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1 Cineática CINEMÁTICA Introducción El fenóeno fíico á coún en la naturaleza e el oviiento y de él, preciaente e encarga la cineática. Pero quiene e ueven? : Evidenteente lo cuerpo. Claro que un cuerpo puede overe de anera uy copleja pue puede a la vez traladare, rotar obre í io y deforare. Por éta razón coenzareo etudiando el cao á encillo, el de un punto que e ueve al que denoinareo óvil. Claro que el óvil e una idealización, ya que un punto no tiene dienione, pero preciaente por ello e el cao á encillo pue olo coniderareo u tralación ya que no tiene entido, para un punto, hablar de rotación o deforación. El óvil erá nuetro objeto de etudio, pero cóo podeo aber cuándo un punto etá en oviiento?. Para ello tendríao que poder ubicarlo en el epacio. En fíica utilizao para éte fin un Sitea de referencia. Sitea de referencia Un itea de referencia perite ubicar un punto en el epacio a travé de coordenada. El á coún e el itea carteiano ortogonal con u faoo eje X, Y y Z, pero tabién exiten lo itea polare, cilíndrico, eférico etc. Coenzareo nuetro etudio utilizando el carteiano. Éte itea conite en tre eje ( recta ) que e cortan en un punto llaado origen y que cada uno e perpendicular a lo otro do. Para ubicar un punto en el epacio e neceario indicar tre coordenada epaciale. Por ejeplo para indicar la poición del punto P tendreo que indicar la coordenada x p, y p, z p E evidente que i e cabia la ubicación o el tipo de itea de referencia, la coordenada de un punto tabién cabiaran aunque éte iepre e encuentre en el io lugar del epacio, por éta razón decio que la poición de un óvil e relativa al itea de referencia adoptado. Moviiento E indudable que para hablar de oviiento teneo que hablar de tiepo ya que eto concepto etán íntiaente ligado. La noción de tiepo va aociada Prof. Claudio Nao 16

2 Cineática a la uceión de aconteciiento que no e otra coa que oviiento. Por éta razón e hace uy difícil definir el tiepo. Para iplificar nuetro etudio direo por ahora que el tiepo e aquello que e puede edir con un reloj. La agnitud tiepo la indicareo con la letra t y un intervalo de tiepo entre do intante t 1 y t lo indicareo con Δt iendo: Δt t - t 1 Definición de oviiento: Decio que un punto e ueve repecto de un itea de referencia adoptado, cuando cabia alguna de u coordenada epaciale a lo largo del tiepo Trayectoria La trayectoria de un óvil e la línea deterinada por lo uceivo punto que un óvil va ocupando en el epacio a edida que e ueve. Si e trata de una recta decio que la trayectoria e rectilínea. Si e trata de una curva, toa el nobre de la ia: trayectoria circular i e una circunferencia, trayectoria parabólica i e una parábola, etc. Por ejeplo, en la iguiente figura, la trayectoria etá indicada por la línea gri, el punto P e el óvil y x p, y p, z p, on la coordenada del punto en un intante deterinado. ( Tengao en claro que eta coordenada erán ditinta en otro intante) Trayectoria rectilínea: Por el oento nootro olo etudiareo oviiento con trayectoria rectilínea, por lo tanto, para ubicar un óvil neceitareo olo un eje (el eje X) y batará con aber una coordenada (el de la abcia X). En la figura x1 indica la poición del óvil en un intante. Por ejeplo x10. Deplazaiento: Llaareo deplazaiento a la diferencia entre do coordenada ocupada por el óvil en do intante de tiepo ditinto. Se indica con Δx. Prof. Claudio Nao 17

3 ΔX X X1 Cineática Velocidad edia E evidente que todo lo óvile no e "ueven" de la ia anera, incluo, aunque el deplazaiento de do óvile fuera el io, el intervalo de tiepo en realizar dicho deplazaiento puede er ditinto. Por éta razón e neceario definir una nueva agnitud que perita diferenciar un cao del otro y tener una "idea" de cóo e deplaza un óvil. Eta agnitud e denoina velocidad edia: Definición: La velocidad edia de un óvil en un intervalo de tiepo Δt, e una agnitud vectorial igual al cociente entre el vector deplazaiento correpondiente al intervalo y el valor de dicho intervalo. Δx v Δt Ejeplo 1: v x t x t Fíicaente, la velocidad edia repreenta la rapidez con que e produce el deplazaiento de un óvil. La velocidad edia no no da ucha inforación acerca del oviiento. Solaente relaciona el deplazaiento total producido en un intervalo de tiepo con dicho intervalo. No no dice i el óvil ha llevado iepre la ia velocidad en todo el intervalo de tiepo. Incluive, i el óvil regrea al punto de partida al cabo de un intervalo de tiepo, la velocidad edia erá nula en dicho intervalo, pue el vector deplazaiento erá nulo. Iportante: La velocidad edia de un óvil puede er cero para un intervalo de tiepo y no erlo para intervalo de tiepo á pequeño. Unidade En el itea internacional de unidade la velocidad e ide en: [ ] [ long. ] v t [] En la práctica diaria: [ ] [ long. ] [] t h k v Prof. Claudio Nao 18

4 Ejeplo : Cineática Un óvil e deplaza en una trayectoria rectilínea de anera que i la aociao con un eje X de coordenada u poición en el intante en que un reloj arca 0 eg. e 50., cuando el reloj indica 30 eg. la poición e 70, cuando el reloj indica 40 eg. la poición e 60 y cuando arca 50 eg. e 10. Calcular la velocidad edia entre lo intante: 0 y 30 eg. ; 0 y 40 eg.; 0 y 50 eg. ; 30 y 40 eg. y 40 y 50 eg. Solución: Veao nuetro itea de referencia y aigneo nobre a lo dato: Para calcular la velocidad edia en el prier intervalo aplicao la definición: v Δx Δt En el prier cao: x x v t t Obérvee que el entido del deplazaiento vendrá indicado con el igno del reultado del cálculo. Si el igno e poitivo, ignifica que el óvil e deplaza en el entido creciente del eje X y i e negativo el deplazaiento erá en el entido decreciente. Ahora í, teniendo en cuenta eta aclaración, reolvereo el reto del ejeplo. Para el egundo intervalo de tiepo teneo: x3 x v 0,5 t3 t Para el tercero: x x v t4 t ,33 Para el cuarto: x3 x v t3 t Para el quinto: x4 x v t4 t Dicuta con u copañero lo reultado obtenido. Prof. Claudio Nao 19

