TRABAJO PARA EL ALUMNADO PENDIENTE MATEMÁTICAS II I. ÁLGEBRA.-

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II I ÁLGEBRA- - Sean A una atri cuadrada de orden n tal que A = A e I la atri identidad de orden n Qué atri es B, B = A - I? - Resuelva la ecuación atricial C B X A, endo: A, B, C - Pruebe, n desarrollar, que r q p c b a p r r q q p a c c b b a - Analice, en función del valor de, el rango de la atri A - Para, tiene la atri A del ejercicio anterior inversa? En caso afirativo, calcúlela 6- Resuelva la ecuación atricial ) ( I B C C X B, endo: B, C 7- Resuelva el stea atricial 7 7 Y X Y X 8- Deuestre, n desarrollar, que TRABAJO PARA EL ALUMNADO PENDIENTE

2 9- Analice, en función del valor de, el rango de A - Si r(a) es el rango de la atri A, indique, raonando la respuesta, cuáles de las guientes afiraciones son ciertas: A) r(a+b) = r(a) + r(b) B) r(-a) = - r(a) - Analice, en función del valor de, el rango de A - A) Estudie, según los valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales B) Resuélvalo, es poble, para - A) Es el rango de una atri igual al rango de su opuesta? Justifique su respuesta B) Dada la atri b a A, calcule a b para que A A - Deuestre, n aplicar la Regla de Sarrus, la guiente igualdad: ) )( )( ( - A) Estudie, según los valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales ) ( B) Resuélvalo, es poble, en los casos 6- A) Dada la atri A, construa la atri I A A Y t resuelva la ecuación AX

3 B) Si todos los eleentos de una atri cuadrada de orden n se ultiplican por, cóo queda afectado el valor de su deterinante? 7- A) Discuta, para los distintos valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales B) Resuélvalo en los casos en que sea copatible 8- Discuta resuelva, en función de los pobles valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales 9- a) Estudie, según los valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales b) Resuélvalo en el caso en que sea copatible indeterinado - Estudie el stea resuélvalo para - Estudie el stea resuélvalo cuando sea poble - Discuta, para los distintos valores del paráetro, resuelva en los casos de copatibilidad el stea de ecuaciones lineales: - Dado el stea de ecuaciones lineales a se pide: a) Valores de a para que el stea tenga únicaente la solución trivial

4 b) Valores de a para que el stea sea copatible indeterinado resolverlo - Discuta resuelva, para los distintos valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales - A) Discuta, según los valores del paráetro, el stea de ecuaciones lineales B) Resuélvalo en el caso que sea copatible indeterinado II GEOMETRÍA- - A) Estudie la dependencia lineal, según el valor de, de los vectores (,,), (,,) (,,) B) Deterine el valor de b para que el vector (,b,-6) sea cobinación lineal de los vectores (,,) (,,-) - Calcule el valor de para que los puntos (,,), (,,), (,,) (7,,) estén en un iso plano Calcule la ecuación del plano - Sean los vectores a=(-,,), b=(,,-), c=(,,) d=(,,-8) a) Se puede epresar c coo cobinación lineal de a b? b) Se puede epresar d coo cobinación lineal de a b? c) Son a, b d vectores linealente dependientes? - Condere las rectas r: a a s : a) Deuestre que, independienteente del valor de a, las rectas se cortan b) Deterine el valor del paráetro a para que r s sean perpendiculares - Condere las rectas r: s : a) Deterine la ecuación de la recta perpendicular coún a r s b) Calcule la distancia entre r s 6- Dados los planos, el punto A(-,,), halle el plano que pasa por A por la recta intersección de los dos planos

