Capítulo 1. Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad.

Transcripción

1 Capítulo. Oscilaciones libres de sisteas con un grado de libertad. Introducción: Aunque parezca uy aburrido, en los prieros capítulos del texto, sólo estudiareos el oviiento de una partícula oviéndose periódicaente debido a la acción de un resorte, o el balanceo de un péndulo. Estos son ejeplos siples que no tienen gran interés por si isos, sino que representan un prototipo o odelo de fenóenos físicos ás coplejos cuyo coportaiento puede odelarse a través de ellos. En la Naturaleza no todo fenóeno oscilatorio tiene un coportaiento tan regular coo el del resorte o el péndulo pero, vereos luego que, estas oscilaciones ás coplejas pueden describirse coo la superposición de oscilaciones siples. Ejeplos de sisteas que presentan oscilaciones se encuentran en uchas áreas de la física, de la ingeniería, de la quíica y tabién de la biología. Un ejeplo coún de evolución oscilatoria se encuentra en los fenóenos ondulatorios, tales coo, las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en instruentos usicales, ondas electroagnéticas (ondas de luz). En ingeniería, vibraciones en ateriales, puentes y edificios. Otros ejeplos, un poco ás obscuros, son las vibraciones oleculares, atóicas o nucleares, asociadas con la eisión de ondas luinosas. Estos fenóenos se estudian en el arco de la Teoría Cuántica, la cual nos da una nueva visión de la naturaleza hablándonos sobre la dualidad onda-partícula. Dentro del arco de esta teoría, las partículas ya no se coportan coo pelotitas, que es coo uno ingenuaente se las iagina, sino que en ciertas experiencias se anifiestan con características ondulatorias ientras que en otras lo hacen coo partículas. Este tipo de fenóenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperaos que un electrón se coporte coo una onda, pero hasta el oento toda la evidencia experiental existente no hace ás que confirar, con ucha exactitud, las predicciones de la teoría cuántica. Con lo expuesto, esperaos transitir la iportancia que en física tiene el estudio de sisteas cuya evolución resulta oscilatoria. Coenzareos estudiando sisteas siples e idealizados (irreales), que contribuyen a forarnos una priera idea del coportaiento de los sisteas reales ás coplejos. Los ejercicios recoendados son el 7, 8,,, 3, 4, 6 y 7.. Guía teórica. Dináica: En cursos anteriores nos heos failiarizado con las leyes de Newton y heos analizado una gran variedad de hechos físicos que son explicados a través de ellas, coo por ejeplo: el oviiento planetario, trayectorias de proyectiles, el giro de un tropo, etc. Estos tipos de probleas se enarcan dentro de una teática ucho ás general, que excede el ábito de la física, la Dináica. La dináica se ocupa de estudiar sisteas que evolucionan con el transcurso del tiepo, cabian. Algunos ejeplos de sisteas dináicos pueden ser: El oviiento de una partícula (o un planeta). Evoluciona en cuanto se produce algún cabio en la posición y la velocidad.

2 La evolución de un sistea forado por uchas partículas en interacción (gas, sólido, fluido). La evolución cliática. Las odificaciones producidas en la capa de ozono, etc. Un sistea forado por distintos copuestos quíicos, reaccionando, cabiando las concentraciones de cada uno de ellos o forándose nuevos. Un sistea forado por una población de bacterias. Podría interesar conocer coo evoluciona la población ante deterinadas condiciones abientales. Un sistea forado por diferentes actores econóicos intercabiando bienes. La evolución podría llevar a sisteas en creciiento, epobreciiento, inflación, deflación, etc. Etc. En todos estos ejeplos, interesa predecir el coportaiento del sistea, saber si evolucionará hacia estados estables o de equilibrio, hacia estados con variaciones periódicas u oscilatorias (ciclos), o hacia estados ás coplejos o caóticos. Para coenzar a coprender las leyes que rigen la evolución dináica de un sistea, en ocasiones es posible plantear odelos ateáticos (por ejeplo: ecuaciones diferenciales) que brindan una predicción teórica sobre la evolución del sistea, conocido su estado actual (estado inicial). Entre la counidad de los físicos existe la fire creencia de que las leyes de la Naturaleza pueden ser escritas en lenguaje ateático. Esto podría no ser así, pero hasta el oento la física ha tenido un extraordinario éxito en explicar los fenóenos naturales por este caino, y nadie conoce otro. Coo sabeos, los sisteas ecánicos evolucionan siguiendo las leyes de Newton (bajo ciertas aproxiaciones), y se conoce coo dináica al estudio de la evolución en el tiepo de estos sisteas. Suele ocurrir cuando uno estudia las leyes de Newton que se produzca una involuntaria desconexión entre el estudio de las fuerzas aplicadas y las aceleraciones y el problea cineático, que consiste en hallar la ley de oviiento, es decir, hallar la función que describe la posición del cuerpo en cada instante. En esta parte del curso tratareos de evitar esta desconexión, y cuando estudieos la dináica de un cuerpo estareos interesados en analizar las fuerzas que actúan sobre él con el fin de hallar su ley de oviiento. Para clarificar este concepto analiceos un sistea dináico siple: Ejeplo: Suponga que un cuerpo de asa = kg se ueve unidiensionalente (en línea recta, por el eje x). Producto de su interacción con el edio, actúa sobre él una fuerza resultante F = N, la cual se antiene constante en el tiepo (idealización). A partir de este dato quereos hallar su ley de oviiento, es decir, quereos hallar la función x() t que deterina la posición del cuerpo para todo tiepo (evolución dináica). da Prieraente planteaos la ley dináica ( ley de Newton) que rige su evolución: F = a () donde a es la aceleración del cuerpo que, coo sabeos, representa la derivada unda de la función posición, es decir, a = x&&() t ().

3 Si reeplazaos la ecuación en, obteneos, F = x&&() t o escrito de una fora ás cóoda, F N &&() xt = = = / = a aceleración (3) kg de esta fora heos transforado el problea físico en un problea ateático consistente en resolver una ecuación diferencial, &&x = o ás general &&x = a (donde en este ejeplo a es una constante) (4). Quereos hallar la solución de esta ecuación diferencial 4. Debeos integrarla, de tal fora de hallar la función, ás general, que derivada dos veces respecto del tiepo nos de una constante a, o en nuestro caso particular que de. No existe ningún étodo general que nos perita hallar la solución de una ecuación diferencial, y adeás, no todas las ecuaciones diferenciales poseen una solución analítica, por lo cual en esos casos, sólo resulta posible resolverlas nuéricaente (aproxiadaente). La ecuación diferencial 4, es una ecuación uy siple, que ya heos integrado en cursos anteriores cuando estudiaos el oviiento uniforeente acelerado, y sabeos que tiene la pinta de una función cuadrática (ya que derivada dos veces nos da una constante): xt ()= αt + β t+ γ, (5) donde α, β y γ son constantes que debeos deterinar (y que nosotros desde el jardín de infantes sabeos cuanto valen, o no?). En lugar de integrar la ecuación diferencial 4, sólo conforéonos en coprobar que la función dada en 5 es realente solución de la ecuación diferencial, para ello la derivaos dos veces: x&( t) = αt + β = v() t velocidad xt &&() = α = at () aceleración (6) (7) coprobaos que la derivada unda da una constante α y, de esta fora, si elegios α= a (donde en nuestro caso a = ) conuios que, & x& ( t) = α = a = a =, es decir, la función 5 satisface la ecuación diferencial 4. Pero aún no heos terinado, ya que faltan deterinar los valores de las constantes β y γ, la ecuación diferencial no alcanza para deterinarlos, Que falta?. Volvaos a la física para ver si nos iluina un poco en la resolución ateática. Recordeos que sólo conoceos que el cuerpo está acelerado constanteente, esto no alcanza para saber donde se halla en cada instante, nos falta conocer donde estaba en el instante inicial y que velocidad tenía, ya que no es lo iso ser acelerado desde el reposo a acelerarse a partir de una velocidad inicial de k / h, y no es lo iso partir de Buenos Aires que de San Miguel. En otras palabras, nos falta conocer las condiciones iniciales del sistea. 3

