IES Fernando de Herrera Curso 2015 / 16 Segundo trimestre - Primer examen 2º Bach CCSS NOMBRE:

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1 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Primer eamen º Bach CCSS NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. EN LA PREGUNTA HAY QUE OBTENER, AL MENOS,8 PUNTOS. EN CA- SO CONTRARIO, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE, ) Calcular los siguientes límites: ( puntos) a) b) ) Calcular las asíntotas de f() (,5 puntos) ) Estudiar la continuidad de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades: si f() ( puntos) si ( ) ) Calcular y simplificar las derivadas de las siguientes funciones: (,5 puntos) ( ) a) f() b) g() ( + ) e 5 c) h() (5 ) d) j() ln 5 (5 )

2 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Primer eamen º Bach CCSS SOLUCIONES ) Calcular los siguientes límites: ( puntos) a) Cuando se obtiene indeterminación / y tenemos polinomios o raíces o potencias de polinomios, podemos sustituir tales epresiones por sólo su término de mayor grado, tanto en numerador como en denominador: ( ) b) Al obtener 0/0 y aparecer raíces dentro de restas, multiplicamos y dividimos por los conjugados de dichas restas, para obtener polinomios que podamos factorizar: ( )( ) 0 Factorizamos, por Ruffini los polinomios y + : 0 0 Por tanto, el límite es: ( )( ) ( )( ) ( ) 5 ( ) 5 ) Calcular las asíntotas de f() (,5 puntos) En primer lugar, su dominio es R {, }, porque estos valores que quitamos son los que anulan el denominador. Asíntotas verticales: la recta es asíntota vertical. 0 la recta es asíntota vertical. 0 Asíntotas horizontales: No tiene a.horiz. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

3 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Primer eamen º Bach CCSS Asíntotas oblicuas: m ( ) n ( ) Por tanto, la recta y es asíntota oblicua. 0 ) Estudiar la continuidad de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades: si f() ( puntos) si ( ) (, ): f coincide con g(). Las funciones elementales son continuas en su dominio, y el de ésta es R {}. O sea, que tiene, únicamente, una discontinuidad en (, ) f es continua en (, ). (, +): f coincide con h(), que es continua en R {0, }. ( ) Ambos valores están en el intervalo estudiado, luego son, también, discontinuidades de f. Clasifiquémoslas: o 0: ) No eiste f(0); ) ; 0 ( ) 0 0 ( ) + En 0 hay disc. asíntótica de salto infinito. 0 0 ( ) o : ) No eiste f(); ) ( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) 6 En hay disc. evitable. ( ) 0 : ) f( ) 0; ) f ( ) ; f ( ) 0 En hay disc. de salto finito. ( ) En suma, f es continua en R {, 0, }, con discontinuidades de salto finito en, asintótica de salto infinito en 0 y evitable en. ) Calcular y simplificar las derivadas de las siguientes funciones: (,5 puntos) ( ) a) f() IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Primer eamen º Bach CCSS ( )( ) ( ) ( )[( ) 6( )] f '() ( ) ( ) ( )(6 8 6) ( )(8 8) 8( )( ) ( ) ( ) ( ) 8( ) ( ) 8( ) ( ) b) g() ( + ) e 5 g'() ( ) e 5 + 5( + ) e 5 e 5 ( ) e 5 (5 + ) c) h() (5 ) h'() (5 )0 [(5 ) ] (5 0(5 (5 ) ) 0(5 ) ) (5 ) (5 (5 0(5 0 ) ) ) (5 ) d) j() (5 ) ln 5 Simplificamos antes de derivar, aplicando propiedades de logaritmos: j() (5 ) 5 (5 ) ln ln [ln(5 ) ln( )] 5 5 [ln(5 ) (ln( ) ln( ))] [ln(5 ) ln() ln( )] 5 5 Y derivamos: 5 5 j '() IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

