CAPÍTULO V. Figura 1. Diferencias entre punto fijo y punto flotante

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1 Página 1 de 18 INTRODUCCIÓN CAPÍTULO V El objetivo de este capítulo es introducir al lector en las técnicas de diseño de sistemas digitales empleando aritmética de punto fijo. El enfoque del mismo es sustancialmente práctico, dejando las cuestiones más teóricas a la abundante literatura disponible. ARITMÉTICAS EXISTENTES En el mundo de la programación existen dos tipos de representación numérica: Figura 1. Diferencias entre punto fijo y punto flotante En el caso de la aritmética de punto fijo, el punto binario se encuentra siempre en la misma posición, es decir, existirán m bits para la parte entera y n bits para la parte decimal. En algunos casos puede ocurrir que m = 0 (no existe parte entera) o bien, n = 0 (no existe parte decimal). En cambio, para la aritmética de punto flotante, la ubicación del punto binario puede variar (Figura 1). En el presente apunte se ahondará sobre la aritmética de punto fijo ya que es la utilizada tanto por la familia DSP5680x como por la mayoría de los DSP s disponibles en el mercado. ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO Muchas veces cuando se trabaja con procesadores digitales pasa por desapercibido el tipo de aritmética utilizada. En cambio, una de las cuestiones donde se hace más hincapié es la longitud de palabra. Así, se Procesamiento Digital de Señales UNC

2 Página 2 de 18 sabe bien que un registro de 4 bits permite representar 16 combinaciones diferentes, pero pocas veces el programador se detiene a pensar qué está diciendo ese conjunto combinaciones o cómo interpretarlos. Se supone que un ADC de 4 bits, el cual se encuentra digitalizando una señal cualquiera, entrega la siguiente muestra (en base binaria): x Q = (1) Ahora bien, qué número decimal representa esta muestra? La respuesta no es una sola, ni varias, sino infintas, ya que la interpretación de esa combinación dependerá de lo que el programador defina como convención en su proyecto. Por ejemplo, se podría suponer la siguiente interpretación (en base decimal): ( 2. b 3 + 0,5. b 2 + b 1 4. b 0 ) 10 x Q = + (2) Así, el número decimal representado por la muestra anterior será: ( , ) = 4, 10 x = (3) Q 10 5 Pero la cuestión no es tan liberal. En microcontroladores, DSP s y microprocesadores comerciales esta convención no es determinada por el usuario sino por el fabricante. Para un conjunto de bits como el de la Figura 2, existe una serie de interpretaciones posibles que son ampliamente aceptadas y que se resumen en la Tabla 1. Figura 2. Conjunto de bits Procesamiento Digital de Señales UNC

3 Página 3 de 18 Tabla 1. Posibles interpretaciones de un conjunto de bits Interpretación Expresión Rango Entero sin signo m 1 b i i = 0 i x ( n) =.2 0 x 2 1 Q m Entero con signo x ( n) = b m bi. 2 2 x Q 2 1 i = 0 m 1 m 2 i m 1 m 1 Fraccional sin signo en complemento a 2 x ( n) = m 1 b i i = 0 ( m i ) x Q m Fraccional con signo en complemento a 2 m i = 0 x ( n) = b m b i ( m i 1) 1 x Q ( m 1) 1 2 Generalmente, para el procesamiento de señales se emplea la aritmética fraccional con signo en complemento a 2, mientras que para indexado y punteros a memoria se utiliza la aritmética entera. Este es el caso de los DSP de la familia DSP5680x. Implementar por hardware una aritmética de punto fijo conlleva una mayor simplicidad, lo cual se traduce directamente en menores costos. Además ocupa menor superficie de silicio respecto a una unidad de punto flotante, lo que permite agregar al procesador más módulos y memoria. Entre las desventajas más significativas se encuentra el hecho de que los errores de truncamiento con esta arquitectura pueden ser significativos, degradando la calidad de los algoritmos implementados. Para lograr en punto fijo la misma precisión que se logra con punto flotante se necesitaría una cantidad muy grande de bits. De hecho, recurriendo al standard ANSI/IEEE Std se encuentra que el menor valor representable en punto flotante de 32 bits es 38 ± 1,2.10. Para lograr la misma precisión en punto fijo se requerirían ni más ni menos que: 2 n 38 = 1,2.10 n = log 2 38 ( 1,2.10 ) (4) Procesamiento Digital de Señales UNC

