IES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Segundo trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CT NOMBRE:

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1 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. 4) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. ) Calcular: d (,5 puntos) ( )( ) ) Sea f : R R la función definida por f(). a) Esbozar la gráfica de f (,5 puntos) b) Coprobar que la recta de ecuación es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. (, puntos) c) Calcular el área del recinto liitado por la gráfica de f la de dicha tangente. (, puntos) ) a) Sean las atrices: (,5 puntos) A, B C Deterinar la atriz X que verifica AX B t C. b) Sean A, B, C X atrices cuadradas de orden que verifican AXB C. Si se sabe que el deterinante de A es, el de B es el de C es 6, calcular el deterinante de las atrices X X. ( punto) 4) Trataos de adivinar, ediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B C. Pista : Si copraos una unidad de A, dos de B una de C gastaos 8. Pista : Si copraos n unidades de A, n + de B tres de C gastaos 9. a) Ha algún valor de n para el que estas dos pistas sean incopatibles?(,5 ptos) b) Sabiendo que n 4 que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcular el precio de cada producto. ( punto)

2 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT SOLUCIONES ) Calcular: d (,5 puntos) ( )( ) Estaos ante una integral racional. Coo el grado del nuerador es estrictaente enor que el del denoinador, es aplicable el Teorea de Descoposición en Sua de Fracciones Siples. Coo, adeás, ( )( ) ( )( ) ( ), se tiene: A B C A( ) B( ) C ( ) ( ) ( ) Si igualaos los nueradores, será cierta la igualdad: A( ) + B( ) + C Daos valores a : : A : C : A + B + C + B + B B Por tanto: d ( )( ) d d + d ( ) ln ln + (ln ln ) (ln ln ) + ( ) d ( ) ln ln + ln + ln + ln + 6 ln + ln ) Sea f : R R la función definida por f(). a) Esbozar la gráfica de f (,5 puntos) Coo z si si ( ) si ( ) si si si f() [ ( )] si si ( ) si si La función es una parábola que: Es convea, pues el coeficiente de es positivo. Cortes con los ejes: ( ) ó : (, ) (, ). (, ). Eje: b/a ½ (recta vertical) Vértice: (/, /4). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4

3 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT La función + es la opuesta de la anterior, por lo que tiene su isa gráfica pero siétrica respecto del eje OX. Ésta coincide con f en (, ) la anterior, en [, + ). Por tanto, la gráfica es la que se adjunta. b) Coprobar que la recta de ecuación es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. (, puntos) En un entorno de, f() +, por lo que trabajareos solo con esta fórula. Punto de tangencia: (, ), pues f(). Pendiente de la tangente: f '() + f '() Ecuación de la tangente: ( ). c) Calcular el área del recinto liitado por la gráfica de f la de dicha tangente. (, puntos) Las intersecciones de la tangente f() son el punto de contacto (, ) : ( ) ó. Por otra parte, antes de f tiene una epresión otra después. Por tanto, el área ha que calcularla diferenciando las zonas: A [ ( )] d + [ ( )] d + d + ( ) d 8 4 u ) a) Sean las atrices: (,5 puntos) A, B C Deterinar la atriz X que verifica AX B t C. AX B t C AX B t + B t C + B t AX C + B t A AX A (C + B t ) X A (C + B t ) que será posible calcular si A es invertible. Veaos si es así, hagaos los cálculos, en su caso. A A IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4

4 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4 A t Adj(A t ) 5 A 4 5 C + B t + Por tanto: X A (C + B t ) / 4 / 9 / 4 / / 4 9 / b) Sean A, B, C X atrices cuadradas de orden que verifican AXB C. Si se sabe que el deterinante de A es, el de B es el de C es 6, calcular el deterinante de las atrices X X. ( punto) El deterinante de un producto de atrices cuadradas es el producto de los respectivos deterinantes. Por tanto, coo los deterinantes son núeros reales: AXB C AXB C A X B C X ( ) 6 X 6/ X es la atriz X con todas sus posiciones ultiplicadas por. En un deterinante, se puede etraer factor coún de cada fila, por separado. Por ello: X ( ) 6 4) Trataos de adivinar, ediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B C. Pista : Si copraos una unidad de A, dos de B una de C gastaos 8. Pista : Si copraos n unidades de A, n + de B tres de C gastaos 9. a) Ha algún valor de n para el que estas dos pistas sean incopatibles?(,5 ptos) Siendo,, z los respectivos precios de A, B, C, las pistas nos llevan a un sistea de dos ecuaciones: 9 ) ( 8 z n n z A' 9 8 n n Buscaos el enor de aor orden posible que contenga el enor núero de veces al paráetro n. Coo n n n, se tiene: n : r(a) r(a'), porque A' solo tiene dos filas, por lo que no puede tener filas linealente independientes, el rango es el áio núero de filas ( de colunas, que coincide) linealente independientes. Por tanto, el sistea será copatible indeterinado.