5 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua Global º Bach CCSS NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta permanente. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. EN LA PREGUNTA HAY QUE OBTENER, AL MENOS, PUNTOS. EN CA- SO CONTRARIO, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE, si 0 ) Sea la función f() 8 a 6 si a) Hallar a para que la función sea continua en todo su dominio, si es posible. (,5 puntos) b) Calcular las asíntotas para a 9. ( punto) c) Estudiar su monotonía y etremos relativos para a 9. (,5 puntos) d) Calcular su tangente en para a 9. ( punto) ) Calcular los etremos absolutos de f() 6 + 9, con 0 5. (,5 ptos) ) Calcular a y b para que la siguiente función tenga un punto de infleión en (, ): f() + a + b (,5 puntos) ) Derivar y simplificar: ( puntos) ( ) a) f() ( ) b) g() ( + ) e 5² c) h() 5 d) j() ln 5 (5 )

6 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua Global º Bach CCSS SOLUCIONES si 0 ) Sea la función f() 8 a 6 si a) Hallar a para que la función sea continua en todo su dominio, si es posible. (,5 puntos) [0, ): f es continua porque está definida mediante una función polinómica: y + +, que son continuas en todos los puntos de R. (, +): f está definida en este intervalo mediante una función racional. Como las funciones elementales son continuas en su dominio, y el de ésta está constituido por todos los números reales salvo, dado que este valor no está en el intervalo que estudiamos, f es continua en todo él. : Estudiamos este valor por separado porque los puntos de coneión de definiciones en una función definida a trozos hay que estudiarlos siempre aparte. ) f() + + 8; ) f ( ) ( ) 8; IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 8 a 6 f ( ) a a Para ser continua también aquí, estos resultados deben coincidir. Luego: 6 + a 8 a 8 a 9 Por tanto, f es continua en [0, +) si y sólo si a 9. b) Calcular las asíntotas para a 9. ( punto) La función queda así: si 0 f() si Verticales: Sólo puede tenerla en puntos de discontinuidad o en los etremos del dominio. Como no tiene discontinuidades y en 0, etremo donde se inicia el dominio, la función tiene epresión polinómica, no tiene asíntotas verticales. Horizontales: La variable no puede tender a. Por tanto, sólo estudiamos: f ( ) 8 + Por tanto, no tiene asíntotas horizontales. Oblicuas: Igualmente, sólo puede tenerlas si +: m ( ) 8 8 n ( )

7 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua Global º Bach CCSS Por tanto, la recta y 8 es asíntota horizontal si +. c) Estudiar su monotonía y etremos relativos para a 9. (,5 puntos) Derivamos la función, de la que ya sabemos que no tiene discontinuidades en su dominio. Teniendo en cuenta que en intervalos abiertos puede derivarse directamente: si 0 f '() (6 9)( ) (8 9 6) si ( ) si 0 f ' () si ( ) si 0 f ' () si ( ) Y como f '( ) + 5 y f '( + 5 ) 5 No es derivable en, porque no coinciden las derivadas laterales. Por tanto: si 0 f ' () si ( ) Monotonía y etremos relativos Discontinuidades de f: No tiene. Discontinuidades de f ': no es discontinuidad, porque no es mayor que. Sólo lo es, donde no eiste f '. f '() 0: o 0 < < : + 0 /. Pero este valor no es válido, puesto que no está entre 0 y o > : 0 ( ) , siendo, para no anular el denominador, que no tiene solución. 6 Por tanto, el cuadro de monotonía es: (0, ) (, +) f ' + / + f P.A. No tiene etremos relativos, pero es un punto anguloso, porque la función es continua en él pero las derivadas laterales no coinciden. d) Calcular su tangente en para a 9. ( punto) Alrededor de, f(). Trabajamos sólo con esta fórmula Punto de tangencia: Como f(), es: (, 9/). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