5 Cineática Si quereo á inforación acerca del oviiento de una partícula, debereo edir la velocidad en un intervalo de tiepo uy pequeño, de anera de aegurarno que la ia no cabie en él, pero, cuán pequeño debe er el intervalo?, tan pequeño coo podao iaginarlo, "infinitaente pequeño". De eta anera llegao al concepto de velocidad intantánea. Velocidad intantánea La velocidad intantánea repreenta la velocidad de un óvil edida en un intervalo de tiepo infinitaente pequeño. Definición: La velocidad intantánea e el valor líite que toa la velocidad edia cuando el intervalo de tiepo en el que e ide tiende a cero: Moviiento Rectilíneo Unifore ( MRU ) E el á encillo de lo oviiento que exiten en la naturaleza, y e lo define de la iguiente anera. Un óvil e deplaza con MRU, cuando la trayectoria que decribe e una recta y u velocidad intantánea peranece contante. Si la velocidad intantánea de un óvil peranece contante, ignifica tabién, que u ódulo tendrá el io valor cuando e lo ida en cualquier intervalo de tiepo, ea ete infinitaente pequeño o uy grande, lo que equivale a decir que en el MRU, la velocidad edia coincide con la intantánea. Por éta razón, el cálculo de la velocidad e iplifica ucho, pue, utilizando coo itea de referencia olo el eje X podreo tratar a la velocidad coo una agnitud ecalar donde el entido vendrá expreado por u igno, coo ya lo heo vito en lo ejeplo de cálculo de velocidad edia. Δx x(t ) - x(t1) v Δt t - t1 Donde t e un intante poterior a t 1. Ecuación horaria del MRU Supongao que etudiareo el oviiento de un cuerpo que e deplaza con MRU utilizando un cronóetro. Eto ignifica que en el intante en que idao por priera vez la poición del óvil en el itea de referencia, encendereo el cronóetro y por lo tanto el tiepo erá igual a cero ( t 1 0 ). A ete intante lo llaareo intante inicial y a la poición que ocupa el óvil la llaareo poición inicial y la indicareo con el iguiente íbolo x 0. ( El ubíndice cero hace referencia a que en éta poición el tiepo valía cero ). Prof. Claudio Nao 0

6 Cineática Al intante poterior t, lo llaareo directaente t y repreenta un intante cualquiera depué de haber encendido el cronóetro. A la poición del óvil en ete intante la indicareo con el iguiente íbolo: x(t). Por lo tanto la velocidad e calculará coo: Δx v Δt x(t) - x t x(t) - x0 t Si depejao de éta ecuación la poición del óvil en cualquier intante, no queda: v.t x(t) - x0 v.t + x0 x(t) Y ordenando eta expreión de otra anera llegao a lo que llaareo ecuación horaria del MRU. x(t) x0 + v.t Eta ecuación e denoina aí, porque perite calcular la poición (x) de un óvil en cualquier intante (t). Lo valore de x 0 y v on contante para un oviiento ya que el óvil en el intante cero e encuentra en un lugar y e deplaza con una única velocidad. Gráfico Coo abeo, uele er uy útil para el análii y la decripción de un oviiento, repreentar gráficaente la agnitude que varían en función del tiepo. En particular, para el MRU repreentareo la poición y la velocidad en función del tiepo. Gráfico de poición en función del tiepo Si analizao ateáticaente la ecuación horaria e evidente de que e trata de la ecuación de una recta, donde x(t) e la variable dependiente, t e la variable independiente, x 0 e la ordenada al origen y v e la pendiente de la recta. Repreentando gráficaente eta ecuación no queda: En el prier cao, la repreentación correponde a un óvil que e deplaza en entido creciente del eje X y por lo tanto la velocidad e poitiva. En el egundo, la repreentación correponde a un óvil que e deplaza en el entido decreciente del eje X lo que iplica una velocidad negativa. El ódulo de la velocidad, etá repreentado por la pendiente de la recta, a ayor pendiente ayor velocidad. Prof. Claudio Nao 1

7 Cineática Gráfico de velocidad en función del tiepo Etá claro que en éte oviiento la velocidad peranece contante a lo largo del tiepo y por ende u gráfico correponderá al de una contante. Nuevaente, el prier gráfico correponde a una velocidad poitiva y el egundo a una negativa. Significado del área encerrada por el gráfico de velocidad en función del tiepo Toeo un gráfico de velocidad en función del tiepo y analiceo lo que repreenta el área encerrada. Según la ecuación horaria, el producto de la velocidad por el tiepo ( v.t ) e el deplazaiento ufrido por el óvil ( Δx ) y ee producto, en el gráfico, no e otra coa que el área encerrada. v.t x(t) - x0 x(t) -x 0 Δx Eta concluión erá válida para cualquier gráfico de velocidad en función del tiepo ya que aunque la velocidad no ea contante en un intervalo de tiepo, toando intervalo infinitaente pequeño uceivo, podrá coniderare que en dicho intervalo el oviiento fue unifore y la ua de eta infinita área en cada intervalo dará coo reultado el área total encerrada. Prof. Claudio Nao

8 Cineática Ejeplo 3 Un óvil parte dede la poición 5 de un itea de referencia y e deplaza con MRU a una velocidad de 3 /. Calcular u poición a lo 4., 7. y 10., y repreentar u poición y velocidad en función del tiepo. Solución: Aplicao la ecuación horaria del MRU teniendo en cuenta que la poición inicial y la velocidad on dato: x(t) x0 + v.t x (t) t Luego reeplazao lo dato del tiepo en cada cao t obteneo la ditinta poicione: x (4) x (7) x (10) Con eto dato trazao lo gráfico Ejeplo 4: Calcular la velocidad de un óvil que deplazándoe con MRU, recorre una ditancia de 800. en 40. Solución: En ete problea teneo coo dato el deplazaiento Δx y el intervalo de tiepo Δt. El cálculo de la velocidad e reduce al cálculo de la velocidad edia. Δ v x Δt Prof. Claudio Nao 3

