Determinación de la carga específica del electrón: experimento de Brainbridge

Transcripción

1 Deterinación de la carga específica del electrón: experiento de Brainbridge Franchino Viñas, Sebastián f ranchsebs@yahoo.co.ar Grupo Hernández Maiztegui, Francisco f ranx18@hotail.co Muglia, Juan Panelo, Mauro Salazar Landea, Ignacio juanchou@hotail.co auropanelo@yahoo.co.ar peznacho@gail.co Dto. De Física - Facultad de Cs. Exactas - Universidad Nacional de La Plata Resuen En 1897, J. J. Thoson realiza un experiento que deuestra la naturaleza corpuscular de los rayos catódicos, deterinando la relación existente entre la carga e de las partículas (hoy llaadas electrones) y su asa. En el presente trabajo, utilizaos un étodo basado en el de Brainbridge [1] : aceleraos inicialente los electrones ediante una diferencia de potencial, y luego, ediante un capo agnético, lograos que recorran una circunferencia cuyo diáetro podeos edir. A partir de la relación existente entre estas agnitudes, deterinaos e = ( 1, 78 ± 0, 06) 1011 C, que no difiere del actualente aceptado e = ( 1, ± kg 0, ) C [] kg. 1. Introducción Al establecer una gran diferencia de potencial entre dos placas etálicas ubicadas dentro de un tubo de vacío, Plücker observó en 1858 [3] rayos luinosos que se dirigían del cátodo al ánodo: de aquí proviene el nobre de rayos catódicos que ellos recibieron. Dichos rayos fueron uno de los principales teas de estudio durante el resto del siglo XIX, y no fue hasta 1897 que se descubrió que en realidad se trataba de una corriente de partículas. Fue J. J. Thoson quien ese año deterinó la relación entre la carga y la asa de las partículas que constituían los rayos catódicos, y en consecuencia deostró la existencia de tales partículas. Su experiento (que le valió el preio nobel en 1906), se basaba en desviar los rayos utilizando un capo eléctrico, para luego aplicar un capo agnético que contrarrestara la acción del priero. El valor que obtuvo en dichas experiencias fue e = ( 1, 77±0, C 01)1011, donde e es la carga de la partícula kg y la asa de la isa. En 1898, Lennard utilizó la isa idea que Thoson para deterinar la relación carga-asa de las partículas eitidas en el efecto fotoeléctrico. Sin ebargo, el dispositivo que usó se basaba en observar el oviiento circular que realiza una carga cuando se encuentra en una región del espacio donde hay un capo agnético unifore. Actualente es aceptado que los rayos catódicos son una corriente de electrones, cuya luinosidad se debe al choque de ellos con los átoos presentes en el iperfecto vacío realizado. Adeás, los últios experientos han arrojado un valor e = ( 1, ± 0, ) 1011 C kg El diseño que en este trabajo utilizaos para deterinar la relación entre la carga del electrón y la asa del iso ( e ), si bien parecido al de Lennard, se basa en uno de Brainbridge[1]. Generando una diferencia de potencial V entre dos placas etálicas, aceleraos electrones para que ingresen con velocidad constante en una zona donde sólo hay un capo agnético B unifore y un gas a baja presión. Una vez allí, los electrones describirán una circunferencia cuyo radio se encuentra deterinado por e, V y B. []. 1

2 1.1. Fundaentos Físicos Moviiento de una carga en un capo eléctroagnético Considereos dos placas etálicas, una a un potencial eléctrico nulo y la otra a uno V > 0. Si liberaos una partícula con carga q < 0 y asa sin velocidad inicial en la priera placa, observaos que se dirige hacia la placa de potencial positivo. Una vez que llega a esta, su energía potencial eléctrica disinuye en un valor igual al que auenta su energía cinética: q V = v (1) Utilizando algún dispositivo, podeos lograr que la partícula no ipacte en la placa de potencial positivo, y continúe su caino con la isa energía cinética. Adeás, supongaos que en la nueva región donde circula no hay un capo eléctrico, pero sí uno de inducción agnética unifore B 0 perpendicular a la velocidad. La partícula sentirá en este caso una fuerza relacionada con el capo B, su velocidad v y su carga q: F = q v B () Basándonos en dicha ecuación, deducios que la fuerza será en todo instante de tiepo perpendicular a la velocidad, o equivalenteente, que la partícula describirá una circunferencia de radio R en el plano perpendicular al capo agnético. Es inediato relacionar esa fuerza con la aceleración centrípeta de la partícula: F = v R = q v B = v = q B R (3) Reeplazando finalente este resultado en la ecuación (1) obteneos una relación entre la carga y la asa de la partícula, de acuerdo a los valores de V, B y R: q V = ( q B R ) = q = V B R (4) Cálculo del capo agnético inducido por una espira por la que circula una corriente estacionaria En 180, Jean Baptiste Biot y Félix Savart encuentran una ley que vincula una pequeña porción d l de un hilo conductor por el que circula una corriente estacionaria i, con el capo agnético d B inducido por ella en un punto dado. Si llaaos r al vector con origen en la porción de cable toada y extreo en el punto donde se busca evaluar el capo, la ecuación es la siguiente [4] : d B = µ 0 i d l r r 3 (5) En especial, para el caso de un espira circular de radio a situada en el plano xz por la que circula una corriente estacionaria i, se cuple: B (x, y, z) = espira µ 0 i d l r r 3 (6)

