2 DESCRIPCIÓN DEL MODELO BÁSICO

Transcripción

1 2 ESCRIPCIÓN EL MOELO BÁSICO 2.1 Introducción Para odelar el proceso de ósosis inersa se realizó una búsqueda a traés de Internet de artículos científicos sobre el tea en cuestión. La principal fuente de los isos fue la reista esalination, en la que se encontraron algunos artículos interesantes er Aneo 1. e entre todos estos artículos se seleccionó uno llaado A nuerical study on concentration polarization and syste perforance of spiral wound RO ebrane odules, en el que se trata un odelo nuérico para describir el proceso de ósosis inersa RO en ebranas en espiral y estudiar los efectos de la polarización de la concentración. Se toó este odelo coo base para luego realizar sobre él las odificaciones pertinentes para que se ajustara lo ejor posible a una ebrana real. En este odelo se ha tenido especial énfasis en odelar un fenóeno conocido coo polarización de la concentración, que es uy perjudicial para el funcionaiento de la ósosis inersa, y que si no es tenido en cuenta puede dar lugar a grandes errores, así coo el efecto despolarizador de los espaciadores spacers, que no son ás que obstáculos que encuentra el agua a su paso por un canal de la ebrana y que ayudan a la hoogeneización de la concentración de sal. Cuantificar con eactitud este fenóeno es uy difícil debido a la coplejidad del proceso. En este odelo se ha usado un étodo acroscópico para estiar los efectos del iso en el coportaiento de los ódulos de ebranas en espiral. La polarización de la concentración en un canal lleno de spacers es odelada coo una cobinación de dos casos etreos, la polarización de la concentración sin perturbar sin spacers y la copleta despolarización distribución unifore a lo largo de la altura del canal. Se utiliza entonces un factor de polarización en función de la polarización de la concentración. El rendiiento de un proceso de RO generalente iene dado por las propiedades de la ebrana, por las condiciones de operación y por las características del agua de alientación. El coportaiento de una pieza pequeña de ebrana de RO puede ser descrito por las teorías y odelos fundaentales de transporte. Sin ebargo cuando se aplican esos odelos a largos canales de filtración, coo ocurre en sisteas de filtración de RO a gran escala, los resultados son cuestionables. Por ejeplo, según la teoría de transporte a traés de ebranas, el flujo de pereado es lineal con la presión de alientación, y ha sido conenienteente deostrado en sisteas RO de laboratorio. Sin ebargo en procesos RO a gran escala puede obserarse que el flujo de pereado edio no siepre auenta linealente con la presión. Coo los paráetros del proceso arían sustancialente a lo largo de un canal largo de ebrana, el flujo de pereado edio no puede ser descrito por las teorías básicas de transporte a traés de ebranas. 15

2 Se han realizado uchos estudios para inestigar los ecanisos que controlan el rendiiento de un proceso RO a gran escala, entre los cuales la polarización de la concentración es considerada noralente coo el factor ás iportante en la desiación del flujo edio de pereado del coportaiento lineal con la presión. 2.2 Polarización de la concentración Confore el agua entra en un canal de la ebrana espacio entre dos capas consecutias de ebrana por el que circula el agua salada coienza a filtrarse, con lo que la concentración de sal a auentando a lo largo del canal. La polarización de la concentración tiene lugar debido a la acuulación de sal en las cercanías de la ebrana, que hace que las concentraciones en la isa sean ayores. Puede definirse coo el increento de concentración de sal sobre la concentración de sal en la situación despolarizada agua totalente hoogénea en su concentración de sal. Para luchar contra este fenóeno se usan spacers. Los spacers siren tanto para darle estabilidad ecánica a la geoetría del canal coo para auentar la turbulencia del agua y reducir los efectos de la polarización de la concentración. Si se usan adecuadaente puede incluso eliinarse. Este fenóeno afecta negatiaente al flujo de pereado para grandes concentraciones, de fora que para unas isas condiciones, a ayor polarización de la concentración enor flujo de pereado se obtiene. 2.3 Modelo Básico A continuación se describe el odelo que fue toado coo base de partida, tal y coo se eplica en el artículo científico A nuerical study on concentration polarization and syste perforance of spiral wound RO ebrane odules esarrollo teorico En la Fig. 2.1 se uestran esqueáticaente a un ódulo de ebrana en espiral y b un canal de agua de alientación forado por dos capas de ebrana. Por coneniencia, a partir de ahora nos referireos al canal coo la itad del canal ostrado en la Fig. 2.1b con ebrana por un lado y una pared ipereable por el otro. La longitud y la altura del canal son L y H, respectiaente. El flujo de pereado, la elocidad transersal 16