5 7- Dados el plano a b la recta, deterine los valores de a b para que la recta esté contenida en el plano 8- A) Deuestre que los puntos A(,,), B(,,), C(,,) D(,,) no están en un iso plano B) Calcule la distancia del punto A al plano deterinado por los puntos B, C D 9- A) Calcule el área del triángulo cuos vértices son los puntos de intersección de 6 con los ejes de coordenadas B) Deterine la ecuación de la recta que está contenida en el plano, pasa por el punto (,,) es perpendicular a la recta - Dada la recta r deterinada por el punto P(,,-) el vector de dirección (,-,), calcule el punto de r ás cercano al punto Q(,,) - Dados los planos, se pide: a) La recta que pasa por A(,,) no corta a ninguno de ellos b) Un punto de la recta s - a) Halle el plano que contiene a la recta : que equidiste de A(,,) B(,,) (,,) b) Encuentre la distancia del punto P(,-,) al plano anterior pasa por el punto - A) Dados los vectores (,,-) (,,), añada un tercer vector para que el conjunto forado por los tres vectores sea linealente independiente (linealente dependiente) B) Es (,) cobinación lineal de los vectores (-,) (,)? C) Deterine el valor de b para que sean dependientes (independientes) los vectores (,b,b), (,-,) (,,-) - Dados los vectores (9,,-) (,,) se pide: A) Sus ódulos B) Su producto vectorial C) Su vector unitario D) El área del paralelograo que los tiene por lados

6 t - A) Halle el plano que pasa por (-,-,) contiene a r : t t B) Calcule el valor de para que los puntos A(,,), B(-,,), C(,-,) D(,,) sean coplanarios 6- Estudie el triángulo de vértices (,,), (,,) (,,-) es equilátero, isósceles o escaleno Calcule su área 7- Estudie la poción relativa de los planos a =, + =, a = 8- Se sabe que la recta r : b corta perpendicularente al plano a que la recta pasa por el punto (-,,-) Calcule a, b el punto de corte 9- El vértice A de un triángulo rectángulo está en la recta r : su hipotenusa tiene los vértices en los puntos B(,,-) C(,-,) Halle el punto A el área del triángulo ABC - Halle el punto étrico del punto A(-,,) respecto al plano de ecuación - Halle un vector (,,) sabiendo que: a) La sua de sus coponentes es b) El vector (,,) es cobinación lineal de (,,) (-,,) c) Los vectores (,,), (,,) (,,) son linealente dependientes - Calcule el valor de k para que los vectores (,k,) (,,-) foren un ángulo de º - Deterine la ecuación de la recta que está contenida en el plano, pasa por el punto (,,) es perpendicular a la recta - Analice, según los valores de k, la poción relativa de los planos k k, k k k,

7 - Dados los planos, el punto A(-,,), halle el plano que pasa por A por la recta intersección de los dos planos 6- Halle las ecuaciones de la recta étrica de la recta r : respecto del plano 7- Estudie en función del paráetro a la poción relativa de las rectas : a a r : a s 8- Encuentre la distancia del punto P(,6,) al plano deterinado por el punto A(,,) la recta L que pasa por los puntos B(,,) C(,,) 9- A) Estudie la recta : r el plano de ecuación son o no paralelos B) Encuentre la ecuación del plano que contiene a la recta anterior es perpendicular al plano dado - A) Encuentre la distancia del punto P(,,) a la recta t t t r : B) Copruebe los puntos A(,-,) B(,-,) pertenecen a la recta anterior deterine el área del triángulo PAB - A) Calcule el valor de a para que (,,) (a,,-) foren 6º B) Halle el área del triángulo de vértices A(,,-),B(,,8) C(,-,) C) Calcule un vector perpendicular a (,,) de ódulo - Calcule el área del triángulo cuos vértices son los puntos de intersección de 6 con los ejes de coordenadas - A) Analice, según los valores de k, la poción relativa de los planos 6,, k k B) Analice, según los valores de k, la poción relativa de las rectas k k,

