y A sen t, en donde: ; T T

Transcripción

1 Los movimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los valores de posición, velocidad y aceleración. A ese intervalo de tiempo se le llama periodo. El movimiento circular uniorme, el movimiento de un péndulo y el de un muelle son movimientos periódicos. Movimiento Armónico Simple Se llaman así porque pueden expresarse por medio de unciones armónicas: seno o coseno. y = elongación A = amplitud = pulsación (t+) = ase y = ase inicial Supongamos un cuerpo puntual que describe un movimiento circular uniorme en una circunerencia de radio A, la proyección de ese punto sobre el eje vertical describe un movimiento armónico simple. La ecuación de ese movimiento será: y A sen A sent si comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero. Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es la ecuación se convierte en y A sen t, en donde: distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. valor máximo de la elongación = radio de la circunerencia. velocidad angular con la que se describe el movimiento circular. valor del ángulo en un momento determinado. ángulo con el que se inicia el movimiento. es el periodo: tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa dos posiciones que vibran de la misma orma) ; es la recuencia: número de oscilaciones por unidad de tiempo, 1 y se mide en s-1 o Hz. La velocidad con la que vibra el punto en un momento determinado se calcula derivando la elongación con respecto al tiempo: que también se puede escribir como: dy d v A sen t A cos t dt dt v Acos t A 1 sen t A A sen t A y De la misma orma, la aceleración es la derivada de la velocidad: dv dt A d dt a Acos t A sen t y Fco Javier Corral 010

2 La velocidad de vibración es mínima (se anula) en los puntos extremos y es máxima en el centro mientras que la aceleración es mínima en el centro y máxima en los extremos. Si representamos gráicamente los valores de la elongación, velocidad y aceleración se obtienen las siguientes gráicas cuando la ase inicial es cero. Vemos que la velocidad alcanza los valores máximos cuando la aceleración es nula. Oscilador Armónico: Muelle Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una uerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la uerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la uerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la uerza el muelle recupera su longitud inicial). La uerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma con la que se estira pero de sentido contrario F k L L k x F 0 k es la constante elástica del muelle; nos indica la ortaleza del mismo. Con qué periodo vibra un muelle cuando se estira y a continuación se suelta? Describe un movimiento vibratorio en el que la elongación es x: F kx ma; a x x kx 4 m m k Energía de un oscilador armónico La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de equilibrio hasta una distancia x La energía cinética es: x x 1 E W F dx kx dx kx EC mv m A cos t ka 1 sen t k A x Fco Javier Corral 010

3 La energía total del oscilador será la suma de las dos: EOAL EC E k A x kx ka Si representamos gráicamente el valor de las energías rente a la elongación, tenemos: E OAL E OENCIAL E CINEICA -A +A Máxima compresión Máximo estiramiento x éndulo Está ormado por un punto material sujeto por un hilo inextensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños. La uerza del peso se descompone en dos: una se compensa con la tensión del hilo y la otra genera el movimiento: F mg sen el arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L, que coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño: F mg sen mg m a; a g a x L g L =mg 4 L g L L g Vemos que el periodo de la no depende del valor de la masa; solo depende de la longitud del hilo. La velocidad y la energía cinética del péndulo son máximas en la posición intermedia y nulas en los extremos. La aceleración y la energía potencial son máximas en los extremos y nulas en el centro. Fco Javier Corral 010

4 La energía potencial en los extremos es: La velocidad en el punto más bajo es: E mg L L cos mgl 1 cos 1 EC mv mgl 1cos E v gl 1cos Movimiento ondulatorio Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Cualquier punto al que llega una onda vibra de la misma orma que el punto en el que se origina pero un tiempo t más tarde; el que tarda en llegar la perturbación a ese punto. O x Si la onda se propaga con una velocidad v tardará un tiempo t en llegar a un punto que está a una distancia x del origen. A la distancia entre dos puntos consecutivos que están vibrando de la misma orma se le llama longitud de onda λ. El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo. x x t x y A sent t A sent A sen t A sen v v v t x A sen A sent kx En donde se llama pulsación propagación de la onda es v k y k es el número de ondas La ecuación del movimiento ondulatorio y A sen t kx k. La velocidad de es doblemente periódica: en el tiempo y en el espacio. Cada vez que pasa un tiempo igual al periodo, el valor de las magnitudes se repite y cada vez que se recorre una distancia igual a la longitud de onda los valores se repiten. Si derivamos respecto al tiempo: v t y A sen t kx y v A cost kx t y t a A sent kx A y Si derivamos respecto al espacio: y A sen t kx y Ak cos t kx x y x Ak sen t kx Ak y Fco Javier Corral 010

5 Si dividimos entre sí las segundas derivadas, tenemos: y y Ak y k t x x t A y y y v ; v Movimientos periódicos Clasiicación de las ondas: De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser: Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: Sonido. Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el vacío y todas se propagan con la misma velocidad. Ej: Luz Según la dirección de propagación: Ondas transversales: La dirección de vibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: onda en estanque. Ondas longitudinales: La dirección de vibración y la de propagación son coincidentes. Ej: sonido. rincipio de Huygens Cualquier punto que es alcanzado por una onda se convierte en emisor secundario de ondas y el nuevo rente de ondas es la envolvente de todas las ondas. Intererencias 1 x 1 x Se denomina intererencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su elongación es la suma de las producidas por cada onda. Vamos a ver el caso más sencillo de intererencias. Supongamos dos puntos 1 y en los que se están produciendo dos ondas idénticas con misma amplitud y misma recuencia: y A sen t kx 1 1 y A sen t kx El punto vibrará de acuerdo con la suma de las dos: y y y A sen t kx A sen t kx 1 1 Fco Javier Corral 010

