División 3. Trenes de engranajes. Descripción Cinemática

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1 CAPITULO 9 TRENES DE ENGRANAJES, REDUCTORES PLANETARIOS Y DIFERENCIALES División 3 Trenes de engranajes. Descripción Cineática

2 . Descripción General Introducción Un tren de engranajes es un ecaniso forado por varios pares de engranajes acoplados de tal fora que el eleento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. Suele denoinarse coo la cadena cineática forada por varias ruedas que ruedan sin deslizar entre sí; o bien coo cualquier sistea de ejes y ruedas dentadas que incluya ás de dos ruedas o tande de ejes y ruedas dentadas. En la Figura 9.45 se uestra un ejeplo genérico de un sistea de engranaje o tren de engranajes. Generalente se recurre a ellos porque no es posible establecer una deterinada relación de transisión entre dos ejes ediante un solo par de ruedas dentadas; o tabién porque se desea obtener un ecaniso con relación de transisión variable, lo que tapoco es posible con un solo par de ruedas. Figura Ejeplo genérico de Tren de engranajes Los casos ás frecuentes en los que la relación de transisión i no puede ser generada solaente por dos ruedas son: - Cuando la relación de transisión i es uy distinta de la unidad: Por un lado, teneos el núero ínio de dientes que pueden tallarse sin que se produzca interferencia de tallado. Tabién existen algunas liitaciones constructivas que establecen el núero áxio de dientes que se pueden tallar en un engranaje. La razón principal es que los errores coetidos durante el tallado, aunque sean uy pequeños y tal vez no influyan en el engrane de una deterinada pareja de dientes, son acuulativos. Coo consecuencia, el últio diente tallado puede quedar excesivaente cerca o lejos del priero falseando el paso y haciendo que el engranaje no funcione correctaente. De ahí que generalente no se suele aditir pasar de 200 dientes en engranajes industriales (reductores de velocidad de turbinas uy rápidas) y de 00 en ecánica fina de precisión; si bien no se llega a estos líites ás que en casos excepcionales. Por otra parte, se sabe que pueden construirse ruedas con <2/Sen 2 [ϕ] tallando engranajes corregidos. - La relación de transisión i viene definida por una fracción irreducible i = A/B dentro de los árgenes descritos en el punto anterior, pero tal que A > z áx y B > z áx.

3 - La relación de transisión i viene definida por un núero racional (por ejeplo i= , etc ) que no puede establecerse con la suficiente aproxiación ediante un único par de ruedas de diensiones liitadas. - La relación de transisión i ha de establecerse entre dos ejes excesivaente alejados coo para establecer la transisión ediante sólo dos ruedas de diensiones norales. En ocasiones, cuando sucede este tipo de probleática, la solución puede estar en buscar otro tipo de transisión coo correas o cadenas. Clasificación de los trenes de engranajes Los trenes de engranajes se pueden clasificar de la siguiente anera: - Trenes ordinarios: o Trenes ordinarios siples. o Trenes ordinarios copuestos - Trenes epicicloidales o Trenes epicicloidales siples o Trenes de engranajes diferenciales - Trenes ixtos: Corresponden a cobinaciones de los otros dos tipos Existen algunas diferencias entre estos tipos de trenes de engranajes. La diferencia en los trenes epicicloidales reside en que poseen algún eje que tiene oviiento relativo respecto de los deás; ientras que en los trenes ordinarios el único oviiento que pueden tener los ejes es el de giro sobre sí isos. 2. Trenes de engranajes ordinarios Trenes de engranajes ordinarios siples En un tren de engranajes ordinario, las ruedas extreas del tren giran sobre los dos ejes entre los que ha de establecerse la relación de transisión deseada. En el tren de engranajes, todos los ejes de las ruedas que lo coponen (tanto extreas coo interedias) apoyan sobre un iso soporte fijo, según se puede ver en la Figura 9.46 Figura Tren de engranajes ordinario siple

