UN MODELO DE SIMULACIÓN ESTOCASTICA PARA LA ESTIMACIÓN DE ESCAÑOS

Transcripción

1 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS Félix paricio 1. Introducción El objeto del presente artículo es desarrollar un odelo teórico que perita realizar estiaciones de los escaños obtenidos por los distintos partidos y agrupaciones políticos en los procesos electorales. Estas estiaciones se basan en los resultados de encuestas prefectorales, y éstas no son objeto de estudio aquí, es decir, suponeos dados los resultados de una encuesta fiable a nivel provincial. La principal ventaja del odelo que se expondrá a continuación es que se basa en una siulación estocástica y perite, por tanto, todo tipo de cálculos probabilís ticos, tales coo intervalos de confianza, probabilidades condicionadas, etc., tal y coo se verá en los ejeplos del apartado tercero. En cabio, no se puede esperar del odelo que supla las deficiencias de la encuesta preelectoral en la que se basa. Si las estiaciones de voto de los partidos dentro de cada provincia o división electoral son poco exactas, los resultados no serán fiables. 2. Planteaiento del odelo Se considera un conjunto de I divisiones electorales. En el caso español 1 = 52 (50 provincias ás Ceuta y Melilla). RÍS 39/87 pp

2 FÉLIX PRICIO Supongaos ahora una de esas divisiones electorales, la núero. En esta división electoral se presentarán a las elecciones n partidos políticos. Sea Tii un estiador insesgado de la proporción de votos que obtendrá el partido i, i=l,2 y, n. Sea N* un estiador insesgado del núero de votos que se eitirán en esa división electoral. Se trata ahora de estabiecer una hipótesis razonable sobre la distribución conjunta del núero de votos de cada partido. En una priera aproxiación se podría suponer noralidad en la distribución de los estiadores TC. La edia y varianza de estas distribuciones norales serían estiables. Multiplicando por el núero de votantes (suponiendo éste constante) tendríaos la distribución arginal del núero de votos a cada partido, ahora bien, no parece fácil hallar su distribución conjunta. Otro enfoque, que es el que utilizareos aquí coo hipótesis de trabajo, es que, dados los estiadores TC, la distribución del núero de votos a cada partido es ultinoial, M n (N*, TCi,..., 7C,..., TC M ). Una posible justificant ción teórica es que se supone conocida la proporción de votos a cada partido, pero el núero total de votos puede fluctuar debido a causas aleatorias «seejantes» a las que influyen en la extracción con reeplazaiento de bolas de distintos colores en una urna cuando la proporción de bolas de cada color es fija y conocida. Este esquea de urna da lugar a la distribución ultinoinal. Si llaaos a esta distribución ultinoial, su función de probabilidad será: N*! u h n i! K\ Si =N* 0 En otro caso. Por consiguiente, su edia y su atriz de covarianzas serán: N* TCi N* TZi N* TZ n N*7C (l-7ci) N*TZ n (1-7 Ttl 226

3 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS hora bien, coo es sabido (véase Craer, pp ), la distribución ultinoial corregida converge en ley a una noral ultidiensional en los térinos siguientes: onde r es una variable aleatoria noral ultivariante con los siguientes paráetros: onde r ^ N n [(0,...,0) r = I n -7c Por I M representaos la atriz identidad de orden n. La aproxiación es buena, pues en cualquier división electoral N* es un núero elevado. Se trata ahora de generar vectores aleatorios que sigan la distribución de r \ para cada uno de estos vectores aleatorios hareos la repartición de escaños correspondiente (en el caso de España esto se haría aplicando la ley 'Hont); si, por ejeplo, el vector es el (vi,..., Vi,...,# ) T, repartios los escaños coo si el partido 1 hubiera obtenido v\ votos, etc.; el n hubiera obtenido v n votos. Supongaos que en esa isa provincia o división electoral generaos p de esos vectores aleatorios, tendreos entonces p reparticiones de escaños, pero, coo algunas se repetirán, tan sólo tendreos k ^p reparticiones distintas, cada una con su frecuencia relativa de aparición. ) istribución de escaños Frecuencia relativa 227

