División 1. Conceptos de Incertidumbre Coeficientes de Seguridad

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1 CAPITULO 3 TENIONE Y DEFORMACIONE. REVIIÓN DE PRINCIPIO FÍICO División 1 Conceptos de Incertidubre Coeficientes de eguridad

2 1. El problea de la Incertidubre Cuando se deben diseñar y calcular eleentos de áquinas, noralente se presentan diferentes factores con conllevan a una falta de certeza en el procediiento. Entre tales factores se pueden encionar: Las propiedades (en térinos cuantitativos) del aterial (resistencia, ódulo de elasticidad, densidad, etc.) La falta de hoogeneidad de un aterial, es decir las variaciones de un punto a otro en las propiedades. El efecto de los trataientos téricos en las propiedades Los efectos en el estado tensional de ensables cercanos, tales coo soldaduras, ajustes por contracción, etc. La intensidad y la distribución de las cargas. La verdadera eficiencia de un odelo analítico para reproducir la realidad. Los efectos del tiepo en las propiedades de resistencia y de geoetría. Los efectos de deterioro superficial coo el desgaste y la corrosión, entre otras. La verdadera longitud de la lista de incertidubres. Ahora bien, la tarea del ingeniero es acotar el grado de incertidubre de una anera fiable o ensurable, es decir en fora CUANTITATIVA. La incertidubre está siepre al lado de cada cabio. Las propiedades de los ateriales que pueden variar a lo largo del tiepo, la distribución de la carga, la seguridad del étodo de fabricación del aterial y/o piezas de un accesorio, entre otras tantas, son preocupaciones peranentes que posee un ingeniero en su trabajo habitual. Para lidiar con esta incertidubre, históricaente se ha recurrido a diferentes etodologías o esqueas prácticos, que fueron evolucionando y adaptándose en la edida que las técnicas ingenieriles se perfeccionaban. La respuesta a la incertidubre Desde los albores de la huanidad civilizada (estiado en 4000 años AC) los ingenierosconstructores han utilizado diferentes étodos para solucionar el problea de la incertidubre. Dos de los étodos ás antiguos, aun pueden utilizarse selectivaente dado que han sido ideados uchos siglos antes de que fuera establecido el concepto de Tensión, debido a las investigaciones de Cauchy (1820). Los otros étodos que se verán recurren al concepto de Tensión, así coo tabién al concepto de confiabilidad, que se halla vinculado con aspectos estadísticos o estocásticos.

3 a) El Método de iitación del éxito. Tabién denoinado étodo roano. Este étodo apuntaba (y en algunos casos aún apunta) a reproducir los casos constructivos que han tenido éxito y han durado. Este étodo fue registrado por Vitruvius (en el siglo I antes de Cristo) coo ya conocido por los acedonios en el siglo III antes de Cristo. b) El étodo del Factor de eguridad de Carga, denoinado tabién étodo de Pilos de Bizancio (datado en el siglo III AC). La esencia de este étodo involucra establecer la relación entre la carga de pérdida de una función (resistencia, desplazaiento áxio, etc.) y la carga ipuesta. es decir: carga de pérdida de la función n d (3.1) carga ipuesta c) El étodo de la tensión perisible. Este étodo consiste en establecer un valor de la tensión de cálculo coo fracción de la propiedad ás significativa del aterial, es decir la resistencia. La fracción se elige sobre base de la experiencia conjunta de ingenieros que han hecho diseños exitosos. Este étodo ha sido desarrollado durante el siglo XX y principalente encauzado por el AIC (Instituto Aericano de Aceros para la Construcción). d) El étodo de la tensión perisible vía el étodo del factor de diseño. Para entender este enfoque es necesario fijar un par de ejeplos. En deterinado estudio, una vez seleccionado el factor de seguridad (según el étodo de Pilos), se habrá obtenido un diáetro de perno de 1.12 c, que se extiende a 1.5 c por el contenido de stock, coo tabién se pueden haber calculado una cantidad de 6.6 bulones y se adoptan 7 bulones. Estas odificaciones, cuando se efectúa un cálculo inverso, conducen al increento del factor de seguridad real. En este sentido hay que efectuar una distinción entre el objetivo, que conduce al Factor de Diseño y la realización, que conduce al Factor de eguridad. La tensión perisible (denoinada en algunos textos coo esfuerzo perisible) se puede obtener con la siguiente expresión: resistencia per (3.2) nd donde es el exponente de la carga en la ecuación donde se obtiene el valor de la tensión en función de la carga. n d es el factor de diseño. e) El étodo del factor de diseño estocástico: surgido de la probleática ingenieril de la aeronáutica y astronáutica, tiene su foco de interés en el coportaiento de todos los eleentos de una áquina funcionando coo un conjunto. Esta concepción conduce al concepto de CONFIABILIDAD. La incertidubre de los valores de tensión perisible, resistencia se puede cuantificar. El factor de diseño se define coo:

4 n d (3.3) donde n d,, y son variables aleatorias que poseen paráetros estadísticos coo el valor edio, la desviación estándar, distribución deterinada, etc. En consecuencia, este étodo recurre a técnicas de probabilidad y estadística, para obtener un deterinado valor edio de n d, con el cual alejar lo suficiente la tensión edia de la resistencia edia. De esta anera se puede obtener que la tensión edia sea: d n d de fora per (3.4) n La etodología para analizar los casos b) a d) es conocida y propia de cursos de Resistencia de ateriales. En cabio la etodología para eplear el caso e) exige conociientos de estadística y de probabilidad, y se verá ás adelante de este Capítulo. El concepto de tensión y el de Resistencia En las (3.2) se puede observar la referencia a una tensión perisible y a una resistencia. Estos, son dos conceptos que deben quedar claros. Cuando se efectúa una coparación entre tensión y resistencia en un lugar crítico de una pieza, coo en el caso de la ecuación (3.2), suele ocurrir que se pretende establecer la resistencia de la pieza en un sentido geoétrico y condición de uso, según puede evidenciarse en la Figura 3.1. Ahora bien el concepto de la palabra resistencia iplica un estado específico de la tensión del aterial de la pieza en el que ocurre algo especial en la pieza, donde se odifica (generalente se reduce) la función de la pieza. En este sentido se entenderá que resistencias pueden ser tanto El líite de proporcionalidad elástico o líite de fluencia coo tabién El líite de fluencia al 0.2% coo tabién El líite de rotura coo tabién El líite de resistencia a la fatiga, y así siguiendo. En este contexto, cuando se deba establecer un cálculo para diensionar una pieza, el valor de la tensión de cálculo o perisible saldrá de la ecuación (3.2) con el factor de diseño apropiado. El concepto de CONFIABILIDAD Los diseños actuales tienen una ayor presión sobre aspectos de la responsabilidad legal y la exigencia de cuplir con deterinados reglaentos o regulaciones fijados por agencias gubernaentales, nacionales o internacionales, entre las que se puede citar EPA (Environental Protection Agency), OHA (Occupational afety and Health Adinistration)

