Boletín III. Integración de funciones de una variable. Ejercicios básicos

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1 CÁLCULO Boletín III. Integración de funciones de una variable Ejercicios básicos 1. Demuestra que x 2 es una primitiva de afirmativo justifica por qué; en caso negativo encuentra otra. x. Es su única primitiva? En caso 1 4x 2 2. Calcula: a) x 3 cos ( x ) dx b) ln(x) dx c) cos(x) cos (sin(x)) dx d) x 2 (4x 3 + 7) 9 dx e) e x sin(2x + 5) dx f) x 1 + x 4 dx 3. Sea f una función continua en x [2, 4], de la que sabemos que mín f(x) = 3 y máx f(x) = 6. x [2,4] x [2,4] a) Puede valer 15 unidades de superficie el área de la figura limitada por el eje OX, la gráfica de y = f(x), y las rectas x = 2 y x = 4? b) Entre qué valores puede oscilar el área anterior? Respuesta: No Respuesta: 6 A Si f y g son funciones continuas, halla: a) f(4) si b) g(1) si x x 3 x 2 f(t) dt = x cos(πx), g(t) dt = x cos(πx). 5. Halla los extremos relativos de la función F (x) = x 1 sin(t) t 6. (Ex. julio 212) Halla una función f y un número real a tales que: dt, con x > 1. Respuesta: 1 Respuesta: x a f(t) t 2 dt = 2 x, x > 1

2 Respuesta: f(x) = x 3, a = 9 7. Halla el área de la figura limitada por las rectas y = x, y = 2x e y = Sea la función dada por: sin 2 (x) si x [, π] f(x) = x π x 2 si x (π, 2π] a) Es f integrable en [, 2π]? Razona la respuesta. b) Calcula el área limitada por el grafo de f, x =, x = 2π e y =. ( π ) 9. Maruja conduce a una velocidad v M (t) = cos 2 t Respuesta: Respuesta: 4 u 2 π 2 + ln 4π 1 π 1 km/h y Pepe lo hace a una velocidad v P (t) = t km/h, donde t mide el tiempo en minutos. Supongamos que Maruja y Pepe están en el mismo lugar cuando t =. Calcula 5 (v M (t) v P (t)) dt y 1 integrales anteriores en términos de una carrera entre Maruja y Pepe. (v M (t) v P (t)) dt. Interpreta las Respuesta: 5 (v M (t) v P (t)) dt = 3 π, 1 (v M (t) v P (t)) dt = 5 1. En un circuito eléctrico se ha medido la corriente en distintos instantes de tiempo, obteniendo el cuadro siguiente: Aproxima la carga eléctrica del circuito, q = t k i(t k ) i(t) dt, mediante las fórmulas del punto medio, trapecio, Simpson y la fórmula del trapecio compuesta. 2 Respuesta: q P medio = 2, q T rap = 24, q Simps = 64/3, q T rapcomp = Halla el área limitada por la gráfica de f(x) = x e 2x y el eje OX en el intervalo [, ). 12. Halla el valor de la integral impropia 1 x 2 ln(x) dx. Respuesta: 1/4 u 2 Respuesta: 1/9 2

3 dx 13. Calcula. x(x + 1) Respuesta: π 14. Una esfera de madera de radio R = 1 cm se recubre de una capa de acero de 1 cm de espesor. Calcula, mediante integración, el volumen de acero necesario. Respuesta: 1324π/3 cm En procedimientos de diagnosis médica por imagen como la resonancia magnética, se toman numerosos datos para obtener mediante cálculos computacionales una imagen tridimensional que permita visualizar la parte del cuerpo que se estudia. El proceso es similar al empleado para calcular el volumen de un sólido usando áreas de secciones perpendiculares a un eje. Supongamos que el siguiente cuadro indica el valor del área de unas cuantas secciones de un tumor, tomadas a una distancia de un milímetro entre cada dos imágenes: x (cm) A(x) (cm 2 ) a) Estima el volumen del tumor usando la fórmula del punto medio compuesta. b) Estima el volumen del tumor usando la fórmula del trapecio compuesta. Respuesta: vol P mediocomp = 46 cm 3, vol T rapcomp = 57 cm Calcula el valor del área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = sin(x) y el eje OX limitada por las rectas x = y x = π utilizando integración numérica. Utiliza para ello las fórmulas del punto medio compuesto, trapecio compuesto y Simpson compuesto tomando como nodos los puntos, π 4, π 2, 3π 4 y π (distribuidos en 2 o 4 subintervalos, según proceda). Compara los resultados obtenidos con el valor exacto de la integral. 17. Sea la función f(x) = x ln(x) definida en los puntos x para los cuales x ln(x). Calcula el volumen del sólido generado al rotar todo su dominio alrededor del eje OX. 3