4 Supongaos que el cuerpo estaba en el instante inicial t = en la posición, x ( ) = x (8) y que su velocidad era, x &( ) = v() = v (9) Con estas condiciones iniciales trateos de hallar el valor de las constantes β y γ usando las ecuaciones 5 y 6. De la ecuación 6, x&( ) = α + β = β Coparando con 9, veos que la constante β es la velocidad inicial β = v. De la ecuación 5, x( ) = α + β + γ = γ Coparando con 8, veos que la constante γ es la posición inicial de la partícula, es decir, γ= x. Reeplazando los valores de las constantes en la ecuación 5 obteneos, la ley de oviiento, xt ()= at + v t+ x () que es nuestra vieja aiga ley de oviiento de una partícula oviéndose unidiensionalente con aceleración constante (ejeplo: caída libre). Resuiendo, la ley de oviiento queda deterinada conociendo la ley dináica 4 y las condiciones iniciales del sistea 8 y 9. A partir de ella, es posible predecir la posición de la partícula en todo tiepo, pasado, presente y futuro, ientras se antengan las condiciones dináicas, es decir, que la partícula sea ipulsada por una fuerza constanteente. Ejercicio: Resuelva nuevaente la ecuación diferencial 4, pero ahora usando el prograa de Matheatica, DSolve[{x''[t]==a,x[]==x,x'[]==v},x[t],t] Ejercicio: Use los valores x = y v = / y, a) Halle la posición del cuerpo en el instante t =. b) Grafique x(). t Use el prograa Matheatica (Para calcular debe presionar la tecla insert o siultáneaente las teclas Shift y Enter): x=; v=; x[t_ ]=.5*a*t^+v*t+x; Plot[x[t],{t,,}] c) Halle v() t y grafique. Siguiendo con el prograa Matheatica anterior: v[t_ ]=D[x[t],t] Plot[v[t],{t,,}] d) Discuta sobre si se conserva la energía o el ipulso lineal de la partícula. Un problea del cual no nos heos ocupado es si la solución que heos hallado es única o podrían existir otras. Desde el punto de vista ateático ya estudiarán que la solución es única. Desde el punto de vista físico, podeos decir que si la solución no fuera única perdería el sentido la teoría, ya que, de esta fora la partícula 4

5 podría tener ás de un oviiento posible, ante las isas condiciones, lo cual viola nuestro aado principio de causa-efecto (causalidad).. Guía Teórica. Oscilaciones: A partir de aquí nos vaos a abocar a un problea dináico uy especial, el de sisteas cuya evolución presenta ciclos u oscilaciones. Coo ya dijios, este tipo de evolución dináica es coún a uchos fenóenos naturales, no sólo físicos, y su descripción ateática resulta seejante en todos ellos. Nosotros estudiareos este tipo de evolución dináica asociada al oviiento oscilatorio de sisteas siples coo resortes y péndulos, sin perder de vista que éstos sólo constituyen un uy buen ejeplo (prototipo) que nos ayuda a entender fenóenos ucho ás coplejos. Antes de coenzar el estudio dináico correspondiente al oviiento oscilatorio de un resorte, resulta conveniente repasar algunos conceptos sobre funciones periódicas y luego centrarnos en funciones periódicas arónicas (funciones seno y coseno). Funciones periódicas: Una función del tiepo cíclicaente con un período T, ver figura. f ( t), es periódica si repite su fora f(t) t T t+t t Figura : Ejeplo de función periódica no arónica, de período T En este ejeplo, se observa claraente que cada T undos se copleta un ciclo (coplicado en este caso, no arónico). Esta propiedad se expresa analíticaente afirando que la función satisface la propiedad, f() t = f( t + T) válido para cualquier t del doinio. () o sea, que la función evaluada en el instante t tiene la isa iagen que la función evaluada un tiepo T posterior, independienteente de cual fuera el instante t elegido. No resulta inediato hallar una expresión analítica para la función periódica definida en el gráfico, pero ás tarde vereos que, estas funciones periódicas coplejas pueden describirse coo la superposición de funciones arónicas tales coo las funciones seno y coseno, por ello prieraente, estudiareos detenidaente este tipo de funciones periódicas. Funciones periódicas arónicas: Las funciones arónicas básicas son el seno y el coseno, cuyas gráficas conoceos perfectaente. Pero tabién resultan funciones arónicas cualquier cobinación, translación o dilatación de estas funciones, lo cual nos brinda cierta versatilidad para obtener funciones con distinta aplitud, fase y frecuencia. Trateos de apelar a nuestra intuición para construir la función arónica ás general, de tal fora que nos ayude a describir oviientos oscilatorios. Coenceos 5

6 por la función f( t) = cos( t), donde t es la variable independiente, su gráfica se uestra en la figura. f(t) π π 3 π π t Figura : Ejeplo de función arónica. Función coseno, de período π Esta función se repite periódicaente con período T = π, este hecho lo podeos coprobar analíticaente usando la propiedad enunciada de las funciones periódicas, o sea, cos( t) = cos( t + T) t que se satisface sí T = π o últiplo de π. Pareciera que esta función sólo nos sirve para describir oviientos periódicos de período T = π, pero ya vereos coo es posible cabiar su período por edio de una dilatación. Otra propiedad iportante de esta función es que su aplitud es A =. Pero fácilente podeos odificar la función para que pueda representar oscilaciones con cualquier aplitud, eso se logra sipleente ultiplicando a la función coseno por un núero que representa la nueva aplitud, por ejeplo, f( t) = 3 cos( t), con lo cual su gráfica se odifica sólo en que su aplitud es ahora A = 3, coo se uestra en la figura 3. f(t) 3 π π 3 π π t Figura 3: Gráfico de la función f( t) = 3cos ( t) Para odificar el período resulta necesario introducir un cabio en el arguento de la función coseno (de tal fora de dilatar o contraer la función). Por ejeplo, si ultiplicaos a t por π, redefiniendo la función coo, f( t) = 3cos( π t) esta función ya no tiene período π sino T =. Esto últio es fácil de coprobar graficando la función, con la ayuda de una tabla de valores (coplete con ás valores), ver figura 4, 6