3 perpendicular al flujo de agua en el canal y la concentración de sal en el canal se denotan coo, u y c, siendo la distancia desde la entrada. Figura 2.1 ibujo esqueático de a ódulo de ebrana espiral b sección de un canal de alientación e acuerdo con el principio de transporte en ebranas, el flujo de pereado a traés de la ebrana en cualquier punto a lo largo del canal, se deterina coo: = p π R 1 donde R es la resistencia de la ebrana, p y π son la presión ipulsora o presión de alientación driing presure y la presión osótica en, respectiaente. La presión osótica puede ser deterinada ediante la fórula de Van t Hoff odificada añadiendo un núero de ionización N ion para tener en cuenta el efecto de la ionización de la sal en el agua, N ion Rg T c π = 2 M w donde R g es la constante de los gases ideales -8.31*1^3 Pa/K ol/l, T es la teperatura absoluta K, c es la diferencia de concentración de sal a traés de la ebrana g/l y M w es el peso olecular de la sal g/ol. 17

4 Aplicando el principio de conseración de la asa al agua, la elocidad transersal a lo largo del canal de la ebrana, u, puede epresarse coo: 1 u = u ξ dξ H 3 donde u es la elocidad de alientación en la entrada y ξ es la ariable de integración. En régien peranente, el flujo longitudinal total de sal retenida en una sección del canal en cualquier punto es igual a la cantidad total de sal retenida por la ebrana desde la entrada hasta el punto, y puede epresarse por la siguiente ecuación: H u C dy = rj c ξ dξ 4 donde c es la concentración de alientación y r j es el rechazo de sal de la ebrana. C es la concentración de la sal retenida la concentración de sal actual es c=c+ c. La distribución de la concentración de sal a traés de la altura del canal se e afectada por la polarización de la concentración inducida por el flujo de pereado y la ezcla conseguida por los spacers en el canal. En este odelo, la distribución transersal de la sal retenida es estiada por una cobinación de dos casos. En el prier caso se asue que el flujo transersal en el canal está copletaente ezclado en cualquier sección transersal. Por tanto, u y C del lado izquierdo de la ecuación 4 son constantes respecto a la dirección y la ecuación puede ser reescrita coo: u C H = r j c ξ dξ 5 Reordenando la ecuación 5 se obtiene la concentración edia de sal retenida en : C ae = r c j u H ξ dξ 6 Cae donde es la concentración edia de sal retenida deterinada para el caso de no polarización. En el segundo caso se considera un canal libre de spacers donde la polarización de la concentración no está perturbada. En este caso, la concentración de sal retenida en una capa líite satisface la siguiente ecuación: 18

5 19 = + dy dc C 7 donde es la difusión de la sal o el coeficiente de dispersión ^2/s. ebe apreciarse que la ecuación 7 es el balance de asa aplicado solo a la sal retenida. La ecuación 7 no requiere ebranas perfectas 1% de rechazo porque se aplica solo a la sal retenida. La solución de la ecuación 7 toa la siguiente fora: [ ]y e A C / = 8 donde A es una constante de integración a deterinar. Esta constante puede obtenerse substituyendo la ecuación 8 en la 4: 1 / H j e d u c r A = ξ ξ 9 La ecuación 8 se transfora en: y H j e e d u c r C / / 1 = ξ ξ 1 Haciendo y= en la ecuación 1, la concentración de sal en la superficie de la ebrana, w C, puede deterinarse de la siguiente fora: 1 / H j w e d u c r C = ξ ξ 11 En un canal de la ebrana con spacers, la concentración de sal no está ni copletaente polarizada ni copletaente ezclada, sino algo interedio. Por tanto, la concentración de sal real en la superficie de la ebrana tiene la siguiente fora: 1 c C f C f c ae p w p w + + = 12 donde w c es la concentración de sal en la superficie de la ebrana, y p f es el factor de polarización que describe el grado de polarización de la concentración en el canal. Un requeriiento básico para la elección de p f es que crece cuando crece la elocidad de