4 FÉLIX PRICIO Con 2 /; = Se toan entonces estas f coo probabilidades de obtener la correspondiente repartición de escaños en la provincia *. :. r El problea ahora es cóo generar vectores aleatorios que sigan la distribución noral ultivariante rj. En el apéndice 1 se explica la fora de hacer esto. Una vez generados estos vectores se procede así: Para cada vector u = (ui,...,u n ) T que siga la distribución noral se despeja U^N n (O, I» -7f7t r ) Vi N* 7Ui -=«í=l,...,«w e donde í* TZi + N* TZi /=1,...,» Vereos ahora cóo obtener la estiación de escaños a nivel nacional. Sean las I divisiones electorales y sean las distribuciones de escaños para cada división electoral, con frecuencias relativas correspondientes F, es decir: h k h Estableceos la hipótesis de que las distribuciones de escaños en las distintas divisiones electorales son estadísticaente independientes entre sí; esta hipótesis parece ás que razonable dado que los escaños en cada división electoral se distribuyen exclusivaente en base a los votos de esa división. Se procede coo sigue: se generan p vectores aleatorios, w\..., w p, cada uno de ellos de diensión I. Las coponentes de cada uno de estos vectores han de ser independientes entre sí y wi seguirá la distribución F de \ i=l y..., I. Es decir, en cada división electoral i se siula la distribución de escaños l con probabilidades 228

5 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS F (en el apéndice 2 se explica cóo hacer esto); se obtiene, así, para cada vector aleatorio w 1 y para cada división electoral I, una distribución de escaños. Suando en las divisiones electorales obtendreos, para cada vector aleatorio w\ j=l,..., p, una distribución de escaños a nivel nacional; se obtendrán, por tanto, p distribuciones de escaños a nivel nacional, pero habrán algunas que se repitan, con lo que sólo tendreos h^p distribuciones de escaños a nivel nacional, a las que llaareos 1,...,0^; cada una tendrá su frecuencia relativa de aparición J\,...,//,. istri. esc. nacional Frecuencias relativas fu,fh Se puede toar coo distribución de escaños estiada a nivel nacional a las ás probable de las, es decir, a la oda de la anterior tabla o, en otras palabras, a Las ventajas de este étodo sobre los clásicos son las isas ventajas de la siulación estocástica, es decir, que se trabaja con las distribuciones a posteriori, en vez de toar edias a priori, pues esto últio introduce sesgos notables y resta todo valor probabilístico a los resultados. En el apartado 3 de ejeplos se ven algunas de las uchas posibilidades del odelo. Este procediiento aún no ha sido prograado en ordenador, debido a que los prograas serían uy laboriosos de realizar no por dificultades técnicas, sino por la gran cantidad de detalles a tener en cuenta. Conviene insistir en el hecho de que este odelo no puede suplir las deficiencias de una encuesta que proporcione alas estiaciones de voto, tan sólo ejora las conclusiones que se pueden obtener sobre el reparto final de escaños, añadiendo a éstas todo tipo de cálculos probabilísticos. Se sugiere a cualquier persona interesada en prograar el étodo que no prograe sino hasta la obtención de los J y los 7 -, pues su posterior explotación (cálculo de edias, tablas, etc.) se puede llevar a cabo con ayuda de cualquier paquete de prograas de uso estadístico, tales coo el BMP, el SPSS, el SS o cualquier otro de los uchos disponibles en el ercado. 229

