8.9 Algunas aplicaciones de la inducción magnética.

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1 CAPÍTULO 8 Inducción agnética

2 Índice del capítulo 8 8. Flujo agnético. 8. La ley de Faraday Ley de Lenz. 8.4 Fe de oviiento. 8.5 Corrientes de Foucault. 8.6 Inductancia. 8.7 Energía agnética. 8.8 Circuitos RL. 8.9 Algunas aplicaciones de la inducción agnética.

3 8. Flujo agnético El flujo agnético se define por la expresión φ r B nda ˆ B da S S n La unidad de flujo agnético es el weber (Wb): Wb T Si la superficie es plana y tiene área A y B es constante sobre la superficie: r φ B na ˆ BAcosθ En el caso de una bobina bi con N vueltas: φ NBAcosθ Ejeplo 8.: Deterinar el flujo agnético a través de un solenoide de 40 c de longitud,.5 c de radio y 600 vueltas, cuando transporta una corriente de 7.5 A. Solución:.66 x 0 Wb. B n A Figura 8.: Si el capo B fora un ángulo con la noral al área de un bucle, el flujo a través del iso es B na BAcosθ. Área encerrada por una vuelta Figura 8.: El flujo a través de la superficie A encerrada por la bobina con N vueltas es proporcional al núero de líneas de capo que penetran en la superficie.

4 8. La ley de Faraday Los experientos de Faraday, Henry y otros, deostraron que si el flujo agnético a través de un área rodeada por un circuito varía con el tiepo, se induce una fe que es igual en ódulo ala variación por unidad de tiepo del flujo que atraviesa el circuito: ξ dφ [La ley de Faraday] La fe inducida es el trabajo realizado por unidad de carga. Este trabajo sobre las cargas óviles es realizado por un capo eléctrico no conservativo: d ξ r r r E dl B nda ˆ C S dφ Figura 8.3: Cuando el flujo agnético que atraviesa la espira de alabre es variable, se induce en la isa una fe. La fe se distribuye a través de toda la espira y equivale a un capo eléctrico no conservativo tangente al alabre.

5 8. La ley de Faraday Ejeplo 8 8.: Un capo agnético unifore fora un ángulo de 30 0 con el eje de una bobina circular de 300 vueltas y un radio de 4 c. El capo varía a razón de 85 T/s, peraneciendo fija su dirección. Deterinar el ódulo de la fe inducida en la bobina. Solución: V. Ejeplo 83: 8.3: Una bobina de 80 vueltas tiene un radio de 5 c y una resistencia de 30 Ω. Deterinar cuál debe ser el ódulo de la variación de un capo agnético perpendicular al plano de la bobina para inducir en ésta una corriente de 4 A. Solución: 9 T/s.

6 8.3 Ley de Lenz El signo de negativo en la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fe inducida. La dirección y sentido de la fe y de la corriente inducidas pueden deterinarseedianteunprincipiogeneral ediante físicollaadolaleydelenz: la ley de Enunciado : La fe y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. Enunciado : Cuando se produce una variación de flujo agnético que atraviesa una superficie, el capo agnético debido a la corriente inducida genera un flujo agnético sobre la isa superficie que se opone a dicha variación. Figura 8.4: Cuando el ián en fora de barra se ueve hacia la espira, la fe inducida en ésta produce una corriente en el sentido indicado. Figura 8.5: El oento agnético de la espira debido a la corriente inducida es tal que se opone al oviiento de la barrita de ián real. Este ián se ueve hacia la espira y por lo tanto el oento agnético inducido repele la barrita ianada.

7 8.3 Ley de Lenz Figura 8.6: Cuando la espira se aleja de la barra agnética estacionaria, el ián atrae a la espira por el oento agnético inducido en ella, oponiéndose de nuevo al oviiento relativo. crece decrece inducida inducida crece decrece Figura 8.7: (a) Dos circuitos adyacentes. (b) En el oento de cerrar el interruptor, I coienza a crecer en el sentido indicado. El flujo variable que atraviesa el circuito induce una corriente I. El flujo que atraviesa el circuito debido a I se opone al auento de flujo debido a I. (c) Cuando se abre el interruptor, I disinuye y el flujo que atraviesa el circuito varía. La corriente inducida I tiende a antener el flujo a través del circuito.