5 y la OECD (Organization for Econoic Co-operation and Developent). Las dos prieras son norteaericanas, y la últia europea. El étodo de la confiabilidad de diseño, consiste en deterinar las tensiones y las resistencias para después relacionar abas y obtener un índice de éxito aceptable. Figura 3.1. entido Geoétrico de resistencia en cuanto a la confiabilidad de diseño, (a) ás seguro que (b) La confiabilidad de un eleento de áquina es la edida estadística de la probabilidad para que el eleento de áquina no falle en funcionaiento. La confiabilidad se expresa con un núero contenido en el intervalo [0,1) es decir: confiabili dad R 0, 1 (3.5) Una pieza con una confiabilidad R = 0.95, iplica que sobre 100 piezas, 95 se antienen funcionando sin probleas y 5 presentan fallas. Queda claro que el intervalo, excluye el valor 100%, ya que es poco probable que exista una confiabilidad absoluta. En el étodo de confiabilidad, el ingeniero tiene efectuar una selección adecuada de ateriales, procediientos de fabricación, diensiones, etc. para hacer confiable a la pieza y/o áquina en una probabilidad deterinada. Los étodos nuéricos ás conocidos para encarar este problea de la confianza, se denoinan, étodo de la propagación de errores, étodo de la propagación de incertidubre. Ejeplos de estos étodos se verán ás adelante. 2. El Enfoque Estadístico Cuando un ingeniero tiene que velar por el buen funcionaiento de una línea de producción, el prier estiador que se exige coo control del funcionaiento global de la línea de producción, es la calidad del producto. i un producto, para fijar ideas considérese un perno de pistón, se halla fuera de los árgenes de tolerancia establecidos para el diáetro, esto

6 iplica el proceso de producción en alguna etapa no funciona adecuadaente y se debe replantear. Durante un proceso de ecanizado (sea por control nuérico coputado o anual) suelen ocurrir contingencias, algunas previsibles y otras no, que pueden odificar las diensiones de una serie de piezas. Los enfoques estadísticos periten analizar si la partida de piezas hechas posee las cualidades exigidas en térinos de valores estadísticaente representativos, los cuales son el valor edio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la uestra. A su vez, variables aleatorias distribuidas en deterinada fora, pueden servir para estiar coeficientes de seguridad confiables. Los tópicos necesarios para encarar este enfoque se extraen de cursos forales de probabilidad y estadística, no obstante ello, un resuen de conceptos de estadística se ofrece en el Apéndice 2. Un ejeplo introductorio. Estiación de Paráetros Estadísticos Un ingeniero debe aceptar una partida de varilla redonda de 51 de acero 1035 lainado en caliente para la fabricación de pernos en un torno CNC. e deben estiar los principales paráetros estadísticos para aceptar la partida de dos toneladas cuyo fabricante asegura posee una resistencia edia a la rotura de 496 Mpa y un coeficiente de variación de e han toado varillas al azar y se aquinaron 9 probetas para ensayo tractivo, cuyo resultado se exponen en la Tabla 3.1 Muestra ( ut ) i [( ut ) i ] 2 1 4,399E+08 1,935E ,440E+08 1,971E ,606E+08 2,121E ,613E+08 2,128E ,730E+08 2,237E ,854E+08 2,356E ,985E+08 2,485E ,012E+08 2,512E ,137E+08 2,638E+17 ua 4,277E+09 2,038E+18 Tabla 3.1. Valores del ensayo. El valor edio de la uestra se obtiene de la ecuación (A2.2): 1 N N j E08 475MPa ut El valor de la desviación estándar se obtiene de la ecuación (A2.3) ut j

7 fi Versión N N 2 ut ut j j j 1 j 1 ut. de 1 N N E MPa De las dos anteriores se puede obtener el coeficiente de variación coo: C ut de X. ut Coo se puede apreciar, el coeficiente de variación es uy siilar al suinistrado por el fabricante, pero la edia está un 4% por debajo de lo que el fabricante asegura. i bien tal porcentaje no es aparenteente sustancial, no puede asegurarse que el iso no presente confiabilidad. Esto debe ir de la ano con un cálculo adicional del coeficiente de seguridad a eplear y verificar que cuple con los estándares que exigen confiabilidad, por ejeplo del 98% o ás, típicos de uchas industrias coo la aeronáutica y aeroespacial. i se desea efectuar un análisis siilar al precedente pero epleando los conceptos de intervalos de clase y frecuencia de clase (ver las ecuaciones del Apéndice 2) se verá que los valores de la edia, desviación estándar y coeficiente de variación son ligeraente distintos. in ebargo con los conceptos encionados establecen la idea de la distribución de la uestra, tal coo se evidencia en la Figura 3.2, propia del ejeplo evaluado. 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 4,49E+08 4,68E+08 4,86E+08 5,04E+08 ut Figura 3.2. Distribución de la uestra del ejeplo en histograas. Con este ejeplo se establece una priera aproxiación, uy eleental al concepto de confiabilidad y sus relaciones con las distribuciones de una variable aleatoria. Las distribuciones de las variables aleatorias aplicadas a la estiación de los factores de diseño y de seguridad Las variables aleatorias asociadas a distintos fenóenos se pueden representar según diferentes distribuciones de acuerdo con las observaciones estadísticas efectuadas. Algunas distribuciones conocidas de variables aleatorias se enueran a continuación:

8 Distribución Noral o de Gauss Distribución Logarítica o log-noral Distribución de Weibull Distribución T de tudent Distribución F de nedecor En este curso se le prestará ayor atención a las prieras tres por ser las de ayor injerencia en el undo de la ingeniería en cuanto al estudio de confiabilidad de la resistencia de un aterial coo el acero, en cuanto a las variantes en diensiones y tolerancias de piezas, sus ajustes, etc. Las distribuciones encionadas arriba son funciones continuas de densidad de probabilidad. Por otro lado los ensayos que se efectúan sobre piezas o series (interpretables coo variables aleatorias) son representaciones discretas. e eplearán las prieras sobre la base de resultados obtenidos con las segundas para poder establecer valores confiables de los coeficientes de diseño y de seguridad. En esta tarea intervienen distintos aspectos de las distribuciones de las tensiones de rotura, fluencia, etc. Deterinación del coeficiente de seguridad con la Distribución Noral e supone que la resistencia del aterial (rotura o fluencia según convenga) y la tensión actuante en una pieza particular, poseen distribución noral, dadas por ~N(, de ) y ~N(, de ) respectivaente. e establece un argen de tensión definido por =. El argen de tensión posee tabién distribución noral de anera que ~N(, de ). La confiabilidad es la probabilidad P de que i > 0. La función de confiabilidad estipulará entonces que: R P P 0 P 0 (3.6) e recordará que la función de densidad de probabilidad siguiendo la distribución Noral de Gauss tiene valor edio nulo y desviación estándar unitaria. Ahora bien, para hallar la probabilidad de cuplirse >0, se debe introducir una variable aleatoria dentro de que se definirá coo Z: Z de i (3.7) Luego, en la expresión (3.7) se sustituye = 0 para poder noralizar la distribución, y teniendo en cuenta que = - y que de =( 2 de + 2 de ) -1/2, se obtendrá que Z vale: Z 0 (3.8) 2 2 de de de

9 Recurriendo a la definición del Apéndice 2, (A2.10) y al concepto de probabilidad asociado con la distribución noral se tiene que la confiabilidad vendrá dada por: R 1 2 u 2 Z exp du 1 Z 1 2 Z 1 2 Z 2 u exp du 2 (3.9) La variable u en la expresión (3.9) es una variable uda solo para efectuar la integración. Téngase presente que las funciones (Z) y R(Z) están tabuladas o bien se pueden resolver en fora nuérica en paquetes coo Matheatica o Matlab. Ahora bien un coeficiente de seguridad edio podría obtenerse de la siguiente expresión: n (3.10) i se eleva al cuadrado la (3.8) y se eplean las definiciones de los coeficientes de variación para las variables y, es decir C y C, luego quedará una ecuación cuadrática en n, de donde surge: 1 n Z C 1 Z C Z C (3.11) Para este coeficiente de seguridad y/o diseño (según se eplee), el signo positivo del segundo térino del nuerador está asociado a confiabilidad ayor al 50% (R>0.5) y el signo negativo a confiabilidad enor al 50% (R<0.5). Un ejeplo para fijar ideas Un acero 1018 redondo estirado en frío tiene una resistencia a la fluencia bajo una distribución noral de y ~N(78400, 5900) psi, se va a soeter a una tensión de carga estática con distribución noral de P ~N(50000, 4100) lb. Cuál es el factor de diseño n de anera que tenga una confiabilidad de 99.9% contra la fluencia? En la Figura 3.3 se uestra una porción de la Tabla 3.2 donde se puede apreciar que para una confiabilidad de 99.9%, es decir R(Z)=0.999, se tiene que Z = Dadas las condiciones anteriores, para resolver este problea es necesario establecer valores de la tensión actuante debida a la carga P. El coeficiente de variación para la Resistencia a Fluencia vale: C de (a) La variable aleatoria de la tensión resistente se establece en función de la variable P. De anera que siendo el diáetro tabién una variable aleatoria pero con un coeficiente de variación uy pequeño, lo considerareos constante. Así