4 En esta clase de trenes de engranajes se cuple que: i i... i i i2 i2 in = in = = 2 2 (9.68) donde y 2 son los núeros de dientes de los engranajes en los extreos y y 2 sus correspondientes velocidades de rotación. Mientras que i, in, etc son los núeros de dientes de los engranajes interedios y i, etc las correspondientes velocidades de rotación. Luego se cuple que: n j j j j j= j= 2 En consecuencia resulta: 2 ( ) i = ± = n = (9.69) 2 n n (9.70) Nótese que el núero de dientes de las ruedas interedias no influye en el valor absoluto de la relación de transisión (i). Son las llaadas ruedas locas o interedias o parásitas y pueden servir para invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transisión) o para odificar la distancia entre los ejes de entrada y salida. Otra posible aplicación de los trenes ordinarios siples es el caso de que se pretenda tener ás de un eje de salida de oviiento, para una sola entrada. Trenes de engranajes ordinarios copuestos Por otra parte, se dice que un tren ordinario es copuesto cuando, al enos, uno de los ejes es coún a varias ruedas, según se ve en la Figura El caso ás sencillo posible es el que se puede apreciar en la Figura Las relaciones que se plantean son: 2 2 = 2 3 = = Pero se pueden establecer las siguientes relaciones de las velocidades de entrada y de salida = = entrada salida 2 2 = = / / en consecuencia la relación de transisión de velocidades es: i = salida = 4 =± entrada (9.7) (9.72) (9.73) La relación (9.73) sería la isa aun cuando entre las ruedas () y (2), o entre (3) y (4=, existieran varias ruedas interedias; ya que cada grupo se coporta coo un tren ordinario

5 siple y, por lo tanto, el razón de velocidades i depende únicaente de las ruedas extreas. Si separaos el tren de engranajes en parejas de ruedas engranando, tendreos dos grupos. En el prier grupo, el oviiento entra por () y sale por (2) (rueda conductora y conducida, respectivaente). Análogaente, en el segundo grupo, el oviiento entra por (3) y sale por (4). Si hubiera ás grupos o pares de ruedas el esquea se repetiría. En tal caso, observando la expresión (9.73) se deduce: i salida = =± entrada conductoras conducidas (9.74) en cuanto al signo, el procediiento ás adecuado es obtenerlo observando directaente la figura que representa esqueáticaente el tren. Figura Tren de engranajes ordinario copuesto. Fora eleental Si en un tren de engranajes ordinario siple es necesario que todas las ruedas tengan el iso ódulo, no sucede lo iso en el caso del tren ordinario copuesto. En el caso de la Figura 9.47, si R 3 < R 2, para transitir la isa potencia de giro (H = T i = W t R i ) es preciso una fuerza ayor (es decir, la coponente tangencial a la circunferencia priitiva de funcionaiento, W t del esfuerzo de contacto entre dientes es ayor: W t2 > W t34 ), por lo tanto, los dientes de las ruedas del grupo (3)-(4) están ás solicitadas que las del grupo ()-(2) y deberían ser construidas con un ódulo ayor. Trenes de engranajes ordinarios copuestos recurrentes Un tren de engranajes ordinario copuesto se llaa recurrente cuando el eje de salida (S) y el de entrada (E) son coaxiales coo se ve en la Figura En estos trenes de engranajes se verifica que: ( ) ( R + R = R + R + = + ) (9.75)

6 siendo 2 y 34 los ódulos de cada parte. Si las ruedas no están corregidas, los ódulos habrán de cuplir que: = Y si existen N 2 ruedas interedias entre las ruedas () y (2), y N 34 entre (3) y (4) se tiene (9.76) N j= = N j= j j (9.77) Trenes de engranajes ordinarios copuestos NO recurrentes En la Figura 9.48 se uestran trenes ordinarios copuestos no recurrentes con excentricidad e entre el eje de entrada y el de salida, la condición a cuplir será: donde se cuple que R+ R2 + e= R2 + R 4 (9.78) N j j= N2 = e j= j (9.79) Figura Tren de engranajes ordinario copuesto No recurrente Las expresiones anteriores son válidas para el caso de engranajes cilíndricos de dientes rectos. Potencias y pares transitidos Si se desprecia el rozaiento, todas las fuerzas que intervienen en un tren de engranajes son las isas si el tren está quieto, si el tren se ueve con velocidades unifores en un sentido o si se ueve en sentido contrario. Aquello es una consecuencia de que todas las fuerzas de