8 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua Global º Bach CCSS Pendiente de la tangente: f '() ( ) 9 m f '() Ecuación de la recta tangente: y ( ) y + y ) Calcular los etremos absolutos de f() 6 + 9, con 0 5. (,5 ptos) Comenzamos con f '() + 9. Etremos del dominio: 0; 5. Discontinuidades de f: No hay (es polinómica). Discontinuidades de f ': No hay (es polinómica). f '() 0: , ambas válidas (están entre 0 y 5). Estudiamos las imágenes (no límites, en este caso) en los puntos resultantes: 0: f(0) 0. : f() : f() : f(5) Máimo absoluto: 0, que se alcanza para 5. Mínimo absoluto: 0, que se alcanza para 0 y para. ) Calcular a y b para que la siguiente función tenga un punto de infleión en (, ): f() + a + b (,5 puntos) Como: f '() + a + b; f "() 6 + a; f "'() 6 Para que f tenga un punto de infleión en, bastará con que: f "() 0 y que f "'() 0 Es decir: 6 + a 0 a y que 6 0, que se cumple. Además, las coordenadas del punto de infleión son (, ) f () : + a + b a + b Sustituyendo el valor de a: + b b 6. Por tanto: a y b 6. ) Derivar y simplificar: ( puntos) ( ) a) f() ( ) f () ( ) ( )[( ) 6( )] ( ) ( ) ( )( ) f '() ( ) ( ) 9 9 ( ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

9 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua Global º Bach CCSS b) g() ( + ) e 5² g'() ( ) e 5² + ( + )0 e 5² e 5² ( ) e 5² (0 0 + ) c) h() 5 h'() 0 (5 ) 0 (5 ) (5 0 ) (5 ) d) j() (5 ) ln 5 Simplificamos antes de derivar, aplicando propiedades de logaritmos: j() (5 ) 5 (5 ) ln ln [ln(5 ) ln( )] 5 5 [ln(5 ) (ln( ) ln( ))] [ln(5 ) ln() ln( )] 5 5 Y derivamos: 5 5 j '() IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

10 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación y subida de nota de la ª evaluación NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta permanente. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. EN LA PREGUNTA HAY QUE OBTENER, AL MENOS, PUNTOS. EN CA- SO CONTRARIO, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE, ( a 7) si ) Sea la función f() b( ) si a) Hallar a y b para que f sea derivable en (, ). ( puntos) b) Para a 9 y b, estudiar su monotonía y calcular sus etremos relativos. (,5 puntos) c) Para a 9 y b, calcular la ecuación de la recta tangente a la función en. (,5 puntos) ) Dada la función f() + definida en [, ], calcular sus etremos absolutos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanzan). (,5 puntos) ) Hallar las asíntotas de la siguiente función: (,5 puntos) si 0 f() 8 0 si ) Derivar y simplificar: ( puntos) a) f() ( ) b) g() ( )e ² c) h() 5 d) j() log( + + )

11 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación y subida de nota de la ª evaluación SOLUCIONES ( a 7) si ) Sea la función f() b( ) si a) Hallar a y b para que f sea derivable en (, ). ( puntos) Para ser derivable, debe ser continua. Estudiamos, entonces, la continuidad, y la eigimos. Las dos funciones que componen f son continuas, por lo que f es continua en (, ) (, ]. Falta estudiar el punto de coneión: ) f( ) ( a 7) ) f ( ) ( a 7) ( a 7) f ( ) b( ) + b 0 Será continua en cuando estos tres resultados coincidan. Lo eigimos: ( a 7) a 7 a 9. Veamos, ahora, la derivada, que debe eistir. Podemos derivar en intervalos abiertos, por lo que (sustituida ya a 9): 9 9 si f '() b si de donde: f '( ) 9; f '( + ) b. Como la función tiene que ser derivable, estos valores coinciden: 9 b b 6 b. La función es derivable en (, ) si, y sólo si a 9 y b. b) Para a 9 y b, estudiar su monotonía y calcular sus etremos relativos. (,5 puntos) Según el apartado anterior: (9 7) si 9 si f() f '() si 6 si donde ya hemos sustituido el valor de f '( ), que sabemos cuánto vale. Discontinuidades de f o de f ': No hay, según lo estudiado. f '() 0: o Si : 9 0 0, que no sirve, pues no está en la zona. o Si < < : ( ) 0 0 ó (, 0) 0 (0, ) (, ) f ' f m M Tiene un mínimo relativo en (0, ) y un máimo relativo en (, ). c) Para a 9 y b, calcular la ecuación de la recta tangente a la función en. (,5 puntos) Punto de tangencia: f( ) (, ). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