3 Figura 1. Espira por la que circula una corriente estacionaria. Dicha integral es fácil de evaluar en un punto de coordenada b en el eje de la espira, ya que la sietría que se observa en la Figura 1 sugiere acertadaente que el capo inducido tendrá una sola coponente, B y en la dirección del eje y: B y (b) = espira d B sin θ = espira Bobinas de Helholtz µ 0 = B y (b) = µ 0 i d l r r 3 sin θ = µ 0 i a r 3 = µ 0 i r sin θ d l = µ 0 espira i sin θ r π a i a (b + a ) 3/ (7) Un dispositivo apliaente utilizado es el que se uestra en la Figura : dos bobinados circulares idénticos de N vueltas, separados por una distancia igual a sus radios y por los cuales circula la isa corriente (en el iso sentido). El principal beneficio de este arreglo es la uniforidad del capo agnético que se logra en los puntos cercanos al eje de las bobinas. Es fácil calcular el capo agnético en el punto del eje y equidistante a abas bobinas, teniendo en ente la ecuación (7) con b = a y la linealidad al suar los capos producidos por las dos bobinas: B y,eje = N µ 0 i a (b + a ) + N µ 0 3/ i a ((b a) + a ) = N µ 0 i a 3/ (5/4) 3/ (a ) 3/ (8) Tabién es posible deostrar que sólo la coponente y del capo entre las bobinas es no nula (ver el Apéndice 1). Figura. Bobinas de Helholtz. 3

4 . Dispositivo y Procediiento Experiental Para deterinar la carga específica del electrón utilizaos un dispositivo arca Pasco, odelo SE-9638, que consta básicaente de los siguientes coponentes: un par de bobinas de Helholtz, una escala ilíetrada en la parte posterior de estas, un tubo en el que se encuentra un cañón de electrones, una fuente para suinistrar corriente a las bobinas, otra para generar el voltaje de aceleración (V 0 ) y una últia para calentar el filaento del que se desprenden los electrones. En su conjunto, perite edir el diáetro de la circunferencia que recorren los electrones liberados por el cañon cuando circulan por una región donde hay un capo agnético unifore. Las bobinas de Helholtz utilizadas, tienen un radio y una separación de (15, 0 ± 0, 1) c, y están ubicadas de fora tal que uno observa en una dirección aproxiadaente paralela a sus ejes. A su vez, cada una cuenta con 130 vueltas. Por ellas circula una corriente deterinada por la aplicación de una diferencia de potencial, coprendida entre 6 y 9 V, gracias a una fuente de tensión PASCO SF Por otra parte, la escala ilietrada se encuentra en el fondo de la bobina trasera. Ella es espejada, de anera que al observar alineados al haz de electrones con su iagen en la escala del espejo, se pueda edir el radio de la trayectoria sin error de paralaje. En sintonía con ello, utilizaos una ira cilíndrica apoyada sobre un pie, que enganchado a una pista, peritía el oviiento paralelo al plano de las bobinas. Figura 3. Cañón de electrones. El funcionaiento del cañón de electrones (ver Figura 3 ), se basa en calentar un filaento que se encuentra en el cátodo para eitir electrones. Dicho calentaiento, se logra aplicando una diferencia de potencial alterna no ayor a 6,3 V ediante la isa fuente que conectaos a las bobinas. Por otra parte, los electrones son acelerados por la diferencia de potencial (voltaje de aceleración) aplicada entre el cátodo y el ánodo: esta es generada por una fuente PASCO SF-9585 y se encuentra en el rango de 150 y 300 V. El grid (o rejilla de control) se coloca a un potencial positivo respecto del cátodo y negativo respecto del ánodo, ayudando a enfocar el haz de electrones. Figura 4. Tubo que contiene helio a baja presión. 4