7 inercia quedan equilibradas. Por ejeplo, en la Figura 9.49.a los sentidos de giro son contrarios a los de la figura 9.49.b, pero las fuerzas que intervienen son las isas. La diferencia estriba en que en el segundo caso M actúa en el iso sentido que y, por lo tanto, es un par otor que introduce trabajo en el sistea; ientras que M 2 es un par resistente que saca trabajo del sistea. Sin ebargo, en el prier caso, M es el resistente y M 2 el otor. Figura Direcciones de torque y distribución de fuerzas Se denoinan fuerzas activas a aquéllas que introducen o sacan trabajo en el sistea. Esto excluye las reacciones en los apoyos y los epujes utuos entre dientes. Así, las únicas fuerzas activas que hay que considerar en un tren de engranajes son los pares exteriores que actúan sobre las piezas giratorias en su plano de giro. Para analizar los pares activos basta con aplicar de fora sisteática el teorea de las potencias virtuales: en un sistea en equilibrio pero que puede overse (o se ueve), en cualquier oviiento posible la sua de las potencias que entran al sistea es nula. Observando la Figura 9.50 se puede deducir: M M = (9.80) de donde se obtiene: M M = = i (9.8) 2 2 Figura tren de engranajes con las acciones o solicitaciones En la figura se observa que si tiene realente el sentido dibujado, 2 debe tener el sentido contrario. Esto significa que i tendrá un valor negativo, luego de (9.8) M y M 2 tendrán el iso signo. En un tren de engranajes, los pares activos sobre los ejes se transiten de un eje al otro por edio de fuerzas tangenciales sobre los contornos de las ruedas (sobre las circunferencias priitivas de funcionaiento). Coo se vio, la acción utua entre dos ruedas es una fuerza. perpendicular a la superficie del diente; de odo que, en general, esta fuerza tendrá una coponente tangencial (W t ), otra axial (W a ) paralela al eje, y otra radial (W r )

8 perpendicular al eje. De todas ellas, la única que daba oento respecto al eje era la tangencial. 3. Trenes de engranajes epicicloidales En la Figura 9.5 se uestra un tren epicicloidal. Los trenes epicicloidales son aquellos trenes de engranajes en los cuales alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio. Al brazo (3) que gira se le llaa portasatélites. A la rueda (4) que gira alrededor de dicho eje se la denoina satélite. El sistea, de esta anera, tiene dos grados de libertad que se restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija o central (2). En el caso de los trenes epicicloidales, tabién cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales. Figura 9.5. tren de engranajes epicicloidales Figura tren de engranajes planetarios En la Figura 9.52 se uestra un tren de engranajes planetarios con la noenclatura y distinción de los coponentes. Para resolver el problea cineático se procede de los engranajes planetarios: - Nos situaos sobre el brazo portasatélites, para estudiar el oviiento relativo respecto del iso (es decir lo convertios en el eslabón de referencia). Desde el punto de vista analítico, ello equivale a introducir una velocidad 3 (siendo 3 la velocidad de giro del brazo portasatélites) al conjunto del sistea. - El brazo, de esta fora, se queda fijo, la rueda fija gira con velocidad 3 y la rueda satélite (4) con velocidad 4 3.

9 - El resultado es, por tanto, un siple caso de un par de ruedas o tren ordinario (si existen ruedas interedias): de donde se tiene: 4 3 R R 2 fija fija satelite fija = = = = (9.82) R R 3 4 satelite satelite portasatelite satelite + fija satelite satelite = portasatelite (9.83) satelite Figura tren de engranajes planetarios, epicicloidal Para obtener el oviiento de salida, se coloca una segunda rueda central o corona (4), coo se ve en la Figura Ahora bien, si nos ubicaos el portasatélites (): = = (9.84) luego coo 2 =0 se tiene: = = (9.85) 2. Bibliografía [] J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseño en Ingeniería Mecánica, McGraw Hill 2002 [2] B.J. Harock, B. Jacobson y S.R. Schid, Eleentos de Máquinas, McGraw Hill 2000 [3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, Eleentos de Máquinas, Prentice Hall 999 [4] A.H. Erdan y G.N. Sandor, Diseño de Mecanisos Prentice Hall 998 [5] R.L. Norton, Diseño de aquinaria, McGraw Hill 2000 [6] M.J.T Lewis Gearing in the ancient world [7] Editorial. Lifting Boats, easuring gears. Gear Technology. May-June 2003, 9-. [8] D.P. Townsend Dudley s gear handbook McGraw Hill 992 [9] R. Lipp, Avoiding Tooth interference in Gears. Machine Design 54() (982)