9 Cineática Ejeplo 5: Do óvile parten iultáneaente con MRU en entido opueto de do punto "A" y "B" ubicado a 100 uno del otro. El óvil que parte de "A" tiene una velocidad cuyo ódulo e 10 / y el que parte de "B", 40 /. Calcular la poición y el intante en que e encuentran y repreentar gráficaente la poición en función del tiepo para abo óvile. Solución: Ete tipo de problea uele denoinare "de encuentro", pue en ello iepre hay do o á óvile que en algún lugar de u trayectoria e encuentran. Para reolver éte tipo de problea, debe fijare un itea de referencia y en el exprear claraente lo dato: En ete cao e ha toado un itea de referencia con origen en "A" y dirigido hacia "B" de anera que la poición inicial del óvil "A" e cero y la del óvil "B" e 100. Debido tabién al itea de referencia adoptado la velocidad del óvil "B" queda con igno negativo pue u entido e contrario al entido creciente del itea de referencia. Ahora debereo aplicar la ecuación horaria del MRU, x (t) x 0 + v.t, para cada óvil: x A (t) x A0 + va. t xb(t) xb0 + vb. t x A (t) t x (t) (- 40 ). t B En el oento del encuentro lo do óvile deberán ocupar la ia poición en el io intante, por lo tanto x y t erán iguale para abo óvile. ( e iportante tener en claro que éta igualdad e da i y olo í en el intante de encuentro). Por lo tanto etao en preencia de un itea de do ecuacione con do incógnita ( Poición e intante de encuentro) que e puede reolver por cualquier étodo. Nootro utilizareo el de igualación: x A (t) xb(t) t (- 40 ). t 10. t t t t 50 Prof. Claudio Nao 4

10 Cineática Lo óvile e encuentran a. de la partida. Para calcular la poición aplicao ete reultado a cualquiera de la ecuacione horaria: (t) x A La poición de encuentro e 0. ( Medido dede el punto A egún nuetro itea de referencia ). Veao el gráfico. PROBLEMAS Y PREGUNTAS DE MRU 1- Cuándo un oviiento e rectilíneo y unifore? - Cóo e define velocidad? 3- Qué diferencia hay entre el concepto de poición el de deplazaiento? 4- Qué diferencia hay entre el concepto te intante de tiepo y el de intervalo de tiepo? 5- Qué ignifica que un óvil e deplaza con una velocidad de 5 /? 6- Un óvil que e deplaza con MRU en un intante e encuentra en la poición 40 y 5 egundo á tarde e encuentra en la poición 80. Calcular u velocidad y exprearla en / y K/h. Rep: 9,6 /, 34,56 K/h Prof. Claudio Nao 5

11 Cineática 7- Un óvil e encuentra en la poición x 3 y e deplaza con MRU a una velocidad de 8 /. Calcular u poicione a lo 4, 9, 1 y 15. Repreentar gráficaente la velocidad y la poición en función del tiepo. Rep: 64, 104, 18, Calcular cuánto tiepo tardará un óvil que e ueve con MRU a 108 k/h en recorrer 150. Rep: Qué ditancia habrá recorrido un óvil con MRU que e deplaza a 5 / en 1h 5. Rep: 5,5 k 10- Encontrar la velocidad de un óvil que con MRU recorre 60 k. en 1h30. Rep: 40 k/h 11- Un óvil parte del origen del itea de referencia y e ueve con MRU en el entido creciente de la X a una velocidad de 1 /. En el io intante otro óvil e encuentra en la poición 40 y e deplaza en el io entido con velocidad de 15 /. Calcular a qué ditancia e encuentran uno del otro a lo 8 eg. de la partida. Repreentar la poición en función del tiepo para abo óvile. Rep: Una partícula e ueve con MRU en la dirección del eje x, con entido hacia x +. Sabiendo que la velocidad e de / y u poición e x(0)-4, trazar la gráfica xf(t) y vg(t) Do óvile paan iultáneaente, con oviiento rectilíneo y unifore, por do poicione A y B ditante entre í 3 k, con velocidad de 54 k/h y 36 k/h repectivaente, paralela al egento AB y del io entido. Hallar analítica y gráficaente la poición y el intante del encuentro.- Rep: 10 in, 9 k 14- Do óvile paan iultáneaente con oviiento rectilíneo unifore por do poicione A y B ditante entre í 6 k, con velocidade de 36 k/h y 7 k/h repectivaente, paralela al egento AB y de entido opueto. Halar analítica y gráficaente la poición y el intante del encuentro.- Rep: k, Do punto A y B etán eparado por una ditancia, edida en línea recta, de 180. En un io oento paan do óvile, uno dede A hacia B, y el otro dede B hacia A, a velocidade de 10/ y 0 / repectivaente. Luego de cuánto tiepo a partir de ee oento y a qué ditancia de A e encuentran. Reolver gráfica y analíticaente.- Rep: 6, Por do punto ditante entre í 100 edido en línea recta, paan iultáneaente do óvile que e ueven en entido opueto y con M.R.U., de tal anera que uno de ello tarda en llegar al egundo punto y el otro 1,5 en llegar al priero. Calcular dónde y cuándo e cruzan.- Rep: 4,85, 0,857 Prof. Claudio Nao 6

12 Moviiento variado Cineática Un oviiento e variado cuando la velocidad del óvil no e contante. Aceleración En general, todo óvil cabia u velocidad intantánea a edida que trancurre el tiepo, alguno lo hacen brucaente y otro uaveente, pero en todo lo cao, para paar de un etado de velocidad a otro, el óvil atraviea uceivo etado de velocidad interedio. Pero, Cóo diferenciar un cabio de velocidad bruco de uno uave? : Para eto e hace neceario definir una nueva agnitud denoinada aceleración. Fíicaente, la aceleración edirá la rapidez con que cabia la velocidad de un óvil. Por lo tanto iepre que e oberve un cabio de velocidad, e podrá edir la aceleración. Coo la velocidad e una agnitud vectorial, habrá aceleración no olo cuando varíe u ódulo, ino tabién cuando varíe u dirección o u entido Aceleración edia Supongao que un óvil igue una trayectoria coo la de la figura. En un intante t, u velocidad e r v 1 y en otro intante poterior, u velocidad e r v. Definición: La aceleración edia de un óvil e una agnitud vectorial igual al cociente entre la variación de velocidad intantánea que experienta un óvil y el intervalo de tiepo en que dicha variación e produce. a v t v t 1 1 Δv Δt Coo la aceleración edia e obtiene del cociente entre una agnitud vectorial (Δ r v ) y una ecalar (Δt), tabién ella e una agnitud vectorial, cuya dirección y entido coincide con la dirección y entido de el vector variación de velocidad (Δ r v ). Aceleración intantánea No encontrao otra vez con un cao iilar al de la velocidad edia pue, la aceleración edia no no brinda deaiada inforación acerca de coo varió la velocidad de un óvil dado que, en el intervalo de tiepo Δt, la aceleración puede haber cabiado ucha vece. Sin ebargo, i coenzao a reducir el intervalo de tiepo en el que edio la aceleración, la poibilidad de que éta haya cabiado tabién e Prof. Claudio Nao 7