8 - Dados los planos, se pide: A) La recta que pasa por A(,,) no corta a ninguno de ellos B) Los puntos que equidisten de A(,,) B(,,) pertenecan a la recta intersección de los planos dados - Halle, eiste, algún punto que perteneca a la ve a los tres planos :, :, : 6- Calcule el voluen del tetraedro liitado por los planos,,, 7- Dado el tetraedro con un vértice O en el origen de coordenadas los otros tres A, B C sobre los seiejes potivos OX, OY OZ, respectivaente, se pide: A) Las coordenadas de A, B C sabiendo que el voluen del tetraedro es / las aristas OA, OB OC tienen igual longitud B) La ecuación de la altura del tetraedro correspondiente a la cara ABC C) La distancia entre las rectas AB OC D) El ángulo que foran las aristas BC AB III CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD- - Calcule los guientes líites: A) li B) sen li cos li ( 8 ) D) E) li 6 C) li ( ) - Deterine el valor de los paráetros en la función a b ( ) ln( ) f para que sea continua derivable en todo - Se sabe que la función a b ) f ( es derivable en = -Halle raonadaente los valores de a b

9 - Dada la función ( ) a b f deterine raonadaente (haciendo uso de las definiciones) los valores de a b para que: a) Sea continua en = b) Sea derivable en = - Estudie la continuidad derivabilidad de la función ) a b f ( en función de los paráetros a b 6- Deterine a b de odo que la función continua derivable para todo real f( ) a b sea 7- Deterine a b de odo que la función continua derivable f( ) a b sea 8- Calcule el valor de los paráetros para que sea continua derivable en el punto = la función 9- De la función a b f ( ) f ( ) a b se pide: 6 a) Halle a b para que sea continua en todo su doinio b) Estudie su derivabilidad - Estudie, según el valor de a b, la continuidad la derivabilidad en todo su doinio de la función definida por: f()= a b - Estudie, según el valor del paráetro, la continuidad la derivabilidad de la función f ( ) a - Estudie la continuidad la derivabilidad en todo su doinio de la función definida por:

10 f()= - Estudie la derivabilidad de la función 8, ) ( f - Deterine los valores de a b para los que la función b a a f cos ) ( es continua en toda la recta real - Deterine los valores de a b para que sea continua en todos los puntos la función f()= b a a b a 6- Estudie la continuidad de la función ) ( f clafique sus diferentes tipos de discontinuidad 7- El precio en euros de litros de aceite coprados en una alaara viene dado por la función: ) ( a P a) Deterine el valor de la constante a para que la función ) ( P sea continua b) Si se coprasen uchíos litros de aceite, a cuánto saldría aproiadaente el precio de cada litro? 8- Estudie la continuidad la derivabilidad de las funciones: A) ) ( f B) ) ( f 9- Deuestre que la ecuación cos tiene una solución en el intervalo (,)

11 - Halle la ecuación de la tangente a la curva dada por ( ) f en el punto de abcisa - Deterine los puntos de la curva 9 9 en los cuales la tangente es paralela a la recta - Busque los puntos de la curva 7 que tienen la tangente forando un ángulo de º con el eje de abcisas - Dada la función f ( ) aplicando la definición de derivada, halle el valor de para que f ( ) - En qué punto de la gráfica de la función f ( ) 6 8 la tangente es paralela al eje de abcisas? - La gráfica de la función a b c pasa por los puntos A(,) B(,), endo su tangente en el punto de abcisa paralela a la bisectri del prier cuadrante Halle el valor de los coeficientes a, b c 6- a) Dada f ( ) halle, aplicando la definición de derivada, f () b) Eisten puntos donde la función es discontinua? En caso afirativo, deterínelos 7- a) Halle la ecuación de la tangente a la curva dada por ( ) f en el punto de abcisa b) Deterine los puntos de la curva 9 9 en los cuales la tangente es paralela a la recta 8- Derive plifique las guientes funciones: a) d) g) j) n) f ( ) b) f ( ) ln c) f ( ) e f ( ) e) f ( ) sen cos f) f ( ) f ) ln ( ) ( ) ( h) f k) f ( ) ln e l) f o) f ( ) ln p) f ( ) i) f ( ) sen cos f ( ) ( ) ) f ( ) e f ( ) sen