5 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT 8 8 n : A' F F, por lo que es un sistea incopatible, porque la segunda ecuación es 6, iposible para ningún valor de las incógnitas. En definitiva, las pistas son incopatibles si, solo si n. b) Sabiendo que n 4 que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcular el precio de cada producto. ( punto) En este caso, el sistea es: z 8 z z 9 4 z 9 A' 4 9 z z 8 8 F 4F 8 F 6F F F ª ec: z 8 z 69 ª ec: 8 69 ª ec: Luego el producto A cuesta, el B, el C, 69. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 4

6 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. 4) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. ) Considerar la función f : R R dada por f() + siendo >. Esbozar el recinto liitado por la gráfica de f la recta calcula el valor de para que el área de dicho recinto sea 6. (,5 puntos) a ) Calcular el valor de a > para el que se verifica: d (,5 puntos) ) Considerar el sistea de ecuaciones dado en fora atricial ediante AX B, siendo: A, B X z a) Discutir el sistea según los valores de. (,5 puntos) b) Resolver el sistea para deterinar en dicho caso, si eiste, una solución en la que. ( punto) 4) Sean los puntos A(,, ), B(,, ) C(,, ). a) Eiste algún valor de R para el que los puntos A, B C estén alineados? Justificar la respuesta. (,5 puntos) b) Para, hallar el área del triángulo de vértices A, B C. ( punto)

7 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT SOLUCIONES ) Considerar la función f : R R dada por f() + siendo >. Esbozar el recinto liitado por la gráfica de f la recta calcula el valor de para que el área de dicho recinto sea 6. (,5 puntos) a) Esbozo de la gráfica. f es una parábola cóncava que corta a los ejes en: + ( + ) ó Los cortes son (, ) (, ) (recordar > ). es una recta descendente (la pendiente es negativa) que pasa por el origen. Sus intersecciones con la parábola anterior son: + ( ) ó Los cortes están en (, ) en (, ). Por tanto, la gráfica debe parecerse al gráfico adjunto, dependiendo de >. en dicho gráfico, heos destacado el recinto cua área debe valer 6. b) Cálculo de. El área destacada valdrá: ( ( )) d ( ) d u Coo debe valer 6: Por tanto, la solución única es. a ) Calcular el valor de a > para el que se verifica: d (,5 puntos) Estaos ante una integral racional pero con una fracción siple, a reducida. Se trata de una fracción con el denoinador irreducible (raíces coplejas). Coo el grado del nuerador es uno enos que el del denoinador, buscareos un logarito neperiano. a d a d ln( + a ) ln a ln ln( a ) ln ln a ln e a a e a e (solo la positiva) e IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4

8 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4 ) Considerar el sistea de ecuaciones dado en fora atricial ediante AX B, siendo: A, B X z a) Discutir el sistea según los valores de. (,5 puntos) Efectuando el producto atricial, el sistea será: ) ( ) ( z z z con A' Por Rouché-Fröbenius, veaos cuándo el r(a) será áio: A ( + ) + ( + ) ó Según esto, distinguios los siguientes casos: : A r(a) r(a') (contiene a A no puede ser aor que, porque solo tiene filas). Coo los rangos coinciden entre si con el núero de incógnitas, por el Teorea de Rouché-Fröbenius el sistea es copatible deterinado. : A' Sabeos que r(a) <, porque A. Coo r(a). Orlaos este enor en A' de la única fora posible, o sea, con la tercera fila la cuarta coluna: 4 + r(a') puesto que, en A', las tres filas son linealente independientes. Coo r(a) r(a') el sistea es incopatible. : A' 4 Al igual que antes, r(a) <, porque A. Coo r(a). Orlaos este enor en A':

9 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT r(a') 4 porque el enor no nulo anterior es tabién un enor en A', no es posible orlarlo de otra fora. Por tanto, r(a) r(a') < nº incógnitas el sistea es copatible indeterinado. b) Resolver el sistea para deterinar en dicho caso, si eiste, una solución en la que. ( punto) Ya que está hecho el estudio por Rouché-Fröbenius, lo resolveos por Craer. Para ello, llaaos t, puesto que esta incógnita no está en el enor principal que teneos, la pasaos al segundo iebro, al tiepo que eliinaos la tercera fila porque no está en el enor principal. Así, el sistea se transfora en: z 4 t z t Por tanto: 4 t t 4 t t 6 t 6 t t z t 4 + t Así, las infinitas soluciones son de la fora (6 t, t, ). Y si 6 t t 4. Luego si ha una solución en la que que es: (, 4, ). 4) Sean los puntos A(,, ), B(,, ) C(,, ). a) Eiste algún valor de R para el que los puntos A, B C estén alineados? Justificar la respuesta. (,5 puntos) AB OB OA (,, ) (,, ) (,, ) AC Los tres puntos estarán alineados si el rango de la atriz forada por estos dos vectores coo filas vale (así, uno será últiplo del otro, por lo que tendrán la isa dirección, al tener un punto en coún, estarán en la isa recta). OC OA (,, ) (,, ) (,, ) B A Si toaos las dos últias colunas:. Distinguios dos casos: C IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4

