Taller: Módulos de apoyo para las asignaturas propedéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAEM, con la TI Voyage.

Transcripción

1 Taller: ódulos de apoyo para las asignaturas propedéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAE, con la TI Voyage Introducción Eugenio Día Barriga Arceo, José Isael Arcos Queada Facultad de Ingenierí UAE e-ail: Resuen: El presente taller tiene coo propósito desarrollar ódulos auiliares para diversos cálculos que aparecen frecuenteente en las asignaturas de Geoetría Analític Cálculo Infinitesial y Cálculo ultivariable de la Facultad de Ingeniería de la UAE Contar con un recurso de ésta índole en el salón de clase perite enfocar las actividades a dar ás espacio al planteaiento y resolución de probleas; adeás el estudiante puede recurrir a él coo un tutor al cual consultar durante su estudio en casa Las siguientes actividades tienen coo arco los cursos que se ofrecen en las aterias propedéuticas de la Facultad de Ingeniería de la UAE Se aprovechan de anera notable las facilidades de cálculo, tanto sibólico cóo nuérico, con que cuenta la TI Voyage Típicaent al trabajar desde una perspectiva vectorial los cursos de Geoetría Analítica y Cálculo de una y varias variables, periten agiliar los cálculos que de otra fora se llevan ucho tiepo de aula a veces oscurecen la discusión principal del odelo, problea o ejercicio que se ha planteado en el aula Adeás, se ha cuidado que las actividades generen coandos que la TI Voyage no tenga de anteano construidos, con el objeto de ofrecer un capo donde el estudiante pueda ir estructurando sus propias herraientas según sus necesidades de cóputo Se abordan desde operaciones coo el producto interno de dos vectores (que pueden ser tabién funciones vectoriales), ángulo entre vectores, longitud de arco para funciones vectoriales, curvatura e integrales dobles y triples Se espera que las herraientas se etiendan hacia otras necesidades (producto eterno vectorial, transforadas integrales, solución de ecuaciones diferenciales de prier orden, etc) Actividad: nora de un vector, ángulo entre vectores Instrucciones: realia la siguiente actividad auiliándote de la calculadora TI VOYAGE, epleando los coandos que se encuentran en los enús de Cálculo (F) y Otros (F4)

2 1 Nora de un vector Epleando el ódulo de Cálculo, construye un coando (lláalo por ejeplo nord( c)) que nos entregue la nora de un vector de tres coponentes: nor d( c) = a + b + c Producto punto de dos vectores Construye ahora un coando (lláalo por ejeplo pint( f)) que nos entregue el producto interno de los vectores ( c) y ( f): p int( f ) = a * d + b* e + c* f Ángulo entre dos vectores Epleando los dos coandos que has construido, habilita en la calculadora un coando que nos entregue el ángulo entre dos vectores (lláalo por ejeplo angvect( f)): 1 angvect( f ) = cos (( pint( f )) /( nord( c)* nord( f ))) Una ventaja de los coandos que heos creado es que nuestras coponentes pueden ser funciones que dependan de algún paráetro (por ejeplo del paráetro Eploración de los coandos definidos Vaos a eplorar la potencia de los coandos recién definidos 1 Calcula la nora de los vectores siguientes: a (1,,-1) b (t, t, - c (4,5, 1-, en t =, 1, - d t*(,,8), t arbitrario Calcula el producto interno entre las siguientes parejas de vectores: a (1,,) y (, -, ) b (4,,1) y (,-1,) c (t, t-, 1/ y (,,-) Calcula el ángulo entre las siguientes parejas de vectores: a (1,1,1) y (1,,) b (,,) y (1,1,) c (1,,1) y (,1,1) d (,1,) y (,,4) e (t, t, y (t-1, t-1, t-1) Actividad: longitud de arco y reparaetriación Instrucciones: realia la siguiente actividad auiliándote de la calculadora TI VOYAGE, epleando los coandos que se encuentran en los enús de Álgebra (F), Cálculo (F) y Otros (F4)

3 1 Longitud de arco Epleando el ódulo de Cálculo, construye un coando (lláalo por ejeplo longarc( t, b)) que nos entregue la longitud de arco de una curva paraetriada ((, y(, () desde t = a hasta t = b: = b t = a longarc ( t, b) ( '(, y'(, '( ) dt Reparaetriación Construye ahora un coando que haga la reparaetriación, igualando la variable s, que representará a la longitud de arco, con el coando anterior toando coo líite superior a la variable t y entonces despejando t en térinos de s y substituyendo esto en cada uno de las coponentes: t repalongarc( t, s, a) = [ ( t( s)), y( t( s)), ( t( s))] s = ( '( T ), y T = a Actividad: radio de curvatura y curvatura Instrucciones: realia la siguiente actividad auiliándote de la calculadora TI VOYAGE, epleando los coandos que se encuentran en los enús de Álgebra (F), Cálculo (F) y Otros (F4) '( T ), '( T )) dt 1 Radio de curvatura Epleando el ódulo de Cálculo, construye un coando (lláalo por ejeplo rcurv( ) que nos entregue el radio de curvatura de una curva paraetriada ((, y(, (): rcurn( rcurv ( = rcurvd( donde se definan previaente: / (,,, ) d dy d rcurn y t = + +, dt dt dt 1 dg d h dh d g (,, ) g h t = dt dt dt dt rcur y rcurd ( = ( rcur1( + rcur1( + rcur1( ) Curvatura Construye ahora un coando que haga el cálculo de la curvatura de una curva paraetriada ((, y(, (): curv ( = 1/ rcurv(