4 Página 4 de 18 n = 125,97 bits 126 bits! (5) casi el cuádruplo de bits que para la misma precisión en aritmética flotante. RELACIÓN SEÑAL RUIDO Se supone que se está digitalizando una señal unipolar (Figura 3) cuyo rango dinámico es RD. El paso de cuantización es Q. Existen dos métodos de cuantización: Redondeo. La señal digitalizada toma el valor más cercano. Truncado. La señal digitalizada toma siempre el menor valor. Para la señal de la Figura 3 se aplica una cuantización por redondeo. Ahora bien, si la señal de entrada x(n) (continua en amplitud, discreta en tiempo) varía dentro del mismo paso de cuantización, la salida digitalizada x Q (n) (discreta en amplitud y tiempo) será constante, aún cuando la señal x(n) esté cambiando. Este efecto se interpreta como ruido ya que implica una degradación irreversible de la señal analógica. Por lo tanto, siempre es interesante conocer cuál es la relación señal ruido del sistema digital empleado: RD SNR = 20. log (6) Q y como: Reemplazando (7) en (6): RD Q = 2 2 n = n RD Q (7) Finalmente: ( ) n = 20..log( 2) SNR = 20.log 2 n (8) RD SNR = 20.log = 6,02. n (9) Q Procesamiento Digital de Señales UNC

5 Página 5 de 18 Esta última ecuación es muy conocida como la regla de los 6dB por bit, ya que la relación señal ruido aumenta aproximadamente 6dB por cada bit de resolución que se agrega. Esto es lógico ya que, suponiendo que se mantiene constante el paso de cuantización Q, agregar un bit extra implica duplicar la cantidad de combinaciones binarias o lo que es lo mismo aumentarla en 6dB. Figura 3. Proceso de cuantificación por redondeo La ecuación 9 permite determinar la cantidad de bits requeridos para lograr una SNR de diseño. PUNTO FIJO EN LA FAMILIA DSP56800 La ALU (Arithmetic Logic Unit, Unidad Lógica y Aritmética) de un DSP es el lugar o bloque dentro de núcleo donde se realizan todas las operaciones aritméticas y lógicas, tal como sus siglas lo indican. El DSP56805 tiene una ALU que ofrece las siguientes características: Tres registros de entrada de 16 bits (X0, Y0 y Y1) Dos registros acumuladores (A y B) de longitud extendida (36 bits), los cuales pueden ser divididos en los siguientes subregistros (Figura 4): Dos registros de 16 bits (A0 y B0) Dos registros de 16 bits (A1 y B1) Procesamiento Digital de Señales UNC

6 Página 6 de 18 Dos registros de extensión de 4 bits (A2 y B2) Un limitador (data limiter). Previene desbordamientos (overflows). Una unidad de rotación de 16 bits (16 bit barrel shifter). Permite rotar entre 0 y 15 posiciones un conjunto de bits en un solo ciclo de instrucción. Una unidad de multiplicación y acumulación (MAC). Permite ejecutar una operación de multiplicación y acumulación en un único ciclo de instrucción. Figura 4. Registros de la ALU (DSP56800 Family manual, 2005) Esta unidad es capaz de operar con datos enteros o fraccionales, dependiendo de la instrucción empleada para realizar el cálculo. Por ejemplo, la instrucción MAC opera por defecto con números fraccionarios, mientras que la instrucción IMPY16 realiza una multiplicación con signo entre dos operandos de tipo entero (para más detalles sobre este tipo de instrucciones recurrir a la página pág. 3.20, sección Integer multiplication del DSP56800 Family manual). La diferencia entre ambas multiplicaciones tiene que ver con la cantidad de bits requeridos en el registro donde se almacenará el resultado. El ejemplo de la Figura 5, se supone número binario de cuatro dígitos el cual puede ser interpretado de de dos maneras distintas: Procesamiento Digital de Señales UNC

