ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES (256) SEMANA 3 CLASE 8 MIÉRCOLES 25/4/12 1. Creciiento poblacional. La idea básica es deterinar el taaño futuro de una población suponiendo que su tasa de creciiento es conocida y el odelo ateático a escoger depende de las hipótesis que se establezcan para el fenóeno. ara el caso de organisos vivos cuando la población es pequeña en coparación con la disponibilidad de ciertas necesidades tales coo: alientos, espacio físico, etc, se genera una eficiente aproxiación ediante la siguiente hipótesis: La tasa de variación de la población en un tiepo cualquiera es proporcional al núero de individuos presentes en dicho tiepo. 2. Modelo ateático. El odelo ateático basado en la hipótesis anterior es d dt =, > donde : núero de individuos al tiepo t : constante de proporcionalidad t: tiepo Esta ecuación es de variables separables, resolviendo: d + C1 C1 = ln = + C1 = e = e e = Ce. Así, si inicialente = (para t = ) se obtiene = e. 3. Observación de interés. La hipótesis anterior puede odificarse para ajustarla al estudio de una counidad de individuos dada: En una counidad dada, la disponibilidad de necesidades básicas para la vida es constante y suficiente para antener una población En este caso la ecuación d dt = debe odificarse ya que la proporcionalidad debe establecerse toando en cuenta la población áxia adisible se toa = f(, ) y en todo caso lí f(, ) =. En definitiva la ecuación diferencial que rige el creciiento sería d f(, ) dt = cuyo nivel de dificultad dependerá del factor cuando o bien, para esto f(, ). El caso ás sencillo ocurre f(, ) = en donde la ecuación anterior se convierte en d ( ) dt = rof. José Luis Quintero 37

2 2 d dt =, que es una ecuación de Bernoulli, una vez resuelta se obtendrá y toando () = se obtiene donde puede observarse fácilente que = 1 + Ce t t + = ( )e t lí =., 4. roblea 5. Las bacterias de cierto cultivo auentan con una intensidad proporcional al núero presente. Si en edia hora el núero original auenta en un 5%, en cuántas horas se puede esperar que haya el triple del núero original? De acuerdo al enunciado, la ecuación diferencial asociada al problea es d dt = cuya solución es = e. Coo datos del problea, se tienen: () = ( ) (t) = 3 para t =? = = 2 Usando la segunda condición se obtiene = e = 2.ln 2 2. Usando la tercera condición se tiene ln(3) 3 = e e = 3 t = 1.36 horas. 5. roblea 6. or creciiento natural, una ciudad de 4. habitantes se duplicaría en 5 años. Debido a udanzas la población auenta adicionalente en 4 personas por año. Calcule la población a los 1 años. Si se supone que el creciiento es natural (auento proporcional a la cantidad presente), la ecuación diferencial para el problea sería d e dt = =. Adeás, para t = 5 años, = 2 y deterinando : = e = ln(2). 5 Debido a las udanzas al auento natural habrá que añadirle 4 personas por año, la ecuación diferencial en este caso es d 4 dt = +, donde rof. José Luis Quintero 38

3 1 = ln(2). 5 Resolviendo se obtiene d 1 = dt ln + 4 = t + C. + 4 Despejando : 1 = (c1e 4) ; para t =, = = 4 habitantes. Así: 1 4 = (c1 4) c1 = = 8 ln(2) + 4. La población al cabo de 1 años es: ln(2) = (C1 e 4) = [(8 ln(2) + 4)e 4] ln(2) 5 = [4(8 ln(2) + 4) 4] habitantes. ln(2) 6. Desintegración radioactiva. ara establecer un odelo ateático que aplique en este curso, se verá la siguiente ley: La velocidad de desintegración de una sustancia radioactiva es proporcional, en cualquier instante, a la cantidad de sustancia que se halle presente. Es evidente la analogía entre este fenóeno y el creciiento de población discutido anteriorente; para forular la ecuación que rige un proceso de este tipo (que resultará siilar a la de creciiento de población) se definen las siguientes variables: S: Cantidad de sustancia presente en el tiepo t. t: tiepo edido a partir de cierto tiepo inicial. 7. Modelo ateático. La ecuación que rige el fenóeno es ds S ( ) dt = <, donde es una constante negativa que se denoina coeficiente de desintegración y depende del aterial radioactivo. Se tiene que ds/dt tabién es negativo, esto es: S decrece al auentar t. Coo la ecuación es de variables separables puede obtenerse en fora sencilla la solución: S = ce y si se conocen las condiciones iniciales: S() = S (para t = ), se obtiene la expresión: S = S e ( < ). El tiepo para el cual se ha desintegrado la itad de la cantidad inicial de la sustancia radioactiva estudiada se denoina tiepo de vida edia. Al calcular el tiepo de vida edia en función del coeficiente de desintegración se tiene: ara t = t, S = S 2; luego: S.t ln(2) = S e t = ( < ). 2 rof. José Luis Quintero 39