12 q) f ( ) 9- Utiliando la definición calcule la derivada de la función f ( ) en el punto = encuentre la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el citado punto - Estudie la continuidad derivabilidad de la función f ( ) Represéntela gráficaente - A) Dada ( ) f halle, aplicando la definición de derivada, f () B) Deterine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por ( ) f en el punto de abcisa - Derive plifique las funciones f ( ) f ( ) a - Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva f ( ) que son paralelas a la recta 9 - Halle dos núeros de sua de producto áio Sol: - Halle dos núeros de sua 8 tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea áio Sol: 6 6- Halle las dienones de un capo rectangular de 6 etros cuadrados de superficie para poderlo cercar ediante una valla de longitud ínia Sol: Los barriles que se utilian para alacenar petróleo tienen fora cilíndrica una capacidad de 6 litros Halle las dienones del cilindro para que la chapa epleada en su construcción sea ínia 8 Sol: r d; h d 8- De todos los triángulos isósceles de c de períetro halle las dienones de los lados del que tenga área áia Sol: c 9- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio c calcule las dienones del que tenga área áia Sol: 88c

13 - Divida un segento de 6 c en dos partes, con la propiedad de que la sua de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea ínia Sol: c - Deterine la distancia ínia del origen a la curva Sol: - Entre todos los cilindros de voluen V halle el de enor superficie V V Sol: r ; h V - Una hoja de papel debe contener 8 c de teto ipreso Los árgenes superior e inferior deben tener c cada uno los laterales c Calcule las dienones de la hoja para que el gasto de papel sea ínio Sol: Base c altura c - El coste de producción de unidades diarias de un producto es el precio de venta de una de ellas es u Halle el núero de unidades que deben venderse diariaente para que el beneficio sea áio Sol: - Se quiere construir una piscina en fora de paralelepípedo recto de base cuadrada La superficie total a recubrir es de 9 etros cuadrados Calcule las dienones de anera que su voluen sea áio Sol: 8, 8 6- Deterine las dienones de los lados el área del rectángulo de área áia que, teniendo uno de sus lados sobre el diáetro, se puede inscribir en un seicírculo de etros de radio 7- Calcule las dienones de tres capos cuadrados de odo que: a) El períetro de uno de ellos sea el triple del períetro de otro b) Se necetan 8 etros de alabre para cercar los tres c) La sua de las áreas de los tres capos sea la ínia poble 8- Encuentre dos núeros potivos cua sua sea tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea áio 9- Halle las dienones que hacen ínio el coste de un contenedor que tiene fora de ortoedro, sabiendo que el voluen ha de ser de 9 etros cúbicos, su altura etro el coste de construcción por etro cuadrado

14 es de euros para la base, euros para la tapa euros para cada pared lateral IV INTEGRACIÓN- - Calcule las guientes integrales indefinidas: d A) D) ln d E) B) ( ) e d C) d d d 6 d 6 F) G) ( ) d H) send I) J) M) O) R) d ( ) e d K) 7 d sen d cos d N) P) L) e d ln d Ñ)( ) e ( ) e d Q)( S) d ) e T)( ) d d ln d U) e d V) ln d W) 6 d X) arctgd Y) ( ) e d Z) e d - Calcule las guientes integrales indefinidas: A) d D) ( ) e d E) B) d d C) F) 7d 6 d - Halle una priitiva de f ( ) ln que pase por el punto (e,) ( ) - Halle una priitiva de la función f ( ) que pase por el punto (,) - Halle una función f() sabiendo que su derivada es f ( ) que su gráfica pasa por el punto (,6) 6- Calcule las guientes integrales definidas: a) d b) d 7