10 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CT : El rango vale, los vectores tienen distinta dirección, por lo que los puntos no estarán alineados. 4 : La atriz es:, cuo rango es, porque la priera fila es el doble de la segunda Los vectores son últiplo el uno del otro, por lo que tienen la isa dirección los puntos estarán alineados. En sua, los puntos están alineados si, solo si. b) Para, hallar el área del triángulo de vértices A, B C. ( punto) Sabeos que A triángulo AB AC, puesto que el B ódulo de ese producto vectorial es el área del AB paralelograo. Calculéosla. Según los cálculos anteriores, AB (,, ) donde: i j k AB AC AC (,, ), de (,, ) A AC C AB AC 4 6 A triángulo AB AC 6 u IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 4

11 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. 4) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. Quienes recuperen la priera evaluación o estén subiendo nota, deben hacer el ejercicio el (pero no el ). El resto, elegirá dos ejercicios entre el, el el. ) Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las diensiones del bote para que en su construcción se utilice la enor cantidad posible de hojalata. (,5 puntos) ) Sea f : R R la función definida por f() ln( + ), siendo ln la función logarito neperiano. a) Deterinar los intervalos de creciiento decreciiento los etreos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan valor de la función).( pto) b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de infleión de abscisa negativa. (,5 puntos) ) Sea f la función definida por: e si f() e si a) Estudiar la derivabilidad de f. ( punto) b) Calcular el área del recinto liitado por la gráfica de f, el eje de abscisas la recta. (,5 puntos) 4) Considerar el sistea de ecuaciones lineales: ( ) z z z a) Clasificar el sistea según los valores del paráetro. ( punto) b) Resolverlo para. (, puntos) c) Deterinar, si eiste, el valor de para el que ha una solución en la que z. Calcular esa solución. (,8 puntos) 5) Sean u (,, ), v (,, ) w (,, 4) tres vectores de R. a) Deterinar los valores de para los que los vectores son linealente independientes. ( punto) b) Hallar los valores de para los que los vectores son ortogonales dos a dos.(,5p)

12 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT SOLUCIONES ) Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las diensiones del bote para que en su construcción se utilice la enor cantidad posible de hojalata. (,5 puntos) Llaeos al radio de la base h a la altura. Las edios en d. h El voluen de un cuerpo de bases paralelas e iguales es área de la base altura. Coo la base es un círculo, dicho voluen será π h. Y sabeos que vale litro, o sea, d. Por tanto: π h h Heos de iniizar el área lateral, que será la sua de las áreas de las dos bases (los dos círculos idénticos) por el área lateral, que es, una vez desarrollado el cilindro, un rectángulo de altura h base la longitud de la circunferencia, esto es, π. Por tanto, la función a iniizar es: f() π + πh, con (, + ) (no ha ninguna liitación para el radio, salvo que sea positivo, porque puede auentar indefinidaente a cabio únicaente de que la altura disinua anteniéndose positiva). Se tiene que: f '() 4 Estudiaos los siguientes puntos para localizar los etreos absolutos: Etreos del doinio: ; +. Discontinuidades de f: Discontinuidades de f ': f '() : Iágenes o líites en ellos: li + li + f 5,54 Por tanto, la función no tiene áio absoluto, puesto que se va a +. Y: El ínio absoluto es 5,54 d aproiadaente, que se consigue para un cilindro cua base es un círculo de radio.54 d altura h,8 d. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