7 t π t f ( t) = 3cos( π t) 3.5 π π -3,5 3 π π 3 f(t) 3 3 t Figura 4: Gráfico de la función f( t) = 3cos( π t) Analiceos un poco ás el por qué del cabio de período. El arguento, de la función coseno, cabió de t a π t con lo cual ahora para que el arguento toe valores de a π sólo hace falta que el tiepo varíe entre y (pensarlo detenidaente, observar la tabla). Al factor π que, odifica el arguento de la función, se le da el nobre de frecuencia angular ω, en este ejeplo ω = π. La relación entre el período T y la frecuencia angular ω la podeos hallar a partir de la definición de función periódica, f() t = f( t + T) cos( ωt) = cos( ω ( t + T) ) = cos( ωt +ωt ) ωt = π T = π π o ω = () ω T y en el ejeplo, π π T = = = ω π La frecuencia angular ω, posee una analogía con la velocidad angular en un oviiento circular. Si una partícula gira sobre un círculo de radio A con velocidad angular ω, sabeos que la coordenada x de la posición tiene una ecuación de oviiento del tipo arónico (ver figura 5), es decir, 7

8 x( t) = A cos( ωt) A ω x Figura 5: La evolución de la coponente x (o y), correspondiente a un oviiento circular, resulta arónica. Esta analogía nos sirve para entender ejor la relación T = π. Penseos en la ω partícula que gira con velocidad angular ω = π rad /, es decir que recorre π radianes en undo. Lo que nos interesa es saber que tiepo deora en dar una vuelta (período T ), o sea, cuanto tarda en recorrer π radianes, para ello basta con hacer una regla de tres siple, π rad π π π rad T T = = o, en general, T = π ω Ya heos construido una función arónica cuya frecuencia y aplitud podeos elegir ún nuestra conveniencia. Pero aún nos falta arreglar un detalle, la función coseno siepre toa su áxio valor en el instante t =, lo cual restringe su utilidad, ya que no podeos con ella describir un oviiento oscilatorio en donde la aplitud áxia no concuerde con el instante inicial. Algo parecido ocurre con la función seno que se anula en el instante inicial. Pero, sabeos solucionarlo apelando a corriiento de funciones. Si al arguento de la función le suaos una constante δ (delta), lograos que la función se desplace hacia la izquierda, en esa cantidad δ ( ojo!, priero se desplaza y luego se contrae o dilata). De esta fora, la función arónica ás general resulta ser, f ( t ) = Acos( ω t + δ) (3) donde δ es la fase inicial, y deterina el valor de la función en el instante inicial, o sea, f () = A cos( δ) π Ejeplo: Grafique la función arónica f ( t ) = 3cos( π t + ) y deterine su período, aplitud y fase inicial (Hágalo tabién con el Matheatica). π π Claraente A = 3, ω = π y δ = y por ende T = =. ω Para graficar podeos optar por dos cainos, el priero es el tradicional, hacer una tabla de valores. El undo es un poco ás conceptual y consiste en usar las propiedades conocidas de traslación y dilatación. Prieraente, coo heos dicho debeos trasladar a la función coseno una π cantidad δ = hacia la izquierda (si fuera negativo, hacia la derecha), y luego contraer la función (cabiar el período), tal coo se uestra en la figura 6. 8

9 cos(t+π/) cos(t) cos(πt+π/) T=π T= Figura 6: Gráfica de las funciones ( ) co, s t cos ( t + π / ) y cos ( πt + π / ) Heos graficado las funciones: cos(t) y cos(t+π/) juntas, apreciándose el corriiento hacia la izquierda. Aparte heos graficado la función cos(πt+π/), en donde veos claraente que la función, luego de corrida, se contrae contra el eje de las ordenadas variando su período de T = π a T =. La fase inicial deterina, junto con la aplitud, el valor que toa la función en π el instante inicial, en este caso, ya que f ( t = ) = 3cos( π. + ) =. Por ultio, podeos definir la frecuencia tradicional (ciclos por undo) coo, f =, y en el caso en que la variable t represente al tiepo, la frecuencia tiene T unidades de = Hertz = Hz. Se relaciona con la frecuencia angular a través del. período, o sea, ω f = = (4) T π Funciones Arónicas Coplejas: Una fora uy coún y práctica de expresar a una función arónica es a partir de una exponencial copleja. Aunque al principio puede parecer una coplicación, reduce enoreente los cálculos, porque resulta siple ultiplicar y suar funciones exponenciales y principalente porque se derivan e integran uy fácilente. Chiste: Resulta que se organiza una gran fiesta entre las funciones ateáticas. La fiesta es un descontrol, se observa a la función seno provocando insinuante a la coseno, la tangente a la cotangente, la lineal a la cuadrática, y así todas, enos la pobre función exponencial que se halla quietita, sola y triste en un rincón. La función lineal (adre de todas ellas) se acerca a la exponencial y le dice: Función lineal: Che intégrate. Respuesta de la exponencial: Para qué, si da lo iso!. En general uno coienza trabajando con exponenciales coplejas, hace los cálculos necesarios (deriva, integra, ultiplica, etc.), y por últio, coo solución, se queda sólo con la parte real del núero coplejo (solución física). Los que estudiaos en el colegio industrial, recordaos coo aparecían las funciones exponenciales coplejas en la descripción de la corriente alterna. Algo notable ocurre en física 9

10 cuántica, donde las funciones de onda, que describen los estados físicos, son núeros coplejos y no resulta correcto quedarse sólo con la parte real. Repaso: La función exponencial copleja e i θ se expresa coo cobinación lineal de las funciones seno y coseno de la siguiente fora, i θ e = cos( θ) + i sen( θ ) (5) Su representación en el plano coplejo se uestra en la figura 7. Iaginario sen(θ) e iθ θ cos(θ) Real Figura.7: Representación gráfica de la exponencial copleja e i θ Su coplejo conjugado es (grafíquelo), -i θ e = cos( θ) i sen( θ ) (6) Podeos escribir al coseno coo la parte Real de la exponencial copleja y al seno coo su parte iaginaria, o sea, θ cos( θ) = Real( e i θ ) y sen( θ) = I( e i ) (7) Otra fora de escribir a las funciones seno y coseno a partir de las exponenciales coplejas es (verifique a partir de 5 y 6), iθ -iθ iθ -iθ e + e e e cos( θ) = y sen( θ) = (8) i π Escribaos priero la función arónica copleja, de frecuencia ω =, ás T siple (ver ec. ), i ωt f ( t) = e = cos( ωt) + i sen( ω t) (9) Para fijar conceptos, veaos coo evoluciona la función f ( t ) en el tiepo, para ello elaboraos una tabla de valores, t π ωt = t f ( t) = e i ωt T i e = T 4 π iπ / e = i T 3T 4 T π iπ e = 3 π i3π / e = i π iπ e = En la figura 8, se uestra la evolución de la función exponencial en el tiepo, note coo el núero coplejo rota, con velocidad angular ω y período T, en dirección antihoraria.