8 8.3 Ley de Lenz Figura 8.8: La bobina con uchas espiras de conductor origina un flujo grande con una corriente deterinada en el circuito. La fe inducida en este circuito cuando la corriente varía se opone a dicha variación. Ejeplo 8.4: Una bobina rectangular de N vueltas de anchura a y longitud b cada una, donde N 80, a 0 c y b 30 c, está situada en un capo agnético B 0.8 T dirigido hacia dentro de la página (ver figura 8.9). Coo indica la figura sólo la itad de la bobina se encuentra en laregión del capo agnético. La resistencia R de la bobina es de 30 Ω. Deterinar la corriente inducida, incluyendo su sentido, al desplazarse 80 la bobina con una velocidad de /s (a) hacia la vueltas derecha, (b) hacia arriba y (c) hacia abajo. Figura 8.9

9 8.4 Fe de oviiento Fe de oviiento es toda fe inducida por el oviiento de un conductor en un capo agnético. Consideraos la varilla conductora de la figura 8.0 que se desliza a lo largo de dos conductores que están unidos a una resistencia. Existe un capo agnético unifore y dirigido hacia abajo. La variación de flujo agnético con el tiepo da lugar a una fe inducida en este circuito: φ r B na ˆ B A Blx ξ n dφ Blv Figura 8.0: Varilla conductora deslizante sobre raíles conductores en el interior de un capo agnético. Cuando la barra se ueve hacia la derecha, el área de la superficie i encerrada por el circuito i crece y el flujo agnético entrante se increenta. En el circuito se induce una fe de agnitud Blv, produciéndose una corriente en sentido contrario al de las agujas del reloj, la cual genera un flujo saliente del papel que se opone al cabio del flujo debido al oviiento de la varilla.

10 8.4 Fe de oviiento Ejeplo 8.5: En la figura 8.0, sea B 0.6 T, v 8 /s, l 5 c y R 5 Ω, y suponer que la resistencia de la barra y los raíles es despreciable. Deterinar (a) la fe introducida en el circuito, (b) la intensidad de corriente del circuito, (c) la fuerza necesaria para over la barra con velocidad constante y (d) la potencia disipada en la resistencia. Ejeplo 8.6: Una barra de asa se desliza sin rozaiento sobre unos raíles conductores en una región de capo agnético constante B dirigido hacia la página (ver figura 8.). Un agente externo epuja la barra anteniéndola a velocidad constante v 0 hacia la derecha. En el tiepo t 0 se suprie súbitaente la fuerza externa y la barra se desacelera debido ala fuerza agnética. Deterinar la velocidad v de la barra en función del tiepo. Figura 8.

11 8.5 Corrientes de Foucault Frecuenteente el flujo variable establece unas corrientes circulantes, denoinadas corrientes de Foucault, en un trozo de etal coo el núcleo de un transforador. El calor producido por estas corrientes constituye una pérdida de potencia en el transforador. Figura 8.: Si el capo agnético a través de un etal varía, se induce una fe en cualquier trayectoria cerrada en el interior del etal coo la curva C indicada. Las fes producen corrientes llaadas corrientes de Foucault. Figura 8.3: Deostración de las corrientes de Foucault. Cuando un bloque etálico se epuja hacia la derecha, existe una fuerza agnética hacia la izquierda sobre la corriente inducida que se opone al oviiento.