13 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT ) Sea f : R R la función definida por f() ln( + ), siendo ln la función logarito neperiano. a) Deterinar los intervalos de creciiento decreciiento los etreos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan valor de la función).( pto) Coo + > f es continua en todo R, pues la función logarito neperiano es continua donde su arguento sea estrictaente positivo. Por otra parte: f '() que es continua en todo R, puesto que el denoinador no se anula nunca. De este odo: Discontinuidades de f: No tiene. Discontinuidades de f ': No tiene. f '() :, que vale porque no anula el denoinador. (, ) (, + ) f ' + f decrec ín crec Coo f() ln ( + ) En (, ) tiene un ínio relativo. b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de infleión de abscisa negativa. (,5 puntos) ( ) 4 f "() ( ) ( ) ( ) Discontinuidades de f, f ', f ": No tiene. f "() : + ± Por tanto: (, ) (, ) (, + ) B" + B cóncava P.I. convea P.I. cóncava El punto de infleión con abscisa negativa está en. Y coo f( ) ln(+) ln(), sus coordenadas son (, ln()). Calculeos la recta tangente: Punto de tangencia: (, ln()) Pendiente de la tangente: f '( ) Recta tangente: ln() ( + ) + ln() ) Sea f la función definida por: e si f() e si a) Estudiar la derivabilidad de f. ( punto) Estudiar la derivabilidad es derivar la función ver dónde eiste. Para derivar una función a trozos ha que estudiar antes su continuidad. Procedeos: (, ) (, + ): f es continua por estar construida con funciones eponenciales polinóicas. : ) f() e ; ) li e ; li ( ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5 Coo coinciden los resultados, f es continua en. Por tanto, f es continua en R. No ha problea para intentar derivarla. e

14 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT Aplicando directaente los resultados de las tablas de derivadas: e si f '() e ( ) e e ( ) si De donde: f '( ) ( ) ; f '( + ) e f '(). Por tanto: e si f '() e ( ) si b) Calcular el área del recinto liitado por la gráfica de f, el eje de abscisas la recta. (,5 puntos) No es necesario dibujar toda la función, sino sólo ver los cortes con OX si la curva está sobre o bajo dicho eje. En (, ]: f() e ² ó e ², esto últio es iposible, porque la eponencial siepre toa valores estrictaente positivos. Luego ha una solución válida, que es. En (, + ): e e, que no está en la zona, pero que salió en la zona anterior. De odo que la función corta a OX únicaente en. Por ello, entre la función deliita un área con el eje OX, que nos la proporcionará la integral de la isa entre dichos líites, una vez estudiado si la función está por encia o por debajo del eje. En este trao f() e ², por lo que olvidaos el resto de f trabajaos sólo con esta fórula. Y, teniendo en cuenta que la eponencial siepre proporciona resultados estrictaente positivos es negativo en el intervalo (, ), f toa valores negativos en el trao que nos interesa, por lo que está bajo el eje OX. De este odo, el área buscada es (haceos la integral por cabio de variable): t dt d A e d e d e t dt t e e t t e dt e t ( e ) u 4) Considerar el sistea de ecuaciones lineales: ( ) z z z a) Clasificar el sistea según los valores del paráetro. ( punto) La atriz apliada es: A' IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 5

15 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 5 Coo A ( ) ó, se tiene: : A r(a) r(a') Sist. copatible deterinado (solución única). : A' F F La últia ecuación es: Sistea incopatible (no tiene solución). : A' El sistea está triangularizado la tercera ecuación se anula (es cobinación lineal de las dos prieras), por lo que puede supriirse, adeás, no queda ninguna situación de incopatibilidad, coo pasó antes Sistea copatible indeterinado. b) Resolverlo para. (, puntos) Coo a teneos la atriz triangularizada del apartado anterior, procedeos con la segunda ecuación: z, lo que a nos proporciona una incógnita. Sustituendo en la priera: +. Llaando, por ejeplo, t t. Por tanto, las infinitas soluciones son de la fora: ( t, t, ) c) Deterinar, si eiste, el valor de para el que ha una solución en la que z. Calcular esa solución. (,8 puntos) Obligaos, en el sistea inicial, a que z sea solución: ) ( ) ( La atriz apliada es: A' F F El sistea será copatible si, sólo si +, pues, de otro odo, la tercera ecuación será (algo distinto de cero), lo que nos llevaría a ausencia de soluciones. Estudieos la situación resultante de. La transforada de A' tras la anterior operación de filas es: Eliinaos la tercera ecuación nos queda un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas copatible deterinado (la atriz está triangularizada):

16 IES Fernando de Herrera Curso 6 / Segundo triestre Recuperación º Bach CT ª ecuación:. ª ecuación:. Luego, obligando a que z, habrá solución, que será única, si sólo si, la solución es: (,, ). 5) Sean u (,, ), v (,, ) w (,, 4) tres vectores de R. a) Deterinar los valores de para los que los vectores son linealente independientes. ( punto) Los vectores serán linealente independientes si, sólo si ninguno es cobinación lineal del resto. Si situaos sus coordenadas forando un deterinante, la situación anterior se dará si, sólo si el deterinante es no nulo: / 4 Coo eso no puede suceder, los vectores son linealente independientes R. b) Hallar los valores de para los que los vectores son ortogonales dos a dos.(,5p) u v u v (,, ) (,, ) 4 ó. u w u w (,, ) (,, 4), cierto R. v w v w (,, ) (,, 4) + 4, cierto R. En el caso de que ó, ocurren las tres cosas a la vez, por lo que sería la respuesta a lo que nos solicitan. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 5