ) el vector AB tiene por coordenadas AB = OB OA = (b1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) Punto medio de un segmento Dados los puntos A(a 1, a 2, a 3 ) y B(b 1, b 2, b 3 ) el punto medio M(m 1, m 2, m 3 ) del segmento AB, tiene por coordenadas: m i = a i + b i 2 i = 1, 2, 3

25 Matemáticas II ECUACIONES DE LA RECTA Ecuación vectorial Una recta queda determinada mediante uno de sus puntos P y un vector no nulo v, que se llama vector dirección o vector director. El punto P da lugar a un vector de posición OP. Un punto cualquiera de la recta X, cumple la condición siguiente: Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta. Ecuaciones paramétricas OX = OP + t v, t R (5.6) Si en la ecuación vectorial anterior sustituimos los vectores por sus coordenadas se obtiene: (x, y, z) = (p 1, p 2, p 3 ) + t (v 1, v 2, v 3 ) Esta ecuación da lugar a tres ecuaciones numéricas: Son las ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuación continua x = p 1 + t v 1 r y = p 2 + t v 2 t R (5.7) z = p 3 + t v 3 Las ecuaciones paramétricas son tres igualdades, si en cada una despejamos el parámetro t y los igualamos tenemos: t = x p 1 v 1 = y p 2 v 2 = z p 3 v 3 Ésta es la ecuación continua de la recta. Puntos alineados x p 1 v 1 = y p 2 v 2 = z p 3 v 3 (5.8) Un conjunto de puntos están alineados cuando pertenecen a la misma recta. P 1, P 2, P 3,... P 1 P 2, P 1 P 3, P 1 P 4,... son L.D. Rango( P 1 P 2, P 1 P 3, P 1 P 4,...) = 1 Recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos P y Q calculamos la recta que pasa por ambos considerando un punto P y como vector dirección, el vector v = PQ.

26 Matemáticas II ECUACIONES DEL PLANO Ecuación vectorial Para determinar un plano se necesitan: a) Un punto P del plano. b) Dos vectores { u, v} no nulos, paralelos al plano y no paralelos entre sí. La ecuación vectorial del plano es: OX = OP + t u + s v t, s R (5.9) Donde OX es el vector de posición de un punto genérico X del plano. Ecuaciones paramétricas En la ecuación vectorial del plano si sustituimos cada vector por sus coordenadas obtenemos las ecuaciones paramétricas. Ecuación implícita x = p 1 + t u 1 + s v 1 y = p 2 + t u 2 + s v 2 t, s R (5.10) z = p 3 + t u 3 + s v 3 Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos t y s nos quedaremos con una única ecuación del tipo: A x + B y + C z + D = 0 (5.11) La eliminación de los parámetros puede hacerse despejando y sustituyendo (por ejemplo, despejamos t en la primera ecuación y sustituimos en la segunda y tercera, con lo que tendremos dos ecuaciones y un único parámetro s. Si despejamos en una de ellas y sustituimos su valor en la otra se obtiene, finalmente, una única ecuación con las incógnitas x, y, z pero sin parámetros). También se puede proceder de otra forma más eficaz razonando del siguiente modo: El sistema de ecuaciones t u 1 + s v 1 = x p 1 t u 2 + s v 2 = y p 2 t u 3 + s v 3 = z p 3 u 1 v 1 u 1 v 1 x p 1 cuyas incógnitas son t y s, tiene solución rang u 2 v 2 = rang u 2 v 2 y p 2 = u 3 v 3 u 3 v 3 z p 3 2 u 1 v 1 x p 1 u 2 v 2 y p 2 u 3 v 3 z p 3 = 0 ésta es la ecuación implícita del plano.