11 Iaginario e i ω t= Real Iaginario e iπ/ t=t/4 Real e iπ Iaginario t=t/ Real Iaginario t=3t/4 Iaginario t=t e i3π/ Real e iπ Real iω Figura.8: Representación gráfica de la evolución en el tiepo de la función e t. Queda coo ejercicio para el lector hacer el gráfico de la función conjugada, es decir, -i ωt f *( t) = e = cos( ωt) i sen( ω t) () copruebe que rota en dirección horaria con período T. Las funciones arónicas coplejas 9 y tienen aplitud A = y en el instante inicial se hallan sobre el eje real. Podeos generalizar la función arónica copleja, a partir de otorgarle una aplitud cualquiera y una fase inicial, o sea, i ( ωt+ δ) gt ( ) = Ae = A cos( ωt+ δ) +i sen ( ωt+ δ) () [ ] Ejercicio: Grafique, en el plano coplejo, la evolución en el tiepo de la función, ( ) ( ) i πt+ gt = e 4 π π π = cos πt + + i sen πt Grafique las siguientes funciones periódicas, y halle su aplitud, período y fase inicial. Discuta sobre el significado de la fase inicial: a) Ψ t ) = cos( t + π) Resp. A =, T = π y δ = π (, = 4π y π δ = π b) Ψ( t ) = sen( t ) Resp. A = T -i ( ) π π c) Ψ() = π t+ π π 4 t e = cos πt + i sen πt + Resp. A=, T = y δ = Precaución: Si aplica corriiento de funciones tenga ucho cuidado con el orden en que realiza las operaciones de corriiento y dilatación. 4. Copruebe que la función arónica Ψ t ) = cos( t + π ) puede escribirse coo una ( 4 cobinación de senos y cosenos, o sea, Ψ t) = Acos( ωt) + Bsen( ωt) de A, B y ω. (. Halle los valores

12 5. Dadas las siguientes funciones periódicas, i), Ψ () t = 3 sen( t), ii), Ψ () t = 3 cos( t + π ). 3 Reescriba cada una de ellas, de las dos aneras siguientes: i ω a) Ψ( t) A e t i ωt = + B e, halle A, B y ω. b) i ( ωt+δ) ( A e ) Ψ( t) = Re, halle A, δ y ω. 6. La posición de una partícula, de asa = g, se halla deterinada por la función arónica xt () = 5ccos( 4π t), en donde t viene dado en undos, a) Cuál es la frecuencia?. Resp. f = cic. b) Cuál el período?. Resp. T = 5,. c) Cuál es la aplitud del oviiento de la partícula?. Resp. A = 5 c. d) Graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiepo. Use el prograa Matheatica (Para calcular debe presionar la tecla insert o siultáneaente las teclas Shift y Enter): x[t_ ]=5*Cos[4*Pi*t]; v[t_ ]=D[x[t],t] a[t_ ]=D[v[t],t] Plot[x[t],{t,,}] Plot[v[t],{t,,}] Plot[a[t],{t,,}] e) Cuál es el prier instante después de t= en que la partícula está en su posición de equilibrio? En qué sentido se está oviendo en ese instante?. Resp. t = 8. f) Cuál es la velocidad áxia del cuerpo? En qué instantes posee esa velocidad?. Resp. v = π c. g) Cuál es la aceleración áxia del cuerpo? En qué instantes tiene esa aceleración?. Resp. a = 8π c. h) Halle la energía cinética correspondiente a la asa oscilante. 7. Recoendado. Ejercicio Teórico. Oscilador arónico (evolución dináica): En este ejercicio, proponeos estudiar la dináica de un sistea físico siple e ideal (odelo) cuya evolución en el tiepo corresponde a un oviiento oscilatorio arónico. El estudio de sisteas ideales, coo éste, nos ayuda a coprender fenóenos físicos reales ás coplejos. Se pretende resolver el problea dináico correspondiente a una partícula de asa = kg que desliza, sobre una superficie horizontal sin fricción, ligado a una pared por edio de un resorte ideal, es decir, perfectaente elástico y sin asa, de constante elástica k = 4 N /, y longitud relajada l = 3 c, ver figura 9. Fig.9 x

13 Coo prier paso hacia el estudio de fenóenos oscilatorios, vaos a suponer que el sistea no disipa energía, por ello heos considerado que no existe rozaiento de ningún tipo. Si apartaos a la asa de su posición de equilibrio y la soltaos, a partir de nuestra experiencia cotidiana, podeos afirar que la evolución dináica subsiguiente del sistea resulta ser un oviiento oscilatorio. Pero nuestra intuición no nos alcanza para aurar que ése oviiento es realente periódico (es decir, que cada ciclo es igual a los otros y dura el iso tiepo), y enos aún si corresponde a un oviiento oscilatorio arónico (descriptible a partir de funciones seno o coseno). Para dilucidar esta cuestión sólo podeos apelar a la teoría o al experiento, aquí sólo nos ocupareos de la teoría. a) Iportante. Coo prier paso, a partir de las leyes de Newton ( F = a), quereos deterinar la evolución dináica de la asa, una vez que oscila sólo bajo la influencia del resorte (por ejeplo, ya la heos desplazado y soltado, describios su evolución a partir de ese instante, por lo cual, ya no influyen las fuerzas que lo desplazaron inicialente, sólo el resorte interactúa con la asa). Obtenga la ecuación diferencial que describe la evolución de la asa (sólo el resorte interactúa con ella). Por siplicidad suponga que el oviiento se restringe al eje x, por lo cual, sólo hace falta una coordenada para describirlo (oviiento unidiensional). Coentario: Recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al alargaiento del resorte (con signo cabiado), respecto de su longitud relajada, es decir, Felástica = k x = k ( x - l ). La interacción elástica es proporcional al alargaiento, por lo cual, en el caso unidiensional, depende linealente de la coordenada x (Interacción lineal). La constante elástica k da cuenta de la dureza del resorte (ayor fuerza, a un iso alargaiento). La constante representa la longitud relajada del resorte (sin estirar). l d x ( t ) Resp. k [ x ( t ) l dt k && ] (), = ] o x ( t ) = [ x ( t ) l b) A partir de la ecuación diferencial anterior, halle la posición de equilibrio de la asa, es decir, la posición en donde las fuerzas que actúan sobre ella se anulan. El equilibrio es estable o inestable?. Resp. La posición de equilibrio estable es x equi = l. c) La ecuación diferencial rige la evolución dináica del sistea. A partir de ella, y de las condiciones iniciales, es posible hallar la función x(t) que describe la posición de la asa en todo tiepo. Para ello debeos integrarla, al igual que hicios en el ejeplo de la guía teórica. La dificultad que encontraos en éste caso, es que la aceleración no es una constante, depende fuerteente de la posición de la partícula. La ecuación diferencial puede escribirse en fora ás sencilla si definios una nueva variable, Ψ ( t) = x( t) (Ψ Psi, letra Griega) () x equi 3

