solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COUNIDD DE DRID PRUEBDE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OFICILES DE GRDO Curso - (JUNIO) TERI: TEÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERLES DE CLIFICCIÓN Después de leer atentaente todas las preguntas, el aluno deberá escoger una de las dos opciones propuestas responder raonadaente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realiación de esta prueba se puede utiliar calculadora cientíica, siepre que no disponga de capacidad de representación gráica o de cálculo sibólico. Caliicación: Cada pregunta se valorará sobre puntos. Tiepo: 9 inutos. OPCIÓN Problea.- (Caliicación áia: puntos) Se considera el sistea de ecuaciones dependiente del paráetro real a: a a) Discútase en unción de los valores del paráetro a. b) Resuélvase para a. a. a ; * a ; * rg rg * n Si el, rg rg * n sistea copatible deterinado. Se discute el tipo de solución para los valores del paráetro que anulan el deterinante de la atri de coeicientes. a a ( a ) a ; a, a Discusión: i. Si a., rg rg * n sistea copatible deterinado. ii. Si a. rg <. rg. estudiar el rango en la atri apliada, si se parte del enor * Para, solo queda un enor orlado por estudiar,, rg * rg, sistea incopatible. b. Para a :, sistea copatible deterinado, la solución se puede obtener por el étodo de Gauss o por el de Craer.

2 étodo de Craer: ; ; a a étodo de Gauss: E E E E E E E E : : 7 : : { : Problea.- (Caliicación áia: puntos) Sabiendo que la derivada de una unción real de variable real es () a) Calcúlese la epresión de () sabiendo que su gráica pasa por el punto (, ). b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto (, ). a. ( ) ( ) d d ( ) ( ) d d, toando integrales en los dos iebros de la ecuación: ( ) ( ) d d La integral la dierencial se anulan entre si: ( ) ( ) ( ) C C d d Para calcular la constante de integración, nos inoran que la unción () pasa por (, ) ( ), C, C ( ) b. En ora punto-pendiente, la ecuación de la recta tangente a la unción () en el punto (, ) es: ( ) ( ) ( ) La ecuación de la recta tangente es: ( ) ó

3 Problea.- (Caliicación áia: puntos) Sean las unciones reales de variable real () g() a) Represéntense gráicaente las unciones g. b) Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráicas de las unciones g. a. Para representar () (parábola), se calcula su vértice los puntos de corte con los ejes. b v Vértice: a : V(, 9) v ( ) 9 OX :. Puntos de corte con los ejes: OY : ( ) : ( ) ( ) (, ) : (, ) (, ) Para representar g() (lineal), se hace una tabla de valores b. El área coprendida entre las unciones () g() es el área coloreada en la igura adjunta, los líites de integración se calculan resolviendo el sistea orado por las dos unciones. Igualación : 7 : ( ) d ( g( ) ( ) ) d ( ) ( ) ( ) 7 7 d u

4 Problea.- (Caliicación áia: puntos) En una bolsa ha cuatro bolas rojas una verde. Se etraen de ora consecutiva sin reeplaaiento dos bolas. Calcúlese la probabilidad de que: a) Las dos bolas sean del iso color. b) La priera bola haa sido verde si la segunda bola etraída es roja. El problea se puede representar ediante un diagraa en árbol. a. p [( R R ) ( V V )] p( R R ) p( V ) b. p ( V R ) V p ( R ) p( R R ) p( V ) p( V V ) p ( V R ) p( R ) p [( R R ) ( V V )] % p p p( V ) p( R V ) [( V R ) ( R R )] p p( V ) p( R V ) ( V R ) p( R R ) p( V ) p( R V ) ( V ) p( R V ) p( R ) p( R R ) ( V R ) % p Problea.- (Caliicación áia: puntos) El tiepo de reacción ante un obstáculo iprevisto de los conductores de autoóviles de un país, en ilisegundos (s), se puede aproiar por una variable aleatoria con distribución noral de edia μ desconocida desviación típica σ s. a) Se toa una uestra aleatoria siple se obtiene un intervalo de coniana (7; 799), epresado en s, para μ con un nivel del 9 %. Calcúlese la edia uestral el taaño de la uestra elegida. b) Se toa una uestra aleatoria siple de taaño. Calcúlese el error áio coetido en la estiación de μ ediante la edia uestral con un nivel de coniana del %. a. Por ser un intervalo de probabilidad, la edia uestral es la edia aritética de los etreos del intervalo s

5 El taaño uestral se calcula a partir de error áio coetido. σ ε á σ α n α n ε á Z se calcula a partir del nivel de coniana. α α α φ, : α φ,9 α Nivel de coniana,9 El error áio aditido se calcula a parir de la aplitud del intervalo. aplitud ε á 9 n,9 9 b. ε á α σ n α α φ, : α φ, α Nivel de coniana, ε á, s

