Tema 2: Ondas. Fundamentos físicos de la ingeniería Ingeniería Industrial. Dpto.Física Aplicada III Universidad de Sevilla

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1 Tema 2: Ondas Oscilaciones y Ondas Fundamentos ísicos de la ingeniería Ingeniería Industrial Primer Curso 1 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición p de ondas 2

2 Índice (I) Introducción Ondas mecánicas Ondas transersales y longitudinales l Función de onda Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido 3 Índice (II) Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Onda de desplazamiento y onda de presión Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Relexión total Transmisión Superposición de ondas Principio de superposición Intererencia de ondas armónicas 4

3 Introducción: ondas mecánicas Onda: perturbación que iaja sin transerencia de materia transmiten energía Ondas en el agua, ondas de sonido Clasiicación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio. Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio 5 Ondas mecánicas La ormación y propagación de una onda mecánica requiere: Una uente de perturbación Ej: Piedra que cae en el agua Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua Mecanismo ísico de interacción ió entre partículas del medio Ej: Fuerzas de atracción-repulsión repulsión entre las moléculas de agua 6

4 Ondas transersales y longitudinales Clasiicación ió de las ondas según la dirección ió del desplazamiento de las partículas del medio: Transersales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua) 7 Ondas transersales y longitudinales Clasiicación ió de las ondas según la dirección ió del desplazamiento de las partículas del medio: Transersales: perpendicular p a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua) Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle) 8

5 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición p de ondas 9 Función de onda Pulso que iaja en una cuerda: 10

6 Función de onda Pulso que iaja en una cuerda: y yxt (, 0) ( x) t 0 P t x P y t yxt (, ) ( x t) P x Función de onda x x x t ( x t ) ( x ) P P P P 11 Función de onda yxt (, ) ( xt) Representa el alor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante t El signo positio indica onda iajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama) Para un t 0 ijo y(x,t 0 ) orma de onda: unción que proporciona la orma geométrica del pulso 12

7 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición de ondas 13 Ondas sinusoidales Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón): Tren de ondas sinusoidales o armónicas Cada partícula de la cuerda describe un MAS Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas 14

8 Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud Longitud de onda (): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y elocidad ( y ): y A x Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio 15 Ondas sinusoidales: recuencia y elocidad Frecuencia (): recuencia del MAS de cada partícula del medio: 1 y T T t Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia CUIDADO: No conundir con T y 16

9 Ondas sinusoidales: representación matemática y En t=0: yx (,0) Asen kx 2 k Número de onda (m -1 ) Constante de ase x Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada y cuyo alor en x=0 es Asen() ( ) 17 Ondas sinusoidales: representación matemática En un instante t: yxt (, ) yx ( t,0) A sen kx kt Signo +: onda que iaja hacia x decreciente Signo -: onda que iaja hacia x creciente Donde: 2 2 k T T Entonces: Frecuencia angular yxt (, ) Asen( kxt) 18

10 Ondas sinusoidales: resumen yxt (, ) Asen( kxt) Amplitud: A Longitud de onda: 2 k número de onda Frecuencia: recuencia angular T T Velocidad de la onda: T k 19 Ecuación de onda lineal yxt (, ) Asen( kxt) y y Acos( ( kxk t) t 2 y 2 ay Asen( kxt) 2 t y y kacos( kx t ) x 2 y 2 k Asen( kxt) 2 x y 1 y k x t y k y x t 2 2 y 1 y x t 20

11 Ecuación de onda lineal 2 2 y 1 y x t Ecuación dierencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal Ondas armónicas son una posible solución Solución general: onda iajera yxt (, ) ( x t) 21 Ecuación de onda lineal 2 2 y 1 y x t Demostración: Fase: x t y x x y t t yxt (, ) ( xt) Es solución de la ecuación de ondas lineal l y x x y t t

12 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición de ondas 23 Velocidad de las ondas Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas rente a pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal. Ondas mecánicas lineales: Su elocidad depende solamente de las propiedades d del medio a traés del que se mueen Ondas de dierente recuencia se propagan con la misma elocidad 24