12 8.6 Inductancia Autoinducción: El flujo agnético que atraviesa un circuito puede relacionarse con la corriente en el iso y con la corriente que circulan por circuitos próxios. Considereos una bobina por la que circula una corriente I. La corriente produce un capo agnético B que varía de un punto a otro, pero en todos los puntos B es proporcional a I. El flujo agnético a través de la bobina es por tanto proporcional a I: φ LI donde L es una constante llaada autoinducción de la bobina. La autoinducción depende de la fora geoétrica de la bobina. La unidad del SI de inductancia es el henrio (H): Wb T H A A En el caso de un solenoide de longitud l y N vueltas (n N/l) que transporta una corriente I (ver ejeplo 8.): µ N IA φ φ 0 µ 0n IAl L 0n Al l I µ

13 8.6 Inductancia Ejeplo 8.7: Deterinar la autoinducción de un solenoide de longitud 0 c, área 5 c y 00 vueltas. Solución: 6.8 x 0 5 H. Cuando la intensidad de corriente de un circuito varía, el flujo agnético debido a la corriente tabién se odifica y, por tanto, en el circuito se induce una fe. Coo la autoinducción del circuito es constante, la variación del flujo está relacionada con la variación de intensidad por De acuerdo con la ley de Faraday, resulta: d φ d ( LI ) di L dφφ ξ di L Así pues, la fe autoinducida es proporcional a la variación con el tiepo de la intensidad de corriente. Una bobina o solenoide con uchas vueltas posee una gran autoinducción y de denoina inductor. La diferencia de potencial entre sus extreos viene dada por V ξ Ir donde r es la resistencia interna del inductor. di L Ir

14 8.6 Inductancia Inductancia utua: Cuando dos o ás circuitos están próxios, coo indica la figura 8.4, el flujo agnético que atraviesa uno de ellos depende no sólo de la corriente en este circuito, sino tabién de la corriente que circula por los circuitos próxios. Sea I la corriente en el circuito de la izquierda e I la del circuito de la derecha. El capo agnético B en un punto P cualquiera dentro del circuito es la sua del capo B debido a I y al capo B debido a I. Por tanto, podeos expresar el flujo de B que atraviesa el circuito coo: φ, M,I en donde M, es la inductancia utua de los dos circuitos. Del iso odo, el flujo de B que atraviesa el circuito : φ, M, I Circuito Circuito Figura 8.4: Dos circuitos adyacentes. El capo agnético en P se debe parcialente a la corriente I y parcialente a la corriente I. El flujo a través de cualquiera de los dos circuitos es la sua de los dos térinos, uno proporcional a I y el otro a I.

15 8.6 Inductancia Podeos calcular la inductancia utua de dos solenoides concéntricos de espiras apretadas coo los que se uestran en la figura 8.5. El capo agnético B debido a la corriente del solenoide interno es: B µ ( N / l ) I µ n I, r < r 0 El flujo que atraviesa el solenoide externo debido a este capo agnético es: φ ( I NB πr ) µ 0nnl ( πr ) La inductancia utua es por tanto: Ejeplo : Deostrar que M, M,. 0 vueltas vueltas φ M lπ, µ 0nnl r I Figura 8.5: Un solenoide largo y estrecho se encuentra dentro de otro ás ancho de igual longitud. Una corriente en uno de los solenoides produce flujo agnético en el otro.

16 8.7 Energía agnética Un inductor alacena energía agnética. Considereos el circuito forado por una inductancia L y una resistencia R en serie con una batería de fe ξ 0 y un interruptor S coo se uestra en la figura 8.6. Aplicando la ley de las allas a ese circuito: di ξ0 IR L 0 Multiplicando por la intensidad resulta: ξ I I R + ξ 0 LI di Por tanto la potencia que incide en el inductor: U du LI I di f du LIdI 0 U LI LI f Figura 8.6: Inediataente después de cerrar el interruptor S, la corriente coienza a crecer en este circuito y una fuerza contraelectrootriz de ódulo LdI/ se genera en el inductor. La caída de potencial a través de la resistencia IR, ás la caída de potencial a través del inductor LdI/, es igual a la fe de la batería.