6 pereado porque la polarización de la concentración es inducida originalente por el flujo de pereado. En los casos etreos, f p =1 para polarización no perturbada y f p = para el caso de ezcla copleta. Aunque uno de los propósitos de usar spacers es faorecer la ezcla y reducir la polarización de la concentración, no hay nada escrito en la literatura referente al efecto que los spacers tienen sobre la isa en ódulos RO de ebrana en espiral. En este estudio se propone la siguiente fórula para describir el factor de polarización: f p H / = 1 e 13 Puede erse en la ecuación 13 que el factor de polarización crece onótonaente confore crece la elocidad de pereado con y 1 coo alores etreos. El efecto de la densidad y la fora de los spacers en la despolarización no aparecen eplícitaente en la ecuación 13. Sin ebargo, sí está iplícito en el paráetro, que será llaado en adelante coeficiente de dispersión hidráulica. Gracias a la eistencia de spacers, el alor de puede ser arios órdenes de agnitud ayores que el coeficiente de dispersión olecular, d. El alor del coeficiente de dispersión hidráulica puede serir coo indicador de la efectiidad de los spacers en el auento de la turbulencia. Cobinando las ecuaciones 6, 11-13, la concentración de sal en la superficie de la ebrana ante cualquier grado de polarización de la concentración puede ser deterinado coo: c w r jc H rjc / = c + e ξ dξ + ξ dξ 14 uh u La ecuación 14 uestra coo el efecto despolarizador de los spacers es ayor cuando auenta. La elocidad de pereado local puede ser deterinada con las ecuaciones 1, 2 y 14: N ionrgtc rj p H + / 1 e ξ dξ M uh w = 15 N ionrgtc rj R + ξ dξ M u w La ecuación 15 puede usarse para calcular el flujo de pereado a lo largo del canal de la ebrana para cualquier condición de operación. El caso de ezcla copleta perfecta puede obtenerse haciendo. La presión de alientación disinuye a lo largo del canal de la ebrana debido a la fricción del concentrado brine con las paredes de la isa y con los spacers. La disinución de la presión de alientación en una distancia infinitesial, d, a lo largo de un canal, es calculada de la siguiente fora: 2

7 p = p 12 u η d k 2 H 16 onde k es el coeficiente de fricción debido a la eistencia de spacers y otras irregularidades, y η la iscosidad de la solución Solución nuérica ebido a que aparece en abos lados de la ecuación y a que la elocidad transersal y la presión de ipulsión son ariables indeterinadas, no es posible una solución analítica de la ecuación 15. Por ello se resuelen las ecuaciones nuéricaente. Se diide el canal de la ebrana en n segentos de idéntica diensión,. Los segentos se nueran desde la entrada hasta el final del canal, desde 1 hasta n. La concentración, elocidad transersal, presión de ipulsión y elocidad del pereado en un segento i se denotan coo c i, u i, pi y i, respectiaente. En el prier segento se tiene: 1 p = u 1 = u c 1 = c p = 1 p π c R Para los segentos 2-n: pi ci 1 π 1 i = R u c u i = i1 i1 H su = su + i1 i p ih / r j e rj i = c ui 1H ui 1 i = p 12kη u 2 H i1 i1 Con las soluciones nuéricas pueden deterinarse fácilente la recuperación R y el flujo de pereado edio V, que son dos paráetros coúnente usados en los procesos RO