14 que corresponde sipleente a un cabio de coordenadas. La nueva variable Ψ ide cuanto se desplaza la asa a partir de la posición de equilibrio (no desde la pared coo era antes). Discuta (ver figura ). x( t) x equi l Ψ( t) Figura : La coordenada Ψ describe el desplazaiento, de la asa, a partir de la posición de equilibrio Haga este cabio de variables y deuestre que la ecuación se transfora a, d Ψ ( t ) = k Ψ ( t ), o && k Ψ= dt Ψ (3) La ecuación 3 nos dice que la aceleración, de la asa, resulta proporcional al apartaiento Ψ (interacción lineal) y de signo opuesto. Desde el punto de vista ateático vereos que este cabio de coordenadas siplifica las cuentas, desde el punto de vista físico, ás tarde entendereos que, ayuda a ejorar nuestra coprensión en situaciones ás coplejas. d) La ecuación 3 es una ecuación diferencial de undo orden lineal y hoogénea. De undo orden, porque el orden de derivación ás alto es una derivada unda. Lineal, por qué la variable Ψ no se halla elevada a ninguna potencia superior a (interacción lineal). Un ejeplo de ecuación no lineal es Ψ & = k x Ψ + Ψ, lo cual, coo luego vereos, coplica el cálculo enoreente. Hoogénea, porque no posee ningún térino constante suando (térino con Ψ ). Una ecuación hoogénea, coo la 3, siepre posee la solución trivial Ψ() t = t (verifique). Esto puede visualizarse ejor si pasaos del lado izquierdo todos los térinos en donde figura Ψ y del lado derecho los térinos constantes, es decir, Ψ& k + Ψ = (4) Un ejeplo de ecuación no hoogénea o inhoógenea lo representa la ecuación, reagrupando un poco los térinos, & x ( t) + k x( t) = k l (5) En donde del lado derecho teneos un térino constante, y debido a esto, la función trivial no es solución de la ecuación (verifique). Con el cabio de variables heos logrado pasar de una ecuación inhoógenea a una hoogénea. No existe ningún étodo general que nos perita hallar la solución de una ecuación diferencial arbitraria, y adeás, no todas las ecuaciones diferenciales poseen una solución analítica, por lo cual en esos casos, sólo resulta posible resolverlas nuéricaente (coo lo hareos en el ejercicio ). La ecuación diferencial 3, es una ecuación uy conocida. Nosotros no propondreos ningún étodo general para resolverla sino sipleente afiraos que su solución es una función arónica. 4

15 Verifique que las siguientes funciones arónicas son todas posibles soluciones de la ecuación diferencial 3 (reeplácelas en la ecuación diferencial 3), i) Ψ( t) = A cos( ωt + δ ) ii) Ψ( t) = A cos( ωt) + B sen( ω t) i ω iii) Optativo. Ψ( t) A e t i ωt = + B e i ( ωt+δ) iv) Optativo. Ψ( t) = A e A partir de reeplazar en la ecuación diferencial 3, verifique que la frecuencia angular de oscilación ω queda deterinada por las propiedades del sistea, a través de su constante elástica k y de la asa de la partícula, en la fora, ω = k k o ω = (6) A partir de lo hallado, podeos afirar que, si la asa sólo interactúa con el resorte, la frecuencia de oscilación ω no es arbitraria, sino que el sistea oscila con una frecuencia característica, deterinada por la relación 6. Coentario: Cualquiera de las funciones arónicas anteriores es solución de la ecuación diferencial 3, y resulta fácil deostrar que son exactaente la isa función escrita de foras distintas. Todas ellas sirven para describir la evolución de la asa, pero la función arónica, Ψ( t) = A cos( ωt + δ ) (7) es la que ás usareos (o seno en lugar de coseno), debido a que resulta ás fácil, a partir de ella, extraer conceptos físicos. De la ley de oviiento 7, concluios que la asa oscila arónicaente, a partir de su posición de equilibrio, con frecuencia angular ω. La constante A indica la aplitud de la oscilación, su valor no se halla condicionado por la ecuación dináica 3 (pensarlo detenidaente), sino que depende exclusivaente (dentro de la aproxiación elástica) de las condiciones iniciales del sistea, que aún no heos ipuesto. Lo iso sucede con la fase δ, que ún ya heos discutido, traslada a la función coseno, de tal fora que, perite describir la evolución de partículas que en el instante inicial están en una posición cualquiera, no necesariaente en su áxio estiraiento o el origen. e) Halle el valor nuérico de la frecuencia angular ω, la frecuencia f y el período T. Estas cantidades, dependen de las condiciones iniciales de la asa? Dependen de la aplitud de oscilación?. k ω Resp. ω= = rad /, f = = 38, cic/ y T =.34. π f) Explique cuál es el significado físico de ω, f y T (vea la guía teórica ). Coentario: recuerde lo coentado en la guía teórica donde discutios sobre la relación entre la frecuencia angular ω, de un oviiento arónico, y la velocidad angular de una partícula con oviiento circular unifore. En el caso del resorte esta equivalencia resulta ucho ás gráfica. La proyección sobre el eje x (sobra sobre el eje x) del oviiento circular, concuerda exactaente con la posición real de la partícula que se halla oscilando arónicaente unida al resorte (Pensarlo detenidaente). 5

16 g) Iportante. Usando coo solución, de la ecuación diferencial 3, a la función arónica Ψ( t) = A cos( ωt + δ ), halle la ley de oviiento de la asa, es decir, deterine copletaente a la función Ψ( t ), deterinando los valores de A y δ, para ello suponga que a t = la asa está en la posición de equilibrio con una velocidad de v = +, / (el signo ás indica que se ueve en el sentido de expansión del resorte). π Resp, Ψ ( t ) =,5 cos( t ) etros =,5 sen( t) etros Reobtenga la solución anterior usando el Matheatica, Dsolve[{psi''[t]+4* psi[t]==,psi[]==,psi'[]==.},psi[t],t] h) Grafique la función Ψ() t hallada en el íte anterior y discuta lo hallado. Ayuda: puede usar el prograa de Matheatica, psi[t_ ]=.5*Sin[*t]; Plot[psi[t],{t,,}, PlotRange->{-.55,.55}, PlotStyle->{RGBColor[,,]}]; i) Halle la función x(), t recuerde el cabio de variables (ec. ). Resp. xt () =, 3+, 5 sen( t) j) Halle la velocidad y la aceleración de la asa en el instante t=. Resp. v(), 4 y a ),8 ( Verifique con el prograa Matheatica, psi[t_ ]=.5*Sin[*t]; v[t_ ]=D[psi[t],t] a[t_ ]=D[v[t],t] v[.] a[.] k) Cuál es la velocidad áxia del cuerpo?. l) Cuál es la aceleración áxia del cuerpo?. ) Iportante. Depende la frecuencia de las condiciones iniciales o de la aplitud? Coentario: Todo sistea dináico cuya ecuación diferencial pueda reducirse a la ecuación: &&Ψ = ω Ψ (oscilación arónica) () donde ω represente a cualquier núero real positivo, tiene coo solución una función que representa una oscilación arónica con frecuencia angular ω. 8. Recoendado. Ejercicio Teórico. Análisis energético del oscilador arónico (continuación del ejercicio 7): A partir de los datos y resultados del ejercicio 7, y sabiendo que la evolución dináica del sistea se describe con la función, Ψ( t) = A cos( ωt + δ ) a) Halle la energía cinética de la asa oscilante (en función del tiepo). b) Halle la energía potencial de la asa oscilante (toe coo cero de potencial a la posición de equilibrio). Ayuda: Toando el cero de potencial en la posición en donde el resorte se halla relajado (es decir en la posición de equilibrio Ψ = ), la energía potencial elástica resulta, 6

