1. Introducción. 2. Clasificación de las ondas. Movimiento ondulatorio

Transcripción

1 Introducción Moimiento ondulatorio Cuando un punto material (centro emisor o foco) entra en ibración, interacciona con sus ecinos de modo que la perturbación se propaga por todo el medio con una cierta elocidad Estas perturbaciones transportan cantidad de moimiento y energía sin que haya transporte de materia Este tipo de transporte recibe el nombre de moimiento ondulatorio y la perturbación trasmitida onda Por lo tanto, un moimiento ondulatorio es la propagación de un moimiento ibratorio a traés de un medio y onda es la perturbación que se propaga a traés del medio Por ejemplo, los puntos que forman una cuerda ibran alrededor de posición de equilibrio pero no se desplazan a traés de ella, pues lo que se desplaza es la perturbación producida en un punto de ese medio Se llama pulso a una perturbación indiidual que se propaga a traés del medio (golpe dado en un extremo de una cuerda tensa) y tren de ondas a una perturbación continua que se propaga, formado por sucesios pulsos y que, para producirlo, se ha de suministrar continuamente energía al centro emisor Para que la onda se propague a traés del medio, éste debe ser inerte y elástico medida que la perturbación se propaga, la onda se amortigua debido: al grado de elasticidad del medio, pues se pierde energía en deformaciones si el medio es poco elástico; al rozamiento iscoso entre partículas del medio; al reparto de la energía de la partícula emisora entre un número cada ez mayor de partículas Clasificación de las ondas Según el tipo de energía que propagan: Mecánicas, materiales o elásticas: transportan energía mecánica Necesitan un medio material para su propagación (sonido) Electromagnéticas (EM): transportan energía electromagnética producida por oscilaciones de campos magnéticos y eléctricos No necesitan medio material para propagarse, por lo que pueden propagarse por el acío (luz) Según la relación entre las direcciones de propagación y de ibración: Longitudinales: las partículas de medio que las transmiten ibran u oscilan en dirección paralela a la propagación de la onda (sonido, ondas de un muelle) Este tipo de ondas repropaga en cualquier medio material Transersales: la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de ibración (onda EM, ondas en una cuerda) Onda longitudinal Onda transersal compresión Dirección de propagación expansión 3 Según la dirección de propagación de la energía: Unidimensionales ( cuerdas tensas): ondas planas o puntos frente de ondas Bidimensionales (ondas en un estanque): ondas circulares Tridimensionales (ondas acústicas, electromagnéticas): ondas esféricas En las ondas bi y tridimensionales se define el frente de ondas como el lugar geométrico de los puntos del medio que poseen el mismo estado de ibración, es decir, es el conjunto de aquellos puntos que son alcanzados por la perturbación en el mismo instante Dicho frente es circular en las ondas bidimensionales y esférico en las

2 Moimiento ondulatorio tridimensionales Si el medio es homogéneo (tiene la misma composición en todas sus partes) e isótropo (tienes las mismas propiedades en todas direcciones) la dirección de propagación es siempre perpendicular al frente de ondas Se llama a la línea perpendicular a los sucesios frentes de ondas; el coincide con la dirección en que se propaga la onda 3 Magnitudes características de una onda Velocidad de propagación o elocidad de fase (): es la rapidez con la que se desplaza la perturbación por un medio Esta magnitud depende de las características del medio y es independiente de las del foco emisor Es constante para un determinado medio y un tipo de perturbación Velocidad de ibración: es la rapidez con la que se desplaza una partícula del medio en torno a su posición central, esto es, es la elocidad del MS que describe la partícula y se modifica de un punto a otro ib ω cos( ω t + 0 ) Período (T): es el tiempo que tarda en recorrer una oscilación completa, que coincide con el tiempo que tarda la ona en reproducirse Frecuencia (ν): es el número de oscilaciones que realiza una partícula en la unidad de tiempo, que coincide con el número de eces que se reproduce la onda en la unidad de tiempo Longitud de onda (): es la distancia entre dos puntos consecutios que se hallan en el mismo estado de ibración, que coincide con la longitud que ha recorrido la onda por un medio determinado en un tiempo igual al período: T, siendo la elocidad de propagación ν mplitud (): en la máxima elongación con la que ibran las partículas, es decir, la máxima distancia entre la posición de una partícula y el centro de ibrción π Número de onda (k): es la cantidad de longitudes de onda comprendidas en π metros k 4 Descripción matemática del moimiento ondulatorio Ecuación de D lembert o de las ondas armónicas unidimensionales Supongamos un moimiento ondulatorio que iaja hacia la derecha con una elocidad constante a lo largo del eje X Si elegimos el sistema de referencia de modo que el foco del moimiento ondulatorio sea el origen de coordenadas, la ibración asociada al MS se realiza en la dirección del eje Y y la propagación de la onda en la dirección del eje X Por ello, y ( 0, t ) senω t medida que la perturbación aanza los puntos del medio an adquiriendo el mismo moimiento que el foco, pero con un retraso, que, para un para el foco en el instante t t' : x punto situado a una distancia x ale t ', por lo que la ecuación de la elongación para ese punto será la misma que