4 18. Comprueba que f(x) = 2 3 ex + e 2x es una solución de la ecuación diferencial y + 2y = 2e x. 19. Halla la solución general de la ecuación diferencial: y x = y ln(y). 2. (Ex. enero 214) Resuelve el siguiente problema de valor inicial: cos(y) dy dt = t sin(y) 1 + t 2 Respuesta: π/4 u 3 Respuesta: y(x) = e Cx y(1) = π 2 Respuesta: y(t) = arcsin ( ) t Resuelve la ecuación diferencial: y y x 2 = 2(x 2)2. Respuesta: y(x) = C(x 2) + (x 2) (Ex. julio 213) Resuelve la ecuación diferencial: y + y = sin(x) con la condición inicial y(π) = 1. Respuesta: y(x) = 1 ( sin(x) cos(x) + e π x ) La cantidad de medicamento en un órgano dentro del cuerpo humano sigue la ecuación dx dt = velocidad de entrada velocidad de salida, donde x(t) es la cantidad de medicamento en el instante t. Recordemos que la velocidad de entrada o salida es igual al producto de la concentración del medicamento (a la entrada o a la salida, respectivamente) multiplicada por la velocidad del flujo sanguíneo. Queremos que un medicamento llegue a un riñón que tiene un volumen de 12 cm 3, por lo que se lo suministramos al flujo sanguíneo con una concentración de.2 g/cm 3. Sabemos que dicho flujo circula a una velocidad constante de 3 cm 3 /s. a) Calcula x(t) en cualquier instante si sabemos que al principio no había vestigio alguno del medicamento. b) En qué momento habrá 12 g. de medicamento en el riñón? 4

5 24. Un célebre actor de cine contrae fiebres virulentas mientras rueda una película en África. A consecuencia de ello, el actor fallece a las 8: a.m. en la habitación del hotel donde se aloja, con una temperatura corporal en el momento de la muerte de 4 o C. El jefe de seguridad del hotel descubre el cuerpo sin vida dos horas después de su muerte (a las 1: a.m.) y avisa a la policía y al forense, que se personan a mediodía (12: a.m.). Sabemos que la ley de Newton de enfriamiento de los cuerpos establece que: T (t) = k (T (t) T amb ) donde T (t) denota la temperatura del cuerpo (en grados centígrados) transcurrido un tiempo t (medido en horas), T amb es la temperatura ambiente y k es una constante. Supondremos que la habitación del hotel estaba a una temperatura constante de 2 o C y tomaremos k = 1. a) Determina la temperatura del cadáver cuando lo descubre el jefe de seguridad. b) Determina la temperatura del cadáver cuando llega el forense. Nota: Quizá te resulte útil saber que e 1/5 82 y e 2/5 67. Respuesta: T (1) 36 4 o C, T (12) 33 4 o C 25. Razona la veracidad o falsedad de: x dx = ln x 3 ]4 1 = ln(4 3) + ln 1 3 = ln(1) + ln(2) = ln(2). dx 26. (Ex. julio 215) Consideramos el siguiente problema de valor inicial: dt = 6 x 4. x() = a) Calcula x(t). b) Para qué valor de t se cumple que x = 12? Ejercicios complementarios 1. Sea la función f dada por: f(x) = { 1 si x [, 1] 1 + x si x (1, 2]. Se define S(x ) como el área limitada por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = x (x [, 2]). a) Razona, sin construir la función, la continuidad de S. 5

