Herramientas de Diseño y Aritmética de Punto Fijo

Transcripción

1 Coentario Técnico Herraientas de Diseño y Aritética de Punto Fijo Por Ing. Manuel José Peirone anuelpeirone@gail.co Introducción Estiado lector, el objetivo de este artículo es introducirlo en las técnicas de diseño de sisteas de procesaiento digitales epleando aritética de punto fijo. El enfoque del iso es sustancialente práctico, dejando las cuestiones ás teóricas a la abundante literatura disponible. Aritéticas existentes Existen dos tipos de representación nuérica: Figura 1. Diferencias entre punto fijo y punto flotante En el caso de la aritética de punto fijo, el punto binario se encuentra siepre en la isa posición, es decir, existirán bits para la parte entera y n bits para la parte decial. En algunos casos puede ocurrir que = 0 (no existe parte entera) o bien, n = 0 (no existe parte decial). En cabio, para la aritética de punto flotante, la ubicación del punto binario puede variar (Figura 1). Este artículo se centrará en la aritética de punto fijo ya que es la ás utilizada en sisteas ebebidos, desde MCU de 8 bits (coo el MCF51JM60 de Freescale) hasta DSP s de 4 bits (coo el DSP56371 de la isa copañía). 1

2 Aritética de punto fijo Muchas veces cuando se utilizan procesadores digitales no se tiene en cuenta el tipo de aritética utilizada, dado que el prograador puede estar trabajando en código C y es el copilador quien se encarga de codificar y asegurarse de que las operaciones ateáticas y aritéticas se ejecuten correctaente respetando la arquitectura del procesador. En general, se sabe bien que un registro de 4 bits perite representar 16 cobinaciones diferentes, pero pocas veces nos deteneos a pensar en cóo interpretar qué representan en térinos nuéricos. Analiceos esto con ás detalle. Supongaos que un ADC de 4 bits entrega la siguiente uestra binaria: x Q = 0101 (1) Ahora hagaos la siguiente pregunta: qué núero decial representa esta cobinación? La respuesta no es una sola, ni varias, sino infinitas. La interpretación dependerá de lo que el prograador defina coo convención. Por ejeplo, se podría proponer la siguiente interpretación: (. b 3 + 0,5. b + b 1 4. b 0 ) 10 x Q = + () Así, el núero decial representado por la uestra anterior será: (.0 + 0, ) = 4, 10 x = (3) Q 10 5 Pero lógicaente la cuestión no es tan liberal. En icrocontroladores, DSP s y icroprocesadores coerciales esta convención no es deterinada por el usuario sino por el fabricante o por un estandar. Figura. Conjunto de bits Para un conjunto de bits coo el de la Figura, existe una serie de interpretaciones posibles que son apliaente utilizadas: Tabla 1. Posibles interpretaciones de un conjunto de bits Interpretación Expresión Rango Entero sin signo 1 b i i = 0 i x( =. 0 1 x Q 1 Entero con signo x( = b 1. + bi. xq 1 = 0 i i 1 1 Fraccional sin signo en copleento a x( = 1 b i i = 0 ( i ). 0 1 x Q Fraccional con signo en copleento a 1 +. i = 0 x( = b b i ( i 1) 1 x Q ( 1) 1

3 Generalente los DSP s eplean la aritética fraccional con signo en copleento a para el procesaiento de señales, ientras que para indexado y punteros a eoria se utiliza la aritética entera. En cabio, los icrocontroladores usualente operan internaente con aritéticas enteras para abos casos. Sin ebargo, esto no iplica que, por ejeplo, en código C no podaos definir una variable flotante y anipularla coo tal. Pero debeos tener cuidado ya que, si el procesador no está diseñado para esta aritética, cada operación deorará ucho ás en ejecutarse que aquella para la que sí fue diseñado. Ipleentar por hardware una aritética de punto fijo conlleva una ayor siplicidad lógica, lo cual se traduce directaente en enores costos ya que adeás ocupa enor superficie de silicio respecto a una unidad de punto flotante. Entre las desventajas ás significativas se encuentra el hecho de que los errores de truncaiento con esta arquitectura pueden ser significativos, degradando la calidad de los algoritos ipleentados (truncar iplica cortar la palabra binaria en un punto deterinado y descartar los bits que no se necesita. Para lograr en punto fijo la isa precisión que se logra con punto flotante se necesitaría una cantidad uy grande de bits. De hecho, recurriendo al standard ANSI/IEEE Std se encuentra que el enor valor representable en punto 38 flotante de 3 bits es ± 1,.10. Para lograr la isa precisión en punto fijo se requerirían ni ás ni enos que: n =1, n = log ( 1, ) (4) n =15,97 bits 16 bits! (5) casi el cuádruplo de bits que para la isa precisión en aritética flotante. Multiplicación y sua Se supone el siguiente valor binario. Debajo se ven dos interpretaciones distintas: Figura 3. Valor binario arbitrario Ahora se realiza la ultiplicación de este valor por si iso. Se obtendrán dos resultados distintos, según cóo se interpreten los operandos: Figura 4. Resultado de la ultiplicación considerando operandos enteros 3