17 E p = k ( x l ) = k Ψ (8) (En el ejercicio discutireos el caso general en que el cero de potencial se toa en otro punto). c) Deuestre que la energía ecánica total, de la asa oscilante, es, E = k A (9) (Sólo válida si se fija el cero de potencial en la posición de equilibrio del sistea) d) Se conserva la energía ecánica?. Discuta. e) La energía ecánica total depende de las condiciones iniciales?. f) Cuál es la energía cinética áxia?. g) En un iso gráfico grafique la energía potencial, cinética y ecánica, y discuta sobre la conversión de una en otra, ayúdese con el gráfico. h) Vuelva a hallar la posición de equilibrio del sistea pero ahora a partir de arguentos energéticos. El punto de equilibrio es estable o inestable?. Recuerde que E p puede hallar la fuerza que actúa sobre la asa usando F = (valido para el x caso unidiensional, en tres diensiones se cuple F r = E r ). i) En uchos casos de interés, no resulta iportante conocer exactaente la posición de una partícula en todo instante, pero si su coportaiento en proedio, por ejeplo, puede interesar cuánto vale la energía cinética o la energía potencial en valor edio. Definios el valor edio de una función periódica f (t), sobre un período de oscilación, coo la integral, T f ( t) = f ( t) dt T donde T = π ω, () Queda coo ejercicio para el lector analizar esta definición coparándola con la fora en que usualente se calcula el proedio, tener en cuenta que en este caso no se trata de cantidades discretas sino del proedio de una función continua (piense algunos ejeplos, tales coo el proedio de la función seno o coseno). Usando la definición anterior calcule los valores edios de las funciones Ψ(t) y Ψ ( t) sobre un período de oscilación. Ayuda: Use los siguientes resultados, trate de justificarlos gráficaente, T T cos( ωt + δ) = cos( ωt + δ) dt =, sen( ωt + δ) = sen( ωt + δ) dt = T T T T cos ( ωt + δ) = cos ( ωt + δ) dt =, sen ( ωt + δ) = sen ( ωt + δ) dt = T T T cos( ωt + δ) sen( ωt + δ) = cos( ωt + δ) sen( ωt + δ) dt = T Resp. Ψ= y Ψ = A Verifíquelo con el Matheatica, usando w=*pi/t; psi[t_ ]=a*cos[w*t+delta]; edia=(/t)*integrate[psi[t],{t,,t}]; edia=(/t)*integrate[psi[t]^,{t,,t}] p 7

18 j) Usando el resultado anterior, deuestre que el valor edio (sobre una oscilación) de la energía cinética resulta igual al valor edio de la energía potencial, e igual a la itad de la energía ecánica total (Teorea del Virial). k) Iportante. Escriba un coentario o resuen de los conceptos ás iportantes aprendidos en los ejercicios 7 y Repaso. Rehaga los ejercicios 7 y 8, pero ahora con las siguientes condiciones iniciales: a) A t= el resorte está estirado 5 c y la asa tiene una velocidad v =. Respuesta de la ecuación dináica: Ψ( t), 7 cos ( t, 785 ) etros Reobtenga la solución anterior usando el Matheatica, Dsolve[{psi''[t]+4* psi[t]==,psi[]==.5,psi'[]==},psi[t],t] b) A t= el resorte está estirado 5 c y la asa tiene una velocidad nula. Respuesta de la ecuación dináica: Ψ( t) = 5, cos( t) etros Vuelva a obtener la solución anterior usando el Matheatica, Dsolve[{psi''[t]+4* psi[t]==,psi[]==.5,psi'[]==},psi[t],t]. Guía teórica. Resolución de la ecuación inhoogénea. La ecuación inhoogénea del ejercicio 7 (o la 5, que es la isa ecuación) puede resolverse de dos aneras: Una, es haciendo el cabio de variables propuesto en el problea anterior, o sea, describir al sistea desde la posición de equilibrio, de tal fora que la ecuación diferencial correspondiente a la nueva variable resulta hoogénea. La otra posibilidad es usar que, La solución general de una ecuación diferencial inhoogénea, coo por ejeplo la ecuación 5 del problea anterior, & x ( t) + k x( t) = k l () se encuentra suando una solución de la ecuación hoogénea asociada a la ecuación, ás una solución particular, es decir, xt () = xh() t + xp() t () La ecuación diferencial hoogénea asociada a la ecuación, se construye a partir de ella, pero en lugar de estar igualada a un núero ( k l ), se halla igualada a cero, es decir, x&& h() t + kxh() t = (3) reagrupando para que nos resulte ás failiar, k && x () t () x t h = h (4) Veos que esta ecuación hoogénea tiene la fora de la ecuación del oscilador arónico, cuya solución conoceos. Entonces, la solución de la ecuación hoogénea asociada (ec. 3 o 4), resulta: x () t = A cos ( ω t + δ ) donde ω= k h (5) Sólo resta hallar una solución particular (cualquiera) de la ecuación inhoogénea (ec. ). De observarla a siple vista, coprobaos que si proponeos coo solución particular a una constante, x p ( t) = l (6) ésta función constante, satisface la ecuación (verifique). Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial de undo orden lineal e inhoogénea (ec. ), resulta (verifique que es solución), 8