27 Matemáticas II 27 Desarrollando este determinante por la última columna obtenemos (x p 1 ) u ( 2 v 2 u 3 v 3 + (y p 2) u ) 1 v 1 u 3 v 3 + (z p 3 ) u 1 v 1 u 2 v 2 = 0 Donde se observa que los determinantes son las coordenadas del producto vectorial de los vectores u y v. Si llamamos A, B, C a las coordenadas del producto vectorial de los vectores u y v tenemos A (x p 1 ) + B (y p 2 ) + C (z p 3 ) = 0 (5.12) Expresión que nos permite calcular la ecuación de un plano si conocemos un punto P = (p 1, p 2, p 3 ) y un vector perpendicular W = (A, B, C). Puntos coplanarios Un conjunto de puntos se llaman coplanarios si pertenecen al mismo plano. P 1, P 2, P 3,... P 1 P 2, P 1 P 3, P 1 P 4,... solo dos sean L.I. Rango( P 1 P 2, P 1 P 3, P 1 P 4,...) = 2 Ecuación del plano que pasa por tres puntos Dados tres puntos no alineados P, Q, R, consideramos los siguientes datos para calcular el plano: Un punto P El vector u = PQ El vector v = PR Ecuación del plano determinado por una recta y un punto exterior Dada una recta r y un punto P / r, tomamos un punto Q r y consideramos los siguientes datos para calcular el plano: El punto P. El vector u = PQ El vector v = v r (vector de dirección de la recta r) POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS Dados dos planos: Π 1 Ax + By + Cz + D = 0 y Π 2 A x + B y + C z + D = 0

28 Matemáticas II 28 El sistema formado por sus ecuaciones } Π 1 Ax + By + Cz + D = 0 Π 2 A x + B y + C z + D = 0 ( ) ( ) A B C A B C D da lugar a las matrices M = A B C y M = A B C D El estudio de sus rangos nos da información sobre sus soluciones (sobre los puntos comunes a ambos planos) y, por tanto, sobre la posición relativa de los mismos: Rango de M Rango de M 2 2 S.C.I. Planos secantes 1 2 S.I. Planos paralelos 1 1 S.C.I. Planos coincidentes El primer caso (planos secantes) puede interpretarse como una recta dada como intersección de dos planos. El sistema formado como dos planos secantes se llama ecuaciones implícitas de la recta. Haz de planos paralelos Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado. Si nos dan un plano cualquiera Ax + By + Cz + D = 0 el haz de planos paralelos se calcula con la ecuación Ax + By + Cz + k = 0, k R Haz de planos secantes Se llaman haz de planos secantes al conjunto de planos que contiene a una recta r. Si nos dan dos planos secantes en una recta r, Π 1 Ax + By + Cz + D = 0 y Π 2 A x + B y + C z + D = 0, el haz de planos queda determinado por la ecuación t (Ax + By + Cz + D) + s (A x + B y + C z + D ) = 0 t, s R POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO Método 1. Sean la recta y el plano en forma implícita: { Ax + By + Cz + D = 0 r A x + B y + C z + D = 0 Π A x + B y + C z + D = 0 El sistema formado por las tres ecuaciones da lugar a las matrices: A B C D M = A B C D = M A B C D El estudio de sus rangos nos da información sobre sus soluciones (sobre los puntos comunes a la recta y al plano) y, por tanto, sobre la posición relativa:

29 Matemáticas II 29 Rango de M Rango de M 3 3 S.C.D. Plano y recta secantes 2 3 S.I. Plano y recta paralelos 2 2 S.C.I. Recta contenida en el plano Método 2. Sea la recta en forma paramétrica y el plano en forma implícita: x = p 1 + t v 1 r y = p 2 + t v 2 Π Ax + By + Cz + D = 0 z = p 3 + t v 3 El sistema formado es de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas {x, y, z, t}: x v 1 t = p 1 y v 2 t = p 2 z v 3 t = p 3 Ax + By + Cz = D M = v 1 p v 2 p v 3 p 3 A B C 0 D = M Evidentemente Rango(M) 3. Se propone a los alumnos realizar un cuadro semejante al anterior, con los rangos de M y M y las posiciones relativas del plano y la recta. Método 2.b. También se puede resolver el sistema anterior, sustituyendo las tres primeras ecuaciones en la cuarta y obteniendo una ecuación del tipo m 0 Secantes { m t + n = 0 n 0 Paralelos m = 0 n = 0 Recta contenida en el plano POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Al igual que en el caso anterior, se estudiará este problema bajo dos puntos de vista, según que los datos vengan dados de una u otra forma. Método 1 Supongamos las dos rectas en forma paramétrica: r x = p 1 + t u 1 y = p 2 + t u 2 z = p 3 + t u 3 s x = q 1 + t v 1 y = q 2 + t v 2 z = q 3 + t v 3 con P r = (p 1, p 2, p 3 ); v r = (u 1, u 2, u 3 ) y Q s = (q 1, q 2, q 3 ); v s = (v 1, v 2, v 3 ) Calculamos el vector P r Q s y los rangos de Rang( v r, v s ), Rang( P r Q s, v r, v s ) Rang( v r, v s ) Rang( P r Q s, v r, v s ) 1 1 Rectas coincidentes 1 2 Rectas paralelas 2 2 Rectas secantes 2 3 Rectas que se cruzan