12 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación y subida de nota de la ª evaluación Pendiente de la tangente: m f '( ) 9( ) 9 Ecuación de la tangente: y 9( + ) y y 9 8 ) Dada la función f() + definida en [, ], calcular sus etremos absolutos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanzan). (,5 puntos) f() + f '() + 6 Para hallar los etremos absolutos de una función, comparamos imágenes, o límites si no eisten o si es una discontinuidad, de los siguientes puntos: Etremos del dominio: ;. Discontinuidades de f: No tiene (es polinómica). Discontinuidades de f ': No tiene, por la misma razón. f '() 0: ( ) 0 0 ó. Como: f( ) f(0) f() f() Por tanto: El máimo absoluto vale y se alcanza en y en. El mínimo absoluto vale y se alcanza en 0 y en. ) Hallar las asíntotas de la siguiente función: (,5 puntos) si 0 f() 8 0 si Asíntotas verticales: Puede haberlas en puntos de discontinuidad o en los etremos del dominio. Como y + es una función polinómica, no presenta discontinuidades. Luego en [0, ) no tiene discontinuidades. La función 8 0 y es racional y tiene una discontinuidad en. Pero ese punto está fuera de la zona donde coincide con f(), que es >, por lo que no es discontinuidad de f. Aunque en tuviera una discontinuidad, sería de salto finito, por lo que en ella no tendría asíntota vertical (que requiere discontinuidad asintótica). No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: Sólo podría tenerlas si +, pues la función no llega hasta : No tiene A.H. Asíntotas oblicuas: Nuevamente, sólo estudiamos el caso +: 8 0 m n f ( ) m IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

13 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación y subida de nota de la ª evaluación 0 8 Luego y es asíntota oblicua. 8 8 ) Derivar y simplificar: ( puntos) a) f() ( ) ( ) ( )( f '() ( ) 6 ( ) ) 6 ( )[ ( ( 8 6 ( ) ) ( )6 ) b) g() ( )e ² g'() 8 e ² 6 e ² ( ) e ² (8 + 8) e ² ( +6) ] c) h() 5 h'() 0 (5 ) 0 (5 ) (5 0 ) (5 ) d) j() log( + + ) j '() ln 0 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

14 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Subida de nota de las evaluaciones ª y ª NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta permanente. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. EN LA PREGUNTA 5 HAY QUE OBTENER, AL MENOS, PUNTOS. EN CA- SO CONTRARIO, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE, ) Siendo A 0 y B 0, razone si posee solución la ecuación matricial A X B y, en caso afirmativo, resuélvala. (,5 0 puntos) ) Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de y de estantes. Se sabe que son necesarios kg de madera para fabricar una librería de estante, siendo su precio de venta 0. Para fabricar una librería de estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de ésta es 5. Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máimo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 0 librerías de estante, ni tampoco más de 70 de estantes. (,5 puntos) ( a 7) si ) Sea la función f() b( ) si a) Hallar a y b para que f sea derivable en (, ). ( puntos) b) Para a 9 y b, estudiar su monotonía y calcular sus etremos relativos. (,5 puntos) ) Dada la función f() + definida en [, ], calcular sus etremos absolutos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanzan). (,5 puntos) 5) Derivar y simplificar: ( puntos) a) f() ( ) b) g() ( )e ² c) h() 5 d) j() log( + + )