4 Figura 5. Resultado de la ultiplicación considerando operandos en punto fijo Hay que recalcar que una ultiplicación produce resultados de (. - 1) bits de longitud, donde es la longitud de los operandos (suponiendo que es la isa para abos). Por ejeplo, en el DSP56805 de Freescale el ancho de las variables de punto fijo es de 16 bits y lógicaente están expresadas en copleento a con signo. Su rango es: 15 1 x 1 (6) Q DSP donde: x DSP b14. + b b Q = b b (7) Multiplicación y adición de núeros en punto fijo. Para la ultiplicación de dos núeros en punto fijo cuyo rango sea el especificado por la ecuación 6, el resultado siepre será enor que 1. Sin ebargo, para la adición de dos núeros en punto fijo, se debe cuidar que el resultado se antenga entre -1 y 1 para evitar desbordaientos. Por ejeplo, suar 0,5 + 0,7 produce un resultado ayor que 1. Por lo tanto se deberá realizar un escalaiento previo de la siguiente anera: 0,5 + 0,7 = 0,6 Así, se consigue que el resultado se antenga dentro los líites. Aritéticas presentes en Pro Tools Quienes estén failiarizados con el undo de la grabación sabrán que Pro Tools es una DAW (digital audio workstation o estación de trabajo para audio digital) considerada coo el estandar de la industria. Es apliaente utilizada para grabar, ezclar y hasta asterizar, ya sea en estudio o en vivo. Pero lo que pasa desapercibido para uchos es su arquitectura interna. Hagaos un breve repaso por las distintas versiones de este prograa. Mientras que la version econo ica de ProTools (LE) posee un bus que opera internaente en 3 bits de punto flotante, en las versiones TDM y HD (con arquitectura de ixer de 48 bits de punto fijo) el bus de plugins es de 4 bits de punto fijo. Esta caracteri stica de disen o llevo inicialente a uchos reconocidos Ingenieros de Mezcla y de Mastering a discutir largaente acerca de la conveniencia de utilizar uno u otro sistea. Veaos las verdaderas conclusiones de esta pole ica: 4