17 8.7 Energía agnética En el proceso de producir una corriente en un inductor, se crea un capo agnético en el espacio interior a la bobina del iso. Es decir, podeos iaginar que la energía alacenada en un inductor es energía alacenada en el capo agnético creado. En el caso de un solenoide largo, el capo agnético viene y la autoinducción vienen dados por: B µ 0 ni y L µ 0 n Al De este odo, la energía agnética se puede escribir coo: U B LI µ 0 Al Así finalente, la densidad de energía agnética viene dada por: u B µ 0 Este resultado es general. Note la seejanza con la densidad de energía eléctrica: u e ε 0E

18 8.8 Circuitos RL Un circuito que contiene una resistencia y un inductor tal coo en el indicado en la figura 8.6 se denoina circuito RL. Para el circuito de la figura 8.6, la regla de las allas nos dice: di ξ0 IR L 0 Podeos entender varias cosas sin necesidad de resolver la ecuación. Así por ejeplo, es fácil deterinar cuál es el rito inicial de creciiento de la corriente o su valor después de un largo tiepo (I f ): di ξ 0 ξ0 ; I f L R Se puede ostrar que la dependencia teporal de la corriente viene dada por: I 0 ξ 0 ( R / L) t / I ( e ) I ( e t τ f ) R L dondeτ (constante de tiepo del circuito) R Figura 8.7: Corriente coo función del tiepo para un circuito RL en el que se cierra el interruptor en el instante t 0.

19 8.9 Algunas aplicaciones de la inducción agnética Generador de corriente alterna: un generador ac siple está forado por una espira de área A y N vueltas en rotación dentro de un capo agnético unifore. dφφ φ NBAcos( ωt) ξ ( t) N vueltas NBAωsen( ωt) Anillos rotatorios Escobillas fijas Figura 8.8: a) Generador de corriente alterna. Una bobina que gira con una frecuencia angular constante ω en un capo agnético B genera una fuerza electrootriz sinusoidal. La energía procedente de un salto de agua o de una turbina de vapor se utiliza para hacer girar la bobina y producir energía eléctrica. La fe se suinistra a un circuito externo ediante las escobillas en contacto con los anillos. (b) En este instante la noral al plano de la espira fora un ángulo q con el capo agnético y el flujo que atraviesa la superficie plana de la espira es BAcosθ.

20 8.9 Algunas aplicaciones de la inducción agnética Transforador: dispositivo utilizado para elevar o disinuir el voltaje en un circuito sin una apreciable pérdida de potencia. d V φvuelta d N V N φ Si no existe ninguna pérdida de flujo en el núcleo de hierro, el flujo que atraviesa cada espira es el iso en abos arrollaientos: vuelta V N N V Figura 8.0: Transforador con N vueltas en el priario y N vueltas en el secundario.

21 8.9 Algunas aplicaciones de la inducción agnética El betatrón: El acelerador de inducción agnética o betatrón, pertenece al grupo de áquinas ideadas para acelerar partículas cargadas hasta elevadas energías. Fue inventado por Donald W. Kerst. El betatrón construido en 945 aceleraba electrones hasta una energía de 00 MeV. El acelerador original consistía en un tubo toroidal en el que se hace el vacío y se sitúa entre las piezas polares de un electroián. Los electrones son acelerados ediante una diferencia de potencial de voltios por un cañón electrónico, entraban tangencialente dentro del tubo, donde el capo agnético les hacía dar vueltas en una órbita circular de 5 de longitud. Los betatrones se usan para estudiar ciertos tipos de reacciones nucleares y coo fuentes de radiación para el trataiento del cáncer. Figura 8.: Vista del tubo acelerador y las superficies i de los polos de un betatrón.

22 8.9 Algunas aplicaciones de la inducción agnética Ejeplo 8.9: El fundaento de un betatrón se puede entender con este ejeplo. Considereos una región donde existe un capo agnético paralelo al eje z dependiente del tiepo con sietría axial; esto es, la agnitud del capo varía únicaente con la distancia al eje z (ver figura 8.). Deostrar que el capo eléctrico en cada punto del espacio viene dado por: dbedio E r Fi 8 C lé t i d id éti d di t d l Figura 8.: Capo eléctrico producido por un capo agnético dependiente del tiepo con sietría cilíndrica; (a) vista lateral, (b) vista superior.

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