( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) f ( ) ( )( ) [ f ]

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL SEMESTRE 0 - TIPO DURACIÓN MÁIMA.0 HORAS 7 DE MAYO DE 0 NOMBRE Apellido paterno Apellido aterno Nobre (s) Fira Instrucciones: Resolver seis de los siete probleas, lee detenidaente los siete enunciados, este eaen es la deostración de tu aprendizaje a lo largo del seestre, trata de entender y resolver priero los que tienes seguridad en tu conociiento.. Para la siguiente distribución de recuencias: Intervalos de clase [caliicaciones] Clase Frontera inerior Frontera superior Frecuencia absoluta Deterinar la recuencia para el quinto intervalo de clase, si la edia es igual a.8. Adeás, obtener la ediana y la oda. Para obtener la recuencia absoluta o relativa, si se conoce la edia: = = * =.8 i i i i n i = i = entonces para las arcas de clase que es el proedio de cada clase, se tiene: Frontera inerior Frontera superior Frecuencia Absoluta Marca de Clase Frecuencia Relativa Frecuencia Acuulada Absoluta Frecuencia Acuulada Relativa i i * = n = n + tabién se sabe que la sua de la recuencia relativa debe ser igual a uno, entonces: [ ] PYE_ EF_0-

2 = = = * i i= n i= i = [ 6 6 ] [ ] n = n + por lo tanto = 8 n= 0 La ediana, es el valor que divide a la distribución en dos partes iguales, entonces: Fronteras Frecuencia Acuulada Relativa Mediana y y interpolando en la clase ediana: = + y y sustituyendo: = La oda es la abscisa con ayor recuencia absoluta o relativa, entonces: a o = 3 o bien o = L + c o_in o a+ b a = o o b = o o+ : recuencia absoluta de la clase que contiene a la od a. o co : Longitud de la clase que contiene a la od a. LMo _ in : Líite in erior de la clase que contiene a la od a ( 7 ) o = + = Según una revista internacional, con base en sus estadísticas, de cada 00 niños que nacen 30 tienen aptitudes para el atletiso y de cada 0 niñas 0 la tienen. Si en un deterinado país, donde la población está copuesta por el 6% de hobres y el resto de ujeres. Se elige una persona al azar, calcular la probabilidad de que: a) Sea apta para el atletiso. b) Sea ujer, apta para el atletiso. c) Sea hobre dado que no es apto para el atletiso. Sean los eventos que representan: A = persona apta para el atletiso M = Datos: { } { Una ujer de ese país} P( M ) = 0. P( M ) = P AM = 0 P AM = PYE_ EF_0-

3 a) La probabilidad de que se seleccione a una persona apta para el atletiso, entonces P( A) = P( M) P( A M) + P( M) P( A M) 3 P( A) = = b) Se sabe que es una persona apta para el atletiso, la probabilidad de que sea ujer, entonces por el Teorea de Bayes se tiene: P M A P( M) P( AM) + P( M) P( AM) = P M P AM ( 0.) P( M A) = c) Sea hobre dado que no es apto para el atletiso, entonces por el Teorea de Bayes se tiene: 7 P( M) P( AM) ( 0.6) P( M A) = = = 0.8 P A Se sabe que es la variable aleatoria que representa al núero de personas que entran diariaente en un alacén, se distribuye de anera aproiadaente noral. Tabién se conoce que la probabilidad de 0.8 es que entren enos de 7 clientes y la probabilidad de 0.38 que entren entre 7 y 80 clientes, deterinar la edia y la varianza de la población. Sea la variable aleatoria que representa al núero de personas que entran diariaente en un alacén, se distribuye de anera aproiadaente noral. ~ Noral (, ) Del enunciado, se tiene: P( 7 < < 80) = 0.38 tabién P( < 7) = 0.8 entonces 7 µ µ 80 µ 80 µ 7 µ P( 7 < < 80) = P < < = Fz Fz = = 0.38 de tablas de la distribución acuulativa noral estándar con 0.8 y µ 80 µ Z0 = = 0. y Z = =.76 se tiene un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas, resolviendo dicho sistea: µ = 7.36 y = 3.8 = ( 3.8) la edia y la variancia de la población. PYE_ EF_0-3