3 y ( x t ) y ( 0, t t' ) sen[ ω ( t t' )] sen ω t Moimiento ondulatorio x, : ecuación de propagación de la onda (moimiento ondulatorio unidimensional) Teniendo en cuenta las definiciones del apartado 3, podemos escribir la ecuación anterior como y sen( ω t kx ) El término ω t kx es la fase del moimiento ondulatorio Dado que la onda puede desplazarse tanto en el sentido negatio ( < 0) como positio ( > 0) del eje X se escribe en general y sen( ω t ± kx ) (el + para el negatio y el para el positio) demás, si cuando empezamos a medir el tiempo la perturbación posee una fase inicial 0 en el foco, la ecuación del moimiento ondulatorio quedará como y sen( ω t ± kx + 0 ), que es la ecuación más general traés de la ecuación de la onda se puede calcular la elongación o estado de ibración de la onda en cualquier instante y para cualquier punto La elongación depende de dos ariables y por ello recibe el nombre de función de onda Es doblemente periódica (respecto de la posición con período y respecto del tiempo con período T) Concordancia y oposición de fase Dos puntos están en fase cuando su diferencia de fase ale π rad (igual estado de ibración, es decir, iguales elongación y elocidad): π ( ω t kx ) ( ω t kx ) π n x x n n k para que dos puntos estén en concordancia de fase, la diferencia de sus distancias al foco debe ser un número entero de longitudes de onda Dos puntos están en oposición de fase cuando su diferencia de fase ale (n+) π rad: ( ) ( ) ( ) ( n + ) π ( n + ) ω t kx ω t kx n + π x x k Energía e intensidad del moimiento ondulatorio Una onda armónica transmite la energía de un oscilador armónico Si el medio es homogéneo, dicha energía se irradia en todas direcciones en forma de ondas esféricas con una elocidad constante, por lo que la energía se a repartiendo sobre superficies esféricas y concéntricas, siendo el foco el centro de las esferas demás, si no hay rozamiento, la energía mecánica permanece constante E m mω π mν cte Si consideramos una onda esférica y tomamos la energía de un elemento de masa dm se obtiene: dm ρ dv 4π ρ r dr 3 de m 3 dr 3 de m π ν dm 8π ρ ν r dr 8π ρ ν r 8π ρ ν r P ν r dt dt siendo P la potencia, la elocidad, V el olumen Para determinar la energía que transporta un onda mecánica se define la intensidad de onda como la potencia que atraiesa una unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda: I P S ν r I ν r En el caso de una onda plana, la energía que pasa por una superficie situada a una distancia r será la misma que la que pasa por otra superficie paralela situada a una distancia r, por lo que la intensidad no ariará de una a otra superficie Sin embargo, si la onda es esférica, conforme la onda se aleja del foco, la energía, que es constante, debe distribuirse por una superficie cada ez mayor Por lo tanto, y dado que la potencia transmitida por la onda es constante, se erifica que la intensidad es inersamente P P I r proporcional al cuadrado de la distancia I I, I r 4 π r 4 π r I r 3