8 R = V = L ξ dξ u = 1 u H u u u L n H n Siulaciones y obseraciones A continuación se coentan algunos aspectos iportantes sobre procesos RO basados en siulaciones con el odelo eplicado en los apartados y 2.3.2, según el iso artículo científico A nuerical study on concentration polarization and syste perforance of spiral wound RO ebrane odules. Para ello se usan los siguientes alores de los paráetros a no ser que se indique lo contrario: coeficiente de fricción, k = 7. longitud del canal, L = 6 altura del canal, H =.6 rechazo de sal, r j = 1. núero de segentos del canal, n = 5 Relación de no linealidad en un proceso RO La presión de alientación es la fuerza ipulsora para la separación en un proceso RO. Es uno de los paráetros de operación ás iportantes en este tipo de procesos, y noralente es anipulado para optiizar el sistea. En la Fig. 2.2 se representa el efecto de la presión de alientación sobre el flujo edio de pereado cuando las concentraciones de sal son bajas. Puede erse cóo las curas del flujo edio de pereado están claraente diididas en dos regiones. Éste crece linealente con la presión de alientación en la región de ás baja presión; sin ebargo, crece solo arginalente en la región de ás alta presión. Esto es debido a la acuulación de sal a lo largo del canal de la ebrana que produce un increento de la presión osótica en el transporte a traés de la isa. 22

9 Figura 2.2 Flujos edios de pereado coo función de la presión de alientación para bajas concentraciones de sal: 1 1 g/l; 2 5 g/l; 3 8 g/l; 4 1 g/l. L = 6, R = Pa s /, u =.15 / s, = / s, T = 298K Efectos de la polarización de la concentración La polarización de la concentración fue considerada coo uno de los factores ás iportantes influyentes en la relación de no linealidad entre el flujo edio de pereado y la presión de alientación. Para inestigar el efecto de la polarización de la concentración en el coportaiento del flujo de pereado, se realizaron siulaciones de la concentración de sal para diferentes coeficientes de dispersión hidráulica a lo largo de un canal de la ebrana. Los resultados se uestran en la Fig Se asue que el coeficiente de dispersión hidráulica puede ser razonableente aproiado por el coeficiente de difusión cuando no hay spacers en el canal. La Fig. 2.3 uestra que la concentración de sal en la superficie de la ebrana es enor para un coeficiente de dispersión ayor. Esto indica que el efecto despolarizador de los spacers puede representarse adecuadaente por la agnitud del coeficiente de dispersión hidráulica en este odelo. Un ayor alor del coeficiente de dispersión hidráulica indica un ayor efecto despolarizador. Puede erse tabién en la Fig. 2.3 que los increentos de este coeficiente por encia de 8 d solo producen un cabio arginal en la cura de concentración. Por tanto la cura para = 8d puede ser toada coo el caso de no polarización. Adeás el desarrollo de la polarización de la concentración a lo largo del canal de la ebrana depende considerableente de la concentración de alientación. Coo se uestra en la Fig. 2.3 la polarización de la concentración diferencia entre las líneas 1 y 4 se desarrolla antes para ayores concentraciones de sal 5 g/l, ientras que para enores concentraciones 1 g/l se hace significatia solo al final del canal. 23

10 Figura 2.3 Variación de la concentración de sal en la superficie de la ebrana a lo largo del canal para diferentes coeficientes de difusión: 1 d ; 2 2 d ; 3 4 d ; 4 8 d. R = Pa s /, u =.15 / s, p = Pa, T = 298K. En la Fig. 2.4 se representa la siulación del flujo edio de pereado frente a la presión de alientación, para arios coeficientes de dispersión hidráulica. Coo se uestra en esta figura los flujos edios de pereado bajo diferentes coeficientes de dispersión hidráulicos son casi los isos para concentraciones de sal en la alientación de 1 g/l. Esto deuestra que los efectos de la polarización de la concentración sobre el rendiiento de un proceso RO son despreciables cuando la concentración de la alientación es etreadaente baja. Por el contrario, estos alores difieren ucho para ayores concentraciones, coo ocurre para los casos de 5 g/l y 2 g/l. Esto indica que para altas concentraciones en la alientación el rendiiento de un proceso RO puede erse fuerteente afectado por la polarización de la concentración. Las siulaciones tabién uestran que el efecto aderso de la polarización de la concentración en el rendiiento del proceso puede ser considerableente reducido ediante spacers. Es eidente en la Fig. 2.4 que el flujo edio para d es significatiaente enor que para 8 d, para concentraciones de 5 y 2 g/l. La intensidad del ezclado dentro del canal de la ebrana se increenta con el alor del coeficiente de dispersión hidráulico,. Mateáticaente eiste un caso líite donde el coeficiente se hace infinito. Físicaente este caso líite representa el caso en que el flujo en el canal de la ebrana puede ser tratado coo copletaente ezclado y la polarización de la concentración es despreciable. La ejora en el ezclado resultante de la dispersión hidráulica por el uso de spacers en el canal de la ebrana puede ser arios órdenes de agnitud ás fuerte que la atribuida a la difusión olecular pura. El hecho de que el flujo edio para el caso de 8 d 24