13 Cineática reduce y, i ete intervalo de tiepo tiende a cero, podeo aegurar que, en dicho intervalo la aceleración no cabió. Ete razonaiento no lleva a definir una agnitud que í tendrá una enore utilidad y que e denoina aceleración intantánea. Fíicaente e la aceleración que tiene un óvil en cualquier intante o en cualquier punto de la trayectoria. Definición: La aceleración intantánea e el valor líite que toa aceleración edia cuando el intervalo de tiepo en el que e ide tiende a cero: Unidade En el itea internacional de unidade la aceleración e ide en: r r [ v ] [ a] t [] Moviiento rectilíneo uniforeente variado ( MRUV ) Éte, e uno de lo oviiento que aparecen con á frecuencia en la naturaleza, el á coún de eto e la caída de lo cuerpo que luego etudiareo. Un óvil e deplaza con oviiento rectilíneo uniforeente variado, cuando la trayectoria que decribe e una recta, y u aceleración intantánea peranece contante. Nuevaente, e fácil de entender que i la aceleración intantánea peranece contante, erá lo io edirla en un intervalo de tiepo infinitaente pequeño que en cualquier otro. Por lo tanto, en un MRUV, podreo calcular la aceleración intantánea de la ia anera que e calcula la aceleración edia. Adeá, in perder de vita que la aceleración e una agnitud vectorial, podreo tratarla coo un ecalar, ya que la dirección de la velocidad no cabia ino que olo lo hace u ódulo, por lo tanto, en ete cao y olo en ete cao, la variación de la velocidad vendrá dada por la variación del ódulo de la velocidad del óvil. (t )- (t ) 1 a v v t -t 1 Donde t e un intante poterior a t 1. Si el ódulo velocidad auenta, la diferencia no dará poitiva y, entonce, la aceleración no dará tabién con igno poitivo. Si el ódulo de la velocidad diinuye, la diferencia dará negativa y tabién la aceleración. Entendao que éte igno no indica el entido de la aceleración en el itea de referencia. Si e poitivo, ignifica que la aceleración e dirige en el entido creciente del itea de referencia; i e negativo, ignifica que e dirige en el entido decreciente. Priera ecuación horaria del MRUV Supongao que etudiao nuevaente el oviiento de un cuerpo que e deplaza con MRUV utilizando un cronóetro. Eto ignifica que en el intante en que idao por priera vez la velocidad del óvil en el itea de referencia, Prof. Claudio Nao 8

14 Cineática encendereo el cronóetro y por lo tanto el tiepo erá igual a cero ( t 1 0 ). A ete intante lo llaareo intante inicial y a la velocidad del óvil la llaareo velocidad inicial y la indicareo con el iguiente íbolo v 0. ( El ubíndice cero, coo vio en el MRU, hace referencia a que, en el intante en que el óvil tenía eta velocidad, el tiepo valía cero ). Al intante poterior t, lo llaareo directaente t y repreenta un intante cualquiera depué de haber encendido el cronóetro. A la velocidad del óvil en ete intante la indicareo con el iguiente íbolo: v(t). Por lo tanto la aceleración e calculará coo: Δ a v t v -v Δ t-0 (t) 0 (t) 0 v -v t Si depejao de éta ecuación la velocidad del óvil en cualquier intante, no queda: a t v(t) - v0 a t + v0 v(t) Y ordenando eta expreión de otra anera no queda lo que llaao priera ecuación horaria del MRUV. v(t) v0 + a t Eta ecuación e denoina aí, porque perite calcular la velocidad (v) de un óvil en cualquier intante (t). Lo valore de v 0 y a on contante para un oviiento ya que el óvil en el intante cero tiene una deterinada velocidad y e deplaza con una única aceleración. E iportante tener claro que en el MRUV la aceleración e contante pero, preciaente por eo, el ódulo de la velocidad cabia contanteente y por eo e neceita una ecuación para calcularla. Ejeplo 6: Un óvil que archaba a 15 / acelera a 5/ durante 8 Calcular la velocidad que alcanza. v + a t (t) v0 55 Gráfico de velocidad en función de tiepo: Repreentareo gráficaente la velocidad de un óvil que habiendo partido con una velocidad de 0 / tiene una aceleración de 10 /. Ecribio la ecuación del oviiento y haceo una tabla con valore de tiepo arbitrario. Prof. Claudio Nao 9

15 v (t) v 0 + a t t t () V (/) Cineática Segunda ecuación horaria del MRUV La priera ecuación horaria, perite calcular la velocidad en cualquier intante, in ebargo, todavía no abeo cóo obtener la poición del óvil que e ueve con MRUV. La expreión ateática que perite ete cálculo e denoina Segunda ecuación horaria del MRUV. Para obtenerla, tendreo que hacer uo del concepto de que el área bajo la curva de velocidad en función del tiepo, repreenta el deplazaiento ( Δx ) del óvil. Si analizao la priera ecuación horaria, vereo que e trata de la ecuación de una recta, donde v, e la variable dependiente ; t la variable independiente ; v 0, el térino independiente u ordenada al origen y a, la pendiente de la recta. v (t) v 0 +a. t Si la repreentao gráficaente, el área encerrada bajo la curva para un intante cualquiera, repreentará el deplazaiento ( Δx ) que tubo el óvil hata ee intante. Ete área, puede calculare coo la ua del área de un rectángulo y la de un triángulo: Prof. Claudio Nao 30

16 Cineática Para el rectángulo inferior haceo bae por altura o ea, v 0. t y para el triángulo haceo bae por altura obre do, ( v(t) - v 0 ). t /. Por lo tanto no queda: Δx v. t + (v 0 (t) - v 0 ). t Pero egún la priera ecuación horaria: v (t) v 0 +a. t v(t) - v 0 a. t () Reeplazando () en (1): Δx v. t + a.t.t v. t + a.t 0 0 (1) MRUV Y teniendo en cuenta que Δx x(t) - x 0 no queda: 1 x(t)- x 0 v 0. t +. a. t Haciendo un paaje de térino obteneo la egunda ecuación horaria del x (t) x + v. t +. a. t Gráfico En el MRUV, la aceleración e contante, la velocidad reponde a la ecuación de la recta y la poición, coo e ve claraente en la egunda ecuación horaria, reponde a una ecuación cuadrática que, coo abeo, al repreentarla obtendreo una parábola. Lo cao poible on ucho, dependiendo la fora de lo gráfico de toda la variable que intervienen en el oviiento. Repreentareo lo gráfico que correponden a un óvil que partió dede una poición, una velocidad inicial y una aceleración poitiva, repecto de un eje X de coordenada. Signo Una vez á, initiré en el ignificado de lo igno para la poición, la velocidad y la aceleración. E iportante coprender que on agnitude vectoriale que tienen dirección, entido y ódulo. Cuando a un vector e lo ubica en un itea de referencia coo lo que etao utilizando nootro, u entido eta aociado a un Prof. Claudio Nao 31

