Física II: Termodinámica, ondas y fluidos

Transcripción

1 Física II: Terodináica, ondas fluidos Índice 6 - ONDAS MECÁNICAS TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS ONDAS PERIÓDICAS... 3 Ej. 6.1 ondas sonoras DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA ONDA... 5 Ej. 6. Onda periódica en una cuerda infinita... 7 Velocidades aceleraciones transersales de partículas en una onda senoidal VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL... 9 Prier étodo...9 Segundo étodo...10 Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II VELOCIDAD DE UNA ONDA LONGITUDINAL... 1 Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR Ej. 6.6 Sonido en arilla de ploo ONDAS SONORAS EN GASES Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ONDULATORIO Ej. 6.8 Energía en una cuerda Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo PROBLEMAS...1 1

2 6 - Ondas ecánicas 6.1 Tipos de ondas ecánicas Ondas ecánicas son perturbaciones que iajan por un aterial o sustancia que es el edio de la onda. Al iajar la onda, las partículas que foran el edio sufren un desplazaiento. a) Desplazaiento perpendicular = ondas transersales. b) Desplazaiento adelante = ondas longitudinales. c) Desplazaiento perpendicular adelante = sua de ondas transersales longitudinales. El oiiento ondulatorio puede ser isto con una alteración (oentáneo) del estado del equilibrio (perturbación) de las partículas que foran el edio. Ha una fuerza restauradora que restablece el estado de equilibrio. En general la perturbación se propaga a una rapidez definida: rapidez de la onda. La elocidad de propagación es deterinada por las propiedades ecánica del edio. Nota que la rapidez de la onda no es la rapidez del oiiento de las partículas del edio, pero la elocidad de propagación de la perturbación. Para producir la perturbación poner el sistea en oiiento necesita aportar energía, la fuerza aplicada hace un trabajo.

3 6. Ondas periódicas Una onda transersal en una cuerda es un ejeplo de un pulso de onda. Si el pulso se repite de anera periódica el producirá una onda periódica. Un oiiento arónico siple (MAS), de aplitud A frecuencia angular 1 π ω = π f periodo T = =, producirá una onda senoidal. f ω Cualquier onda periódica puede ser representada con una cobinación de ondas senoidales (principio de Fourier). Cuando una onda senoidal pasa en un edio, todas las partículas experientan un MAS con la isa frecuencia. Longitud configuración copleta = distancia entre un creta la siguiente = longitud de onda λ. La Onda iaja con la elocidad = cte, iaja una longitud λ en un tiepo T, o λ 1 entonces =. Dado que f = : T T (6.1) = λ f 3

4 Ej. 6.1 ondas sonoras Las ondas sonoras son ondas longitudinales. La elocidad de propagación de la onda depende de la teperatura del aire. A 0 C, = 344 s Si f = 6Hz, la frecuencia del Do central sobre un piano 344 s λ = = = f 6s El Do alto (soprano) esta a octaas arriba. Cada octaa corresponde a un factor de en frecuencia. Así para Do alto: 46Hz ( ) f = = 1048Hz 1.31 λ = =

5 6.3 descripción ateática de la onda Introducios la función de onda = función ateática que describe la posición de cualquier partícula en el edio en cualquier instante. Para un hilo: = xt (, ) Moiiento cíclico de diersos puntos del hilo están desfasados uno respeto a otro en diersas fracciones de un ciclo. = diferencia de fase La fase del oiiento difiere para puntos distintos. El desplazaiento en x = 0 : (6.) ( ) 0, t = Asenωt = Asenπ ft En t = 0, = 0, el punto se uee en dirección + La perturbación iaja desde x = 0 hacia algún otro punto x x, a la derecha en un tiepo t =. Así el oiiento del punto en un instante t es el iso que el oiiento del punto x = 0 en el instante x t. x x xt, Asen ω t Asen = = π f t (6.3) ( ) En térinos de T λ : (6.4) ( xt) t x, = Asen π T λ 5

6 Definios el núero de onda: (6.5) k π = λ π Coo λ =, k (6.6) ω = k f ω = = λ f π (6.7) ( xt, ) = Asen ( ωt kx) rad Donde [ ω ] = [ ] s rad k = Si la onda iaja en la dirección x < 0 : (6.8) x ( xt, ) = Asen π f t + t x ( xt, ) = Asen π + T λ La cantidad ω t± kx es la fase. La rapidez de la onda es la rapidez en que teneos que oernos para antenernos junto a un punto con una fase dada. Para una onda iajando hacia x > 0, ωt kx= cte. Deriando respeto a t : dx ω = k o dx ω = es la elocidad de la fase. dt dt k 6