13 Velocidad de las ondas: onda en una cuerda Si aumentamos la uerza de restitución (tensión de la cuerda, F t ) la onda iaja a mayor elocidad Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda iaja más lenta F t dm densidad de masa lineal dl Para una cuerda homogénea: m L m L 25 Velocidad de las ondas: ondas sonoras Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple: (propiedad elástica del medio) (propiedad p inercial del medio) Ondas de sonido en un luido B Módulo de compresibilidad: Densidad de masa B P VV 26

14 Velocidad de las ondas: ondas sonoras Medio (m/s) Hidrógeno (0º C) 1286 B Aire (20º C) 343 Aire (0º C) 331 Agua (20ºC) 1482 Agua (0º C) 1402 En un gas: B T Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago m/s >> c Desprecio el retraso de la luz km x 0.33 km/s d t 0.33 x s km s 3 27 Velocidad de las ondas: obseraciones La recuencia de la onda la determina el agente causante de la misma La elocidad de la onda depende del medio La longitud de onda se obtiene de: Ejemplo: sonar de los delines 10 Hz 5 10 Hz Agua a 20º C 1482 m/s 1.5 cm /s 28

15 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición p de ondas 29 Onda en una cuerda: energía transmitida Una onda que se propaga en un medio transporta energía: Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede leantar una masa Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerda Vamos a calcular el trabajo realizado por la uerza que un segmento de cuerda realiza sobre el ecino 30

16 Onda en una cuerda: energía transmitida yxt (, ) Asen( kxt) Potencia: P F F sen t t t t Ondas lineales A<< sen tan y y PF t ttan Ft t x orma de onda P F kacos( kxt ) A cos( kx t ) 2 t Válido para cualquier Pxt A kx t (, ) cos ( ) 31 Onda en una cuerda: energía transmitida Potencia promedio: T Pm P( x, t) dt A cos ( kx t) dt T T Pm A 2 T 2 2 Es la mitad de la potencia instantánea tá máxima 2 2 P A, : general para ondas sinusoidales m

17 Onda en una cuerda: energía transmitida Energía media que luye por un punto en un interalo de tiempo: La energía iaja a la elocidad de la onda x Em Pmt Pm Em A x 33 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales id Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Onda de desplazamiento y onda de presión Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición de ondas 34

18 Ondas de sonido Ondas longitudinales Ondas sonoras armónicas: desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio: s( xt, ) ssen( kxt) 0 El desplazamiento de las moléculas prooca ariaciones de la densidad y presión del aire: onda de presión y onda de densidad 35 Ondas de sonido Desplazamiento respecto al equilibrio Moimiento i de las partículas un instante T/4 antes Posición de las partículas s=0: partícula en su posición de equilibrio (x 1 y x 3 ) s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de equilibrio s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición de equilibrio 36

19 Ondas de sonido Desplazamiento respecto al equilibrio moimiento i de las partículas un instante T/4 antes Posición de las partículas Densidad del aire La onda de densidad está desasada 90º respecto a la onda de desplazamiento 37 Ondas de sonido Desplazamiento respecto al equilibrio moimiento i de las partículas un instante T/4 antes Posición de las partículas Densidad del aire Onda de presión pxt (, ) p0 sen( kxt ) 2 38

20 Ondas de sonido Relación entre las amplitudes de presión y de desplazamiento p s 0 0 densidad de equilibrio Donde: elocidad de la onda s0 elocidad longitudinal máxima 39 Ondas de sonido: aplicación Frecuencias de sonido audible para el hombre: 20 Hz Hz Frecuencias mayores: ultrasonidos Frecuencias menores: inrasonidos Máxima amplitud de presión que el oído humano puede tolerar: 28 Pa De qué orden es la amplitud de desplazamiento máxima que puede soportar el oído humano? p0 28 Pa s0 11 m m/s 1.21 kg/m Hz 40

21 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición p de ondas 41 Eecto Doppler Cambio en la percepción del sonido cuando existe moimiento relatio entre emisor y receptor Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía Debe su nombre al ísico austriaco Christian J. Doppler ( ) Causa: dierencia entre la recuencia percibida por el receptor ( r ) y la emitida por la uente ( ) Eecto asociado a todo tipo de ondas 42

22 Eecto Doppler Cuando el receptor y la uente se acercan los rentes de onda se juntan: r > Cuando el receptor y la uente se alejan los rentes de onda se separan: r< 43 Eecto Doppler Fuente y receptor estáticos F R Tiempo emisión entre 1 rentes de onda: T Velocidad de los rentes de onda: Distancia entre rentes: Tiempo entre rentes: T r Frecuencia recibida: 1 r r T r 44