15 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Subida de nota de las evaluaciones ª y ª SOLUCIONES ) Siendo A 0 y B 0, razone si posee solución la ecuación matricial A X B y, en caso afirmativo, resuélvala. (,5 puntos) 0 Para poder despejar X, hemos de aislarla en el primer miembro, multiplicando a la izquierda (recordar que el producto de matrices no es conmutativo, en general) por la inversa de A: A X B A A X A B I X A B X A B donde I es la matriz unidad, de orden en este caso. Este despeje sólo es posible si eiste A, lo que ocurre si, y sólo si A 0. De modo que hemos de calcular dicho determinante: 0 0 A A Procedemos a calcularla: A t 0 0 Adj(A t ) 0 0 Ya podemos hallar X: A A Adj(At ) X A B ) Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de y de estantes. Se sabe que son necesarios kg de madera para fabricar una librería de estante, siendo su precio de venta 0. Para fabricar una librería de estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de ésta es 5. Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máimo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 0 librerías de estante, ni tampoco más de 70 de estantes. (,5 puntos) Llevamos los datos del problema a una tabla, que nos ayudará a plantearlo: Nº de unidades a Tipos de librerías kg de madera PVP fabricar A ( estante) 0 B ( estantes) y 8y 5y 0; y 0 Restricciones: + 8y 600 F(, y) 0 + 5y 0; y 70 Epliquemos detalladamente qué hemos hecho. Si se fabrican librerías tipo A y cada una consume kg de madera, la madera consumida por el total de librerías fabricadas de ese tipo es. Análogo para B. Como el total de madera disponible es de 600 kg, que no puede, pues, sobrepasarse, llegamos a la restricción + 8y 600. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

16 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Subida de nota de las evaluaciones ª y ª De igual forma, si el precio de cada una del tipo A son 0, se ingresarán en total 0 por todas las fabricadas de tal tipo. Análogo para B. De donde el total de ingresos es F(, y) 0 + 5y, que constituye la función objetivo, que hay que maimizar. Por otra parte, no se puede fabricar un número negativo de estanterías de ninguno de los dos tipos, de donde surgen que eijamos que 0; y 0. Como no pueden fabricarse más de 0 unidades de A, concluimos que 0. Análogo para y 70. Y, así, el problema es maimizar F(, y) 0 + 5y sujeto a que: 0; y 0; 0; y 70; + 8y 600. Dibujamos el recinto deitado por las restricciones (región factible). Pasemos a dibujar la región factible. Cambiando en cada una de las inecuaciones de las restricciones el signo de desigualdad por un igual, se obtiene la ecuación de una recta, que pasamos a dibujar mediante una tabla de valores. Despejando y en la inecuación correspondiente, tendremos que y (ecuación de la recta) o que y (ec. de la recta), con lo que los puntos que resuelven la inecuación serán los que quedan debajo o encima (respectivamente) de la recta. Dibujaremos la recta y señalaremos con flechitas el semiplano que nos interesa. Para 0 resulta la zona que queda a la derecha del eje OY, ya que 0 es la ecuación de la recta vertical que, precisamente, coincide con OY. Similar ocurre con 0, que es el semiplano que queda a la izquierda de la recta vertical 0, y con y 70, que nos da el semiplano inferior a la recta horizontal y 70. Así: 0: A la derecha del eje OY. y 0: Por encima del eje OX. 0: A la derecha de 0. y 70: Por debajo de y y 600: 0 50 y y 600 y Semi- plano inferior Resulta así el recinto del gráfico. Hemos de calcular los vértices del mismo (ya figuran sus coordenadas en el gráfico, pero han sido calculadas antes de llevarlas al mismo). Los vértices A(0, 0), B(0, 70) y E(0, 0) son triviales. Calculemos el resto de ellos (nunca se pueden deducir del gráfico), para lo cual hemos simplificado la ecuación + 8y 600 entre : + y 50: y 50 C: Sustituyendo la ª ec. en la ª: y 70 Por tanto: C(0, 70). y 50 D: Sustituyendo la ª ec. en la ª: 0 + y 50 y 5 0 Por tanto: D(0, 5). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