17 Cineática igno. Por ejeplo el igno (+), ignifica que el vector tiene el entido de la X creciente y el igno (-),ignifica que el vector tiene en el entido de la X decreciente. Tanto en el MRU coo en el MRUV, lo oviiento y toda la agnitude que intervienen en ello, e encuentran obre una recta, por lo tanto lo entido de lo vectore aociado a dicha agnitude erán indicado por un igno. Veao en un gráfico lo cao poible para toda la agnitude. En el cao 1 el óvil e encuentra poicionado obre el eieje poitivo de la X, e deplaza en el entido creciente y auenta contanteente u velocidad. En el cao el óvil e encuentra poicionado obre el eieje poitivo de la X, e deplaza en el entido creciente y diinuye contanteente u velocidad. En el cao 3 el óvil e encuentra poicionado obre el eieje poitivo de la X, e deplaza en el entido decreciente y diinuye contanteente u velocidad. En el cao 4 el óvil e encuentra poicionado obre el eieje poitivo de la X, e deplaza en el entido decreciente y auenta contanteente u velocidad. Lo cao 5, 6, 7 y 8 on iguale a lo anteriore en cuento a velocidad y aceleración pero en todo lo cao el óvil e encuentra poicionado obre el eieje negativo de la X. Ejeplo 7: Un óvil parte dede el repoo con MRUV y alcanza una velocidad de 30 / en 5. Calcular: a- Su aceleración b- La ditancia que recorrió en dicho tiepo. Solución: Lo priero que e debe hacer para reolver un problea e fijar un itea de referencia y la poición inicial del óvil en dicho itea. En nuetro cao utilizareo el eje X y el óvil partirá dede el origen. Eta elección iplifica la reolución del problea ya que la poición inicial erá igual a cero y la poición calculada con la egunda ecuación horaria erá directaente la ditancia recorrida por el óvil. Prof. Claudio Nao 3

18 Cineática Calculareo priero la aceleración aplicando la priera ecuación horaria y depejando: v (t) v 0 +a. t a v (t) -v 0 30 / t 5 Ahora calculareo la poición que ocupaba a lo 5 eg. aplicando la egunda ecuación horaria: 1 x (t) x 0 + v 0. t +. a. t x (5) t Ejeplo 8: Un óvil archa con una velocidad de 40 / y coienza a frenar con MRUV hata detenere en 8. Calcular la aceleración, la ditancia que recorre y repreentar gráficaente la aceleración, la velocidad y la poición en función del tiepo. Solución: Nuevaente debeo fijar el itea de referencia y la poición inicial del óvil en dicho itea. Utilizareo el eje X y el óvil e encontrará en el origen en el oento en que epezao a edir. Al igual que en el ejeplo anterior, la poición inicial erá igual a cero y la poición calculada con la egunda ecuación horaria erá directaente la ditancia recorrida por el óvil. Calculao la aceleración: a v (8) -v / -5 t 8 El igno negativo no indica que la aceleración tiene entido contrario al itea de referencia. Ahora calculao la poición. 1 x (t) x 0 + v 0. t +. a. t x (8 ) (- 5 ) Repreentao gráficaente: Prof. Claudio Nao 33

19 Cineática Ejeplo 9: Un tren eléctrico archa por una vía recta con une velocidad de 50 /. En un deterinado intante, invierte la polaridad de u otore de anera que coienza a frenar con una aceleración de /. Una vez que e detiene, continúa con la ia aceleración. Calcular: a- Cuánto tiepo tarda en detenere.? b- Qué ditancia recorre, dede que coienza a frenar hata que e detiene?? c- En qué intante e encuentra a 00 del lugar en donde coenzó a frenar? Solución: Colocao el itea de referencia con el origen en el punto donde coienza a frenar y en entido del oviiento. Dada eta condicione, la aceleración tendrá igno negativo. Calculao el tiepo que tarda en detenere coniderando que en eta intante la velocidad e cero. t v (t) - v 0 a Con éte tiepo calculao la poición que gracia al itea de referencia adoptado coincidirá con la ditancia recorrida. 1 x (t) x 0 + v 0. t +. a. t (t) 1 ) x (- Prof. Claudio Nao 34

20 Cineática Por ultio calculao el intante en que e encuentra en la poición 00 aplicando nuevaente la egunda ecuación horaria y reolviéndola coo una cuadrática. t -b x (t) x + v. t +. a. t t -.. t t + 1. t 0 b - 4.a.c ± 50 ± (-50) a.1 45,6 y 4,4 Coo veo hay do olucione ya que el óvil paa do vece por el punto en cuetión, una cuando va y otra cuando vuelve. Problea y Pregunta de MRUV 1- Qué repreenta el área encerrada por un gráfico de velocidad en función del tiepo? - Cóo e define aceleración y en que unidade e ide? 3- Qué ignifica que un óvil e deplace con una velocidad de /? 4- Qué ignifica que un óvil tenga una aceleración de /? 5- Siepre que un óvil frena u aceleración tiene igno negativo? Por qué? 6- Cóo on lo gráfico de ditancia, velocidad y aceleración en función del tiepo para un MRUV? 7- Un óvil que e deplaza con una velocidad de 50 /, frena con aceleración contante hata detenere en 0. Calcular el valor de dicha aceleración y la ditancia recorrida en dicho tiepo. Rep: -,5 /, Un autoóvil e deplaza por una carretera recta con una velocidad contante de 7 k/h durante 0. A continuación acelera a razón de 8 / durante 5. Calcular la ditancia recorrida por el óvil y la velocidad final alcanzada. Rep: 600., 60 /. 9- Un óvil parte del repoo con una aceleración contante de 6 /. Calcular la velocidad alcanzada y la ditancia recorrida en:. ; 4 ; 6 ; 8 ; 10. y repreentar gráficaente la aceleración, la velocidad y la poición en función del tiepo. 10- Una efera parte del repoo con MRUV y alcanza una velocidad de 10 / en 8. y luego coienza a frenar con una aceleración contante de -4 / hata detenere. Calcular: a) el tiepo que etuvo en oviiento. b) la ditancia total que recorrió. Prof. Claudio Nao 35