5 El cañón de electrones descripto se encuentra en un tubo que contiene helio a una presión de 10 Hg, y unos platos deflectores cercanos a dicho cañón (ver Figura 4 ). El haz de electrones deja un rastro visible en el tubo, dado que se producen choques de algunos electrones contra átoos de helio: los electrones de estos, son excitados e irradian luz visible cuando vuelven a su estado fundaental. Debido a ello, la figura que fora el haz no es una circunferencia perfecta, sino que a edida que la recorreos desde su naciiento en el ánodo hacia el cátodo, auenta ligeraente su curvatura a la vez que se vuelve difuso, coo se observa en la Figura 5. Figura 5. Figura que foran los rayos catódicos. El cabio en la curvatura ha sido exagerado. Por últio, evitaos una intensidad luínica innecesaria en la sala y utilizaos una anta negra sobre el dispositivo para poder observar el fenóeno con ayor detalle: variando los voltajes con los cuales se aceleran los electrones y la corriente que circula por la bobina, obteneos distintos radios de circunferencia. Cada terna de datos deterina un valor para la carga específica del electrón. 3. Resultados y Discusión Para las edidas de corriente y diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo obtenidas, consideraos una incertidubre igual a la resolución de la fuente utilizada: 0, 01A y 0, 1V respectivaente. Para el diáetro D (ver figura 5) estiaos unos 4 de incertidubre, debida a los probleas expuestos en la sección anterior. Para cada una de las edidas realizadas usaos la ecuación (4), en conjunto con la (8), para deterinar la relación e, cociente entre la carga y la asa del electrón. La incertidubre correspondiente a cada valor resulta de la propagación de incertidubres ediante el étodo de derivadas parciales. Con esas consideraciones, toaos un proedio de los valores conseguidos, y le asignaos una incertidubre igual a ( e )1 = σ1 + áx,1, dependiente de la desviación estándar σ de la serie de valores y la áxia incertidubre asociada a un valor de la serie ( áx,1 ): ( e ) 1 = ( 1, 8 ± 0, ) C kg La incertidubre relativa correspondiente a este valor es de 11 %: la isa no proviene fundaentalente de la dispersión de los datos, ya que σ 1 = C kg ientras que áx,1 = 1, C kg. Otra anera de deterinar el valor linealente a V con (B D) : e, resulta de considerar la siguiente función que vincula 8 V = e (B D) Con los datos experientales deterinaos los valores (BD) y 8 V y las correspondientes incertidubres, para luego graficar los segundos en función de los prieros. En el Gráfico 1, se puede observar el ajute con errores pesados de una función lineal a los puntos así obtenidos. 5

6 Gráfico 1. Datos deterinados de 8 V en función de (B D) y su ajuste lineal a x + b. El resultado de dicho ajuste es: a = (1, 78 ± 0, 06) b = (0 ± 50) V reduced χ = 0, Gracias a este étodo, el valor obtenido es a la vez ás exacto y preciso que el anteriorente deterinado ( ) e : 1 ( e ) = ( 1, 78 ± 0, 06) C kg Coparando los valores obtenidos con e = ( 1, ± 0, ) 1011 C [] kg, hoy en día considerado válido, es evidente que gozan de una buena exactitud. Sin ebargo ( ) e es ás preciso que ( ) e. Ello se debe sipleente a que en el segundo étodo realizaos un ajuste pesado: no 1 casualente la incertidubre allí obtenida es del orden de la desviación estándar σ 1 de los datos. Es lógico entonces toar coo ejor valor a ( ) e. La exactitud en la deterinación de e no era esperada, debido a que los electrones pierden energía cinética en las colisiones con los átoos de helio, o equivalenteente, recorren una circunferencia de radio que disinuye con el tiepo. Intentando disinuir el efecto relativo de las colisiones, utilizaos siepre valores altos para el voltaje de aceleración y corriente a través de las bobinas. Adeás, un cálculo detallado del capo agnético en la región entre las bobinas, deuestra que el iso no es unifore. Para los radios de los círculos con los que trabajaos, el capo es ayor que en el punto situado en el eje a igual distancia de las bobinas, coo se observa en el Apéndice 1, Parágrafo 5.1. Esto contrarresta el no tener en cuenta la pérdida de energía de los electrones. Por últio, creeos que sería conveniente disponer de un ecaniso para variar la presión del helio en el interior del tubo, con el fin de evaluar el verdadero efecto de las colisiones. Adeás, incluir una hoja ilietrada en reeplazo de la regla para edir los diáetros de la circunferencia, peritiría un C kg 6