7 Página 7 de 18 Figura 5. Valor binario arbitrario Si se realiza la multiplicación de este valor por si mismo. Se obtendrán dos resultados distintos según cómo sean considerados los operandos (ver Figura 6 y Figura 7). Figura 6. Resultado de la multiplicación considerando operandos enteros Figura 7. Resultado de la multiplicación considerando operandos en punto fijo Para el caso de la Figura 6, los operandos son interpretados como enteros sin signo, lo cual conduce a un resultado cuya longitud es (2.m 1) bits. En este caso m = 4 por lo tanto el resultado de esta operación requiere 7 bits. Por el contrario, para el resultado expuesto en la Figura 7, los operandos fueron considerados como fraccionarios (en punto fijo) sin signo. El resultado sigue siendo de 4 bits de longitud (la misma no se modifica). Procesamiento Digital de Señales UNC

8 Página 8 de 18 Sin entrar en detalles respecto a su funcionamiento, la Figura 8 muestra la arquitectura de la ALU del DSP Se observa que la misma es alimentada por los buses CGDB (Core global data bus) y XDB2 (X memory data bus 2). Los elementos más importantes son el multiplicador, el sumador y el conjunto de registros de entrada y salida de datos. Entre estos tres simples componentes, sumados al retardo digital, es posible realizar prácticamente todas las operaciones de procesamiento digital. El ancho de las variables de punto fijo en este DSP es de 16 bits y están expresadas en complemento a 2 con signo. Su rango es: Expresando una variable en forma de sumatoria: 15 1 x 1 2 (10) Q DSP x DSP b b b Q = b b (11) Multiplicación y adición de números en punto fijo. Para la multiplicación de dos números en punto fijo cuyo rango sea el especificado por la ecuación 10, el resultado siempre será menor que 1. Sin embargo, para la adición de dos números en punto fijo, se debe cuidar que el resultado se mantenga entre 1 y 1 para evitar desbordamientos. Por ejemplo, si se quiere sumar 0,5 + 0,7 = 1, 2 se deberá realizar un escalamiento previo de la siguiente manera: 0,5.( 0,5 0,7 ) = 0, 6 +. En realidad, si los operandos son aún mayores el factor de escala deberá ser menor para permitir que el resultado permanezca dentro de los límites de las variables de punto fijo. HERRAMIENTAS DE DISEÑO Gracias a la existencia de una gran cantidad de herramientas de diseño y simulación es posible evaluar el desempeño de un filtro o cualquier sistema digital sin necesidad de hacer una prueba sobre algún hardware específico, con el agregado de la seguridad que brindan las técnicas digitales de poder repetir los resultados de una simulación en un sistema real con un grado de exactitud muy alto. Procesamiento Digital de Señales UNC

9 Página 9 de 18 A continuación, se realiza una introducción a las herramientas más importantes provistas por Matlab para el diseño de filtros digitales empleando aritmética de punto fijo. Unidad MAC Figura 8. Arquitectura de la ALU del DSP56805 (DSP56800 Family manual, 2005) FDA TOOL MATLAB Esta herramienta es muy amiga de quienes deben diseñar filtros digitales de cualquier tipo y con cualquier clase de especificaciones. Para ejecutarla es suficiente con tipear la sentencia fdatool en el command window de Matlab. Procesamiento Digital de Señales UNC

10 Página 10 de 18 Figura 9. Vista general de la interfase del FDAtool La función de este toolbox es generar los coeficientes de un filtro digital a partir de su hoja de especificaciones. El recuadro verde de la Figura 9 abarca el sector de la interfase donde se ingresan las características del filtro, mientras que el recuadro azul engloba el área donde se presentan los resultados del filtro diseñado (respuesta en amplitud, en fase, al impulso, al escalón, mapa de ceros y polos, coeficientes, etc.) con su conjunto de herramientas. Ejemplo. Se necesita diseñar un filtro con las siguientes características: Tipo de filtro: FIR pasabajo f c = 5KHz G BP = 0dB Att = db BR 60 6KHz f m = 48KHz Plataforma: DSP56805 Procesamiento Digital de Señales UNC