21 c) repreentar la velocidad en función del tiepo para todo el recorrido. Rep: 10,5., 5,5. Cineática 11- Un avión carretea 600 hata depegar. Si parte del repoo y e ueve con una aceleración contante realizando el recorrido en 30. Cuál erá u velocidad en el oento del depegue? Rep: 40 /. 1- Un tren ubterráneo arranca de una etación y e acelera a razón de 1,3/ durante 1. Marcha durante 35 con velocidad contante y luego frena con una aceleración contante de 1,8 / hata detenere en la etación iguiente. Cuál e la ditancia total cubierta? Previaente grafique la velocidad en función del tiepo. Rep: 15,6 /., 8,67., 707, Qué velocidad inicial debería tener un óvil cuya aceleración e de 3 / para alcanzar una velocidad de 60 / en 5. Qué ditancia recorrerá en dicho tiepo? Rep: 45 /. 6, Un tren avanza por una vía recta con una velocidad de 144 k/h, de pronto el conductor ve una vaca cruzada en la vía a una ditancia de 70. Al intante aplica el freno, provocando una aceleración de -10 /. Atropella a la vaca? Repreentar gráficaente la ditancia en función del tiepo para el tren y para l vaca. Rep: Si, el tren recorre 80 hata detenere. 15- Un óvil e deplaza egún el iguiente gráfico de velocidad en función del tiepo. Calcular: a) la aceleración entre lo 5 y 10 b) la velocidad a lo 3 c) la velocidad a lo 7 d) la velocidad a lo 3 e) la ditancia total recorrida Rep: -4 /, 60 /, 5 /, 16 /, Un óvil e deplaza egún el iguiente gráfico de velocidad en función del tiepo. Calcular: a) la aceleración entre lo 0 y 5 b) la velocidad a lo 3 c) la velocidad a lo 7 d) la velocidad a lo 15 e) la velocidad a lo 3 f ) la aceleración a lo 0. g) la ditancia total recorrida Rep: 10 / 30 /, 50 /, 35 /, 1 /, 0 /, Dede un io punto parten iultáneaente do óvile A y B en la ia dirección y entido. El óvil A parte del repoo con una aceleración contante de / y el óvil B con una velocidad contante de 10 /. Calcular: a) poición e intante de encuentro. b) repreentar en un gráfico la poición en función del tiepo para abo óvile. Rep: 10, 100 Prof. Claudio Nao 36

22 Cineática El problea de la caída El fenóeno de la caída de lo cuerpo, ha ido objeto de etudio de lo priero penadore de la huanidad. Fue Aritótele ( Siglo IV a.c. ) quien intento una explicación del fenóeno en u tratado de filoofía de la naturaleza. En ete libro, el filóofo griego, decía que exitían do clae de cuerpo, lo peado y lo liviano. Lo cuerpo peado coo la piedra, caían naturalente hacia la tierra, porque eta era el centro del univero, ientra que lo liviano, coo el huo, e alejaban naturalente del centro de la tierra. Por otra parte, un cuerpo á peado que otro, caería á rápido, en fora proporcional a u peo, e decir, oltado dede la ia altura, un cuerpo que tuviera el doble de peo caería en la itad de tiepo. Tabién afiraba que, i e duplicaba la altura dede donde e oltaba el cuerpo, tabién e duplicaba el tiepo que tardaba en caer. Lo deacertado de eta afiracione, e debe a que Aritótele, ni ningún otro griego, jaá realizó un experiento, pue creían que a la verdad olo e podía llegar, excluivaente, por la razón. Adeá, el realizar un experiento, iplicaba efectuar un trabajo fíico que, para el griego era una tarea denigrante reervada para eclavo. Veinte iglo depué, el gran Galileo retoa el tea aniándoe a refutar a Aritótele. Galileo dice: Iagineo el iguiente experiento. Se tienen do cuerpo, uno á peado que el otro, i e lo deja caer, egún Aritótele, el á peado caerá á rápido. Supongao ahora que atao lo cuerpo uno al otro y lo dejao caer. El cuerpo á peado e verá retraado por el á liviano que cae con enor velocidad, ientra que el á liviano erá apurado por el á peado. Concluión: eto cuerpo caerán ahora con una velocidad interedia. Pero eto e aburdo, pue lo cuerpo atado conforan un nuevo cuerpo que e á peado que cada uno de lo coponente y por lo tanto tendría que caer á rápido aún. La única anera de que ete razonaiento cierre e que todo lo cuerpo caigan iguale. Para deotrar u hipótei, Galileo, realizó un faoo experiento en la torre de Pia, que conitió en oltar dede lo alto de la torre, en el io intante, do efera del io diáetro, pero una diez vece á peada que la otra ( una era de adera y la otra de ploo ). Frente al aobro de lo epectadore, aba efera llegaron a tierra en el io intante. Mucho de lo preente cuetionaron el reultado indicando que i e hubiera oltado una piedra y una plua, la piedra hubiera caído priero. Galileo repondió que eto no e debía a la diferencia de peo ino a la diferencia de fora y a la influencia del aire. El científico afiró que i la piedra y la plua e dejaran caer en un recinto in aire, tabién caerían junta. Ete experiento fue realizado por Newton ucho año depué verificando lo dicho por Galileo. El célebre italiano, tabién deotró que el oviiento de caída, en el vacío, era un MRUV y que el ódulo de la aceleración, contante para todo lo cuerpo, era aproxiadaente 9,8 /. A eta aceleración e la denoina aceleración de la gravedad y e la indica con la letra g. r g9,8 / Prof. Claudio Nao 37

23 Caída y Tiro vertical en el vacío Cineática Tanto cuando e deja caer un cuerpo en el vacío coo cuando e lo lanza verticalente hacia arriba, el cuerpo decribirá un MRUV y por lo tanto podreo aplicarle la leye ya etudiada. Coo itea de referencia adoptareo ahora un eje vertical ( h ). Coo abeo, el origen y entido de ete itea e coloca a elección, en general y porque iplifica la reolución, el origen e coloca en el pio o en el punto dede donde partió el cuerpo, y el entido hacia arriba en el cao de un tiro vertical y hacia abajo en el cao de una caída. Veao coo no quedan la ecuacione en el cao de una caída. Según el itea de referencia adoptado la aceleración de la gravedad tiene el io entido al itea de referencia, i el proyectil tiene velocidad inicial. La ecuacione no quedan: v(t) v0 + g. t 1 h v0. t +. g. t Si ipleente e deja caer in velocidad inicial no queda: v (t) g. t 1 h. g. t Veao coo no quedan la ecuacione en el cao de un tiro vertical hacia arriba. Según el itea de referencia adoptado la aceleración de la gravedad tiene entido contrario al itea de referencia, eto e indica colocando directaente el igno negativo en la ecuación. Por otra parte, el proyectil tiene velocidad inicial dirigida en el entido poitivo del itea de referencia, pue e lanzado hacia arriba. La ecuacione no quedan: v v - g. t (t) 0 h v 1. t -. g. 0 t Prof. Claudio Nao 38