7 Ej. 6. Onda periódica en una cuerda infinita La extreidad de la cuerda se uee coo un MAS: Con f =.0Hz, A = = 1.0. s En t = 0, la posición inicial = x = 0. Las partículas de la cuerda describe un MAS: Con aplitud A = Frecuencia angular: rad rad ω = π f = π(.0hz)=4π 1.6 s s Periodo: T 1 = = 0.50s f 1.0 s Longitud de onda: λ = = = 6 1 f.0s El núero de onda es: π π rad rad ω 4π rad s rad k = = = 1.05 o k = = = 1.05 λ s t x t x, = sen = senπ T λ 0.50s 6.0 La función de onda: ( xt) A π ( ) Por ejeplo, en x = 3 rad ( 3, t) ( 0.075) sen = 1.6 t π rad s 7

8 Velocidades aceleraciones transersales de partículas en una onda senoidal Deriando la función de onda en función de t guardando x= cte, deducios la elocidad transersal de cualquier partícula: (6.9) = = ωacos( ωt kx) t Esto iplica que la elocidad áxia: x ax = ω A Deriando una segunda ez deducios la aceleración transersal: (6.10) ( ) (, ) xt, = = ω sen ω = ω, ( ) ( ) a xt A t kx xt t Este resultado es el iso que el MAS. Tabién podeos deriar en función de x, guardando t = cte Priera deriada x = pendiente del hilo Segunda deriada x = curatura del hilo (6.11) (, ) xt x ( ω ) ( ) = = k Asen t kx kxt, De (6.10) (6.11) de la relación que: (, ) (, ) xt t ω = = xt x k ω = k deducios De esta relación, deducios la ecuación de onda: (6.1) (, ) 1 xt (, ) x t = x t 8

9 6.4 Velocidad de una onda transersal Prier étodo La densidad de asa lineal = µ, con unidad [ ] En equilibrio, la tensión en la cuerda es F. kg µ = Aplicaos una fuerza constante F al extreo (izquierda). Una onda se fora que iaja a la elocidad (en el sentido x > 0 ). Según el teorea ipulso-cantidad de oiiento: Ft = En el instante t, el punto izquierdo ha subido de t, el frente de la perturbación (punto P) a aanzado de t. La fuerza total que estira el hilo (la tensión auenta un poco) tiene las coponentes F F + F. Por tanto: F, aplitud ( ) F t = F = F F t El ipulso transersal es: Ft = F t La asa desplazada es = µ t de odo que la cantidad de oiiento transersal es = µ t. 9

10 Igualando esta expresión al ipulso transersal: F t = µ t Deducios la elocidad de la onda: (6.13) = F µ La elocidad de la onda (propagación de la perturbación) auenta con la tensión (la fuerza que restablece el equilibrio) disinua con la asa (la inercia). Segundo étodo Aplicaos la segunda le de Newton, F = a, a un pequeño segento del hilo, cua la longitud al equilibrio es x. La asa del segento es: = µ x Sea F1 F el pendiente en el punto 1 F F el pendiente en el punto. Por definición: (6.14) F 1 F = x F = x F x x+ x δ δ (6.15) F = F1 + F = F δx x+ x δx x (6.16) δ F µ x δx = x+ x δx x t δ o δ δ δ δ µ = x F t x x+ x x x (6.17) δ δ δ δ µ li = = x x F t x 0 x x+ x x x Coparando con la ecuación de onda (6.1) deducios que: (6.18) = F µ Nota que en esta deducción no se hace ninguno supuesto sobre la fora de la onda. La ecuación de onda es álida cual sea su fora. 10

11 Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I En el ejeplo 6., la densidad de asa es: kg µ = 0.50 Para producir una elocidad = 1.0, necesitaos una tensión (Ec. 6.13): s F kg = µ = = = kg 36.0N s s Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II Cuerda tensada por peso de 0.0kg El pozo tiene 80.0 de profundidad. La asa de la cuerda es 6.0kg El geólogo abajo anda señales por la cuerda hacia 1 su colega arriba a la frecuencia f =.00. s Ignoreos la ariación de tensión a lo largo de la cuerda. La tensión es: F = 0.0kg 9.8 = 196N s La asa por unidad de longitud: 6.00kg kg µ = = El señale iaja a la elocidad: F 196N = = = 51.1 µ kg s 51.1 s La longitud de onda (Ec. 6.1): λ = = = f.00s Si consideraos el peso de la cuerda, la rapidez auentara (F auenta) la longitud de onda auentara (si no cabia la frecuencia). Podeos coprobar que la elocidad de la onda arriba es de = s 11