11 Página 11 de 18 Se requiere un filtro FIR que corte en 5KHz y que atenúe 60dB a 6KHz (en la banda de rechazo). La ganancia en la banda de paso es de 0dB. La señal de entrada se muestrea a 48KHz y la plataforma empleada es el DSP56805 de 16 bits. Recurriendo al FDAtool se obtiene un filtro de orden 120 para lograr estos requerimientos. La respuesta en frecuencia se presenta en la Figura 10. Figura 10. Respuesta en amplitud del filtro requerido Hasta aquí todo funciona bien. Pero cuando el programador quiera llevar este filtro al DSP deberá cuantizar o cuantificar los coeficientes para poder cargarlos en la memoria del procesador. Cuantizar quiere decir convertir un dato cuya variación en amplitud es continua en otro cuya variación en amplitud es discreta. Este proceso ocurre también en la digitalización de una señal analógica a través de un ADC. Cuando el filtro es diseñado por primera vez en FDAtool, la aritmética empleada por defecto es punto flotante de 64 bits (doble precisión), la cual provee una precisión tan grande que se puede suponer que los valores representados son de amplitud continua. Ahora bien, en FDAtool para cuantizar los coeficientes se hace click en el botón Set quantization parameters ubicado a la izquierda de la interfase del programa, tal como lo muestra la Figura 11. Procesamiento Digital de Señales UNC

12 Página 12 de 18 Figura 11. Acceso al módulo de cuantización Una vez que se haya accedido al módulo de cuantización se verá que la precisión seleccionada por defecto es la mencionada anteriormente (Figura 12). Haciendo click en esta caja de opciones se selecciona la aritmética de punto fijo (fixed point). Figura 12. Aritmética seleccionada por defecto Una vez que se ha seleccionado la opción fixed point se debe especificar la longitud de palabra a emplear (en la casilla Numerator word length ). En este caso, debido al tipo de arquitectura del DSP, se escribe un valor igual a 16. Se desactiva el checkbox Best precision fraction length y se indica que la longitud de la fracción del numerador ( Numerator fraction length ) es de 15 bits (ya que un bit es para el signo y otros 15 para el número propiamente dicho). Mediante esta configuración se están respetando las características del DSP. Objeto fi. Tipeando la sentencia fi en el command window de Matlab se puede acceder a un objeto que permite analizar en detalle el funcionamiento de las variables en punto fijo. En este apunte no se ahondará sobre el funcionamiento del mismo. Para más detalles recurrir al help de este comando tipeando help fi. Procesamiento Digital de Señales UNC

13 Página 13 de 18 Figura 13. Módulo de configuración de las propiedades de las variables en punto fijo IMPACTO DE LA ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO EN EL DESEMPEÑO DE FILTROS DIGITALES Uno de los puntos más importantes a tener en cuenta a la hora de implementar sistemas digitales es el error introducido por trabajar en aritmética de punto fijo. El proceso de cuantificación equivale a añadir a cada valor una componente de ruido (Figura 14), el cual puede ser modelado como ruido blanco gaussiano. Figura 14. Modelo equivalente para un cuantificador de punto fijo Procesamiento Digital de Señales UNC

14 Página 14 de 18 Las consecuencias de este error en general no son menores y deben ser tenidas en cuenta con el fin aplicar las acciones correctivas o preventivas necesarias. A modo de ejemplo, la Figura 15 muestra la respuesta en amplitud de un filtro FIR tipo notch o eliminabanda cuya frecuencia central es de 8,25KHz. Si ahora se examina con mayor detalle esta respuesta (Figura 16) se observarán dos curvas: Línea de puntos: Respuesta en frecuencia del filtro precuantización Línea continua: Respuesta en frecuencia del filtro postcuantización El análisis muestra que en este caso el efecto de cuantizar los coeficientes produce una variación de la respuesta en frecuencia, respecto a la original. Quedará a criterio del diseñador aceptar o rechazar este resultado. En otros casos más extremos, la cuantización de los coeficientes de un filtro realimentado (IIR) puede llevar a la inestabilidad del conjunto, aún cuando el filtro original es estable. Figura 15. Respuesta en amplitud de un filtro notch Procesamiento Digital de Señales UNC