19 ( ω + δ) x( t) = x ( t) + x ( t) = l + A cos t (7) h p Físicaente significa que la coordenada x oscila arónicaente alrededor de su valor de equilibrio, que en este caso es l. Copare con lo que obtuvo en el íte i) del ejercicio 7.. Recoendado. Resolución nuérica de la ecuación diferencial. Volvaos al ejercicio teórico 7 (usaos los isos datos), donde queríaos resolver la ecuación diferencial: k &&Ψ = Ψ = 4 Ψ (). Ya heos resuelto esta ecuación diferencial analíticaente en el ejercicio 7, allí obtuvios que la evolución dináica se describe por, Ψ ( t ) =,5 sen( t) etros, cuando las condiciones iniciales eran que a t = la asa estaba en la posición de equilibrio con una velocidad de v = +, /. Ahora quereos volver a resolver la ecuación pero por un étodo aproxiado, que consiste en integrarla nuéricaente. Conociendo la solución exacta, no resulta uy útil hacer un cálculo aproxiado, pero este cálculo lo haceos con fines didácticos, ya que, no todas las ecuaciones diferenciales pueden resolverse analíticaente (sólo algunas pocas), por lo cual, la resolución nuérica es la única alternativa posible. En este ejercicio vereos una fora uy eleental de integración nuérica, en casos ás coplejos, coo ecuaciones no lineales, los cuidados en la integración deben ser ucho ayores, ya que pequeños errores son aplificados enoreente en cada paso de integración. Coo prier paso para resolver la ecuación nuéricaente, resulta necesario discretizar el tiepo, qué quiere decir esto?, vaos a pensar que el tiepo transcurre de a pequeños saltos finitos δt (no continuaente). La razón por la que debeos discretizar el tiepo, es porque resulta iposible deterinar nuéricaente, en fora continua, la posición de la partícula, sólo sabeos calcular desplazaientos producidos en períodos de tiepo, no en instantes. El increento de tiepo δt debe ser chico para que el cálculo sea lo ás exacto posible, coo después coprobareos. Ahora la pregunta es chico respecto de qué?. El único tiepo característico del sistea que teneos es el período de oscilación, así que en principio debeos elegir un increento de tiepo chico respecto a este período (T =, 34, aunque en este problea aún no lo conoceos, ya que suponeos que no teneos la solución analítica), por ejeplo δt = 3,, si al finalizar encontráseos que no fue lo suficienteente pequeño deberíaos recoenzar con otro valor. El objetivo es calcular el desplazaiento de la asa en los tiepos: t =, δt, δt, 3δt, 4δ t,... es decir quereos calcular: Ψ( ), Ψ( δt), Ψ( δt), Ψ( 3δt), Ψ( 4 δt ),... Veaos lo que sabeos, teneos coo dato la posición y la velocidad inicial de la asa, Ψ( ) = etros y Ψ & () =, 9

20 y tabién conoceos la aceleración en el instante inicial, ya que la podeos calcular usando la ecuación diferencial, es decir, Ψ && ( ) = 4 Ψ ( ) = 4 =. A partir de estos datos deberíaos aproxiar la posición, la velocidad y la aceleración en el instante posterior δ t, es decir, hallar un valor aproxiado de Ψ( δt ), Ψ& ( δt ) y Ψ&& ( δ t ). Cóo hacer esto es toda la cuestión. En una priera aproxiación (uy ala), podeos calcular el desplazaiento suponiendo que el oviiento posterior fue realizado a velocidad constante igual a Ψ & () =,, y por consiguiente, el desplazaiento luego de un tiepo δt resulta (usando x = x + v δ t), Ψ( δt ) Ψ( ) Ψ& ( ) δt, = + = + 3, = 3, Con este dato ya se nos abre la puerta para calcular la aceleración en el instante δ t con la ecuación, Ψ & ( δt) = 4 Ψ( δt) = 4,3 =, ( se frena?, por qué?) y con el dato de la aceleración podeos aproxiar (uy burdaente) a la velocidad en el instante δ t coo ( v = v + at ), Ψ & ( δt ) = Ψ& () + Ψ& ( δt) δt =,,,3 =,64 ( se frena!) Ya teneos Ψ( δt ), Ψ & ( δt ) y Ψ&& ( δt). El resto del procediiento es repetir estos pasos hasta el tiepo de integración deseado. a) Verifique que el algorito general para integrar la ecuación diferencial se resue en, i) Ψ( ( n+ ) δt ) = Ψ( n δt ) + Ψ& ( n δt) δ t (usando x = x + v δ t ), Ψ && ( n ) t + δ = 4 Ψ ( n + ) δt (usando Ψ && = 4 Ψ ) ii) ( ) ( ) iii) Ψ & ( ( n+ ) t) = Ψ & ( n t ) + Ψ && ( ) δ δ (n+) δt δ t (usando v = v + at b) Elija un δt pequeño (epiece con δt = 3, ), usando el algorito hallado y los ) valores conocidos de Ψ( ) y Ψ & ( ) halle las posiciones posteriores Ψ( δt), Ψ( δt), Ψ( 3δt), Ψ( 4 δt),...(si se ania construya un prograa que lo haga). Con estos valores elabore una tabla y grafique Ψ( t ), copare con la respuesta exacta del problea 7 (íte h)). c) Pruebe con diferentes valores de δt y analice la exactitud de la aproxiación para cada uno de ellos. d) Iportante. Escriba un coentario o resuen de los conceptos ás iportantes aprendidos en el ejercicio. Propuesta: Realice la integración nuérica usando el prograa Matheatica. A continuación ostraos el prograa desarrollado por Florencia Carusella, a la que agradeceos por su ayuda. Prograa en Matheatica (se ha usado un intervalo δt =. ). Intervalos de tiepo. dt=.; T=.34; Definición de los vectores. Phi=Array[p,Floor[T/dt]+];

21 DPhi=Array[dp,Floor[T/dt]+]; DDPhi=Array[ddp,Floor[T/dt]+]; Condiciones iniciales. Phi[[]]=; DPhi[[]]=.; DDPhi[[]]=-*4; Iteraciones. Do[{ Phi[[k+]]=Phi[[k]]+DPhi[[k]]*dt; DDPhi[[k+]]=-4*Phi[[k+]]; DPhi[[k+]]=DPhi[[k]]+DDPhi[[k+]]*dt}, {k,,floor[t/dt]+}] pasos=table[(k-)*dt,{k,,floor[t/dt]+}]; Gráficos: Cálculo analítico de la posición. p[t_ ]=.5*Sin[*t]; analitico=plot[p[t],{t,,t},plotstyle->{pointsize[.]}]; Cálculo nuérico de la posición. posic=listplot[transpose[{pasos,phi}], PlotStyle->{PointSize[.3]}]; Grafica juntas la solución analítica y la nuérica. Show[analítico,posic] Velocidad. veloc=listplot[transpose[{pasos,dphi}], PlotStyle->{PointSize[.3],RGBColor[,,]}]; Aceleración. acel=listplot[transpose[{pasos,ddphi}], PlotStyle->{PointSize[.3],RGBColor[,,]}]; Segundo Prograa: Resolución nuérica, étodo interno del Matheatica. nuer=ndsolve[{y [x]+4*y[x]==,y[]==,y []==.}, y,{x,,.34}]; Gráfico resol=plot[evaluate[y[x]/.nuer],{x,,.34}, PlotStyle->RGBColor[,,]]; Superposición de abas resoluciones. Show[resol,posic,analitico]; e) Optativo. Este es uno de los peores étodos de integración, una posible ejora sería aproxiar ejor la velocidad con que calculaos el desplazaiento en cada paso, sería ás exacto si usáseos una velocidad proedio, estudiarlo y ejorar el algorito. f) Optativo. Si conoce algún étodo de integración ás exacto (ej. Runge Kuta) úselo.. Recoendado, Ejercicio Teórico. Con este ejercicio pretendeos coprobar una propiedad iportante de los sisteas arónicos unidiensionales, que toando coo origen de coordenadas al punto de equilibrio, la descripción del sistea, resulta equivalente al problea siple de una asa y un resorte oviéndose sobre una superficie sin fricción (ver ejercicio 7).