6 OPCIÓN B Problea.- (Caliicación áia: puntos) Una ábrica de piensos para aniales produce diariaente coo ucho seis toneladas de pienso del tipo coo áio cuatro toneladas de pienso del tipo B. deás, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo, por últio, el doble de la abricación de pienso del tipo suada con la del tipo B debe ser coo poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de abricación de una tonelada de pienso del tipo es de euros el de una tonelada del tipo B de euros, cuál es la producción diaria para que la ábrica cupla con sus obligaciones con un coste ínio? Calcúlese dicho coste diario ínio. Variables. núero de toneladas de pienso tipo ; núero de toneladas de pienso tipo B Función objetivo. Coste ínio F, ( ) Restricciones. Una ábrica de piensos para aniales produce diariaente coo ucho seis toneladas de pienso del tipo coo áio cuatro toneladas de pienso del tipo B ; La producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo El doble de la abricación de pienso del tipo suada con la del tipo B debe ser coo poco cuatro toneladas diarias restricciones: Variables no negativas ; Se pide obtener el ínio de la unción F (, ) ; ;, sujeta a las siguientes Región actible. Para deliitar la región actible se toa un punto de prueba se estudia si cuple las dierentes restricciones. Too coo punto de prueba P(, ): (,) Se cuple. La región actible esta de la recta hacia la iquierda. (,) Se cuple. La región actible esta de la recta hacia abajo. (,) No se cuple. La región actible esta de la recta hacia la derecha.

7 (,) No se cuple. La región actible esta de la recta hacia la derecha. Vértices. :, ( ) B (, ) C (, ) D (, ) E : E(, ) Optiación. F(, ) B C D E Cupliendo las restricciones propuestas, se obtiene un coste de abricación ínio de, cuando se producen toneladas de pienso tipo. Problea.- (Caliicación áia: puntos) Sea la atri k a) Estúdiese el rango de según los valores del paráetro real k. b) Calcúlese, si eiste, la atri inversa de para k. a. Si el deterinante de la atri es distinto de cero, el rango de la atri es tres. Se estudia el rango de, para los valores del paráetro que anulan el deterinante de. k : k : k ( k ) k Discusión. i. Si k, rg ii. Si k, rg <. rg b. Para k, ( adj ) t k k 7

8 adj ( ) adj t Problea.- (Caliicación áia: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: ( ) < si si a) Calcúlese el valor del paráetro real para que la unción sea continua en. b) Calcúlense ( ) Lí ( ) Lí a. Para que la unción sea continua en, se debe cuplir: ( ) ( ) ( ) Lí Lí ( ) ( )( ) ( )( ) Lí Lí Lí Lí RUFFINI ( ) ( ) Lí Lí ( ) Igualando: b. ( ) Lí Lí Lí ( ) ( ) Lí Lí

9 Problea.- (Caliicación áia: puntos) Sean B sucesos de un eperiento aleatorio tales que P( B),; P( B ), P(B),7. Calcúlese: a) P( B). b) P(B ). Nota: S denota el suceso copleentario del suceso S. P B P P B P B a. ( ) ( ) ( ) ( ) Para calcular el valor de p(), se utilia la probabilidad de solo (P( B )) P( B ) P() P( B) b. plicando el teorea de Baes: P() P( B ) P( B),,, ( B),,7,, 9 P P P ( ) ( B ) B P( ) ( B ) Suceso solo B, B enos la intersección. P ( ) ( B ) P B P B P( ) P( ) ( ) ( B),7,, P,,, Problea.- (Caliicación áia: puntos) La duración de cierto coponente electrónico, en horas (h), se puede aproiar por una variable aleatoria con distribución noral de edia μ desconocida desviación típica igual a h. a) Se ha toado una uestra aleatoria siple de esos coponentes electrónicos de taaño la edia uestral de su duración ha sido h. Calcúlese un intervalo de coniana al 99% para μ. b) Cuál es la probabilidad de que la edia uestral esté coprendida entre 79 9 horas para una uestra aleatoria siple de taaño si sabeos que μ h? a. Duración de un coponente electrónico en horas. : Nµ, ( σ) Para uestras de taaño, la distribución de edias uestrales tabién tiene un coportaiento noral σ : N µ, por: El intervalo de coniana para la edia poblacional a partir de una edia uestral viene dado El valor critico ( ) α σ, n α α σ n de la estiación se calcula a partir del nivel de coniana ( α,99) α φ, φ (,99), 7 α φ 9

10 ,7,,7 ( 77 ; ) Con un nivel de coniana del 99% se puede estiar que la edia de la duración del coponente electrónico va a estar coprendido entre 77 horas. b. Para : N,, se pide: p 79 77,9 < p,9 < <, 9 N (,) 9,9 ( 79 < 9) ( ) ( <,9 ) p(,9 ) p( <,9 ) p(,9) p( <,9 ) p( <, ) p 9 ( <,9 ) ( p( <,9 )) p( <,9 ),97, 9 p ( 79 < < 9) 9% p