7 análisis ás detallado de la figura forada y, consecuenteente, una ejor copresión de la influencia de las colisiones y la no uniforidad del capo agnético en el experiento. 4. Conclusiones El valor deterinado ediante el étodo de Brainbridge para la relación entre la carga y la asa del electrón e = ( 1, 78 ± 0, 06) 1011 C kg, resulta ser exacto a juzgar por el valor que, según Eisberg [], es actualente aceptado: ( 1, ± 0, ) C kg. A su vez, la incertidubre de 3 % conseguida, es realente pequeña si teneos en cuenta las hipótesis que planteaos para realizar la deterinación. Finalente, convendría tener un control sobre la presión del helio en el interior del tubo, buscando analizar la influencia de las colisiones en los resultados que se obtienen. 5. Apéndice 1: El capo agnético inducido por las bobinas de Helholtz Intentaos calcular el capo agnético en el punto P = (0, y, h). La espira que se encuentra en el plano xz (Figura 6 ), y por la que circula una corriente estacionaria i, puede paraetrizarse ediante la ecuación de una circunferencia. Gracias a ella podeos deterinar d l 1 y r 1 : l1 = (a cos θ, 0, a sin θ) = d l 1 = ( a sin θ, 0, a cos θ) d θ r1 = P l 1 = ( a cos θ, y, h a sin θ) Figura 6. Cálculo del capo producido por dos espiras. El capo inducido por un pequeño pedazo de la espira en el punto P, lo podeos calcular ediante la ley de Biot-Savart (ecuación (5)): d B 1 = µ 0 i i d l 1 r 1 r 1 3 = µ 0 i ( a y cos θ, a h sin θ a, a y sin θ) (a + y + h a h sin θ) 3/ d θ Entonces, toda la espira induce en el punto P un capo deterinado por la siguiente integral: B 1 ( π µ 0 i P ) = 0 ( a y cos θ, a h sin θ a, a y sin θ) (a + y + h a h sin θ) 3/ d θ (9) Esta integral, es en realidad un vector cuyas coponentes son integrales. La priera y la tercera coponente del capo deben ser iguales por la sietría del problea. De ellas, la ás siple de calcular es la priera, y coo se detalla a continuación, resulta ser nula: B 1,x ( P ) = π 0 µ 0 i a y cos θ d θ (a + y + h a h sin θ) = µ 0 i 3/ 7 [ y h (a + y + h a h sin θ) 1/ ] π 0 = 0

8 Análogaente se pueden definir las distintas variables introducidas para la segunda espira: l = (a cos θ, d, a sin θ) = d l = ( a sin θ, 0, a cos θ) d θ r = P l = ( a cos θ, d y, h a sin θ) d B ( P ) = µ 0 i d l r r 3 = µ 0 i ( a (d y) cos θ, a h sin θ a, a (d y) sin θ ) (a + (d y) + h a h sin θ) 3/ d θ Es claro que si aplicaos la linealidad a los capos de inducción agnética, podeos deterinar el capo resultante B( ( P ) = B x ( P ), B y ( P ), B z ( ) P ) suando abos capos B 1 ( P ) y B ( P ). Resulta B( ( P ) = 0, B 1,y ( ) P ), 0, ya que B x ( P ) = B 1,x ( P ) + B,x ( P ) = 0 = B z ( P ) Cálculo de la coponente B y La integral que define la coponente B y del capo para un arreglo de bobinas de Helholtz no es fácil de evaluar (a enos de un factor de escala, es la segunda coponente en la ecuación 9). Sin ebargo, utilizando un prograa de cálculo nuérico, podeos evaluar el capo en un punto de posición y = a, ubicado a una distancia h del eje, considerando a = 0, 15, una corriente de 1, 15 A y una cantidad de 130 espiras por bobina. Obteneos el Gráfico para B y (o lo que es lo iso, la agnitud de B) en función de h. Gráfico. Mágnitud del capo agnético en un punto equidistante a las bobinas de Helholtz, en función de la distancia h al eje de las isas. Referencias [1] Brainbridge, Phys. Rev. 4, 1 (193). [] Eisberg, R. y Resnick, R., Física Cuántica, pág. 19 a 39, Noriega Editores (1997). [3] Plcker (007) [4] Alonso, M. y Finn, E., Física, pág. 548, Pearson Eduación (1995). 8