6 A B A B Si recordamos que: sena senb sen cos tenemos que: t-kx1 t-kx t-kx1 t+kx y A sent-kx1 sent-kx Asen cos x1 x x x1 x x1 x1 x Asen t k cosk A cosk sen t k el punto vibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud varía en unción de los valores de x y x. 1 Intererencia constructiva Se dice que en un punto hay intererencia constructiva si la amplitud alcanza el valor máximo; las dos amplitudes se suman. Se produce intererencia constructiva en todos aquellos puntos en los que la dierencia de camino (x -x ) es igual a un número entero de longitudes de 1 onda. Intererencia destructiva Se dice que en un punto hay intererencia destructiva si la amplitud alcanza el valor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan. Se produce intererencia destructiva en todos aquellos puntos en los que la dierencia de camino (x -x ) es igual a un número impar de semilongitudes 1 x x x x x x1 n x x n 1 1 cosk 1; k n 1 x x x x x x1 n cosk 0; k n 1 x x1 n 1 de onda. Ondas estacionarias Se trata de un tipo especial de intererencia. Supongamos una cuerda, ija en los extremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el extremo de la cuerda y todos los puntos de la misma vibran como consecuencia de la intererencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios. y1 Asen t kx y Asen t kx y Asen t kx Asen t kx t kx t kx t kx t kx Asen cos y A cos(kx)sen( t) Fco Javier Corral 010

7 VIENRES NODOS Movimientos periódicos El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término ( t kx) y cada punto de la cuerda vibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto. Hay puntos que no vibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es λ/. Hay puntos que vibran al máximo, los vientres. La distancia entre dos vientres consecutivos es λ/. Entre dos vientres siempre hay un nodo y viceversa. Eecto Doppler Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda O E O 1 con una recuencia determinada. anto el observador 1 como el reciben la onda con la misma recuencia con la que se produce. Si el emisor se mueve hacia la derecha mientras emite ondas, llegan al observador 1 más juntas con lo que disminuye λ y aumenta la recuencia. El observador, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más O E O 1 separadas, con mayor λ y con menor recuencia. Al cambio de recuencia producido cuando varía la distancia entre el emisor de ondas y el observador se denomina eecto Doppler. Si el emisor se acerca al observador: v MVO MVO REOSO EMISOR v v v ONDA ONDA EMISOR MVO REOSO REOSO v v v ONDA ONDA EMISOR MVO v ONDA vonda v Si el emisor se aleja del observador, la velocidad del emisor tiene el signo contrario y la recuencia será: MVO v ONDA vonda v Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muevan a la vez el emisor y el observador: REOSO EMISOR EMISOR REOSO REOSO Fco Javier Corral 010

8 MVO v v ONDA ONDA v v OBSERVADOR EMISOR REOSO Movimientos periódicos En donde las velocidades son positivas si se produce un acercamiento y negativas si se produce un alejamiento. Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor recuencia o menor longitud de onda) cuando se acerca el emisor y más grave (menor recuencia o mayor longitud de onda) cuando se aleja del observador. Emisor en reposo v EMISOR =0 Emisor en movimiento v EMISOR <v ONDA Emisor en movimiento v EMISOR =v ONDA v ONDA t v EMISOR t Si el emisor se desplaza con una velocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas. or esta razón los barcos dejan una estela en orma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene orma cónica y el ángulo θ es tal que: vondat 1 vemisor sen ; m vemisort m vonda Donde m es el número de Mach que es la relación entre la velocidad del emisor y de la onda. ara el caso de un avión y del sonido indica la velocidad de un avión en unción de la del sonido en el aire (340 m/s). El eecto Doppler también se observa en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un objeto celeste con luz propia se acerca hacia nosotros (se produce un desplazamiento hacia el azul; menor longitud de onda) o si se aleja de nosotros en cuyo caso se produce un desplazamiento hacia el rojo (mayor longitud de onda). Fco Javier Corral 010

9 Atenuación Movimientos periódicos La intensidad de un movimiento ondulatorio es la energía que atraviesa una supericie unidad perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo E I 4r t 4r Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades será: I1 r I r1 La energía de una onda es proporcional a la amplitud: I1 A1 I A Y comparando las dos, tenemos: A1 r A r 1 La amplitud de la onda y la distancia al oco emisor son inversamente proporcionales con lo que la onda se va atenuando a medida que nos alejamos del oco. Absorción Supongamos una onda sonora de intensidad I que atraviesa una L pared de un material que tiene un coeiciente de absorción. La intensidad después de atravesar la pared será menor y depende del material del que esté hecha la pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda: I 0 I F IF di di I; dx dx I di L I I I0 0 Nivel de intensidad sonora. El nivel de intensidad de una onda sonora se deine como F x dx; Ln x; IF I0e I0 I 10 log en donde I es el valor de la I intensidad e I 0 el valor de la recuencia umbral, la más baja que se puede oír, 10-1 Wm -. Se mide en decibelios db. La intensidad máxima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es de 130 db que corresponde con I I I W I I I m log ; 13 log ; 10 ; I Fco Javier Corral 010