4 Moimiento ondulatorio Por lo que respecta la amplitud de la onda, como P ν r y P es constante, r r r : la amplitud disminuye conforme la onda se aleja del foco r r También se puede relacionar la intensidad y la amplitud: Óptica Física Influencia del medio: índice de refracción I I r I I r Se define el índice de refracción de un medio n como el cociente entre la elocidad de la luz en el acío c y la elocidad de la luz en el medio: n, n, adimensional Se acepta que n aire nacío 0 c 0 Usando la longitud de onda en el acío podemos escribir 0 c T n n Principio de Huygens Todos los puntos del medio alcanzados por un frente de ondas se conierten en centros emisores denueas ondas elementales La enolente a todos ellos constituye el nueo frente de ondas Debido al artificio geométrico aparecen unas ondas de retroceso que no propagan energía (irían hacia tiempos negatios) Este principio permite explicar las figuras de difracción que se obtienen cuando la luz atraiesa una rendija pequeña Reflexión y refracción n incidente n î rˆ tˆ normal reflejado refractado La reflexión es el fenómeno que ocurre cuando una onda que se propaga por un mdio choca contra la superficie que lo separa de otro medio de propiedades elásticas diferentes La refracción ocurre cuando la onda se propaga por el otro medio En la reflexión, al no haber cambio de medio, el espacio recorrido por la onda antes y después de la reflexión en el mismo tiempo coincidirá, por lo que iˆ rˆ (Ley de Snell para la reflexión): el ángulo de reflexión coincide con el de incidencia En la refracción, y basándonos en la construcción de la izquierda (el espacio recorido por la luz en un tiempo t) podemos escribir: sen iˆ BC t C sen i t C sen tˆ ˆ; ' De acuerdo con la sen tˆ c c n sen iˆ definición de índice de refracción,, n n n sen tˆ De aquí se obtiene la Ley de Snell para la refracción: n sen iˆ n sen rˆ 4

5 Obsera que: si n > n sen tˆ > sen iˆ tˆ > iˆ el refractado se aleja de la normal si n n entonces iˆ rˆ, pues sería un reflexión si n < n sen tˆ < sen iˆ tˆ < iˆ el refractado se acerca a la normal Moimiento ondulatorio Interferencias En un medio elástico pueden propagarse simultáneamente dos o más ondas producidas en focos diferentes Se produce una superposición de ondas ya que el desplazamiento real de cada punto del medio es la suma ectorial de los desplazamientos que cada onda produciría por separado La acción simultánea sobre una partícula de dos o más moimientos ondulatorios se denomina interferencia de ondas Si los moimientos ondulatorios que se superponen en un punto tienen la misma frecuencia, las interferencias afectan a las amplitudes y a la intensidad Supongamos que un punto P está situado a una distancia x del foco de una onda armónica de amplitud y a una distancia x del foco de una onda armónica de amplitud Para simplificar los cálculos trataremos sólo el caso en el que ambas ondas tienen la misma frecuencia y están en concordancia de fase: y sen ( ω t kx ) sen + sen y R y + y + + cos( ); tg R y sen( ω t kx ) cos + cos donde kx, kx Se define la diferencia de fase como π δ k ( x x ) ( x x ) ; : fase inicial del MS resultante R La amplitud es máxima cuando +, para lo que cos( ) π cos δ δ n π rad ( x x ) n π x x n : δ la interferencia de dos ondas armónicas produce un MS de amplitud máxima en aquellos puntos en los que la diferencia entre las distancias que hay hasta R los focos emisores de las ondas es un número entero de longitudes de onda (interferencia constructia) La amplitud es mínima cuando, para lo que ( ) ( n + ) cos π cos δ δ ( n + ) π rad ( x x ) ( n + ) π x x : la interferencia de dos ondas armónicas produce un MS de amplitud mínima en aquellos puntos en los que la diferencia entre las distancias que hay hasta los focos emisores de las ondas es un número impar de semilongitudes de onda (interferencia destructia) Difracción Diagrama de Fresnel La difracción se puede definir como el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda ésta se encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda Es una característica del moimiento ondulatorio y proporciona el orden de magnitud de la longitud de onda de las ondas que se propagan 5