24 Cineática Ejeplo 10: Un proyectil e lanzado verticalente hacia arriba en el vacío con una velocidad de 39, /. Calcular: a- Velocidad con que llega a la áxia altura. b- Altura áxia alcanzada. c- Tiepo que tarda en tocar la tierra. Solución: Utilizareo un itea de referencia con el origen en el pio. La velocidad inicial 39, / y la aceleración de la gravedad 9,8 / dirigida hacia abajo. En la áxia altura la velocidad erá cero pue en ee punto el óvil e detiene y coienza a caer. Por lo tanto: v hax 0 Ete dato lo utilizareo para calcular el tiepo que el óvil tarda en alcanzar la áxia altura. v v - g. t hax 0 hax t hax v hax - v 0 - g 0-39, 4-9,8 Una vez calculado el tiepo, calculao la altura áxia: h(t) v 1 0. t -. g. t 1 h(t) 39, , ,4 Para calcular el tiepo que tarda en tocar tierra, tendreo en cuenta que en ee intante h 0: 1 h(t) v0. t -. g. t t -. 9,8. t Prof. Claudio Nao 39

25 0 t 39, , - 39, t 4, ,8. 9,8 8. t. t Cineática Coo veo el proyectil tarda el io tiepo en ubir que en bajar. Ejeplo 11: Solución: Se deja caer un cuerpo dede 49 de altura. Calcular con que velocidad llega al pio. Priero calculao el tiepo que tarda en caer utilizando el itea de referencia dirigido hacia abajo: h 1. g. t t h g 49 9,8 3,16 Luego calculao la velocidad: v(t) g. t 9,8 3,16 31 Problea de tiro y caída 1- Qué ignifica que el valor de la aceleración de la gravedad e 9,8 /? - La aceleración de la gravedad e la ia en toda la tierra? 3- En el vacío, un cuerpo á peado que otro cae á rápido? 4- Dede una torre e deja caer un cuerpo que tarda 5 eg. en llegar a tierra. Calcular la altura de la torre y la velocidad con que el cuerpo llega al pio. Rep: 1,5, 49 / Prof. Claudio Nao 40

26 Cineática 5- Un nadador e deja caer dede un trapolín de 3 de altura. Calcular la velocidad con que entra en el agua. Rep: 7,67 / 6- Dede un puente e deja caer una piedra que llega a tierra con una velocidad de 15 /. Calcular: a) la altura del puente. b) con qué velocidad e lo debería haber lanzado para que llegara al pio en 1 egundo. Rep: 11,5., 6,6 / 7- Dede una torre, e lanza una cuerpo hacia abajo con una velocidad de 15 /. Si el cuerpo toca tierra en egundo. Calcular la altura de la torre y la velocidad con que el cuerpo e etrella contra el pio. Rep: 49,6, 34,6 / 8- Un cuerpo cae libreente dede cierta altura. En una punto A de u trayectoria u velocidad e 30 /. y en otro B u velocidad e 79 /. Cuánto tardó en recorrer la ditancia AB y cuál e éta? Rep: 5., 7,5 9- Una piedra e lanzada dede el pio verticalente hacia arriba con una velocidad de 4,5 /. Calcular: a) Cuál e u velocidad cuando alcanza la áxia altura? b) Cuánto tiepo tarda en alcanzar la áxia altura? c) Qué altura áxia alcanza? d) Cuánto tiepo etá en el aire? e) Qué ditancia total recorre? Rep: 0 /,,5., 30, , Con qué velocidad debe lanzare un cuerpo hacia arriba para que alcance una altura áxia de 1.? Rep: 15,33 /. 11- Un cuerpo que fue lanzado verticalente hacia arriba regrea al pio al cabo de 9. Calcular la velocidad con que e lo lanzó y la altura áxia que alcanzó. Rep: 44,1 /, 99,5. 1- Repreentar gráficaente la velocidad y la altura en función del tiepo para un cuerpo que e lanzado hacia arriba con una velocidad de 98 /. 13- Dede un globo e deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 0. Calcular la altura del globo: a) i etá en repoo en el aire; b)i etá acendiendo a una velocidad de 49/.- Rep: 1960, Un avión de cobate intenta detruir un caión. Cuando paa obre el io etá a una altura de 600. y deja caer una boba que cae 1 eg. depué de que el vehículo paó. A qué altura debería haber lanzado la boba para dar en el blanco. Rep: 490. Prof. Claudio Nao 41

27 Cineática Moviiento circulare En lo oviiento circulare, la trayectoria e una circunferencia. Coo veo, la velocidad cabiará contanteente de dirección, adeá, todo lo punto ituado obre un io radio, tendrán ditinto ódulo de velocidad. Por eta razón, reulta conveniente definir una nueva agnitud denoinada velocidad angular. Velocidad angular edia La velocidad angular edia de un óvil que e deplaza con oviiento circular e el cociente entre el ángulo girado edido en radiane Y el intervalo de tiepo epleado para girarlo. ω Δα Δt Velocidad angular intantánea La velocidad angular intantánea e la velocidad edia cuando el intervalo de tiepo tiende a cero. Prof. Claudio Nao 4

28 La velocidad angular, e la ia para todo lo punto ubicado obre un io radio, pue, en tanto la ditancia recorrida por cada punto en el io tiepo on ditinta, todo e deplazan el io ángulo. E decir, ientra ω e igual para todo, v 4 >v 3 >v >v 1. Cineática Unidade ω α t rad Moviiento circular unifore (MCU) Un óvil e deplaza con MCU, cuando u velocidad angular intantánea peranece contante. Eto ignifica que iepre tarda el io tiepo en recorrer una vuelta copleta. Período Se denoina período, al tiepo que tarda un óvil que e deplaza con MCU en decribir una vuelta copleta. Se indica con la letra T. Unidade Frecuencia T h óin ó La frecuencia, e la reciproca del período e indica la cantidad de vuelta que realiza el óvil por unidad de tiepo. f 1 T Unidade f 1 T 1 h ó 1 in RPM ó 1 RPS Cálculo de la velocidad angular en el MCU Coo en el MCU, la velocidad angular peranece contante, para calcularla, e puede toar inditintaente, cualquier ángulo con u correpondiente tiepo. El Prof. Claudio Nao 43