6 FÉLIX PRICIO 3. Ejeplos Coo el odelo no ha sido aún prograado en ordenador, los ejeplos que vienen a continuación son puraente teóricos y sirven tan sólo para aclarar qué tipo de conclusiones se pueden obtener. Supongaos que, en unas elecciones a las que concurren cuatro partidos políticos,, B, C y, se reparten 350 escaños y que, al aplicar el odelo descrito, la distribución a posteriori es coo sigue: istribución i Frec. relativa 1/8,.,1/8 Por siplicidad en los cálculos heos supuesto que todos los / =l/8, en la práctica esto no sería así. continuación poneos cada. B C BC BC BC B C BC BC BC En un caso práctico habría ás de ocho distribuciones finales de escaños, lo que peritiría afinar ás los resultados. Veaos, en prier lugar, cuáles serían las distribuciones arginales de escaños de cada partido. irectaente de las tablas anteriores: 230

7 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS Partido Escaños Probabilidad B /8 = P( 3 ) + P( 8 ) 2/8 = P( 4 ) + P( 7 ) 2/8 etc. 3/8 2/8 2/8 Podeos estiar los escaños que obtendrá cada partido por la edia a posteriori: Escaños (il)=174 2/ / /8 = 175,6 nálogaente, Escaños (B) = 98,5 Escaños (C) = 50,l Escaños () = 25,7 La anterior estiación de escaños de se redondea a 176, que constituyen ayoría absoluta, pero ésta parece un poco ajustada; así, pues, podeos 231

8 FÉLIX PRICIO preguntarnos cuál es la probabilidad de que obtenga esta ayoría absoluta. La respuesta es fácil: P [Escaños ()> 175] = P (i) + P ( 2 ) + P ( 5 ) + P ( 6 ) = 4/8 = 1/2 O sea, que esta ayoría absoluta no está tan clara. Tabién podeos obtener un intervalo de confianza para los escaños de, coo P [Escaños {) E {175,176,177}] =5/8 = 0,625 resulta que el intervalo [175,177] es un intervalo de confianza para los escaños de al 62,5 por 100. Naturalente, en la práctica tendríaos ás distribuciones y podríaos construir intervalos de confianza al 90 por 100, al 95 por 100, etc. Tabién podeos obtener distribuciones bidiensionales de escaños; por ejeplo: <175 5*176 3? 99 2/8 3/8 2/8 1/8 4/8 4/8 5/8 3/8 partir de esta tabla se deduce, por ejeplo, que es poco probable (1/8) que abos partidos obtengan siultáneaente uchos escaños; éste es un resultado lógico, pero el odelo nos perite cuantificario. Tabién podríaos, a partir de una tabla coo la anterior, contrastar la hipótesis de que los escaños de un deterinado partido X son independientes de los de otro partido Y. Otra posibilidad es el cálculo de probabilidades condicionadas; por ejeplo, podeos calcular la probabilidad de que obtenga ayoría absoluta condicionado por que JB obtenga 100 o ás escaños; esta probabilidad será: P [Escaños (i4)>175 / Escaños (B)^100] = = P [{Escaños (,4)>175}n {Escaños (B)^100}] 1/8 P [Escaños (JB)>100] 3/8 =1/3 es decir, una probabilidad reducida, coo es lógico. Las posibilidades son ucho ayores; se pueden hacer todo tipo de cálculos probabilísticos, los que heos visto sólo pretenden servir de ejeplo. 232

9 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS PÉNICE 1 ntes de coenzar la descripción de cóo se generan los vectores norales conviene hacer notar que la distribución ultinoial es singular. En efecto, = ( i,..., n ) T es tal que tn K con probabilidad 1. deás, 75, la noral que aproxia a, tabién es singular (véase Craer, p. 481); por tanto, coo nos va a hacer falta que la atriz de covarianzas de la noral ultivariante sea definida positiva, trabajareos sólo con las n l prieras coponentes de. Esto no supone ningún problea, pues una vez obtenido el vector aleatorio que sigue la distribución de ( 1,..., n -i) r, al que llaaos (vi,...,v n -i) r, la últia coponente v n se obtiene así: luego... +V n -l + Vn =N* tn Vn =N* Vi... V n -1 tn Por tanto, el problea es generar vectores aleatorios norales w=(u\ >..., u n -i) r que sigan la distribución: tn con u^n n _i(o r,l _,- * rc r ) tn Esta noral ya no es singular. Para generar vectores aleatorios según una distribución noral ultivariante no singular se procede así: Sea la noral Z y N N r ( t, 2) 1. Por ser 2 siétrica y definida positiva, existe T atriz triangular inferior tal que J] = T T r. 2. Sea $^ -N r (0, I r ), la distribución de = T $ es noral, por ser función lineal de una noral, su edia es 0 y su atriz de covarianzas es 233

