2. Amplía: factoriales y números combinatorios Soluciones

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Virginia del Río Escobar
hace 7 años
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1 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. 1 de FACTORIALES El núero de perutaciones de n eleentos es: P n n n 1) n 2) 2 1 A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n! que se lee factorial de n o n factorial. Por ejeplo, 2! 2 1 2,! 2 1,! El valor de n! crece enoreente deprisa al auentar n. Por ejeplo: 1! 2 2! tiene 1 cifras La fórula de las variaciones se puede expresar uy cóodaente con factoriales: V, n 1) n 1) 1) [ 1) n 1)] [ n) 2 1] n) 2 1 1) Heos ultiplicado nuerador y denoinador por n)! para conseguir en el nuerador!. Por ejeplo: V, ) 2 1!!! n)! NÚMEROS COMBINATORIOS Los núeros que se obtienen al aplicar la fórula de las cobinaciones, C, n, se llaan núeros cobina-. Se lee sobre n. n torios y se suelen designar así: ) Por ejeplo: ) C, 5 Los núeros cobinatorios pueden expresarse, tabién, con factoriales: V, P V, P Por ejeplo: ) ) V, n! / n)! n n!! /! P P n!!!! n! n)! Los factoriales son uy cóodos para anejar expresiones teóricas. Pero para cálculos nuéricos son preferibles las fórulas sin ellos.

Por ejeplo, 2! 2 1 2,! 2 1,! 2 1 2 El valor de n! crece enoreente deprisa al auentar n. Por ejeplo: 1! 2 2!

2 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. 2 de PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS Los núeros cobinatorios tienen interesantes propiedades. Vaos a ver algunas: I. ) 1, ) 1 ) significa el núero de cobinaciones con ningún eleento que se pueden hacer con eleentos. Solo el conjunto vacío tiene ningún eleento. Es decir, solo hay una. ) es el núero de cobinaciones que se pueden hacer con todos los eleentos. Es claro que solo hay una. Por ejeplo: ) 1, ) 1 II. ) ) n n Pues, si disponeos de eleentos, cada vez que escogeos n nos quedan n. Es decir, cada vez que foraos una cobinación de n eleentos, nos queda otra de n. Por ejeplo: ) ) ) ), III. ) ) ) 1 n 1 n n Por ejeplo: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 5,, La justificación de esta propiedad es ás coplicada que la de las anteriores; por eso la deostraos con una historieta. Epeceos probando que: ) ) ) Leticia y Héctor son una pareja de recién casados. Tienen objetos de adorno y una vitrina donde caben de ellos. El núero de posibles elecciones es: ) Pero en el oento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de criterio: Leticia exige que uno de los objetos sea el retrato de su adre, ientras que Héctor rechaza esta posibilidad. Cuántas son las posibilidades que adite Leticia? Tantas coo foras de seleccionar los objetos que acopañarán al retrato de su adre, es decir: ) Cuántas son las posibilidades que adite Héctor? Tantas coo foras de seleccionar objetos de entre los que no son el retrato de su suegra, es decir: )

) es el núero de cobinaciones que se pueden hacer con todos los eleentos. Es claro que solo hay una. Por ejeplo: ) 1, ) 1 II.

3 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. de Pero fíjate que, necesariaente, si seleccionan objetos, uno de los dos se saldrá con la suya. Es decir, que cualquier posible selección o es de las que quiere Leticia, o es de las que quiere Héctor. Por tanto: ) ) ) Si en lugar de objetos tuvieran, y en la vitrina en vez de cupiesen n, el iso razonaiento nos llevaría a la deostración de la fórula. TRIÁNGULO DE TARTAGLIA Tartaglia se lee Tartall fue un ateático italiano del siglo XVI. Su verdadero nobre era Niccolò Fontana. En una guerra recibió un golpe, a consecuencia del cual quedó tartaudo. Su apodo, Tartaglia tartaj, se hizo tan popular que él iso firaba así sus libros. Pues bien, para resaltar las propiedades de los núeros cobinatorios, a este ateático se le ocurrió ponerlos del siguiente odo: 1 1 ) 1 ) ) 1 ) 2 ) ) 1 ) 2 ) ) ) 1 ) 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 Esta configuración responde a las propiedades de arriba. 2 Todos los eleentos de los extreos valen 1 Propiedad I). En cada fila, los eleentos siétricos son iguales Propiedad II). Sus correspondientes valores son los de la derecha. 5 Puedes coprobarlo Cada eleento, salvo los de los extreos, se obtiene suando los dos que tiene encia Propiedad III). De este odo, cada línea del triángulo de Tartaglia se obtiene de la anterior: se epieza y se terina con 1 y cada uno de los deás térinos se halla suando los dos que tiene encia. 5.ª ª ª

Por tanto: ) ) ) Si en lugar de objetos tuvieran, y en la vitrina en vez de cupiesen n, el iso razonaiento nos llevaría a la deostración de la fórula.