23 Eecto Doppler Receptor en moimiento i F R r T Tiempo entre rentes: r Frecuencia recibida: r r r R se acerca a F ( ): R se aleja de F ( ): r r 0 r r 0 r 0 r Si : r r 45 Eecto Doppler Fuente en moimiento Velocidad de los rentes: F T F r R Distancia entre rentes: T r Frecuencia recibida: r T Si F se aleja de R: 0 46

24 Eecto Doppler: ecuación general Si receptor y uente están en moimiento: r r Cuando F se muee hacia R: >0, en caso contrario <0 Cuando R se muee hacia F: r >0, en caso contrario r <0 Las elocidades y r se miden respecto al aire 47 Eecto Doppler: ecuación general simpliicada Si y r r 1 r r 1 r r r r r 48

25 Eecto Doppler: ondas de choque Si r r Esta ecuación no sire para Si las ondas se concentran tras el oco y orman una onda de choque r ó r 49 Eecto Doppler: ondas de choque 50

26 Eecto Doppler: ondas de choque Tangente común de todos los rentes de onda Cono de Mach Ángulo de Mach Estampido sónico 51 Eecto Doppler: ondas de choque P t t t: tiempo desde la emisión del rente de ondas en P Espacio recorrido por el aión: t Espacio recorrido por el rente de ondas: t sen t t Número de Mach 52

27 Eecto Doppler: ondas de choque 53 Eecto Doppler: ondas de choque Vehículo THRUST SSC superando el récord de elocidad terrestre (Mach 1,020) 54

28 Eecto Doppler: ondas de choque Bala desplazándose con un número de Mach 2,45 55 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Relexión total Transmisión ió Superposición de ondas 56

29 Relexión y transmisión de ondas Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio ininito Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la rontera entre dos medios. Fenómenos relacionados: Relexión: onda que regresa Ejemplo: eco Transmisión: onda se propaga a traés del nueo medio Ejemplo: luz en el agua 57 Relexión y transmisión de ondas Relexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo ijo Pulso relejado con la misma orma que el pulso incidente, pero inertido 58

30 Relexión y transmisión de ondas Relexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre Pulso relejado con la misma orma que el incidente 59 Relexión y transmisión de ondas Relexión-transmisión: onda en una cuerda Cuerda pesada unida a otra más ligera Onda relejada no se inierte Cuerda ligera unida a otra más pesada Onda relejada es inertida 60

31 Relexión y transmisión de ondas Una onda se erá parcialmente transmitida y parcialmente relejada en la supericie de separación entre dos medios en los cuales su elocidad sea dierente Si las elocidades son parecidas: transmisión es dominante Ejemplo: oído interno de los peces Si las elocidades son muy dierentes: relexión es dominante Ejemplo: radiocomunicación 61 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Eecto Doppler Relexión y transmisión de ondas Superposición de ondas Principio de superposición Intererencia de ondas armónicas 62

32 Superposición de ondas En un medio puede propagarse arias perturbaciones simultáneamente Ejemplo: arias personas hablando a la ez Principio de superposición: Cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones proocadas por cada onda Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas 63 Superposición de ondas Consecuencia del Principio cpode Superposición: dos ondas pueden pasar la una a traés de la otra sin ser destruidas ni modiicadas Intererencia: enómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen 64

33 Superposición de ondas Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a traés de la otra sin ser destruidas ni modiicadas Intererencia: enómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen 65 Superposición de ondas: intererencia de ondas armónicas y1 Asen( kxt) y2 Asen( kxt) y y 2Acos( )sen( kxt ) ( Donde hemos usado: sen sen 2cos( a b ab a b )sen( ) ) 2 2 Onda resultante con la misma y La amplitud depende de (dierencia de ase) 66

34 Superposición de ondas: intererencia de ondas armónicas y1 y2 2Acos( 2)sen( kxt 2) A Si =0, cos()=1 y A =2A; intererencia constructia Onda 1 Onda 2 Onda resultante Si = cos()=0 y A =0; intererencia e e destructia Onda 2 Onda resultante Onda 1 67