10 FÉLIX PRICIO = T COV($) T T = T I T T = T T r = 2 Es decir, basta con generar r núeros aleatorios norales N(0,l) independientes, y al vector $ forado por ellos se le preultiplica por T, con ello habreos generado de una noral N r (0, 2); s * ahora suaos x tendreos la variable. hora bien, nos quedan dos puntos por aclarar: ) La generación de los núeros norales. B) La descoposición S = T T T. La priera de estas cosas es sencilla; existen uchos étodos para generar núeros norales (véase Rubinstein, pp ), uno de los ás siples y eficientes es el siguiente: Se generan 12 núeros aleatorios unifores en el intervalo [0,1] e independientes, les llaareos y\,...,yn. En virtud del teorea central del líite (TCL), la sua de estos 12 núeros tipificada se parecerá a una variable aleatoria N(0,l); se coprueba en la práctica que la aproxiación es razonableente buena para 12 núeros. En concreto, teneos: 12 S i= 1i y% ] i T 12 i 2 y,-12- V12 (1-0)/ 12 sí, pues, basta con suar los 12 núeros unifores y a su sua restarle la constante 6. su vez, para generar núeros unifores en el intervalo [0,1] se puede eplear cualquier étodo; la ayoría de ordenadores disponen de subrutinas del sistea a este efecto; de todas foras, en el apéndice 3 está escrita una subrutina Fortran que lo hace. La respuesta a la parte B) es que se pueden eplear diversos étodos, de ellos expongo a continuación el algorito de la raíz cuadrada (véase Naylor, p. 117, o Rubinstein, pp ). Sea % = (<3ij)rxr, 2 siétrica y definida positiva, hacer: 1. ) 234

11 UN MOELO E SIMULCIÓN ESTOCSTIC PR L ESTIMCIÓN E ESCÑOS 2. ) y, para cada / fijo 2 t '//= 1/ //- jk \ k=i PÉNICE 2 Se trata ahora de ver cóo se siula la distribución de escaños \ k con probabilidad F = Sean s,= /*' es decir, 5t=/i' 5* =/,'+ +/* '=1 Basta con generar un nuevo aleatorio unifore en [0,1] (véase apéndice 3), sea y este núero. Se toa entonces j coo distribución de escaños siulada en la provincia i si se verifica: 235

12 FÉLIX PRICIO PÉNICE 3 La siguiente subrutina Fortran es un étodo congruencial ultiplicativo para generar núeros unifores en el intervalo [0,1]- FUNCTION RN (IX) INTEGER*4,P,IX,B15 ) B16,XHI ) XLO,LEFTLO ) FHI,K T /16807/,B15/32768/,B16/65536/,P/ / XHI = IX/B16 XLO = (IX-XHI*B16)* LEFTLO=XLO/B16 FHI = XHI*LEFTLO K = FHI/B15 IX = ((XLO-LEFTLO)*B16)-P)+(FHI-K*B15)*B16)+K IF(IX.LT.0)IX = IX + P RN = FLOT (IX) M E-5 RETURN EN Si se trabaja en 32 bits, la constante E-5 ( = l/2 16 ) ha de ser sustituida por E-10 ( = l/2 32 ). BIBLIOGRFÍ CRMER, H.: Métodos ateáticos de estadística, guilar, Madrid, RUBINSTEIN, Reuven Y.: Siulation and the Monte Cario Method, Wiley, NYLOR y otros: Técnicas de Siulación en Coputadoras, Liusa, México. F.,

13 CRITIC E LIBROS