Capítulo 11. Suma de momentos angulares Valores propios Funciones propias Ejemplo. Momento angular total de un átomo hidrogenoide

Transcripción

1 apítulo Sua de oento angulare Valore propio Funcione propia Eeplo Moento angular total de un átoo hidrogenoide

2 Sua de oento angulare La preencia de diferente tipo de oento angular orbital y de epín y á de una partícula produce un oento angular total uado vectorialente Debido a la no conutatividad de u coponente no e poible deterinar toda la coponente de lo vectore y por eta raón e neceario contar con un étodo para uar oento angulare Sean J y J do oento angulare el oento angular total e la ua de abo J = J + J en donde lo operadore de la parte conutan [ J J ] = debido a que actúan obre diferente coordenada oo conecuencia el oento angular total tabién J J i = conuta con u parte [ ] Para identificar a la funcione propia del oento angular total e neceario contar con un conunto de operadore que conuten ya que eta funcione deben er funcione propia de dicho operadore Noralente e conideran do opcione El conunto de operadore de lo oento angulare individuale { J J J J } tiene coo ket propio a ; que conite en el producto directo del conunto de ket propio de cada operador individual A ete conunto de ket e le denoina la bae deacoplada La egunda opción conite en toar a lo operadore { J J J J } Eto operadore tienen lo iguiente ket propio y e le llaa la bae acoplada E iportante encionar que abo conunto de ket foran una bae del io epacio vectorial y por tanto on ateáticaente equivalente Sin ebargo una bae puede er a cóoda que otra para alguna aplicación particular Lo ket de la bae deacoplada cuplen con la iguiente propiedade -

3 J i D = i i + D J i D = i D ientra que para lo ket de la bae acoplada J A A Valore propio = ( + ) J A = + A J A = A i i i Para deterinar lo valore propio del oento angular total e neceario analiar con á detalle abo conunto Dado que el oento angular total e la ua vectorial de lo oento individuale entonce J J J = + Si e aplica ete operador obre un ket de la bae deacoplada e tiene que J D = + D = D Aí = + y ( ) = + = + ( ) = ( ) + ( ) = ( + ) in in in Por lo tanto el valor á grande de que e puede obtener e = + y lo valore de que e obervan on = = + + Para deterinar el valor ínio de e neceario conocer el núero de ket que hay en la bae deacoplada oo eto ket provienen de un producto directo D = = entonce hay n = ( + )( + ) ket en la bae deacoplada Ete e el io núero de ket que hay en la bae acoplada por lo que -

4 n = ( + ) = in Al igualar aba expreione e tiene que = in Aí + Funcione propia Dado que abo conunto de ket foran una bae del io epacio lo ket de la bae acoplada on una cobinación lineal de la bae deacoplada = ; en donde lo coeficiente on proyeccione = ; y e denoinan coeficiente de lebh-gordan o íbolo Eto coeficiente garantian que lo ket de la bae acoplada ean ket propio de lo operadore { J J J J } A continuación e uetran alguno eeplo en donde e calculan eto coeficiente Eeplo Moento angular total de un átoo hidrogenoide En un átoo hidrogenoide el oento angular total del electrón e la ua de u oento angular orbital y el de epín = J = L + S = L + L S + S = L + S + L S + L S + L S J = L + S + + En general lo ket de la bae acoplada atifacen la ecuación de valore propio J l = ( + ) l -

5 por lo que al utituir el dearrollo en térino de la bae acoplada e tiene que o bien ( l ) l J ; l; ( ) ( l ) = + ( l )( J ) = ( + ) ( l ) ; Uando notación atricial la ecuación anterior puede ecribire en la fora iguiente J = + En ete cao la atri de oento angular total contiene lo eleento J l J = ; l ; ; = l l ( l )( l )( )( ) ( l )( l )( )( ) En fora iilar J l = l y para la coponente eto e ( l ) l J ; l; = ( l ) ( l )( + ) ( ) ( l ) = + por lo tanto [ ( )] ( l ) + = -5

6 Entonce cuando = + el coeficiente puede er ditinto de cero ientra que para + ( l ) = Adicionalente alguno coeficiente que on cero aún cuando la condición = + e cuple El valor de lo coeficiente provienen de la olución del J = + para lo valore de en el intervalo problea de valore propio l l + Para terinar de deterinar a todo lo coeficiente e neceario aplicar la condición de noraliación aí = l l = l = = ( l ) ( ) Orbitale Para lo orbitale tipo l = y = la atri del oento angular total toa la fora ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) ( ) Oberve que J e diagonal en la bae deacoplada por lo tanto ( + ) = y = Adicionalente = Y α = Y β -6

7 Orbitale p En ete cao l = y = y la atri del oento angular queda en la fora J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 Lo valore propio de correponden con lo valore propio de la atri 5 J xi = x x x 7 ( ) [( )( ) ] 5 ( x) ( x x ) ( x) [ x x 6 ] = + = [ ] ( x) x x = ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = + = Aí = Por lo que lo valore de cuplen con la condición l + = l = Reolviendo priero para = e tiene que cuando = el único coeficiente ditinto de cero e c entonce y ( ) [ ] [ ] = c = = ; = Y α Para = ólo do coeficiente obreviven -7

8 c ( ) c ( ) Aí 5 J = J c c = [ ] que equivale al itea de ecuacione 5 c + c = c c + c = c 7 5 por lo que c = c entonce [ ] = c = Y β + Y α y ( ) = ( ) En fora iilar = = Y + Y β α = Y β = Y β + Y α = Y β Y α oo abo conunto foran una bae del io epacio vectorial entonce aba etán relacionada a travé de una tranforación lineal eto e ; = ; ; -8

9 X aco = X de o bien X aco = in in = ; ; Oberve que lo renglone de la atri on lo vectore propio de J y J ( l = = ) = Siguiendo el io procediiento para lo orbitale d e obtiene la atri de lo coeficiente de lebh-gordan =