17 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Subida de nota de las evaluaciones ª y ª Por último, evaluamos la función objetivo en cada vértice del recinto, obteniendo así dónde se alcanza su máimo y mínimo restringida a la región factible. Si alguno de ellos estuviese en dos vértices consecutivos, el máimo o mínimo correspondiente estaría en dichos vértices y en los infinitos puntos del segmento que los une: F(A) F(0, 0) F(B) F(0, 70) F(C) F(0, 70) F(D) F(0, 5) F(E) F(0, 0) Concluimos, pues, que: Los ingresos máimos posibles son de 95, que se obtienen con 0 librerías de estante y 5 de estantes. ( a 7) si ) Sea la función f() b( ) si a) Hallar a y b para que f sea derivable en (, ). ( puntos) b) Para a 9 y b, estudiar su monotonía y calcular sus etremos relativos. (,5 puntos) Está resuelto en la prueba anterior. ) Dada la función f() + definida en [, ], calcular sus etremos absolutos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanzan). (,5 puntos) Está resuelto en la prueba anterior. 5) Derivar y simplificar: ( puntos) a) f() ( ) b) g() ( )e ² c) h() 5 d) j() log( + + ) Está resuelto en la prueba anterior. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

18 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación etraordinaria de la evaluación ª NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta permanente. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. 5) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. EN LA PREGUNTA HAY QUE OBTENER, AL MENOS, PUNTOS. EN CA- SO CONTRARIO, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE, ) Considerar la función: a si f() ( b 5) si.5 a) Comprobar que eisten a y b para que la función sea derivable en todo (,.5), y hallarlos. ( punto) Sabiendo que para a y b la función es derivable en (,.5), se pide: b) Calcular sus asíntotas. ( punto) c) Hallar la tangente en 0. ( punto) d) Estudiar su monotonía y calcular sus máimos y mínimos relativos. (,5 puntos) e) Calcular sus etremos absolutos. (,5 puntos) ) Dada la función g() + +, se pide: a) Intervalos de monotonía y etremos relativos. ( punto) b) Intervalos de curvatura y puntos de infleión. ( punto) ) Derivar y simplificar: ( puntos) a) y ( ) b) g() ( 7 )e ² c) h() 5 + d) j() log( + )

19 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación etraordinaria de la evaluación ª SOLUCIONES ) Considerar la función: a si f() ( b 5) si.5 a) Comprobar que eisten a y b para que la función sea derivable en todo (,.5), y hallarlos. ( punto) Para ser derivable, debe ser continua. Comprobamos que puede serlo para algún valor de los parámetros a y b. En (, ), f está definida mediante una función racional, continua salvo en, valor que anula el denominador. Como dicho valor no está en el intervalo que estudiamos, f es continua en (, ). En (,.5], f está definida por una función polinómica, luego es continua. En, punto de coneión de las distintas definiciones de f y que, por tanto, hemos de estudiar aparte, tenemos: a ) f() a a ) f ( ) a f ( ) ( b 5) ( b 5) Si estos valores coinciden, será continua en todo su dominio, porque lo será en el único punto que quedaba:. Eigimos, pues: a ( b 5) 6 a b a + b a + b () Derivamos. Sólo podemos hacerlo en intervalos abiertos, por lo que: a( ) ( a) a a a a si f '() ( ) ( ) ( ) b 8 b 8 si.5 de donde: f '( a ) a ; f '( + ) b + 8 ( ) Eigimos que sea, también, derivable en : a b a + b () Las condiciones obtenidas () y () nos llevan a que: a b a b Y como a + b 0 a b 0 a b b 0 b a Luego a, b. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