30 Matemáticas II 30 Método 2 Si las rectas r y s son conocidas a través de sus ecuaciones implícitas o generales: { Ax + By + Cz + D = 0 r { A x + B y + C z + D = 0 A s x + B y + C z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 con con ( ) A B C Rang A B C = 2 ( ) A B Rang C A B C = 2 El sistema de ecuaciones formado por las cuatro ecuaciones con tres incógnitas da lugar a las matrices: A B C D M = A B C D A B C D = M A B C D De la discusión del sistema de ecuaciones, se obtienen las siguientes conclusiones: Si Rang(M ) = 2, las dos rectas son coincidentes. Si Rang(M ) = 3 y Rang(M) = 2, las dos rectas son paralelas. Si Rang(M ) = 3 y Rang(M) = 3, las dos rectas se cortan en un punto. Si Rang(M ) = 4, las dos rectas se cruzan. Rang(M) Rang(M ) 2 2 Rectas coincidentes 2 3 Rectas paralelas 3 3 Rectas secantes 3 4 Rectas que se cruzan 5.7. PROPIEDADES MÉTRICAS ÁNGULOS u v La fórmula (5.3) cos α = que nos permite calcular el coseno del ángulo que u v forman las direcciones dadas por dos vectores, nos sirve para obtener el ángulo que forman dos rectas, dos planos o una recta con un plano, siempre que conozcamos los vectores dirección de cada uno de ellos. Ángulo de dos rectas Dadas dos rectas r y s, con vectores de dirección v r y v r. Aplicamos la fórmula (5.3) cos α = v r v s v r v s

31 Matemáticas II 31 Ángulo de dos planos Dados dos planos Π y Π, con direcciones perpendiculares v π y v π. Aplicamos la fórmula (5.3) cos α = v π v π v π v π Ángulo de recta y plano Dada la recta r y el plano Π, con vector dirección v r y vector perpendicular v π, respectivamente. Aplicamos la fórmula (5.3) En este caso el ángulo buscado es DISTANCIAS Distancia entre dos puntos cos α = v r v π v r v π β = 90 α Dados dos puntos P(p 1, p 2, p 3 ) y Q(q 1, q 2, q 3 ) se define la distancia de P a Q, como el módulo del vector PQ (fórmula (5.2)) d(p, Q) = PQ = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2 Propiedades de la distancia La distancia entre dos puntos tiene las siguientes propiedades: 1. d(a, B) = 0 A = B 2. d(a, B) = d(b, A) 3. d(a, B) d(a, C) + d(c, B) Propiedad triangular Distancia de un punto a un plano Sea el punto P(p 1, p 2, p 3 ) y el plano Π Ax+By+Cz+D = 0, la distancia del punto P al plano Π se calcula con la fórmula: d(p, Π) = A p 1 + B p 2 + C p 3 + D A2 + B 2 + C 2 (5.13) Distancia de un punto a una recta

32 Matemáticas II 32 Plano mediador. Plano bisector Dada una recta r y un punto P / r, para calcular la distancia d(p, r) tomamos un punto cualquiera A r y el vector dirección u r de la recta r. Calculamos el vector AP y aplicamos la fórmula: d(p, r) = AP u r u r (5.14) Se llama plano mediador del segmento AB al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de A y B. Plano bisector del ángulo formado por dos planos es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos dados. Distancia entre dos rectas que se cruzan La distancia entre dos rectas que se cruzan es la distancia que existe entre los planos que siendo paralelos a una recta contiene a la otra. Sean las rectas r = (P r, v r ) y s = (P s, v s ) que se cruzan. Con {P r, v r, v s } calculamos el plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, y finalmente con el punto P s y el plano anterior calculamos la distancia de un punto a un plano, utilizando la fórmula (5.13) Recta perpendicular común entre dos rectas que se cruzan Sean las rectas r = (P r, v r ) y s = (P s, v s ) que se cruzan. Seguiremos los siguientes pasos:

33 Matemáticas II Calculamos v r v s = w t 2. Calculamos el plano Π 1 con {P r, v r, w t } 3. Calculamos el plano Π 2 con {P s, v s, w t } 4. La recta t queda determinada con los planos {Π 1, Π 2 } Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas que se cruzan Sea el punto P y las rectas r = (P r, v r ) y s = (P s, v s ) que se cruzan. Seguiremos los siguientes pasos: 1. Calculamos el plano Π 1 que pasa por el punto P y contiene a la recta r. 2. Calculamos el plano Π 2 que pasa por el punto P y contiene a la recta s. 3. Los planos Π 1 y Π 2 determinan la recta t que es la recta pedida ÁREAS Área del paralelogramo Sea ABCD un paralelogramo, calculamos AB y AC y utilizando la interpretación geométrica del producto vectorial podemos calcular: S(ABCD) = superficie del paralelogramo ABCD = AB AC (5.15)

34 Matemáticas II 34 Área del triángulo Sea ABC el triángulo de la figura anterior. El área de dicho triángulo es la mitad del paralelogramo ABCD, por lo tanto la superficie se puede calcular con la fórmula: VOLÚMENES Volumen del paralelepípedo V = det( AB, AC, AD) = S(ABC) = AB AC 2 (5.16) Dados los puntos A, B, C y D consideremos el paralelepípedo que determinan los vectores AB, AC y AD de la figura. Utilizando la interpretación geométrica del producto mixto sabemos que el volumen lo podemos calcular con: V = det( AB, AC, AD) Esta fórmula la podemos desarrollar, de la siguiente manera Sean los puntos A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ), C(c 1, c 2, c 3 ) y D(d 1, d 2, d 3 ) b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 1 a 1 a 2 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 = 0 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 0 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 = 0 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 1 a 1 a 2 a 3 V = 1 b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 (5.17) 1 d 1 d 2 d 3 Fórmula que nos permite calcular el volumen del paralelepípedo que forman cuatro puntos. Volumen del tetraedro El volumen del tetraedro de vertices ABCD, utilizando la figura anterior, es un tercio del volumen del prisma triangular ABCDEF, y éste es la mitad del volumen del paralelepípedo completo. V = det( AB, AC, 1 a 1 a 2 a 3 1 AD) = 6 1 b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 1 d 1 d 2 d 3 (5.18)

35 Matemáticas II 35 Criterio para que cuatro puntos sean coplanarios Si A, B, C y D son coplanarios el volumen del tetraedro ABCD es cero; y viceversa. Por tanto: det( AB, AC, AD) = 0 A, B, C, D son coplanarios

36 Índice general 1. VECTORES VECTORES EN R OPERACIONES QUE SE PUEDEN DEFINIR DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES 2 2. MATRICES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TERMINOLOGÍA. TIPOS DE MATRICES IGUALDAD DE MATRICES MATRIZ TRASPUESTA MATRIZ SIMÉTRICA MATRIZ DIAGONAL MATRIZ TRIANGULAR MATRIZ CERO MATRIZ OPUESTA MATRIZ IDENTIDAD (UNIDAD) OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ PRODUCTO DE DOS MATRICES MATRIZ REGULAR O INVERSIBLE (INVERSA) RANGO DE UNA MATRIZ DETERMINANTES DETERMINANTES DE 2 o ORDEN DETERMINANTES DE 3 er ORDEN. REGLA DE SARRUS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES MATRIZ COMPLEMENTARIA. ADJUNTO REGLA DE LAPLACE REGLA DE CHIO CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES REGLA DE CRAMER TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

37 Matemáticas II SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS GEOMETRÍA DEL ESPACIO R PUNTOS Y VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIONES DEL PLANO POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS PROPIEDADES MÉTRICAS ÁNGULOS DISTANCIAS ÁREAS VOLÚMENES