4 Actividad: Integrales dobles y triples Instrucciones: realia la siguiente actividad auiliándote de la calculadora TI VOYAGE, epleando los coandos que se encuentran en los enús de Cálculo (F) y Otros (F4) 4 Epleando el ódulo de Cálculo, construye un coando (lláalo por ejeplo dbint(f, d)) que nos entregue la integral doble de una función f( y), con intervalos de integración [ b] para [ d] para y En la definición de tu coando las integrales se van a anidar sucesivaent de odo tal que refleje el cálculo siguiente: = b d db int( f, d) = f ( y) dy d a y= c 5 Epleando el ódulo de Cálculo, construye un coando (lláalo por ejeplo triint(g, f)) que nos entregue la triple integral de una función f( ), con intervalos de integración [ b] para [ d] para [ f] para = b d f tri int( g, f ) = = g( ) d dy d a y c = e Una ventaja de los coandos que heos creado es que nuestras variables de integración son udas Otra ventaja será que podreos intercabiar tabién el orden de integración Adeás se pueden aprovechar para calcular integrales en diferentes tipos de coordenadas, tan sólo ultiplicando por el factor adecuado al integrando correspondiente Eploración de los coandos definidos Vaos a eplorar la potencia de los coandos recién definidos 1 Calcula con el coando para la integral doble el área de la región del plano liitada por las curvas Γ1 : y = 9 y Γ : y = 9 9 Gráfico: En nuestro caso, la función a integrar es f( y) = 1 Deseaos calcular entonces:

5 9 9 1 = d y= = equivalenteente y 9 9 = dy d dy (esto aplicando sietría) o y= = 9 y d dy 9 9 y El orden de integración podeos cabiarlo (priero integrar con respecto de y luego con respecto a y) Observa qu en cada una de las integrales sucesivas, los líites de integración de la integral ás interna pueden quedar en térinos de la variable eterna Realia los cálculos a ano y copruébalos con el coando de la calculadora TI VOYAGE que has definido para la integral doble Si deseas realiar el cálculo según la priera opción que heos enunciado, ejecuta la línea de coando siguiente: *((dbint(1,,9,,sqrt(9-))-dbint(1,,1,sqrt(9-9*),sqrt(9-))) Para la segunda opción puedes realiar el cálculo ediante la línea de coando siguiente: dbint( 1,,,(9 y^) /9,9 y^) En abos casos el resultado será Observación: cuidado con los signos (-) que utilias porque no es lo iso usar el signo (-) de la tecla gris que el signo (-) de la tecla negra (consulta el anual de la calculadora para conocer la diferencia) Deterinar el centro de asa del sólido hoogéneo liitado por las superficies: Ω : + y + = 16, Ω : + y =, con 1 Gráfico: Observaos que se trata del cuerpo acotado inferiorente por el cono Ω + y = : y superiorente por la esfera Ω1 : + y + = 16 Por la sietría del proble sabeos que la abscisa y la ordenada del centro de asa son ; que la función que nos da la densidad del cuerpo es g ( ) = k, con k una constante positiv ya que el sólido es hoogéneo Puede aprovecharse o no la sietría del sólido para hacer los cálculos (en la figura se ha representado el haber etraído la parte contenida en el prier octante) Las superficies se intersectan a la altura =, en el cilindro + y = 1

6 Para atacar el problea contaos con varias alternativas: a) Cálculo ediante coordenadas rectangulares b) Cálculo ediante coordenadas cilíndricas c) Cálculo ediante coordenadas esféricas a) Cálculo ediante coordenadas rectangulares Se plantea la siguiente integral triple para el cálculo de la asa del sólido: = = = y = 4 1 kd dy d y y Para las coordenadas del centro de asa C (, y, ), se requieren adeás: = = = + = y 1 kd 1 y 1 dy d, y = = = + = y y 1 kyd 1 y 1 dy d, y y = = = + = y 1 kd 1 y 1 dy d y Para obtener entonces las coordenadas pedidas ediante: =, y = y y = b) Cálculo ediante coordenadas cilíndricas Haciendo el cabio a coordenadas cilíndricas teneos lo siguiente: = = = = 4 π 16 r r krd r dr θ Tabién se plantean entonces: = 4 y r = 4 r= θ= = θ= π 16 r = r kr cosθd dr, = π 16 r r kr sinθd dr, y = π 16 r krd dr θ r = = = 4 c) Cálculo ediante coordenadas esféricas Ahora ediante el cabio a coordenadas esféricas: = = = = 4 π π kr sinφd φ r dr Tabién se plantean entonces:

7 y π π = = = kr sinφcosθdφ r dr, π π = = = kr sinφsinθdφ r dr, y = = = = 4 π π kr cosφd φ r dr = 4 = 4 Resultados: 18( ) π 18π = k, = y =, = k Las coordenadas del centroide 9 son entonces: = y =, = 66 Conclusión Las herraientas generadas con los enús de Álgebr Cálculo y Otros de la TI Voyage pueden ser epleadas uy creativaente en el aula para diversas actividades (búsqueda de patrones, eploración de propiedades, resolución de diversos probleas y ejercicios, tutores en la solución de problearios, entre otros) ención aparte erecen las posibilidades gráficas que ofrece la TI Voyag que no han sido abordadas aquí, pero que pueden generar un abiente de aprendiaje rico en odelaciones, cuyo cóputo puede visualiarse analítica y nuéricaente con algunas de las herraientas desarrolladas en este taller Bibliografía: Arcos, I (9) Cálculo ultivariable para estudiantes de ingeniería Editorial Kali Arcos, I (8) Cálculo infinitesial para estudiantes de ingeniería Editorial Kali Arcos, I (7) Geoetría analítica para estudiantes de ingeniería Editorial Kali Teas Instruents (5) Voyage Graphing calculator Guide book