20 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación etraordinaria de la evaluación ª Sabiendo que para a y b la función es derivable en (,.5), se pide: b) Calcular sus asíntotas. La función es: si f() ( 5) si.5 Y su derivada, incluyendo, ya f '(): si f '() ( ) 8 si.5 Verticales: Hemos de estudiar los puntos de discontinuidad y los etremos finitos del dominio. Discontinuidades no tiene. Y en el etremo.5 f tiene epresión polinómica, por lo que no tiene asíntotas verticales. Horizontales: Sólo puede tender a : f ( ) Luego la recta y es asíntota horizontal cuando. Oblicuas: Saldría la horizontal que ya tenemos. c) Hallar la tangente en 0. ( punto) En algún entorno de 0, f(). Punto de tangencia: Como f(0), es (0, ). Pendiente de la tangente: m f '(0) ( ) Ecuación de la tangente: y + ( 0) y. d) Estudiar su monotonía y calcular sus máimos y mínimos relativos. (,5 puntos) Discontinuidades de f o de f ': No hay, según el estudio realizado anteriormente. f '() 0: o Si : 0, que no es posible, pues 0,. ( ) o Si < <.5: ( ) 0 0 ó. Pero descartamos 0, porque no está en (,.5). El único punto obtenido es, entonces,. Dividimos, mediante él, el dominio: (, ) (,.5) f ' + 0 f M Luego hay un máimo relativo en (, /), porque f() /. e) Calcular sus etremos absolutos. (,5 puntos) Los puntos de los que tenemos que comparar sus respectivas imágenes (o límites, en caso de no haber imagen o ser un punto de discontinuidad) son: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

21 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación etraordinaria de la evaluación ª Etremos del dominio: ;.5 Discontinuidades de f: No tiene, según lo estudiado. Discontinuidades de f ': Tampoco tiene. f '() 0: (se calculó en el apartado anterior). Comparamos el comportamiento de la función en cada uno de los puntos anteriores: f ( ) (se calculó en el apartado b). 59 f(.5) (.5 5) f().67 Por tanto, como la imagen máima es /, el máimo absoluto vale / y se alcanza en. Del mismo modo, el mínimo absoluto es 59/6 y se alcanza en.5. Si el menor valor (imagen o, en este caso, límite) de todos los anteriores se hubiese obtenido en, la función no tendría mínimo absoluto, sino ínfimo igual a dicho valor, al que se aproimaría la función al tender a. Y si allí se encontrase el mayor valor, la función no tendría máimo absoluto, sino supremo. ) Dada la función g() + +, se pide: a) Intervalos de monotonía y etremos relativos. ( punto) Se tiene que: g'() g"() Entonces: Discontinuidades de g: No tiene (es polinómica). Discontinuidades de g': No tiene (también es polinómica). g'() 0: (, ) (, + ) g ' g tg h. No tiene etremos relativos, porque la función siempre es creciente, pero en el punto (, ) (pues g( ) ) la tangente es horizontal, puesto que g'( ) 0. b) Intervalos de curvatura y puntos de infleión. ( punto) Discontinuidades de g, g' ó g": No hay, porque todas esas funciones son polinómicas, y las funciones polinómicas son continuas en todo R. g"() 0: (, ) (, + ) g" 0 + g cóncava P.I. convea La función tiene un punto de infleión en (, ), porque g( ). ) Derivar y simplificar: ( puntos) a) y ( ) ( ) ( )( ( )) ( )[ ( ) ( )] y ' ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

22 IES Fernando de Herrera Curso 05 / 6 Segundo trimestre - Prueba de observación continua º Bach CCSS Recuperación etraordinaria de la evaluación ª b) g() ( 7 )e ² g'() e ² 6 e ² ( 7 ) e ² ( 8 + ) e ² ( ) c) h() 5 + h'() 5 5 ln() d) j() log( + ) j '() ln 0 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de