29 Cineática ángulo á conveniente e el que correponde a una circunferencia copleta, pue el tiepo a coniderar erá el período. Δα π ω Δt T Y teniendo en cuenta que la frecuencia e la recíproca del período: ω π π T. f(1) Cálculo del ódulo de la velocidad ( Velocidad tangencial ) Coo vio, la velocidad del óvil que e deplaza con MCU, cabia contanteente de dirección, por lo tanto, no e contante. Sin ebargo, u ódulo i lo erá, pue recorre iguale arco de circunferencia en iguale tiepo. Por lo tanto puede calculare de anera encilla ya que, para una circunferencia copleta, la longitud total recorrida en un período erá.π.r. Entonce: r. π v T. r. π. r. f La ecuación confira lo dicho anteriorente: El ódulo de la velocidad del óvil depende del radio. Relación entre la velocidad y la velocidad angular Exite una encilla relación entre el ódulo de la velocidad y la velocidad angular. Uniendo la ecuación (1) con la ecuación () no queda: r ω π. f (1) v. π.r. f () r ω v f f. π. π. r () Igualando, depejando y iplificando no queda: r v ω. π. r. π Aceleración centrípeta r v ω En al MCU, la velocidad del óvil cabia contanteente olo que dicho cabio no e en ódulo ino en dirección, pero coo ya dijio cuando etudiao la aceleración intantánea, i alguna de la propiedade del vector velocidad cabia, hay variación de velocidad, y i la velocidad varia, hay aceleración. Para calcular eta aceleración, tendreo que calcular priero el vector variación de velocidad..r Prof. Claudio Nao 44

30 Cineática En el prier dibujo, podeo obervar do poicione uceiva de un óvil en un intervalo de tiepo Δt. Coo veo, en éte intervalo, el óvil e ha deplazado un arco S y u velocidad ha cabiado de dirección pero no de ódulo. v r r r r 1 v pero v 1 v. En el egundo dibujo e pueden ver lo vectore velocidad tranportado a un origen coún, para obtener el vector variación de velocidad Δv r, de odo gráfico. Coo veo, ete vector apunta hacia el centro de la circunferencia y por lo tanto la aceleración aociada a el tabién. Por eta razón la denoinareo aceleración centrípeta. El ódulo del vector Δv r lo obtendreo por eejanza de triángulo. Si bien el ector circular deterinado por lo radio y S, no e un triángulo, en el líite, pata intervalo de tiepo tendiendo a cero, el arco S e confundirá con la cuerda y entonce podrá er toado coo triángulo. Hareo la deducción para intervalo infinitaente pequeño y luego vereo que el reultado e independiente del tiepo. Δ Δ Toeo lo triángulo rr y v Δ 1 vv. Son eejante, pue tienen un ángulo en igual y abo on iócele. Eto ignifica que u lado hoólogo on proporcionale: r r Δv r v Por lo tanto: r r Δv v r Si depejao Δ v r no queda: r r v. Δ v r Para calcular el ódulo de la aceleración aplicao la definición: r r r Δ v v. a c Δt r. Δt El cociente entre S y Δt no e otra coa que el ódulo de la velocidad, por lo tanto: r r r v. v a c r r a c r v r E iportante detacar que el ódulo de la diferencia de do vectore no e igual a la diferencia de lo ódulo, ya que en ete cao la diferencia de lo ódulo de la velocidade de cero, ientra que el ódulo de la diferencia no. Por éta razón, aunque el ódulo de la velocidad no varíe, exite aceleración, eta aceleración ide la rapidez con que cabia la dirección de la velocidad. Prof. Claudio Nao 45

31 Ejeplo 1: Cineática Una caleita gira con una frecuencia de 10 RPM. Calcular: la velocidad angular, la velocidad tangencial de un caballito que e encuentra a 3 del centro y la aceleración centrípeta que tiene el caballo. Solución: El dato que teneo e la frecuencia: 10 RPM que expreada en egundo e: f Calculao ahora la velocidad angular: Calculao ahora la tangencial: ω π. f π ,047rad r rad v ω. r 1, ,14 Por ultio calculao la aceleración: r 3,14 r v a c 3,9 r 3 Problea de MCU 1- Un otor gira a razón de 3600 rp. Calcular: a) el período ; b) la frecuencia y c) la velocidad angular del io. Rep: 1, , 60 rp., 377 rad/. - Calcular: a) la velocidad angular; b) la velocidad tangencial de la Tierra, abiendo que da una vuelta copleta alrededor del Sol en 365 día y que la ditancia edia al Sol e de k. Rep:.10-7 rad/, 30 k/ 3- Calcular: a)la velocidad angular de rotación propia de la Tierra i e adopta coo radio terretre 6370 k; b) la v(t) ; c) la aceleración centrípeta de lo punto del Ecuador. Rep: a) 7, rad/, 463 /, 3, / 4- De un hilo de 1 etro de longitud penden do piedra; una etá atada al extreo del hilo, y la otra a 0,80. del centro de rotación. Se la hace girar a razón de 10 rp. Se deea aber: a) cuál de ella tiene ayor velocidad angular ; b) cual ayor, velocidad tangencial. Rep: 1,047 rad/, 1,047/, 0,838 / Prof. Claudio Nao 46

32 Cineática 5- Un atronauta da la vuelta a la Tierra cada 190 inuto. Deterinar: a) u velocidad angular ; b) u velocidad lineal; c) u aceleración centrípeta i decribe una órbita de.10 7 k de radio. Rep: 5, rad/, k/, 6 k/ 6- Un bloque etá atado al extreo de una cuerda de 75 c. de largo y decribe una circunferencia horizontal a razón de 3 rad/. Calcular :a) la aceleración centrípeta de dicho bloque. Rep: 6,75 / 7- Calcular: a) la velocidad angular ; b) la rp que debe tener una centrifugadora para que la aceleración centrípeta de un punto ituado a 10 c del eje ea de c/. Rep: 00 rad/, 31,83 rp. 8- La Luna gira alrededor de la Tierra dando una revolución copleta al cabo de 7,3 día. Suponiendo una órbita circular y un radio de 3, k, calcular: a) la velocidad lineal de la Luna; b) la aceleración centrípeta de la Luna hacia la Tierra. Rep: 105 /,, / 9- Un dico efectúa 10 rp con M.C.U. Calcular: a) el período; b) la frecuencia; c) la velocidad angular ; d) la velocidad lineal de un punto ituado en el borde, i tiene un diáetro de 3 etro. Rep: 0,5, rp, 1,56 rad/, 18,84 / 10- Calcular: a) la velocidad angular del inutero de un reloj; b) i la aguja indicadora tiene 10 c. de longitud la velocidad lineal de la punta. Rep: 1, rad/, 1, c/ 11- Se hace girar horizontalente un cuerpo de 3 kg atado al extreo de una cuerda de 1,5 de radio, a razón de 5 rp. Deterinar a) la velocidad lineal; b) la aceleración centrípeta. Rep: 47,1 /, 1480 / 1- Un uchacho hace girar una pelota atada a una cuerda en una circunferencia horizontal de 1 de radio. A cuenta revolucione por inuto deberá girar la pelota para que u aceleración centrípeta tenga el io ódulo que la aceleración de la gravedad. Rep: 9,9 RPM Prof. Claudio Nao 47

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