11 solo uestre un increento arginal sobre el de 4 d iplica que un coeficiente de dispersión hidráulico de 8 d está suficienteente cerca del caso líite, donde el efecto de la polarización de la concentración en el rendiiento del proceso puede ser despreciado. Figura 2.4 Flujos edios de pereado para diferentes coeficientes de difusión. 1 d ; 2 2 d ;3 4 d ;4 8 d. L = 6, R = 1 11 Pa s /, u =.15 / s, T = 298K. Las concentraciones de alientación están indicadas en la figura. ebe resaltarse que la no linealidad entre el flujo de pereado y la presión de alientación es debida fundaentalente a una restricción terodináica. Coo se ha dicho anteriorente, un coeficiente de dispersión hidráulica de 8 d produce una condición de ezclado uy próia al ezclado copleto, en cuyo caso el efecto de la polarización de la concentración sobre el flujo edio de pereado puede ser despreciado. Por ello cualquier intento de increentar el flujo edio de pereado ediante ejoras en el ezclado con innoadores diseños de spacers podría no conseguir el resultado esperado. Efecto de la longitud del canal ebido al efecto de la acuulación de sal, el flujo local de pereado decrece a lo largo del canal RO. Si la longitud del iso es suficienteente larga, puede ocurrir que la presión osótica se iguale a la aplicada, teniendo coo resultado la desaparición del flujo local de pereado. Las recuperaciones R y flujos edios de pereado en canales RO para diferentes longitudes son siulados bajo diferentes presiones de alientación. Los resultados de la siulación se uestran en las Fig. 2.5a y b. En la Fig. 2.5a puede erse que el canal de 1 es deasiado corto para alcanzar el estado de equilibrio y por tanto el flujo edio de pereado se increenta linealente con la presión de alientación en el rango de presiones siulado. Para los canales de ás de un etro el flujo edio de pereado se niela a diferentes 25

12 presiones. Adeás, bajo presiones de alientación suficienteente altas, el flujo edio es enor para canales RO ás largos. Figura 2.5 Variaciones de a flujo edio de pereado y b recuperaciones R con la presión de alientación en procesos RO para diferentes longitudes del canal: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6. R = 1 11 Pa s /, c = g / l, u =.15 / s, = / s. La Fig. 2.5b uestra que todas las longitudes de canales, ecepto la de 1, son capaces de alcanzar el equilibrio para R. Las recuperaciones crecen casi linealente con la presión antes de acercarse al alor de equilibrio y este alor de equilibrio solo crece arginalente con la presión. Tabién puede erse que un canal ás largo alcanza el alor de equilibrio a enor presión. Es interesante er que la longitud del canal no afecta a la recuperación cuando los procesos RO están controlados por el equilibrio. Esto eplica el enor flujo edio de pereado en canales largos coo se io en la Fig. 2.5a. Monitorización del ensuciaiento de la ebrana El ensuciaiento de la ebrana es una de las consideraciones ás iportantes en el diseño y operación de un sistea RO. Es deseable que el desarrollo de este proceso de ensuciaiento pueda ser caracterizado y estiado. Las consecuencias del ensuciaiento de la ebrana en canales de distinta longitud pueden ser bien distintas. Coo se uestra en la Fig. 2.6a y b, el flujo edio de pereado y la recuperación R decrecen considerableente para el canal de 1 con cualquier increento de la resistencia de la ebrana. Por el contrario éstos peranecen constantes para canales ás largos cuando la resistencia de la ebrana es enor que un cierto alor ubral. 26