4 . La recta de regresión lineal dada por y = + de deterinación, concluir sobre el valor obtenido. y con SS = y SS =, calcular el valor del coeiciente Coo el coeiciente de deterinación se utiliza coo edida de eicacia de la regresión se deine por: SS y R = SS SS del enunciado, se sabe que y = + y con SS = y SS =, adeás, ˆ β0 =, ˆ β =, SS y = por lo que SS y r = = SS SS 36.78% del resultado anterior, se puede observar y concluir, que el coeiciente de deterinación es uy bajo, por lo que se considera que el odelo lineal no es nada bueno para estiar a y en térinos de.. Supóngase que una tienda de abarrotes copra cinco envases de leche descreada al precio de ayoreo de $.00 por envase y la vende a $6.0 por envase. Después de la echa de caducidad, la leche que no se vende se retira de los anaqueles y el tendero recibe un crédito del distribuidor igual a tres cuartos del precio de ayoreo. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, el núero de envases que se venden de este lote es: ( ) Deterinar la utilidad esperada. Sea la v.a. que representa en núero de envases de leche que se venden. El valor esperado de venta es: E = 3 6 E = = La utilidad se plantea coo: 3 U = 6. ( ) + ( )( ) U = ( ) U = U = 7. Aplicando valor esperado, se tiene: EU = E( 7. ) = 7.E 6 E ( U ) = 7. = 8 pesos 3 PYE_ EF_0-

5 6. El tiepo total, en horas, que un estudiante de ingeniería peranece en un salón de clase está deinido por la variable aleatoria, adeás, sea Y la variable aleatoria que representa el tiepo que el estudiante espera en el salón para que llegue su proesora y sea Z la variable aleatoria que representa el tiepo de eposición de la clase = Y + Z, la unción de densidad conjunta está dada por: de Estadística Y ke ; 0< y< <, = ( y) a) Obtener el valor de k que hace válida la unción de densidad conjunta. b) Calcular las unciones arginales de densidad. c) Son variables aleatorias conjuntas estadísticaente independientes? justiicar su respuesta. Sea la v.a. que representa el tiepo total desde que el aluno llega al salón. Sea Y la v.a. que representa el tiepo que el aluno espera a que llegue la aestra para eponer. Sea Z la v.a. que representa el tiepo de eposición de la aestra. Y ke ; 0< y< <, = ( y) a) Se pide calcular k para que la unción sea de densidad de probabilidad, entonces: Y k e, y dyd = dyd = 0 0 k ye d = 0 0 k e d = k e e = 0 0 k 8 8 e e ( ) = k 8 8 e e + = k 7 8 e = k.0 = [ ] k = Por lo tanto la unción está dada por: PYE_ EF_0-

6 Y e ; 0 < y< <, = ( y) b) Las unciones de densidad arginal, se deinen coo: sustituyendo: = (, ) (, ) y dy Y = e dy = ye = e 0 0 Y y = Y y d e ; 0 < < = y 8 Y ( y) = e d= 0.806( ) e =.6 e =.6 e +.6e y y y y Y ( y) =.6 e e 8 Y ( y) y 8.6 e e ; 0 < y< = 0 ; en otro caso c) Para ver si son variables aleatorias conjuntas independientes, se sabe que: y, = y Y Y sustituyendo: y e e.6 e e Se concluye que no son variables aleatorias conjuntas independientes. 7. Se sabe que los sueldos seanales de los trabajadores de una epresa están distribuidos noralente con una edia de $ Se toa una uestra aleatoria de trabajadores y se encuentra que hay una probabilidad de 0.0 de que la edia uestral eceda los $ a) Calcular la desviación estándar de los sueldos seanales. b) Deterinar la probabilidad de que un sueldo seanal elegido al azar eceda los $ a) Sea la variable aleatoria que representa los sueldos seanales de los trabajadores. ~ ( = 800, ) Noral se tiene n= por el teorea del líite central, se tiene: Noral = = 800, = = n PYE_ EF_0-6

7 µ P( > 866) P > = PZ > = 0.0 n entonces: ( > 866) P( < 866) P = = 0. = 0.0 de tablas de la distribución acuulativa noral estándar, se tiene: Z 0 66 =.6 = 66 = = 00.6 b) Se pide calcular la probabilidad de que un sueldo seanal, elegido aleatoriaente sea ayor, por lo que: Noral ( = 800, = 00) ~ µ P ( > 770) P > = PZ ( > 0.) = PZ ( <0.) = 00 = F 0. = 0.0 = 0.6 Z PYE_ EF_0-7