22 Veaos el ejeplo: Un cuerpo de = kg cuelga del techo por edio de un resorte de constante elástica k = 4 N / y longitud relajada de l = c, coo se uestra en la figura. Fig. +y Coo prier odelo, consideraos que no existe fricción de ninguna especie y que el sistea no disipa energía de ninguna otra fora. a) Iportante. Plantee la ecuación dináica del sistea ( F = a). Suponeos que, sobre la asa, sólo actúan la fuerza peso y la fuerza elástica del resorte (por ejeplo, la asa se ha desplazado y se ha soltado, describios la evolución a partir de ese instante). Resp. & y&( t ) = k [ y ( t ) l ] + g () (ecuación diferencial de undo orden lineal e inhoogénea) b) Halle la posición de la asa en el equilibrio (la resultante de las fuerzas es nula). g Resp. yequi = l + =, 45c donde g = 98, / k c) Heos anticipado que si se toa coo origen de coordenadas al punto de equilibrio, la descripción del sistea arónico resulta equivalente al problea siple de una asa y un resorte oviéndose sobre una superficie sin fricción. Para coprobar esto, analice el cabio de coordenadas: g Ψ( t) = y( t) yequi = y( t) l () k Qué describe la variable Ψ?. d) Deuestre que con el cabio de variables anterior la ecuación diferencial se transfora a, && k Ψ() t = Ψ () t (oscilador arónico) (3) e) Discuta sobre las iplicancias de lo hallado en el íte anterior. f) Iportante. Halle la frecuencia y el período de oscilación. Se odifica la frecuencia de oscilación por el hecho de que el resorte está colgado y no horizontal?. Resp. ω= rad /, T,34. g) Iportante. Suponiendo que inicialente la asa está en su posición de equilibrio y se desplaza hacia abajo con una velocidad de, halle la ley de oviiento de la asa, es decir, halle Ψ( t )(aplitud A y fase δ ) y, a partir de este resultado, halle y(). t Discuta. Resp. yt () = y + Ψ() t = y + Acos( ωt+ δ ) (4) equi equi donde yequi =, 45 ω= rad / A= 5c= 5, y δ = π Vuelva a obtener la solución usando el Matheatica, Dsolve[{psi''[t]+4* psi[t]==,psi[]==,psi'[]==},psi[t],t] h) Grafique las funciones Ψ () t e y(). t Discuta. Usando el Matheatica, psi[t_ ]=.5*Cos[*t-Pi/]; Plot[psi[t],{t,,},

23 PlotRange->{-.55,.55}, PlotStyle->{RGBColor[,,]}]; i) Halle la energía cinética (en función del tiepo). j) Iportante. Estaos interesados en hallar la energía potencial elástica y gravitatoria, pero por razones que luego quedarán claras, resulta conveniente fijar el cero de potencial, no en la posición relajada del resorte sino, en la posición de equilibrio del sistea ( y ), es decir, quereos que E y equi p equi ( )=. El potencial se puede definir a enos de una constante, la constante debe ser elegida de tal fora que el potencial se anule en el punto elegido coo cero del potencial. Veaos el ejeplo de la energía potencial elástica. En el jardín de infantes nos enseñaron que la energía potencial elástica puede calcularse a partir de la ecuación, E p el = k x (5) donde x = x l indica cuánto se aparta la asa de la posición relajada del resorte, note que no figura ninguna constante suando, es decir, la constante es cero. Pero la expresión 5 sólo es válida cuando el cero de potencial se toa en el punto en donde el resorte se halla relajado, de hecho cuando x = la energía potencial, dada en la ecuación 5, se anula. En el caso general, en donde el cero de potencial no se fija en la posición relajada, la expresión 5 debe odificarse. La expresión general tiene la fora, E el p = k x + constante (6) donde la constante debe elegirse adecuadaente para que la energía potencial se anule en el punto que deseaos fijar coo cero de potencial. Para entender un poco ejor, recordeos coo es que se calcula (en el jardín) la expresión 5. La energía potencial es igual a enos el trabajo realizado sobre la asa al ir desde el punto de referencia x (en donde toaos el cero de potencial) hasta la posición final x, es decir, xr x el r Ep ( x) = F. dx = k( x l ) dx = k ( x l ) k ( x l ) (7) x x donde heos coprobado que la constante a suar es, constante = k( x ) l. Esta constante puede calcularse sin necesidad de integrar, sólo pidiendo que la energía potencial se anule en el punto de referencia (copruébelo). La expresión 7 nos perite hallar la energía potencial elástica para cualquier punto de referencia x. Claraente, la energía potencial en la posición x = x es cero (cero de potencial), es decir, el E p ( x ) = k ( x l ) k ( x l ) = En el caso particular en que el punto de referencia concuerda con la posición relajada, o sea, x = l, entonces la ecuación 6 toa la fora de la ecuación 5 (verifique). En nuestro problea el cero de potencial lo toaos en el punto y equi, por consiguiente, la energía potencial elástica nos queda, el Ep ( y) = k ( y l ) k ( yequi l ) = 4N / ( y, ), 5 joule 3

24 Coentario: Si la energía potencial de una asa (sua de todas las posibles energías potenciales, elástica, gravitatoria, electroestática, etc.) puede representarse por una función cuadrática E = ax + p bx + c con a > entonces su representación gráfica resulta una parábola hacia arriba, no necesariaente ubicada en el origen, ver figura. Y el oviiento de la asa resulta oscilatorio arónico, aunque la fora del potencial no sea exactaente E = p k x. E p E ov. oscilatorio arónico F> F< E in x in x equi x ax x La posición de equilibrio se ubica en la posición que hace ínio al potencial (fuerza nula), y la aplitud de oscilación queda deterinada por la energía ecánica total E (ver figura ). La fuerza que actúa sobre la partícula puede obtenerse a partir de la conocida relación (para el caso unidiensional), E p F = = ax b x La cual puede llevarse a la fora equivalente de una fuerza elástica ejercida por un resorte F Figura : Gráfico de la energía potencial elástica. El vértice de la parábola corresponde al estado de equilibrio. = k x, si consideraos que la longitud relajada del resorte es y su constante elástica a k, es decir, ax b = a x b = k( x l ) = l = F =. a De acuerdo a esto, si un sistea posee un potencial cuadrático (cualquiera sea su origen físico) siepre resulta posible hallar un sistea equivalente forado por una asa y un resorte oscilando arónicaente, la frecuencia de oscilación queda deterinada por la constante a y la asa. Note que la fuerza no depende de la constante c, es decir, la dináica del sistea no depende del punto que toeos coo cero de potencial. Podríaos redefinir a la energía restándole la constante c y nada cabiaría. b a 4