5 Si nuestro sistea de edicio n digital perite ezclas en 4 bits, entonces debe trabajar internaente con a s de 4 bits de capacidad de procesaiento siulta neo, de lo contrario no se preserva la integridad de nuestro audio. Ba sicaente, cualquier proceso que se aplique al audio original deberi a arrojar un resultado en 3 o 48 bits coo i nio, pero con un piso de ruido no ayor a 4 bits. De esta fora, cuando se hace el dithering final para volver a los 4 bits originales, la pe rdida es realente despreciable. Esta priera conclusio n deja afuera la opcio n de trabajar, en audio profesional, con una arquitectura interna de solaente 4 bits de punto fijo. La arquitectura de punto flotante no perite el uso de dithering entre las distintas etapas de procesaiento, debido a que el exponente e cabia peranenteente, alterando la significacioń de la antisa. En este sentido, la opcio n de 48 bits de punto fijo resulta superior dado que se le puede aplicar dithering. Si bien es cierto que en una arquitectura flotante los errores producidos siepre estara n en proporcio n con la agnitud de la senãl procesada (y por lo tanto pueden ser difi ciles o au n iposibles de detectar), la opcioń de dithering es una garanti a de que estos errores van a ser eliinados. Por otro lado, la verdadera fora de aprovechar las caracteri sticas de un sistea con arquitectura interna de 48 bits pero donde el bus de plugins es de 4 bits es utilizando u nicaente plugins de doble precisio n (es decir, que toan el audio saple de 4 bits y lo elevan a 48 para operar internaente y asi obtener un resultado de ayor precisio. Estos plugins deberań tabie n tener capacidad de realizar dithering a 4 bits para que este proceso de DSP de alta precisio n no se pierda en el truncado o redondeo de la inforacio n que no puede quedar contenida en los 4 bits de salida. En un sistea coo ProTools TDM, el uso de plugins de doble precisioń con opcio n de dithering arca una diferencia con respecto al uso de plugins de siple precisio n. El proceso de dithering correctaente aplicado solaente sacrifica rango dinaḿico (por el pasaje de 48 bits a 4) pero no la linealidad de la senãl (lo cual es fundaental). El nivel de error introducido por el dithering en esta etapa esta en el orden de -144 dbfs, lo cual es realente insignificante. En cabio el error producido por el truncado de la senãl sin dithering aplicado esta en el orden de -100 dbfs (considerableente ayor). Un iso algorito de DSP puede requerir diferentes profundidades de bits en las distintas etapas de su realizacio n. Por ejeplo, un EQ se ipleenta coo un filtro recursivo, donde el feedback juega un papel fundaental. Si el filtro tiene una frecuencia de corte suficienteente baja, la cantidad de feedback generada puede ser uy alta, lo cual aplifica enoreente el error de cuantizacio n original, auenta ndolo en dos y hasta tres oŕdenes de agnitud. Nuevaente, un procesador capaz de trabajar internaente con ayor cantidad de bits asegura una relacioń Senãl a Ruido (SNR) suficiente para aortiguar incluso estas condiciones extreas de uso del DSP. Un EQ que trabaja en 3 bits de punto flotante a lo largo de todas sus etapas tendra una perforance de ruido considerableente peor que un EQ que opera internaente con 48 bits de punto fijo y posee un bus de interconexio n de 4 bits A su vez, un EQ que opera en 48 bits de punto fijo a lo largo de todas sus etapas sera soĺo un poco ejor que el que opera con bus de 4 bits, ya que el verdadero responsable del error de cuantizacioń es el alto feedback producido en baja frecuencia. 5

6 Por u ltio, si estiaos el ruido de cuantizacioń producido por la interconexio n de plugins llegaos a la conclusioń de que cada vez que se duplica el nu ero de cuantizaciones, el ubral de ruido auenta hasta 3 db. Si suponeos que cada track de una ezcla tiene un a xio de 8 plug-ins insertados, teneos que el ruido se increenta unos 9 db. Suando estos 9 db al ubral de ruido de nuestro sistea de 4 bits (-144 db) obteneos un ruido de cuantizacioń total de apenas -135 db (considerableente enor que el ruido producido por el propio convertidor), es decir que el encadenaiento de plugins no provoca serias degradaciones de calidad de audio, auń trabajando sobre un bus de 4 bits. Los filtros digitales, especialente cuando son de alto Q, tienen respuestas uy variables y con alto grado de error, au n trabajando con 64 bits de punto flotante. En estos casos extreos, la perforance de 4 bits punto fijo o 3 bits punto flotante es claraente insuficiente. La solucioń de 48 bits punto fijo aparece coo la a s precisa, a la vez que es econo icaente realizable. En este caso, la asignacio n de 8 bits de extra headroo (bits 40 a 47) y 8 bits de guarda (bits 0 a bit 7), dejando los 3 bits centrales para el uestreo de la sen al dan al sistea suficiente precisioń para responder ante condiciones exigentes de filtrado, con la capacidad de suar hasta 56 canales de audio sin overflow, preservando asi un resultado de 4 bits consistente au n despue s de varias etapas de procesaiento. Bibliografía Steven W. Sith, 003. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. B. A. Shenoi, 006. Introduction to digital signal processing and digital design. Editorial Wiley. DSP56800 Failiy anual, 16-bit digital signal controllers. DSP56800FM. Rev. 3.1, 11/005. DSP56800 User anual, 16-bit digital signal controllers. DSP56F801-7UM. Rev. 8, 13/007. CodeWarrior Developent Studio for Freescale 56800/E Digital Signal Controllers: DSP56F80x/DSP56F8x Faily Targeting Manual. Rev. Noveber 6, 007. N. de R: El lector puede descargar el artículo copleto del sitio web de Edudevices en la sección Coentarios Técnicos dentro de la solapa Artículos. 6