6 b) Obtén S(x ) para cada x perteneciente al intervalo [, 2]. c) Supón que se repite el procedimiento con la función S en lugar de f, construyéndose de esta forma la función A, donde A(x ) es el área limitada por la gráfica de S, el eje OX y la recta x = x. Razona, sin construir la función, la derivabilidad de A y obtén, además, A(x ) para todo x perteneciente al intervalo [, 2]. 2. Sea f : R R una función derivable que verifica: f (t) >, t R y f(t) = t =. Calcula los extremos relativos de la función F dada por: F (x) = x 2 5x+6 f(t) dt. Respuesta: mínimos relativos en x 1 = 2 y x 2 = 3, máximo relativo en x 3 = Sea f(x) = x(x a), a >, y V f el volumen engendrado al girar en torno al eje OX la región del plano limitada por dicha función y las rectas y = y x = c, c a >. Halla c para que V f sea igual al volumen del cono engendrado por el triángulo de vértices (, ), (c, ) y (c, f(c)) al girar en torno al eje OX. 4. Calcula el volumen que genera la curva g(x) = 1 x 1 Respuesta: c = 1 25a al girar alrededor del eje OX, para x 2. Respuesta: 5. Calcula el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar, en torno al eje OX, la intersección de los círculos x 2 + y 2 16 y (x 3) 2 + y Respuesta: 6 π u 3 6. Halla el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por los semiejes positivos, la parábola y = x 2 + 2x + 3 y la recta y = 2 2x/3. Respuesta: 133π 5 u3 7. Sea la función F dada por: F (x) = donde f(t) = (1 sin 3 (t)) e t y g(x) = π 2 + ex. g(x) π/2 f(t) dt a) Determina los puntos críticos de F en el intervalo [1, ln(5π)]. Respuesta: x 1 = ln(2π); x 2 = ln(4π) 6

7 b) Sin calcular F, clasifica los puntos críticos y determina los extremos absolutos de F en [1, ln(5π)]. 8. La transformada de Laplace de una función continua f es otra función, f, dada por: f(x) := f(t) e xt dt x >. Demuestra que la transformada de f(t) = t es f(x) = 1 x (Responder usando MatLab) En una pista de pruebas, un automóvil de 2 kg de masa viaja a una velocidad de 3 m/s. En ese instante, se desactiva la transmisión, la velocidad empieza a disminuir y la distancia recorrida hasta alcanzar la velocidad a está dada por la integral: x(a) = 3 a 2 u 1 u du. Aproxima, mediante las fórmulas de trapecio compuesta y punto medio compuesta, la distancia recorrida hasta que el coche se detiene, utilizando h = 5 m/s como paso de integración. Respuesta: d T rap = m, d P.Medio = m 1. Sea Q(t) = cos(πt) la carga eléctrica de un circuito en un instante de tiempo t. a) Aproxima el valor de la carga en t = 25 mediante el polinomio de Lagrange, P 1, relativo a Q y a los instantes de tiempo {, 5}. b) Calcula el polinomio de Lagrange, P 2, relativo a Q y a los instantes { 5, 1} c) Aproxima la integral definida: 1 Q(t) dt empleando los polinomios anteriores. Aproxímala también mediante la fórmula del trapecio compuesta con h = El crecimiento de tumores en los animales se modela mediante la ecuación de Gompertz: dy ( y ) dt = ay ln, b siendo y el tamaño del tumor, t el tiempo y a y b constantes positivas que dependen del tipo de tumor y de las unidades de medición. Calcula la solución general para las constantes a = 1 y b = Un circuito RL tiene una f.e.m. e(t) = 4 sin(t) voltios, una resistencia de 1Ω y una bobina de 4 Henrios. Halla la expresión de la intensidad de corriente en cada instante. Respuesta: i(t) = Ce 25 t (25 sin(t) cos(t)) amperios 13. (Ex. julio 212) Consideramos la función f dada por f(x) = cos(2x). 7

8 a) Calcula una primitiva de f, F, tal que F () = 1. Comprueba que F = f. b) Halla razonadamente los extremos absolutos y relativos de F en [, 2π] 14. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Si f es integrable en I = [7, 9] y 3 f(x) 9, x I entonces 6 b) El área bajo el grafo de f(x) = 1 en [ 1, 1] es finita. x2 c) (Ex. febrero 21) La función es integrable en todo intervalo cerrado de R. d) Sea g(x) = x 2 e) ( Ex. diciembre 23) Si F (x) = x si x < 1 f(x) = 2x 3 si x [1, 2] sin(x) si x > 2 f(t) dt. Entonces g (x) = 2x f(x 2 ). x 2 2x Respuesta: F (x) = 1 + 3(x + sin(2x)) 9 7 f(x) dx 18. t dt, entonces F (x) = 2x x f ) (Ex. febrero 24) El área bajo el grafo de la función f(x) = infinita. e ln(x) x en el intervalo [1, ) es 8