13 Cuando la resistencia crece por encia de este alor ubral, el flujo edio de pereado y la recuperación decrecen con el increento de la resistencia. Las siulaciones uestran que el flujo edio y la recuperación en un canal suficienteente largo >3 de una ebrana altaente pereable pueden no erse afectados por los cabios iniciales en la resistencia de la ebrana debido a que el sistea está controlado por el equilibrio. Figura 2.6 Efectos de la resistencia de la ebrana sobre a flujos edios de pereado y b recuperaciones en procesos RO con diferentes longitudes de canales. 1 1; 3 2 2; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6. c = g / l, u =.1 / s, p = 2 1 Pa, = / s, T = 298K. Las siulaciones uestran tabién que el ensuciaiento de la ebrana no puede ser detectado idiendo el flujo edio de pereado o la recuperación cuando la resistencia de la ebrana es enor que el alor ubral. Es necesaria una nuea técnica para su onitorización en procesos RO de fora que siepre esté estiado de fora precisa bajo cualquier condición. Efecto de la elocidad del flujo de alientación Se siulan a continuación los efectos de la elocidad del flujo de alientación sobre el flujo edio de pereado y la recuperación a diferentes presiones. Los resultados se uestran en la Fig. 2.7a y b, respectiaente. Coo se uestra en la Fig. 2.7a, el flujo edio de pereado crece linealente con la elocidad del flujo de alientación hasta que se alcanza un cierto alor ubral de la elocidad de alientación. Por debajo del ubral el flujo de pereado está liitado por la cantidad disponible de agua de alientación. Coo resultado, 27

14 un increento en la elocidad de alientación increentará el flujo de pereado. Más allá del ubral, hay suficiente agua en el canal pero el flujo edio de pereado está liitado por la capacidad de transferencia de agua a traés de la ebrana aproiadaente proporcional a la presión de alientación. Coo puede erse en la Fig. 2.7a para enores alores de la presión resulta en un enor alor ubral de la elocidad de alientación para que el flujo de pereado se niele. El flujo edio de pereado decrece lee, pero apreciableente, ás allá de los ubrales de la elocidad de alientación para bajas presiones. Esta reducción arginal del flujo edio es debida a una caída de presión causada por la fricción entre el flujo en el canal y las paredes del iso, que es relatiaente iportante para bajas presiones. La Fig. 2.7b uestra la relación entre la recuperación y la elocidad de alientación. Mientras el flujo edio de pereado se increenta linealente con la elocidad de alientación, la recuperación peranece constante hasta que el flujo de pereado alcanza su alor áio. Un increento ayor en la elocidad de alientación resultará en una reducción de la recuperación. Si se obseran las Fig. 2.7a y b juntas puede erse que los puntos de cabio en abas figuras son los ejores puntos de operación. El proceso tendrá un enor flujo edio de pereado cuando la elocidad del flujo esté por debajo de los puntos de cabio, ientras que la recuperación se reducirá si se opera con una elocidad del flujo ayor que la de estos puntos. Figura 2.7 Efecto de la elocidad de alientación en a flujo edio de pereado y b recuperación para diferentes presiones de alientación: Pa ; Pa ; Pa ;4 2 1 Pa ; Pa ;6 3 1 Pa. L = 6, R = Pa s /, c = g / l, = / s, T = 298K 28