4 Se puede concluir que independienteente de la cantidad inicial dada de cierto aterial radioactivo, el tiepo de vida edia es siepre el iso. 8. roblea 7. Un bloque de cierto aterial radioactivo tiene una asa de 1 grs y, cuando se le observa después de 2 años su asa ha disinuido a 8 grs. Deterine: a. Cuánto tiepo transcurrió para que se desintegraran 1 grs? b. Cantidad de aterial presente 5 años después del oento inicial c. Tiepo de vida edia La ecuación diferencial ds S dt = aplica para este caso con S edido en graos y t en años. La solución es con S S = 8 grs. Se calcula el valor de la constante : para t 2 años = 8 grs, de odo que: = 1e = ln a. Si se desintegraran 1 grs iplica que S es igual a 9 grs: ( ) 9 ln( ) 2ln( ) 1 9 = 1e t = = 9.44 años ln( ) b. Se calcula S para t = 5 años. ln2 2ln2 = = años. ln( ) c. t S = 1e grs. S = S e = se tiene 9. roblea 8. Si el 2% de una sustancia radioactiva se desintegra en 5 años, encuentre el tiepo de vida edia de la sustancia. Es fácil deducir que ln(2) t = y el problea se reduce a calcular : para t 5 años S =.8S por lo tanto: = 5 ln(.8) 3.8S = Se = En definitiva 5ln(2) t = años. ln(.8) 1. Ley de enfriaientode Newton. Los experientos han deostrado que, bajo ciertas condiciones, se puede obtener una buena aproxiación de la teperatura de un objeto, usando la ley de enfriaiento de Newton, que puede enunciarse de la anera siguiente: La teperatura de un cuerpo cabia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de teperatura entre el edio externo y el cuerpo. rof. José Luis Quintero 4

5 11. Modelo ateático. La ecuación diferencial para este caso es (T T ) ( ) dt = <, donde: T: Teperatura del cuerpo al tiepo t T : Teperatura del edio externo al tiepo t : Constante de proporcionalidad t: Tiepo transcurrido a partir del inicial ara el caso en que separables y tendrá coo solución: T se considera constante, la ecuación es de variables T T = dt T = T + ce. Si T es la teperatura del cuerpo en el instante t =, la solución de la ecuación es T = T + (T T )e ( < ). Se analizarán dos posibles casos: el enfriaiento y el calentaiento. Cuando T es ayor que T el cuerpo se irá enfriando y su teperatura T irá aproxiándose a T a edida que el tiepo transcurre. Es claro que en este caso T T es positivo y (T T ) dt = es negativo (ya que < ), lo que indica que la teperatura del cuerpo disinuye con el tiepo, para acercarse a T. ara el caso de calentaiento el razonaiento es siilar al anterior. En los casos en que la teperatura del edio no pueda considerarse constante sino que T = f(t) la ecuación diferencial es (T f(t)) ( ) dt = <. Se tiene una ecuación lineal de prier orden en T ya que puede escribirse coo T = f(t) ( ) dt < dt cuyo factor integrante es ρ = e = e y cuya solución es de la fora dada por T = e e f(t)dt + C, donde la constante C deberá calcularse a partir de las condiciones iniciales. 12. roblea 9. Un cuerpo ha tardado 2 inutos en enfriarse de 1 C a 6 C, en una habitación de teperatura constante igual a 2 C. a. Halle la ley de enfriaiento del cuerpo b. Calcule el tiepo que tardará en enfriarse a 3 C ara este caso T = 2 C, es decir, constante. rof. José Luis Quintero 41

6 a. La ecuación diferencial es (T T ) (T 2) dt = =. Al separar variables e integrar se obtiene: T = 2 + c.e. ara t, T = T = 1 C = y sustituyendo: 1 = 2 + c c = 8 y falta obtener a para deterinar la ley de enfriaiento. ara t = 2 in, T = 6 C, sustituyendo 2 ln(2) 6 = 2 + 8e = Así, la ley de enfriaiento será: T = 2 + 8e.347t. ln(1 /8) b. 3 = 2 + 8e t = = 6 in. (ln2) /2 13. roblea 1. Si la teperatura de un objeto baja de 8 C a 6 C en 2 inutos, encontrar la teperatura al cabo de 4 inutos, si la teperatura del. edio abiente es de 2 C Se escribe la ecuación diferencial (T 2) T 2 c.e. dt = = + ara t = se obtiene c = 6 por lo que la solución quedará: t = 2 in, T = 6 C por lo cual: La solución viene dada por Así, para t = 4 in; ln(2 /3) 6 = 2 + 6e = T = 2 + 6e.22t..224 T = 2 + 6e = 46.7 C. T = 2 + 6e. ara rof. José Luis Quintero 42