EL MAXIMO VALOR ESPERADO, COMO CRITERIO DECISORIO

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María Rosa Molina Robles
hace 6 años
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1 EL MAXIMO VALOR ESPERADO, COMO CRITERIO DECISORIO ALFONSO BUSTAMANTE A. Mateático Universidad del Valle. Magister en Ingeniería Industrial y de Sisteas. Universidad del Valle. Profesor Universidad del Valle - ICES!. INTRODUCCION La toa gerencial de decisiones cuenta hoy con el respaldo de una extensa bibliografía de Investigación de Operaciones y específicaente en Teoría y Toa de Decisiones. El criterio recoendado por los autores. para la elección de alternativa en condiciones de riesgo. se conoce con el nobre de MAXIMO VALOR ESPERADO DE LAS ALTERNATIVAS (MVE) El criterio del áxio valor esperado establece que si el ente decisorio es "neutral" ante el riesgo. si su "función de utilidad" es lineal con respecto al dinero, entonces debe seleccionar la alternativa que presenta el áxio valor esperado. Este artículo tiene una doble finalidad: presentar una sencilla deostración de la validez del criterio. y ostrar que el decidirse por una cobinación de alternativas (caso típico de los portafolios de inversión) es consecuencia de una actitud "no neutral", ante el riesgo. EL CRITERIO DEL MAXIMO VALOR ESPERADO Considere un problea de decisión con alternativas al. a2'... ao eventos 0'1. O 2... () n Y probabilidad de ocurrencia de éstos p( ( 1 ), P(02)'" p( On)' Si bij es el beneficio o pago por haber seleccionado la alternativa ai habiéndose dado el evento 0i, se define el valor esperado de la alternativa ai' VE(a.). de la siguiente fora: I n (1) VE(a ) = ~ j=1 b ii p( Oi): i = 1,2... Entonces, se selecciona aquella alternativa que presente el áxio de los valores calculados. El siguiente ejeplo ilustra la aplicación del criterio: El Tesorero de una Copañía. ante un exceso de liquidez de illones, analiza

2 la posibilidad de invertir en acciones o en bonos, pero sabe que el VFFFl de su dinero depende del desenvolviiento de la econoía. La probabilidad de ejora de la econoía es el 60%, de estabilidad el 20% y de desejora es el 20%. La atriz de pago siguiente presenta los VFFF bajo cada esquea. ~ Mejora Estable Desejora Estrategias p= 06 p= 0.2 p = 0.2. Acciones (al) 48 M M 33.6 M. Bonos (a2) 44 M. 424 M 4 M. De acuerdo con la ecuación 1 los valores esperados serán: VE(a,) = 48(0.6) + 8(0.2) + 336(0.2) = M. VE(a2) = 44(0.6) (0.2) + 4(0.2) = 4296 M. y por lo tanto debe seleccionar la alternativa de invertir en acciones, pues presenta el ayor valor esperado. Con respecto a la afiración anterior, caben los siguientes interrogantes: 1. No es posible que una cobinación de las alternativas, consistente en invertir xm en acciones y (-x)m en bonos conduzca a un ayor valor esperado? 2. En general, la utilización de un criterio que analiza individualente el valor esperado de pago para cada alternativa y selecciona la de ayor valor esperado, se fundaenta en el hecho cierto de que ninguna cobinación de alternativas presentará un valor esperado ejor que el óptio de las alternativas "individuales"? 3. Si la respuesta a las preguntas anteriores, es afirativa por qué el portafolio de inversiones? En la segunda sección de este artículo se ofrece una respuesta a cada pregunta. r el carácter iso de la tercera, la respuesta no es exhaustiva. 2. VALIDEZ DEL MVE COMO CRITERIO DECISORIO Para el problea particular del ejeplo, y para el caso general, se deuell'tra enseguida que no hay una cobinación de alternativas capaz de producir un valor esperado ayor que la seleccionada por el MVE. 2.1 Se sabe que, en condiciones idénticas de inversión, el VFFF de dos inversiones con ontos Y PI satisface la igualdad VFFF(p,) VFFF(Pl ) VFFF(po) ---PI y entonces, 1 Valor futuro de los flujos de fondos.