4 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. de OTRA PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO DE TARTAGLIA La sua de los eleentos de la fila n-ésia es 2 n. 1 1 Ä Ä Ä Ä 1 2 La razón es uy sencilla: cada eleento de una fila se utiliza dos veces coo suando para forar la fila siguiente. Por ejeplo, para obtener la fila.ª a partir de la.ª: Por tanto, la sua de cada fila es doble que la sua de la fila anterior. ACTIVIDADES 1 Escribe coo cociente de factoriales:! 5 b) ! 19! 1! n! c) n n 1) n 2) n ) d) n 1) n n 1) n )! n 1)! n 2)! n 1)! e) n 1) n 2) n 9) f) 2) 1) n 1) n n 1) n 1)! 2)! n 2)! 2 Siplifica los siguientes cocientes entre factoriales:!! 1 9! b) c) 5! 9! 9 5!! 9 2 1! 1)! 1)! d) e) 1 f) 1) 1)!! 1)!

ª a partir de la.ª: 1 1 1 1 1 1 1 1 Por tanto, la sua de cada fila es doble que la sua de la fila anterior. ACTIVIDADES 1 Escribe coo cociente de factoriales:! 5 b) 19 1 1 2! 19! 1! n!

5 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. 5 de Resuelve las ecuaciones: V x, 2 x x b) VR x, 2 V x, 2 c) V x, 2 V x 2, 2 2 x 1 d) VR x, VR x, 2 1 x x Calcula utilizando factoriales y siplifica: 2) 1) n) 1 n) C 2, n b) C 1, 1 n! 1) 2 5 Escribe la fila once del triángulo de Tartaglia. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô Calcula: ) ) ) ) 1 ) Cuántas aleaciones distintas se pueden forar con etales diferentes? Cada aleación debe estar forada por dos o ás etales. Solución: aleaciones distintas 2 son todas las posibles cobinaciones de eleentos. son las cobinaciones de eleentos toados 1 a 1, pero con un único etal no hay aleación. 1 es la cobinación de ningún eleento. Resuelve las ecuaciones siguientes sin desarrollar los núeros cobinatorios: b) 12 9 x ) x ) ) ) x ) ) c) 1 1 ) ) x x x 1 x 2 9 Tienes onedas 2, 1, 5 cent., 2 cent., 1 cent., 5 cent., 2 cent. y 1 cent.). Te piden un donativo y puedes responder de uchas foras distintas: no dar nada, dar una oneda, dos, todas. Cuántas posibles respuestas hay? Solución: Hay 2 25 posibles respuestas.

1) 2 5 Escribe la fila once del triángulo de Tartaglia.

6 UNIDAD Cobinatoria 2. Aplía: factoriales y núeros cobinatorios Pág. de 1 Resuelve sin desarrollar: 9 9 x 9 b) ) ) ) 5 2x ) 2x 2 ) x x y 5 x ; y 1 Calcula x en cada una de las siguientes expresiones: 1 1 b) x x ) ) x o x x ) ) x 15 c) 9 9 d) 12 ) ) ) ) x 9 o x 2 x 2 ) 5 x 5 e) 1 ) 1 f) 1 ) x ) 19 ) ) x 1 x x x o x x 1 12 Resuelve: b) 1 1 x 2x ) x 2 ) x 2 ) x 1 ) x 5 c) 2 ) 2 ) 2 ) d) 19 ) 19 2 ) ) x, y x y x x 1 x 1 Siplifica las siguientes expresiones: x! b) x 1)! c) x! x 2 x x 2 x x 2)! x 1)! x 1)! x 1 Qué relación tiene que existir entre a y b para que se verifique la igualdad ) )? a b Solución: a b o a b 15 Calcula razonadaente el valor de: 1 b) ) ) ) ) Calcula:... ) ) ) ) ) b) Halla: ) ) )... ) 1 2 2

9 o x 2 x 2 ) 5 x 5 e) 1 ) 1 f) 1 ) x ) 19 ) ) x 1 x x x o x x 1 12 Resuelve: 25 25 b) 1 1 x 2x ) x 2 ) x 2 ) x 1 ) x 5 c) 2 ) 2 ) 2 ) d) 19 ) 19 2 ) ) x, y x y x x 1 x 1 Siplifica las

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