15 2.3.4 Validación eperiental Para la alidación del odelo se usaron ebranas con una longitud de canal de 4. Se usaron cuatro ódulos RO de ebrana en espiral TFC 254SW con 1.16 de largo 4in y.635 de diáetro 2.5in, que fueron conectados en serie. Esta ebrana tiene una gran capacidad de rechazo de sales y los ódulos trabajan en aplio rango de presiones. Los flujos edios de pereado en el sistea RO fueron edidos en un rango de presiones de hasta 2. MPa para tres concentraciones distintas de sal. Los resultados eperientales se copararon con los obtenidos con el odelo eplicado anteriorente. En la Fig. 2.8 se representan ediante síbolos los flujos edios de pereado eperientales para concentraciones de sal de 5, 1, y 3 g/l de cloruro sódico para el rango de presiones dado, ientras que los flujos hallados ediante siulaciones se representan ediante líneas. Puede erse que los flujos teóricos se aproian uy bien a los eperientales. Se usan los isos paráetros en los eperientos y en las siulaciones. En las siulaciones se usa un coeficiente de dispersión hidráulico con alor 8 2 = / s, que es aproiadaente diez eces el alor del coeficiente de difusión olecular del cloruro sódico, d. La buena correlación entre los datos eperientales y las siulaciones indica que la polarización de la concentración no influye en el flujo edio de pereado en ebranas en espiral. Figura 2.8 Coparación de flujos edios de pereado eperientales de un sistea RO de 4 de longitud de canal con siulaciones nuéricas. L = 4 ; H =. 6 ; R = Pa s / ; r =. 99 ; u =.75 / s ; = / s ; T = 298K. j 29

16 2.4 Ipleentación de un caso del artículo en Matlab Una ez entendido el odelo anterior, se procede a su ipleentación en Matlab. Para coprobar que el odelo está bien ipleentado se intentará reproducir la priera siulación realizada en el artículo científico Fig Para ello se utilizarán los isos datos que en esa siulación. Todos los archios de Matlab se encuentran en el Aneo 3. El archio de Matlab utilizado se llaa e_espiral_coparando_articulo.. El archio se copone de las siguientes partes: e_espiral_coparando_articulo. atos: aquí se escriben los datos referentes a la ebrana y al fluido. Estos datos son los siguientes: Tabla 2.1 ato Valor escripción L 6 Longitud del canal k 7 Coeficiente de fricción H.6 Altura del canal r 1 Coeficiente de rechazo de sales n 5 Núero de segentos del canal Ni 2 Núero de ionización R 1 11 Pa s / Resistencia de la ebrana / s Coeficiente de dispersión 3 Rg Pa / K ol / l Constante de los gases ideales Mw g / ol Peso olecular de la sal d L/n Longitud de un segento η Ver ecuación 28 Viscosidad de la solución atos del archio e_espiral_coparando_articulo. Para el cálculo de la iscosidad η se utiliza la siguiente ecuación: c 1 + T 6 η = e 28 Condiciones iniciales: elocidad, teperatura y concentración inicial. ato Valor escripción uo.15 /s Velocidad inicial del flujo T 298 K Teperatura inicial del flujo c 1 g/l Concentración inicial del flujo Tabla 2.2 Condiciones iniciales del archio e_espiral_coparando_articulo. 3

17 Bucle: Aquí es donde se ipleentan las ecuaciones del odelo nuérico, 17 a 27. Se ejecuta para presiones desde.1 hasta 7 MPa. Gráficas: Por últio se representan las gráficas de interés. Figura 2.9 Coparación de gráficas generadas por Matlab con las gráficas de la priera siulación del artículo científico. Si se coparan las gráficas generadas con las correspondientes del artículo puede erse que la fidelidad es bastante buena. Para el caso de la presión se debe coparar con la cura núero cuatro y para el caso de la recuperación con la núero uno. Esto indica que el odelo está bien prograado en Matlab. 31

18 Obseración Para el cálculo de la presión osótica en cada punto del canal π es necesario conocer la diferencia de concentración de sal a traés de la ebrana c, es decir, la concentración del rechazo enos la del pereado. Para ello es necesario conocer abas concentraciones en cada punto del canal. La concentración del rechazo en cada punto iene dada por el odelo, pero no así la del pereado. Se sabe que la concentración del pereado debe ser uy pequeña en coparación con la del rechazo, así que en este caso se aproia por cero, es decir cp=, y por tanto c = cb. 32