12 6.5 Velocidad de una onda longitudinal Consideraos un fluido de densidad ρ en un tubo con área transersal A. En el estado de equilibrio, el fluido esta soetido a una presión unifore p Cuando el pistón se uee a la elocidad, se inicia un oiiento ondulatorio (onda de copresión) que se propaga a la elocidad. En el tiepo t, el pistón se ha oido de t la frontera entre la asa en oiiento la asa en reposo a aanzado de t. La cantidad de fluido en oiiento es: La cantidad de oiiento longitudinal: ρ ta ρ ta. Para deterinar el auento de presión en el fluido en oiiento, consideraos el ódulo de oluen (Capitulo 11 física 1): (6.19) p B = V / V 0 El ódulo de oluen perite deterinar de cuantos auenta la presión para un cabio de oluen (es negatio porque una disinución de oluen = una auentación de la presión. Dicho de otro odo, si V < 0, p > 0). El oluen original del fluido en oiiento, V 0 V = ta p B = p = B A tat = ta, a disinuido de la cantidad La presión en el fluido en oiiento a auentado a p+ p. La fuerza ejercida sobre esta parte del fluido es: ( p ) + p A. La fuerza neta es por tanto: A p = B A. 1

13 Segundo el teorea de ipulso cantidad de oiiento: (6.0) B At = ρta De (6.0) deducios la elocidad de la onda de copresión: (6.1) = B ρ La elocidad auenta con el ódulo de oluen (la fuerza de regreso al equilibrio) disinua con la densidad (inercia). Esto se aplica tabién para sólido liquido. Para una onda en una barra sólida, por ejeplo, ha una expansión lateral. Esto cabia un poco la rapidez de la onda: (6.) = Y ρ Donde Y es el ódulo de Young. En todas estas ecuaciones, el nuerador es una propiedad elástica del edio el denoinador es una propiedad proporcional al la inercia del edio. 13

14 Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR SONAR: sistea para detectar objetos subarinas El sistea eite ondas sonoras ide el tiepo que tarda la onda reflejada (eco) al oler al detector. La copresidad del agua (recíproco del ódulo de oluen): k = Pa 11 1 Nota que [ Pa ] = fuerza/área = kg s kg =. Así que: s 1 B = Pa La densidad del agua a 0 C: 3 3 ρ = kg La elocidad de una onda sonora en el agua: Pa B 45.8 = = = ρ kg s Esto es 4 eces la rapidez del sonido en el aire (a teperatura ordinaria). Para una frecuencia 1480 f = 6Hz, la longitud de onda es λ = = s = f 6s En el aire, la longitud de onda será: λ = 1.31 Los delfines eiten ondas de alta frecuencias f = 0.1MHz = Hz, que da una longitud de onda de λ = 1.48c. Con este sonar, los delfines pueden detectar objetos de taaño de λ (pero no ucho enores). En la isualización ultrasónica, las ondas sonoras usadas tienen una frecuencia de 6 f = 5MHz= 5 10 Hz esto perite distinguir rasgos de taaño λ = 0.3. Ej. 6.6 Sonido en arilla de ploo Módulo de Young: 10 Y = Pa densidad: ρ = kg La elocidad del sónido: Y = = = ρ kg s Pa

15 6.6 Ondas sonoras en gases Podeos usar la definición del ódulo de oluen para deducir la elocidad del sonido en un gas ideal. Para presión oluen infinitesial: dp B = V. dv Si la teperatura es constante, pv = cte. Sin ebargo, cuando un gas se coprie adiabáticaente, no ha flujo de calor de odo que su teperatura auenta cuando se copria disinua cuando el se expande. Para un gas ideal: (6.3) pv γ = cte Donde C p γ = = es el cociente adiensional de las capacidades caloríficas. C V Cuando una onda sonora iaja en un gas las copresiones son adiabáticas? Dado que las conductiidades téricas de los gases son u pequeñas, resulta que para frecuencias de sonido ordinarias (0 a 0000Hz) la propagación del sonido es casi adiabática. Esto legitia usar el ódulo de oluen adiabático B ad. dp (6.4) B = ad V p dv = γ γ dp γ γ 1 pv = cte V + γ pv = 0 dv Para un proceso isotérico pv = cte γ = 1 (6.5) Biso = p Cobinando : (6.6) = γ p ρ Para un gas ideal, teneos que ρ = pm RT Donde M es la asa olecular, R es la constante del gas ideal T la teperatura absoluta. 15