15 7- Dadas las curvas,, se pide: A) Represente el recinto que encierran B) Halle el área de dicho recinto 8- Encuentre el área del recinto liitado por las curvas, 9- Encuentre el área del recinto deterinado por las curvas, - Encuentre el área del recinto deterinado por las curvas e - Dadas las curvas e A) Represente el recinto que encierran B) Halle el área de dicho recinto, se pide: - Deterine el área liitada por la función f ( ) el eje OX en el intervalo, - Halle el área encerrada por la función ( ) f los ejes e - Calcule el área encerrada entre las curvas 6, Calcule el área del recinto liitado por e, e 6- Encuentre el área liitada por el eje la función f ) ( 7- Calcule el área encerrada por las gráficas de las funciones g( ), dibujando previaente el recinto f ( ) 8- A) Halle los puntos donde se cortan las funciones f ( ) g( ) B) Encuentre el área de la región del plano encerrada entre sus gráficas 9- Calcule el área encerrada entre las curvas e hallando previaente los puntos donde se cortan representando gráficaente el recinto que encierran,

16 - A) Dibuje el recinto deterinado por las curvas B) Calcule su área - Encuentre el área del recinto liitado por la función f ( ) ( ) ( ), el eje de abcisas las rectas, - Esboce la gráfica de la función f ( ) 6 calcule el área deterinada por ella, el eje horiontal las rectas - Calcule el área de la región del plano liitada por el eje la curva 9 - Calcule el área del recinto deterinado por la curva las rectas =, =-, = - Se pide la representación gráfica el área del recinto liitado por la curva, el eje de abcisas la recta 6- Se pide la representación gráfica el área del recinto liitado por la curva el eje de abcisas en el intervalo, 7- Calcule el área de la región liitada por la gráfica de la función ( ) f, el eje X las rectas = - = - V PROBABILIDAD- - En una univerdad, el 6% de sus iebros son estudiantes, el % profesores el % personal de adinistración servicios Son ujeres el 6% de los estudiantes, el 7% de los profesores el % del personal de adinistración servicios Si seleccionaos al aar un integrante de esa univerdad: a) Deterinar la probabilidad de que sea ujer (,9) b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hobre, hallar la probabilidad de que sea estudiante (,9) - Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es, la de que no llueva en la ciudad B es 6 la de que llueva, al enos, en una de las dos ciudades es

17 a) Calcular la probabilidad de no llueva en ninguna de las dos ciudades (,) b) Calcular la probabilidad de que llueva en las dos Son independientes los sucesos llueve en la ciudad A llueve en la ciudad B? (No) - En un grupo de estudiantes, un % sabe inglés aleán, un % sabe inglés pero no aleán, entre los que saben aleán, un % sabe inglés a) Qué porcentaje de estudiantes sabe inglés? (6%) b) Qué porcentaje sabe aleán? (%) c) Qué porcentaje sabe alguno de los dos idioas? (7%) - La probabilidad de aprobar la agnatura A es / la de aprobar la agnatura B es / Adeás, la probabilidad de aprobar las dos es / a) Hallar la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos agnaturas (/) b) Calcular la probabilidad de aprobar A, pero no B (/) - Un archivador contiene 7 eáenes del grupo, del grupo, del grupo del grupo El % de los eáenes del grupo, el % de los del grupo el 8% del grupo está suspenso En el grupo no ha ningún suspenso a) Cuál es la probabilidad de que, al elegir un eaen al aar, esté suspenso? (,6) b) Se ha elegido un eaen está suspenso, cuál es la probabilidad de que sea del grupo? (,) 6- Según un estudio, el % de una población utilia el autobús, ientras que el 6% restante no lo hace En cuanto al tranvía, es utiliado por la itad no por la otra itad Un % no utilia ninguno de los dos transportes Si se elige un individuo de la población al aar: a) Cuál es la probabilidad de que utilice alguno de los dos transportes? (,7) b) Cuál es la probabilidad de que utilice los dos? (,) c) Cuál es la probabilidad de que utilice el tranvía, sabiendo que utilia el autobús? () 7- En una clase ha chicos chicas que van a realiar el guiente eperiento aleatorio: se tiene una caja aul con bolas nueradas de a una caja verde con bolas nueradas de a, se elige al aar una persona de la clase, es una chica, etrae una bola de la caja aul, es un chico, etrae una bola de la caja verde a) Cuál es la probabilidad de etraer un nuero par? (9/)

18 b) Si el nuero etraído ha do par, cuál es la probabilidad de que haa do etraído por una chica? (/9)