15 Página 15 de 18 Figura 16. Consecuencias de la cuantización PUNTO FIJO EN CODEWARRIOR El compilador de Codewarrior permite declarar variables de tipo punto fijo dentro del código C. Para ello se utilizan las sentencias contenidas en la Tabla 2. Tabla 2. Declaraciones de variables de punto fijo Tipo Declaración Tamaño Rango Fixed fixed 16 1 x < 1 Short fixed shortfixed 16 1 x < 1 Long fixed longfixed 32 1 x < 1 Q Q Q Procesamiento Digital de Señales UNC

16 Página 16 de 18 Debido a que el compilador está adaptado a la arquitectura del DSP56805 las variables de punto fijo se comportarán como una variables fraccionarias de 16 o 32 bits con signo en complemento a 2. Ejemplo: La declaración de una variable en punto fijo es similar a la de cualquier otro tipo: fixed mi_variable; shortfixed mi_variable; longfixed mi_variable; Ahora la variable mi_variable será interpretada por el compilador como una variable de punto fijo con todas las propiedades del lenguaje C. Existe otro conjunto de sentencias cuya función es relacionar los tipos de variables intrínsecos de C (int, short, char, long, etc.) con las variables de punto fijo. Las mismas se listan en la Tabla 3. Tabla 3. Conjunto de sentencias para convertir tipos Sentencia fixed2int fixed2long fixed2short int2fixed long2fixed short2fixed Descripción Convierte un valor en punto fijo de 16 bits (declarado como fixed ) a un entero de 16 bits (declarado como int) Convierte un valor en punto fijo de 32 bits (declarado como longfixed ) a un entero de 32 bits (declarado como long) Convierte un valor en punto fijo de 16 bits (declarado como shortfixed ) a un entero de 16 bits (declarado como short) Convierte un valor entero de 16 bits (declarado como int) a un valor en punto fijo de 16 bits (declarado como fixed ) Convierte un valor entero de 32 bits (declarado como long) a un valor en punto fijo de 32 bits (declarado como longfixed ) Convierte un valor entero de 16 bits (declarado como short) a un valor en punto fijo de 32 bits (declarado como shortfixed ) Procesamiento Digital de Señales UNC

17 Página 17 de 18 Ejemplo: 1 fixed var_fixed = -0.25; 2 int var_int; 3 void funcion1(void){ 4 var_int = fixed2int(var_fixed); 5 } De acuerdo a lo visto anteriormente, la representación a nivel de bits de var_fixed se representa en la Figura 17. Figura 17. Representación a nivel de bits del valor -0,25 en punto fijo Luego de ejecutar la instrucción número 4 el contenido (a nivel de bits) de var_int será el mismo que el de var_fixed, con la diferencia de que la interpretación por parte del DSP es completamente diferente. El valor final de var_int será: var_ int = = Como se observa estas sentencias permiten copiar el contenido de la variable origen en la variable destino sin modificar la información a nivel de bits. Procesamiento Digital de Señales UNC

18 Página 18 de 18 Vale decir que si se trabaja directamente sobre Assembler el tipo de variable utilizado para las operaciones aritméticas será interpretado como punto fijo o entero según la instrucción empleada, tal como se mencionó anteriormente. BIBLIOGRAFÍA Steven W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.. B. A. Shenoi, Introduction to digital signal processing and digital design. Editorial Wiley. DSP56800 Familiy manual, 16 bit digital signal controllers. DSP56800FM. Rev. 3.1, 11/2005. DSP56800 User manual, 16 bit digital signal controllers. DSP56F801 7UM. Rev. 8, 13/2007. CodeWarrior Development Studio for Freescale 56800/E Digital Signal Controllers: DSP56F80x/DSP56F82x Family Targeting Manual. Rev. November 6, Procesamiento Digital de Señales UNC