10 4P (b) 2 d Luego el coeficiente de variación C se obtiene a seejanza de C P para la variable P: Pde 4100 C CP (c) P Luego de la ecuación (3.11) con Z = -3.09, C y C se obtiene n (d) De tal anera que el diáetro del perno será 4P d pul (e) / n Y Veaos ahora de hacer unas coprobaciones. iendo el diáetro constante, el área tabién lo será con un valor de pul 2. En virtud de ello. El valor edio de la tensión resistente será Luego las desviaciones estándar de y, serán P psi (f) A de de 4526 psi 590 psi Ahora bien reeplazando los valores edio y desviaciones estándar de y, en la ecuación (3.8), se obtendrá que Z (h) en consecuencia reeplazando este valor de Z en la tabla se obtiene una confiabilidad de 99.91% es decir R(Z) = , con lo cual el coeficiente de seguridad tiene la confiabilidad requerida. (g) Figura 3.3. Porción de la Tabla 3.2. Recordar que R(Z)=1-(Z) y que (Z) es lo que se tabula en las Tablas 3.2 Los cálculos anteriores se pueden efectuar sin necesidad de tablas en el contexto del prograa Matheatica. Así pues en el siguiente recuadro se puede eplear un coando de Matheatica para generar las funciones (Z) y R(Z):

11 Obsérvese que se ha calculado R(Z) con dos alternativas llaadas RZ1 y RZ2 pero que coo se puede ver valen lo iso (para fijar conceptos efectúe algunos ejeplos adicionales en una hoja de cálculo de Matheatica). En consecuencia si se tiene la función R(Z) con confiabilidad 99.9% o bien R(Z)=0.999, y se desea saber el valor de Z correspondiente se eplea el siguiente coando: Que calcula nuéricaente el valor de la raíz de la ecuación R(Z)=0.999 que es siilar al valor de la tabla hasta el segundo decial. Finalente para saber el valor de la confiabilidad R(Z) para Z = según resulta de la expresión (h) se eplea el siguiente coando:

12 Nótese que epleando Matheatica se ha obtenido el iso resultado que con la etodología tabular. 3. Tablas para el cálculo de Confiabilidad La siguiente Tabla presente valores integrados de la función de distribución noral estandarizada N(0,1) para su utilización en las deterinaciones de coeficientes de seguridad por edios estocásticos epleando la Distribución Noral estrictaente, es decir: Z 1 x dx 2 Z 2 exp 2 Tabla 3.2. Valores integrados de la función de distribución noral estandarizada. Extractada de Ref[1]

13 4. Bibliografía [1] J.E. higley y C.R. Mischke, Diseño en Ingeniería Mecánica, McGraw Hill 2002 [2] B.J. Harock, B. Jacobson y.r. chid, Eleentos de Máquinas, McGraw Hill 2000 [3] R.L. Norton, Diseño de aquinaria, McGraw Hill 2000