3 Supongaos que se invierten xm, O~ x ~ M, en acciones y (-x)m en bonos, en condiciones idénticas a las que prevalecen en la situación original. Haciendo =M Y Pl= xm y (-X)M alternativaente, la atriz de pagos se transfora en la siguiente: ~ Mejora Estable Desejora Estrategias p= 0.6 p= 0.2 p= x.8x 33.6x al: x M en acciones a2: (x)m en bonos 4() 44(-x) 42.4(-x).4(-x) r la aditividad del valor esperado teneos entonces que, VE(a 1 U a2) = ~ (0.6) +~ (0.2) +~ (0.2) + 44(-x) (0.6) (-x) (0.2) +.4(-x) (0,2), o se~ 072x ,O~x ~. Es fácil apreciar que coo la función anterior no tiene puntos críticos en el intervalo considerado, pero es continua, el áxio se alcanza en un extreo del intervalo que es justaente x = M. Esto significa invertir todo el excedente en acciones, tal coo lo indicaba el criterio del óptio retorno esperado. Para este valor de x, VE(a U a2) = 072( M) M = M En cuanto al caso general, epeceos puntualizando que la aplicación de este criterio conduce a resultados correctos sólo si el ente decisorio no está aniado de un objetivo distinto al de la optiización del pago onetario esperado. Esto significa, en térinos de teoría de la utilidad, que para tal persona un increento constante de, por ejeplo, un illón de pesos, tiene asociado un increento constante en utilidad. Coo tendreos oportunidad de apreciarlo posteriorente, es posible que al reflexionar sobre las consecuencias de seleccionar la alternativa fijada por este criterio, el ente decisorio la rechace ateorizado ante la idea de que prevalezca un estado de la naturaleza que convertiría a la alternativa ás atractiva, según este criterio, en la ás inconveniente para sus propósitos. Esto sólo significa que hasta un pequeño riesgo involucrado con tal alternativa puede ser de vital iportancia para el ejecutivo. En tal caso, su "función de utilidad" no presenta la característica lineal encionada arriba y el ejecutivo debe analizar su problea desde una óptica diferente. ICESI

4 2.2. DEMOSTRACION DEL CASO GENERAL Supongaos que. para una inversión de onto. las condiciones encionadas están sati ;fechas y que el análisis individual de las alternativas conduce a (1) VE(a t )~ VE(aj)' j = ésto es. el criterio selecciona coo óptia la t-ésia alternativa. Para deostrar que ninguna cobinación de alternativas presenta. un ejor valor esperado que el de at supongaos tabién una inversión de onto ai para cada alternativa i= Entonces. a i = i = 1 Denotado por P jj. el pago de la i-ésia alternativa dado el j-ésio evento y siendo a i la inversión coproetida. se tiene la relación: P'jj = pija j La cobinación U ai de las alternai= 1 livas tiene el siguiente valor esperado Puesto que la alternativa at satisface (1 ). se tiene que ai VE(ai) ~ 1=1 1 - VE(a t ) l al 1=1 l al VElat) 1=1 23 En cuanto al tercer Interrogante planteado. la respuesta se encuentra en la actitud del Inversionista típico: si bien es cler10 que procura obtener el áxio retorno esperado posible de su inversión. tabién es cierto que no está dispuesto. en general. a ignorar un posible gran riesgo de no lograr su objetivo de valor esperado Considérense por ejeplo estas distribuciones de porcentaje esperado de retorno sobre la inversión: Retorno (%) Probabilidad p Oj 1 ) P(8 l] n a i Pjj P{Oj) ;=1 j= Relorno (%) 11 Probabilidad O a i VE(a ) i 1=1 La tasa esperada de retorno es en cada caso:

5 VE(% 1) = 20% VE(%II) = 20.5% Sin ebargo. una apreciable proporción de inversionistas se inclinaría por la alternativa l. en virtud del ayor riesgo involucrado en la alternativa 11. (Suponiendo la tasa ínia de retorno en 20%. es prudente considerar una probabilidad de 0.45 de estar por debajo de dicha tasa, por ejeplo). Una elección coo ésta deja de lado el MVE coo criterio decisorio, suponiendo claro está que la atriz de pagos es la adecuada. CONCLUSIONES El criterio de MVE garantiza que la elección adelantada es la ejor desde el punto de vista del beneficio esperado. siepre que la edida de tal beneficio esté reflejada con precisión en la atriz de pagos. Cuando la alternativa seleccionada no coincide con la que estipula el criterio MVE. se puede asegurar que en la decisión se involucró un eleento adicional (interés personal en favorecer una alternativa. actitud personal ante el riesgo. etc) que hace que la función de utilidad no sea lineal con el dinero. La teoría de la utilidad proporciona técnicas para deterinar la nueva función, con la cual la atriz de pagos se transfora en una nueva atriz que refleja adecuadaente la función de utilidad. En tal caso, el MVE selecciona la alternativa que involucra el eleento adicional encionado antes.

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