16 (6.7) = γ RT M Para un gas dado, γ, R M son constantes de odo que: T La Ec. (6.7) es siilar a la rapidez eficaz de las oléculas en un gas ideal: rs 3RT =. M Esto indica que la elocidad del sonido en un gas es íntiaente relacionada con la elocidad de las oléculas. Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire Para T = 0 C= 93K, M 3 kg = , ol J R = ol K γ = 1.40 ( )( )( ) γ RT J ol K 93K = = = M kg ol s Esto es consistente con la elocidad edida con error de 0.3% El oído es sensible a gaa de frecuencias sonora de 0 a 0000Hz. λ = 17 a λ = 1.7c Los urciélagos pueden escuchar frecuencias ás altas, típicaente 1000kHz λ = 3.4 Usado coo sonar, está ondas son suficientes para detectar insectos. Nota que están explicaciones, ignoran la naturaleza olecular de un gas. Un gas real se copone de oléculas en oiiento aleatorio separados por distancias grandes en coparación con sus diáetros. Las ibraciones de las ondas se superponen al oiiento térico aleatorio. A 1at, una olécula iaja una distancia edio de 10-7 entre choques, ientras que la aplitud de desplazaiento producida por un sonido tenue es

17 6.7 Energía en el oiiento ondulatorio Una onda puede transportar energía pero, coo se transporte la energía? Recuerdaos que el punto a. F F = el pendiente del hilo en (6.8) (, ) (, ) xt F xt = F x El signo enos es necesario, porque cuando el pendiente es positio, la coponente de la fuerza debe ser negatia. Cuando el punto a se uee en dirección, tanto transfiere energía hacia la derecha. F efectúa un trabajo sobre este punto por La potencia P (razón a la que se hace el trabajo) en el punto a es igual a la fuerza, xt, = xt, t. transersal F ( xt ) ultiplicada por la elocidad transersal ( ) ( ) (6.9) (, ) (, ) (, ) Pxt = F xt xt = F x t Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere la energía a lo largo del hilo. Solo se transfiere energía en los puntos en los que el hilo tiene pendiente distinto de 0 δ ( 0 ), de odo que ha una coponente transersal de la tensión, en los puntos que δ x δ el hilo tiene una elocidad transersal distinta de 0 ( 0 ) de odo que la fuerza δ t transersal puede efectuar un trabajo. La ecuación 6.9 es alida para cualquier onda. Para una onda senoidal: ( xt, ) A sen ( ωt kx) = kacos( ωt kx ) x = = t ωacos( ωt kx ) (6.30) Pxt (, ) = FkωA cos ( ωt kx) Usando las relaciones: ω = k = F (6.31) Pxt (, ) = µ Fω A cos ( ωt kx) µ 17

18 Coo la función cos es siepre positia, la potencia instantánea es siepre positia o 0 (no ha transferencia de energía). Nunca se transfiere energía en la dirección opuesta a la de la propagación de la onda. El alor áxio ( cos = 1): (6.3) P = µ Fω A ax La potencia edia: 1 P = Pxt, = µ Fω A cos = µ Fω A (6.33) ed ( ) periodo periodo La razón de la transferencia de energía es proporcional al cuadrado de la aplitud al cuadrado de la frecuencia. Para una onda longitudinal, la potencia edia por unidad transersal es I = intensidad. En un fluido en un tubo: (6.34) I = ρbω A 1 En una arilla sólida: (6.35) I = ρyω A 1 El echo que P A es general para ondas de todos tipos. Para ondas ecánicas, pero para ondas EM la potencia no depende de la frecuencia. P ω, Ej. 6.8 Energía en una cuerda En el Ej rad = µ ω = ax ( )( ) π ( ) = P F A 0.50kg 36.0N W s P ed 1 = Pax = 1.33W Cuando A 1 A = 7.5, o, P ed = ( 1.3W) = 13.3W

19 Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo Las ondas que entran en el oído pasan por el canal auditio antes de llegar al típano. En un adulto, el canal auditio es un tubo que ido:.5c de largo por 7.0 de diáetro. 6 W Una conersación ordinaria tiene una intensidad: I = La potencia edia: 6 W 5 10 Ped = I π r = = W Esta potencia es absorbida por el típano cuas oscilaciones se transforan dentro del oído interno en señales eléctricos que se eníen al cerebro. Un oído sano puede detectar hasta intensidad I W 1 = 10 o 17 P ed = W Para una onda que se propaga en un fluido en un tubo: I = ρbω A 1 1 I A = ω ρb ( ) 14 Si el fluido es el aire, B = γ p. Para γ = 1.40 p = 1at = Pa 5 5 B = Pa = Pa 5 13 ( Pa)( kg ol) kg ρ = pm RT a 0 ρ = = J K ol K 19

20 Para una onda de frecuencia f = 100Hz 6 ( ) W A = 1 = 1 π ( 100s ) kg ( Pa ) Una persona con oído noral puede detectar desplazaiento u diinuto de las oléculas del aire. De hecho un sonido con esta intensidad aún sería audible a una 9 frecuencia ás alta f = 10000Hz. La aplitud sería 0.01eces la anterior o El oído puede detectar el oiiento de oléculas de aire sobre distancia que apenas es unas cuantas eces aor que el taaño de las oléculas. 0

21 Probleas 1

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25 5